3.4. Lindahl-Lösung Idee: Quasi-Markt-Mechanismus, indem Individuen individuelle Preise für ö. Gut entsprechend ihrer Zahlungsbereitschaft zahlen. Idee: Während bei privaten Gütern Individuen unterschiedliche Mengen zum selben Preis konsumieren, konsumieren sie zu unterschiedlichen Preisen dieselbe Menge ö. Güter. Damit könnte eziente Lösung erreicht werden. Rainald Borck 1
Betrachte 2 Individuen; sei p i der Preis für Ind. i = 1, 2 mit p 1 + p 2 = 1. Wenn i zum Preis p i Einheiten von G kaufen könnte: max G u(g, x i) NB: x i + p i G = M i (1) FOC für innere Lösung: u i G p i u i x = 0 (2) oder GRS i = p i (3) Rainald Borck 2
Wähle p 1, p 2 so, dass beide dieselbe Menge G nachfragen. Aus (3) und p 1 + p 2 = 1 folgt: GRS 1 + GRS 2 = 1 (4) Die Bereitstellung ist also ezient. Zudem ist für jedes Ind. seine Zahlungsbereitschaft gleich dem Preis: Äquivalenzprinzip (Lindahl, Wicksell). Rainald Borck 3
EUR ΣMZB MZB 2 MZB 1 1 p 2 p 1 G* G Abbildung: Lindahl Lösung Rainald Borck 4
Problem: Lindahl-Lösung ist keine wirkliche Lösung: woher soll Planer Zahlungsbereitschaften kennen? Wenn ZB private Information sind und Individuen sie oenbaren müssen: Anreiz ZB zu untertreiben. Bsp. s. Graphik: Wenn Ind. 2 statt wahrer MZB 2 MZB 2 äuÿert: bereitgestellte Menge sinkt von G auf G. Lindahl-Preis sinkt von p 2 auf p 2. Nettoeekt auf Konsumentenrente ist Dierenz aus der grauen (+) und schwarzen ( ) Fläche: Anreiz zum Untertreiben. Rainald Borck 5
EUR ΣΜΖΒ MZB 2 MZB' 2 1 p 2 p' 2 p 1 G' G* G Abbildung: Lindahl Lösung und Untertreiben Rainald Borck 6
3.5. Anreizmechanismen Problem: wie bringt man Individuen dazu ihre wahren Präferenzen zu oenbaren? Wenn Ind. ZB äuÿern sollen und davon ausgehen, dass ihre Zahlung daran geknüpft ist: Anreiz zum Untertreiben. Wenn Zahlung unabhängig von geäuÿerter ZB ist: Anreiz zum Übertreiben. I. a. gibt es keinen nicht-diktatorischen Mechanismus, der dafür sorgt, dass Individuen ihre wahren Präferenzen oenbaren (Gibbard-Satterthwaite Theorem). Selbst für Spezialfälle, in denen anreizkompatible Mechanismen existieren, kann nicht gleichzeitig Ezienz und Budgetausgleich erreicht werden. Rainald Borck 7
Andere Möglichkeiten, Präferenzen zu erkunden? Bsp: Wohnungsmarkt. Ind. äuÿern durch Wohnungswahl ihre Präferenzen für ö. Güter (z.b. Parks oder Schulen). Kombination von Mechanismen mit Unter- und Übertreibung als dominanter Strategie. Bohm (1972): Geäuÿerte ZB hängen nicht signikant vom Mechanismus ab. Für Spezialfälle existieren Mechanismen, die anreizkompatibel sind und die eziente Bereitstellung eines öentlichen Gutes ermöglichen. Rainald Borck 8
Clarke-Steuer Idee: Um Individuen zu einer gesellschaftlich ezienten Entscheidung zu veranlassen, müssen sie die gesellschaftlichen Kosten ihrer Entscheidung tragen. Annahmen. In einer Gesellschaft mit N Individuen wird über die Bereitstellung eines ö. Gutes entschieden (ja/nein). Die Individuen haben quasilineare Nutzenfunktionen U i = x i + u i (G), G {0, 1} (5) Sei u i (0) = 0, und u i (1) = v i die maximale Zahlungsbereitschaft von Ind. i. Rainald Borck 9
Bereitstellungskosten c werden unter Ind. entsprechend ihren Anteilen α i, i α i = 1 aufgeteilt. Bereitstellung ist ezient, wenn v i c (6) i Optimal wäre Bereitstellung, wenn (6) erfüllt ist. Aber: wenn die Zahlungsbereitschaften v i private Information sind, ist nicht sicher gestellt, dass Ind. sie freiwillig oenbaren. Rainald Borck 10
Sei b i = v i α i c Ind. is Nettozahlungsbereitschaft. Mechanismus: Frage alle Individuen nach b i. Sei is Antwort (die geäuÿerte ZB) a i nicht notwendigerweise gleich b i. Das Gut wird genau dann bereitgestellt, wenn a i 0 (7) i Zahlung von Ind. i an den Staat: α i cg + T i (a) (8) mit a: Vektor der geäuÿerten Zahlungsbereitschaften. Rainald Borck 11
Der Anreizterm T i (a) ist deniert als { T i (a) = j i a j wenn ( j i a j)( N j=1 a j) < 0 0 sonst (9) Das ist die Clarke-Steuer. In Worten: Ind. i zahlt eine Clarke-Steuer g.d.w. die Summe aller geäuÿerten Zahlungsbereitschaften ihr Vorzeichen ändert. Dies bedeutet, dass Individuum i für die gesellschaftliche Entscheidung ausschlaggebend (pivotal) ist. Rainald Borck 12
Ergebnis Bei einer Clarke-Steuer ist die Angabe der wahren Zahlungsbereitschaft für jedes Individuum eine (schwach) dominante Strategie. Wenn a i = b i für alle i entspricht die Bereitstellungs-Regel (7) gerade der gesellschaftlichen ezienten Regel. Beweis des Theorems s. nächste Folie. Intuition: Clarke-Steuer internalisiert externen Eekt, den das eigene Verhalten auf die Gesellschaft ausübt. Rainald Borck 13
Beweis 1 Z.z. dass sich Lügen nicht lohnt. Es gelte j i a j > 0. 2 Fälle: j i a j + b i > 0. Wenn i Wahrheit sagt, wird Projekt durchgeführt und i ist nicht entscheidend. Nutzen u i = b i Kann Lügen sich lohnen? 1 a i b i, N j=1 a j 0. Gegenüber Wahrheit sagen ändert sich nichts. 2 a i b i, N j=1 a j < 0. Projekt wird nicht durchgeführt und i ist entscheidend Clarke Steuer. Nutzen û i = j i a j û i > u i j i a j + b i < 0 Rainald Borck 14
2 j i a j + b i < 0. Wenn i Wahrheit sagt, wird Projekt nicht durchgeführt und i ist entscheidend. Nutzen u i = j i a j Kann Lügen sich lohnen? 1 a i b i, N j=1 a j 0. Gegenüber Wahrheit sagen ändert sich nichts. 2 a i b i, N j=1 a j > 0. Projekt wird durchgeführt und i ist nicht entscheidend und zahlt keine Clarke Steuer. Nutzen û i = b i û i > u i j i a j + b i > 0 Analog der Fall j i a j < 0. Q.E.D. Rainald Borck 15
Beispiel Betrachte ein Beispiel mit 3 Ind: Ind. b i j i b j Cl.St. u i 1-4 6 0-4 2 1 1 0 1 3 5-3 3 2 Summe der Netto-ZB ist 2 und das Gut wird folglich bereitgestellt. Ind. 3 zahlt eine Clarke-Steuer, weil es als einziges entscheidend ist. Beachte: Bereitstellung ist ezient, da v i > c, aber Ind. 1 wird schlechter gestellt. Rainald Borck 16
Kann sich Lügen auszahlen? Betrachte Ind. 3. Um Clarke-Steuer zu vermeiden, müsste er z.b. b 3 = 2 angeben, aber dann wäre a j = 1, Gut wird nicht bereitgestellt und der Nutzen von 3 wäre 0 gegenüber 2, wenn er Wahrheit sagt und Clarke-Steuer zahlt. Betrachte Ind. 1. Um Bereitstellung zu verhindern, müsste sie z.b. b 1 = 7 angeben, aber dann müsste sie eine Clarke-Steuer von 6 zahlen, Nettonutzen ( 6) wäre geringer als bei Wahrheitsagen ohne Clarke-Steuer ( 4). Rainald Borck 17
Budgetüberschüsse Wenn es entscheidende Ind. gibt, erzielt Clarke-Steuer einen Budgetüberschuss (im Bsp. oben 3). D.h. dass die Bereitstellung nicht pareto-ezient ist, da dieser Überschuss nicht an die Ind. zurückgegeben werden darf (warum?). Im Beispiel oben führt die Steuer sogar zu einem negativen sozialen Überschuss. Aber: wenn es viele Ind. gibt, ist die Wahrscheinlichkeit, dass einzelne die Entscheidung beeinussen gering. Rainald Borck 18