Übungen zu Wahrscheinlichkeitstheorie Judith Kloas, Wolfgang Woess, Jonas Ziefle SS 2016 43) [3 Punkte] Sei φ(t) die charakteristische Funktion der Verteilungsfunktion F (x). Zeigen Sie, dass für jedes x R die Sprunghöhe von F wie folgt berechnet werden kann: 1 F (x) F (x ) = lim c c c c e itx φ(t) dt. 44) (a) [1 Punkt] Man berechne approximativ die Wahrscheinlichkeit dafür, dass bei 12 000 unabhängigen Würfen mit einem fairen Würfel die Anzahl der 6er im Intervall [1900, 2150] liegt! (b) [2 Punkte] Bei einem Glücksspiel gewinnt der Spieler mit Wahrscheinlichkeit 1 sechs 6 Euro hinzu, mit Wahrscheinlichkeit 1 verliert er einen Euro und mit Wahrscheinlichkeit 1 2 3 gewinnt bzw. verliert er nichts. Bestimmen Sie approximativ mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes die Wahrscheinlichkeit, dass der Spieler nach 100 Spielen einen Gewinn zwischen 47 und 53 Euro erzielt hat. (c) [2 Punkte] Wie oft muss der Spieler das Spiel wiederholen, damit die Wahrscheinlichkeit mehr als 100 Euro gewonnen zu haben mindestens 0,9 beträgt? 45) (a) [1 Punkt] Wie oft muss man eine faire Münze werfen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 0,95 der Anteil der geworfenen Köpfe zwischen 49, 8% und 50, 2% liegt? (b) [2 Punkte] Ein Flugzeug hat 500 Sitze. Man weiß, dass im Schnitt 20 Prozent der Leute mit Ticket nicht erscheinen. Wie viele Tickets kann man maximal verkaufen, damit mit einer Wahrscheinlichkeit von 99% jeder einen Sitzplatz bekommt? Verwenden Sie den zentralen Grenzwertsatz!
46) Für eine Stichwahl zwischen zwei Kandidatinnen soll eine Wahlumfrage erstellt werden: es werden n Personen befragt. Die zu erfragenden Wahlentscheidungen werden als eine Folge X 1,..., X n von unabhängigen Bernoulli-verteilten Zufallsvariablen mit Parameter θ (0, 1) angenommen; gesucht ist eine gute Schätzung (Konfidenzintervall) des Parameters θ auf Basis des Stichprobenmittels X n = 1 n (X 1 + + X n ): gegeben a, ε > 0 und n wollen wir (ohne θ schon zu kennen), dass P [ X n θ < a ] 1 ϵ. Verwenden Sie den zentralen Grenzverteilungssatz von de Moivre - Laplace (unter der Annahme, dass bei hinreichend großem n die Approximation praktisch exakt ist) und die Abschätzung V(X k ) = θ(1 θ) 1/4. Aufgabenstellungen mit diesen Hilfsmitteln: (a) [1 Punkt] Gegeben n = 400 und a = 0.02, berechnen Sie den bestmöglichen (= größten) Wert für γ = 1 ε. (b) [2 Punkte] Gegeben n = 400 und γ = 0.95, berechnen Sie den bestmöglichen (= kleinsten) Wert für a. (c) [2 Punkte] Gegeben a = 0.02 und γ = 0.95, berechnen Sie den bestmöglichen (= kleinsten) Wert für n. Auf den nachfolgenden Seiten finden Sie Aufgaben aus der diesjährigen Zentralmatura Mathematik, und zwar vier aus Teil 1 (Grundkompetenzen) und eine aus Teil 2, mit Unterpunkten a), b), c). Lösen Sie diese! Hiefür sind keine Kreuze vorgesehen, aber für jede freiwillige Tafelpräsentation kann ein Punkt erreicht werden.
Aufgabe 21 Zollkontrolle Eine Gruppe von zehn Personen überquert eine Grenze zwischen zwei Staaten. Zwei Personen führen Schmuggelware mit sich. Beim Grenzübertritt werden drei Personen vom Zoll zufällig ausgewählt und kontrolliert. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass unter den drei kontrollierten Personen die beiden Schmuggler der Gruppe sind! 25
Aufgabe 22 Wahrscheinlichkeitsverteilung Der Wertebereich einer Zufallsvariablen X besteht aus den Werten x 1, x 2, x 3. Man kennt die Wahrscheinlichkeit P(X = x 1 ) = 0,4. Außerdem weiß man, dass x 3 doppelt so wahrscheinlich wie x 2 ist. Berechnen Sie P(X = x 2 ) und P(X = x 3 )! P(X = x 2 ) = P(X = x 3 ) = 26
Aufgabe 23 Verschiedenfärbige Kugeln Auf einem Tisch steht eine Schachtel mit drei roten und zwölf schwarzen Kugeln. Nach dem Zufallsprinzip werden nacheinander drei Kugeln aus der Schachtel gezogen, wobei die gezogene Kugel jeweils wieder zurückgelegt wird. Gegeben ist der folgende Ausdruck: 3 0,8 2 0,2 Kreuzen Sie dasjenige Ereignis an, dessen Wahrscheinlichkeit durch diesen Ausdruck berechnet wird! Es wird höchstens eine schwarze Kugel gezogen. Es werden genau zwei schwarze Kugeln gezogen. Es werden zwei rote Kugeln und eine schwarze Kugel gezogen. Es werden nur rote Kugeln gezogen. Es wird mindestens eine rote Kugel gezogen. Es wird keine rote Kugel gezogen. 27
Aufgabe 24 Vergleich zweier Konfidenzintervalle Auf der Grundlage einer Zufallsstichprobe der Größe n 1 gibt ein Meinungsforschungsinstitut für den aktuellen Stimmenanteil einer politischen Partei das Konfidenzintervall [0,23; 0,29] an. Das zugehörige Konfidenzniveau (die zugehörige Sicherheit) beträgt γ 1. Ein anderes Institut befragt n 2 zufällig ausgewählte Wahlberechtigte und gibt als entsprechendes Konfidenzintervall mit dem Konfidenzniveau (der zugehörigen Sicherheit) γ 2 das Intervall [0,24; 0,28] an. Dabei verwenden beide Institute dieselbe Berechnungsmethode. Ergänzen Sie die Textlücken im folgenden Satz durch Ankreuzen der jeweils richtigen Satzteile so, dass eine korrekte Aussage entsteht! Unter der Annahme von n 1 = n 2 kann man aus den Angaben 1 folgern; unter der Annahme von γ 1 = γ 2 kann man aus den Angaben 2 folgern. 1 2 γ 1 < γ 2 n 1 < n 2 γ 1 = γ 2 n 1 = n 2 γ 1 > γ 2 n 1 > n 2 28
Aufgabe 4 Würfel mit unterschiedlichen Zahlen Gegeben sind die Netze von drei fairen Würfeln, deren Seitenflächen auf unterschiedliche Weise mit verschiedenen Zahlen beschriftet sind. (Ein Würfel ist fair, wenn die Wahrscheinlichkeit, nach einem Wurf nach oben zu zeigen, für alle Seitenflächen gleich groß ist.) Würfel A Würfel B Würfel C 3 5 0 1 2 1 2 1 2 1 2 0 0 6 6 3 5 6 a) Herr Fischer wirft Würfel A zweimal. Die Zufallsvariable X gibt die Summe der beiden geworfenen Zahlen an. Die Zufallsvariable X kann die Werte 2, 3, 4, 5 und 6 annehmen. Frau Fischer wirft die Würfel A und B. Die Zufallsvariable Y gibt die Summe der beiden geworfenen Zahlen an. A Geben Sie für die Zufallsvariable Y alle möglichen Werte an! mögliche Werte für Y: Es gibt Werte der Zufallsvariablen, die bei Herrn Fischer wahrscheinlicher auftreten als bei Frau Fischer. Geben Sie denjenigen Wert an, bei dem der Unterschied der beiden Wahrscheinlichkeiten am größten ist, und berechnen Sie diesen Unterschied! b) Bei einem Spiel wird Würfel B dreimal geworfen. Der Einsatz des Spiels für eine Spielerin / einen Spieler beträgt 2. Die jeweilige Auszahlung ist von der Summe der drei geworfenen Zahlen abhängig und wird in der nachstehenden Tabelle teilweise angegeben. Summe der drei geworfenen Zahlen Auszahlung an die Spielerin / den Spieler positiv 0 null 2 negativ? Eine Person spielt dieses Spiel fünfmal. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass dabei genau zweimal die Summe der drei geworfenen Zahlen genau null ist! Berechnen Sie, welchen Betrag der Anbieter des Spiels für das Würfeln einer negativen Summe höchstens auszahlen darf, um langfristig mit keinem Verlust rechnen zu müssen! 10 c) Peter wirft den Würfel C 100-mal. Die Zufallsvariable Z beschreibt die Anzahl der gewürfelten Sechser. Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung von Z! Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der geworfenen Zahlen größer als 350 ist!