Biostatistik, Sommer 2017

1/52 Biostatistik, Sommer 2017 Prof. Dr. Achim Klenke http://www.aklenke.de 7. Vorlesung: 02.06.2017

2/52 Inhalt 1 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel 2 Diskrete Stetige

3/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel Wir werfen einen fairen sechsseitigen Würfel, nennen das Ergebnis X und betrachten die Ereignisse A := {X 3} = Augenzahl Drei oder kleiner, B := {X {2, 4, 6}} = Augenzahl gerade. Offenbar ist P[A] = 1 und P[B] = 1. Wie groß ist aber die 2 2 Wahrscheinlichkeit, dass B eintritt, wenn wir schon wissen, dass A eintritt? Wenn A eintritt, nimmt X die Werte 1,2,3 mit gleicher Wahrscheinlichkeit an. Also: gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 1/3.

4/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Bedingte Wahrscheinlichkeit Definition Seien A und B Ereignisse. Wir definieren die bedingte Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von B, gegeben, dass A eintritt, durch P[B A] = P[A B], falls P[A] > 0, P[A] 0, sonst.

5/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel (Fortsetzung) A := {X 3} = Augenzahl Drei oder kleiner, B := {X {2, 4, 6}} = Augenzahl gerade. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass B eintritt, gegeben, dass A eintritt, ist P[B A] = P[A B] P[A] = P[X = 2] P[X {1, 2, 3}] = 1/6 1/2 = 1 3.

Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Bedingte Wahrscheinlichkeit Beispiel 2: Zweifacher Würfelwurf X 1 = Augenzahl erster Wurf, X 2 = Augenzahl zweiter Wurf, S = X 1 + X 2 = Augensumme. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der erste Wurf höchstens eine Drei ist, wenn die Augensumme genau Acht ist? A := {S = 8} = { (X 1, X 2 ) {(2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2)} }, B := { X 1 {1, 2, 3} }. P[B A] = P[A B] P[A] = P[(X 1, X 2 ) {(2, 6), (3, 5)}] P[S = 8] = 2/36 5/36 = 2 5. 6/52

7/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Totale Wahrscheinlichkeit Beispiel Der Lehrer lässt heute einen Englischtest schreiben und wählt zufällig aus, ob es ein Aufsatz (20%) wird, ein Diktat (70%) oder eine Inhaltsangabe (10%). Ihre Chancen für eine Eins sind unterschiedlich: 90% bei einem Aufsatz, 10% bei einem Diktat und 30% bei einer Inhaltsangabe. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass Sie eine Eins schreiben? Angenommen, Sie haben eine Eins, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Aufsatz geschrieben wurde?

8/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Totale Wahrscheinlichkeit Beispiel (Fortsetzung) A 1 = Aufsatz, A 2 = Diktat, A 3 = Inhaltsangabe B = Sie haben eine Eins. i P[A i ] P[B A i ] P[B A i ] P[A i B] 1 0.2 0.9 0.18 0.18/0.28 = 0.64 2 0.7 0.1 0.07 0.07/0.28 = 0.25 3 0.1 0.3 0.03 0.03/0.28 = 0.11 Summe 1 P[B] = 0.28 1 Die W keit, eine Eins zu schreiben ist P[B] = 0.28. Die W keit, dass der Test ein Aufsatz war, gegeben, dass Sie eine Eins haben, ist P[A 1 B] = 0.64.

9/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Bayes sche Formel Satz (Bayes sche Formel) Seien A 1,..., A n Alternativen und B ein Ereignis. Dann gilt P[A k B] = P[B A k] P[A k ] n i=1 P[B A i] P[A i ]. Speziell ist P[A B] = P[B A] P[A] P[B A] P[A] + P[B A c ] P[A c ].

10/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Bayes sche Formel Beispiel Es sind 0.5% der Bevölkerung mit HIV infiziert (Prävalenz). Ein Test erkennt eine HIV Infektion mit 95% Wahrscheinlichkeit (Sensitivität). Bei einer nicht-infizierten Person schlägt der Test mit Wahrscheinlichkeit 6% dennoch an (Spezifität 94%). (i) Bei wie viel Prozent aller getesteten Personen schlägt der Test an (korrekt oder fehlerhaft)? (ii) Bei einer zufällig gewählten Person schlägt der Test an. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person tatsächlich krank ist?

11/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Bayes sche Formel Beispiel (Fortsetzung) A = Person infiziert, B = Test schlägt an, Prävalenz: P[A] = 0.005 Sensitivität: P[B A] = 0.95 Spezifität: P[B c A c ] = 0.94, also P[B A c ] = 0.06. (i) Totale Wahrscheinlichkeit: P[B] = P[B A] P[A] + P[B A c ] P[A c ] = 0.95 0.005 + 0.06 0.995 = 0.064 = 6.4%.

12/52 Wahrscheinlichkeit Bayes sche Formel Bayes sche Formel Beispiel (Fortsetzung) A = Person infiziert, B = Test schlägt an, Prävalenz: P[A] = 0.005 Sensitivität: P[B A] = 0.95 Spezifität: P[B c A c ] = 0.94, also P[B A c ] = 0.06. (ii) Bayes sche Formel: Gesuchte Wahrscheinlichkeit ist P[A B] = = P[B A] P[A] P[B A] P[A] + P[B A c ] P[A c ] 0.95 0.005 0.95 0.005 + 0.06 0.995 = 0.074 = 7.4%.

13/52 Anzahl der Erfolge Diskrete Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale 100 Samenkörner. Wie viele keimen nach zwei Tagen? Modellannahme: Das Keimen ist unabhängig voneinander und mit Wahrscheinlichkeit p der Fall. Mathematische Formulierung: X 1, X 2,..., X 100 Zufallsvariablen mit Wertebereich W = {0, 1}. { 1, falls i-ter Samen gekeimt hat, X i = 0, sonst. Modellannahme liefert: Zufallsvariablen sind unabhängig und P[X i = 1] = p für jedes i = 1,..., 100. (Bernoulli-Verteilung). 100 S := i=1 X i = Anzahl gekeimte Samen. Welche Verteilung hat die Zufallsvariable S?

14/52 Anzahl der Erfolge Diskrete Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (2) Zufallsvariablen sind unabhängig und P[X i = 1] = p für jedes i = 1,..., 100. 100 S := i=1 X i = Anzahl gekeimte Samen. P[S = 0] = P[X 1 = 0 und X 2 = 0 und... und X 100 = 0] [ 100 ] = P {X i = 0} i=1 = P[X 1 = 0] 100 = (1 p) 100.

15/52 Diskrete Anzahl der Erfolge Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (3) P[S = 1] = P[X 1 = 1 und X i = 0 für i 1] + P[X 2 = 1 und X i = 0 für i 2]. + P[X 100 = 1 und X i = 0 für i 100] =100 P[X 1 = 1 und X i = 0 für i 1] =100 p(1 p) 99.

16/52 Anzahl der Erfolge Diskrete Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (4) P[S = 2] = P[X 1 = X 2 = 1 und X i = 0 für i 1, 2] + P[X 1 = X 3 = 1 und X i = 0 für i 1, 3]. + P[X 99 = X 100 = 1 und X i = 0 für i 99, 100] =100 99 1 2 P[X 1 = X 2 = 1 und X i = 0 für i 1, 2] 100 99 = p 2 (1 p) 98. 2

17/52 Anzahl der Erfolge Diskrete Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (5) P[S = 3] = = 100 99 98 2 3 100 99 98 2 3 P [ X 1 = X 2 = X 3 = 1 und X i = 0 für i 1, 2, 3 ] p 3 (1 p) 97.

18/52 Diskrete Anzahl der Erfolge Beispiel: Gartenkresse in der Petrischale (6) Für jedes k = 0,..., 100 gilt P[S = k] = b 100,p (k) := 100 99 (100 k + 1) 2 3 k p k (1 p) 100 k. b 100,p heißt Binomialverteilung mit Parametern 100 und p.

Diskrete Binomialverteilung b 100,0.2 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 19/52

Diskrete Binomialverteilung b 100,0.98 0.00 0.10 0.20 0.30 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 22/52

23/52 Diskrete Allgemeine Form der Binomialverteilung Sei S die Anzahl der Erfolge in n unabhängigen Zufallsexperimenten, die jeweils mit gleicher Wahrscheinlichkeit p einen Erfolg zeigen. Dann gilt für k = 0,..., n ( ) n P[S = k] = b n,p (k) := p k (1 p) n k, k wobei der Binomialkoeffizient ( ) n = k n! k!(n k)! die Anzahl der Möglichkeiten beschreibt, k Objekte aus n Objekten auszuwählen (ohne Beachtung der Reihenfolge). b n,p heißt Binomialverteilung mit Parametern n und p.

24/52 Diskrete Seltene Ereignisse Beispiel In Deutschland werden pro Jahr im Mittel 8 Blitztote registriert. Wie groß ist Wahrscheinlichkeit dafür, dass es in diesem Jahr genau 5 Blitztote gibt? Annahme: Für jeden der n = 80 000 000 Bundesbürger besteht die gleiche Wahrscheinlichkeit p, dieses Jahr vom Blitz getroffen zu werden. Die Ereignisse sind unabhängig. Im Mittel werden also np = 8 Menschen vom Blitz getroffen. Es folgt p = 8/80 000 000 = 10 7. Also ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit b 80 000 000,10 7(5) = 0.0916.

Poissonverteilung Diskrete Bezeichnet S die Anzahl von Erfolgen bei sehr kleiner Erfolgswahrscheinlichkeit p und sehr großer Anzahl von Versuchen n, und ist λ := pn, so gilt (approximativ) λ λk P[S = k] = e für k = 0, 1, 2,.... k! Diese Verteilung heißt Poissonverteilung Poi λ mit Parameter λ. Der Parameter λ gibt die mittlere Anzahl von Erfolgen an. Beispiel Blitztote Anzahl der Blitztoten ist etwa Poisson-verteilt mit λ = 8. Wahrscheinlichkeit für genau 5 Blitztote ist also etwa 8 85 Poi 8 (5) = e 5! = 0.0916. Vergleich mit exakter Rechnung: sehr gute Näherung. 25/52

26/52 Diskrete Poissonverteilung Beispiel: Radioaktiver Zerfall Pro Sekunde misst ein Geigerzähler im Mittel 3 radioaktive Zerfälle. Anzahl X der Zerfälle in einer gegebenen Sekunde ist zufällig. Verteilung von X? Zerlegung in Mikrosekunden: in jeder Mikrosekunde mit Wahrscheinlichkeit 3/1 000 000 ein Zerfall. Seltene Ereignisse, unabhängig nach dem Paradigma der Physik Atome altern nicht. Also ist X Poisson-verteilt mit Parameter 3.

27/52 Poissonverteilung Diskrete Beispiel: Morde in New York In den ersten 320 Tagen des Jahres 2012 wurden in New York City 400 Tote durch Gewaltverbrechen registriert. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass an einem zufälligen Tag exakt k Tote registriert werden? Modellierung: Poissonverteilung mit Parameter λ = 400 = 1.25. Also 320 Speziell ist P[ exakt k Tote ] = e 1.25 1.25k k! P[ kein Toter ] = e 1.25 = 0.287. Die Wahrscheinlichkeit p dafür, dass ein ganzes Jahr lang an jedem Tag mindestens ein Toter registriert wird, ist demnach p = (1 e 1.25 ) 365 = 3.07 10 54..

28/52 Diskrete Hypergeometrische Verteilung Definition In einer Population der Größe N tragen K Individuen ein bestimmtes Merkmal. Nacheinander werden n Individuen (ohne Rücklegen) untersucht. Sei X die Anzahl der Beobachtungen des Merkmals unter diesen n Individuen. Dann ist P[X = k] = Hyp K,N K,n (k) := ( K k )( ) N K n k ( ). N n Hyp K,N K,n heißt hypergeometrische Verteilung mit Parametern K, N K und n.

29/52 Diskrete Hypergeometrische Verteilung Beispiel Wie groß ist beim Skat die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Geber genau drei Asse erhält? N = 32, K = 4, n = 10. Wahrscheinlichkeit ist ( )( ) 4 28 Hyp 4,28,10 (3) = 3 7 ( ) =... = 66 32 899 = 0.0734. 10

30/52 Diskrete Zusammenfassung wichtiger diskreter Wartezeit auf ersten Erfolg: geometrische Verteilung γ p (k) = (1 p) k p, für k = 0, 1, 2,.... Anzahl der Erfolge unabhängiger Versuche: Binomialverteilung ( ) n b n,p (k) = p k (1 p) n k für k = 0,..., n. k Anzahl der Erfolge seltener Ereignisse mit Mittel λ: Poissonverteilung Poi λ (k) = e λ λk, für k = 0, 1, 2,.... k! Anzahl gezogener markierter Objekte (ohne Rücklegen): Hypergeometrische Verteilung ( )( ) K N K Hyp K,N K,n (k) := k n k ( ) N. n

31/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte f (t) = 1 2π e t2 /2, t R, heißt Standardnormalverteilung N 0,1.

Stetige Dichte der Standardnormalverteilung 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 32/52

33/52 mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte Stetige f (t) = 1 2π e t2 /2, t R, heißt Standardnormalverteilung N 0,1. Ist Z standardnormalverteilt, dann ist P[Z x] = Φ(x) := 1 2π x Die Werte der Verteilungsfunktion Φ(x) = P[Z x], x R, e t2 /2 dt. sind tabelliert für x 0. Z.B. im Tabellenwerk, das online steht. Für x < 0 benutzt man Φ(x) = 1 Φ( x).

34/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Sei Z standardnormalverteilt. Satz P[Z x] = Φ(x) = 1 Φ( x). P[Z x] = 1 Φ(x) = Φ( x). P[x 1 Z x 2 ] = Φ(x 2 ) Φ(x 1 ) für x 1 < x 2.

35/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[Z 1.55] = Φ(1.55) =

Tabelle Normalverteilung Φ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0.00.5000.5040.5080.5120.5160.5199.5239.5279.5319.5359 0.10.5398.5438.5478.5517.5557.5596.5636.5675.5714.5753 0.20.5793.5832.5871.5910.5948.5987.6026.6064.6103.6141 0.30.6179.6217.6255.6293.6331.6368.6406.6443.6480.6517 0.40.6554.6591.6628.6664.6700.6736.6772.6808.6844.6879 0.50.6915.6950.6985.7019.7054.7088.7123.7157.7190.7224 0.60.7257.7291.7324.7357.7389.7422.7454.7486.7517.7549 0.70.7580.7611.7642.7673.7704.7734.7764.7794.7823.7852 0.80.7881.7910.7939.7967.7995.8023.8051.8079.8106.8133 0.90.8159.8186.8212.8238.8264.8289.8315.8340.8365.8389 1.00.8413.8438.8461.8485.8508.8531.8554.8577.8599.8621 1.10.8643.8665.8686.8708.8729.8749.8770.8790.8810.8830 1.20.8849.8869.8888.8907.8925.8944.8962.8980.8997.9015 1.30.9032.9049.9066.9082.9099.9115.9131.9147.9162.9177 1.40.9192.9207.9222.9236.9251.9265.9279.9292.9306.9319 1.50.9332.9345.9357.9370.9382.9394.9406.9418.9429.9441 1.60.9452.9463.9474.9485.9495.9505.9515.9525.9535.9545 1.70.9554.9564.9573.9582.9591.9599.9608.9616.9625.9633 1.80.9641.9649.9656.9664.9671.9678.9686.9693.9699.9706 1.90.9713.9719.9726.9732.9738.9744.9750.9756.9762.9767 2.00.9773.9778.9783.9788.9793.9798.9803.9808.9812.9817 2.10.9821.9826.9830.9834.9838.9842.9846.9850.9854.9857 2.20.9861.9865.9868.9871.9875.9878.9881.9884.9887.9890 2.30.9893.9896.9898.9901.9904.9906.9909.9911.9913.9916 2.40.9918.9920.9922.9925.9927.9929.9931.9932.9934.9936 2.50.9938.9940.9941.9943.9945.9946.9948.9949.9951.9952 2.60.9953.9955.9956.9957.9959.9960.9961.9962.9963.9964 2.70.9965.9966.9967.9968.9969.9970.9971.9972.9973.9974

37/52 Stetige Tabelle Normalverteilung Φ x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1.00.8413.8438.8461.8485.8508.8531.8554.8577.8599.8621 1.10.8643.8665.8686.8708.8729.8749.8770.8790.8810.8830 1.20.8849.8869.8888.8907.8925.8944.8962.8980.8997.9015 1.30.9032.9049.9066.9082.9099.9115.9131.9147.9162.9177 1.40.9192.9207.9222.9236.9251.9265.9279.9292.9306.9319 1.50.9332.9345.9357.9370.9382.9394.9406.9418.9429.9441 1.60.9452.9463.9474.9485.9495.9505.9515.9525.9535.9545 1.70.9554.9564.9573.9582.9591.9599.9608.9616.9625.9633 1.80.9641.9649.9656.9664.9671.9678.9686.9693.9699.9706 1.90.9713.9719.9726.9732.9738.9744.9750.9756.9762.9767 2.00.9773.9778.9783.9788.9793.9798.9803.9808.9812.9817 2.10.9821.9826.9830.9834.9838.9842.9846.9850.9854.9857 2.20.9861.9865.9868.9871.9875.9878.9881.9884.9887.9890 2.30.9893.9896.9898.9901.9904.9906.9909.9911.9913.9916 2.40.9918.9920.9922.9925.9927.9929.9931.9932.9934.9936 2.50.9938.9940.9941.9943.9945.9946.9948.9949.9951.9952 2.60.9953.9955.9956.9957.9959.9960.9961.9962.9963.9964 2.70.9965.9966.9967.9968.9969.9970.9971.9972.9973.9974 2.80.9974.9975.9976.9977.9977.9978.9979.9980.9980.9981 2.90.9981.9982.9983.9983.9984.9984.9985.9985.9986.9986 Also: Φ(1.55) = 0.9394.

38/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[Z 1.55] = Φ(1.55) = 0.9394.

Stetige Standardnormalverteilung P[Z 1.55] = 0.9394 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 39/52

40/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[ 1.23 Z 2.04] = Φ(2.04) Φ( 1.23). Φ(2.04) = Φ( 1.23) = 1 Φ(1.23) =

43/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[ 1.23 Z 2.04] = Φ(2.04) Φ( 1.23). Φ(2.04) = 0.9793 Φ( 1.23) = 1 Φ(1.23) = 1 0.8907 = 0.1093. Und damit P[ 1.23 Z 2.04] = 0.9793 0.1093 = 0.87.

Stetige Standardnormalverteilung P[ 1.23 Z 2.04] = 0.87 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 44/52

45/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Beispiel Sei Z standardnormalverteilt. P[Z 2] = 1 Φ(2) = 1 0.9773 = 0.0227.

Stetige Standardnormalverteilung P[Z 2] = 0.0227 0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 4 3 2 1 0 1 2 3 4 1 46/52

47/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Die Verteilung mit Dichte f (x) = 1 2π e x 2 /2, x R, heißt Standardnormalverteilung N 0,1. Ist Z standardnormalverteilt und µ R, σ > 0, so hat X := µ + σz die Dichte f X (x) = 1 2πσ 2 e (x µ)2 /2σ 2. Die Verteilung von X heißt Normalverteilung N µ,σ 2.

Stetige Dichte der Normalverteilung 110 + 4Z 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 94 98 102 106 110 114 118 122 126 4 48/52

49/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Sei X N µ,σ 2. Dann ist X = µ + σz mit Z standardnormalverteilt. Also ist X x µ + σz x Z x µ σ. Satz P[X x] = Φ((x µ)/σ) = 1 Φ( (x µ)/σ). P[X x] = 1 Φ((x µ)/σ) = Φ( (x µ)/σ). P[x 1 X x 2 ] = Φ((x 2 µ)/σ) Φ((x 1 µ)/σ) für x 1 < x 2.

Stetige mit Dichte Normalverteilung Beispiel Die Größe von fünfjährigen Mädchen ist im Mittel 110cm mit einer Standardabweichung von 4cm. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig ausgewähltes Mädchen mindestens 103cm aber höchstens 120cm groß ist? Annahme: Größe ist normalverteilt, also X N µ,σ 2 mit µ = 110 und σ = 4. P[103 X 120] = Φ((120 110)/4) Φ((103 110)/4) = Φ(2.5) Φ( 1.75) = Φ(2.5) 1 + Φ(1.75) = 0.9938 1 + 0.9599 = 0.9537. Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist 95%. 50/52

51/52 Stetige mit Dichte Normalverteilung Beispiel (Fortsetzung) X N µ,σ 2 mit µ = 110 und σ = 4. Alternative Berechnung mit R: P[103 X 120] = P[X 120] P[X 103] = 0.954. > pnorm( q=120, mean=110, sd=4 ) [1] 0.9537312 - pnorm( q=103, mean=110, sd=4 )

Stetige Normalverteilung P[103 110 + 4Z 120] = 0.9537 0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 94 98 102 106 110 114 118 122 126 4 52/52