The Big Bang Theory: Was war am Anfang? Ein Vortrag von Anna Morenz am 09. Januar 2014.
Gliederung 1. Schwierigkeiten des Standardmodells 2. Die inflationäre Expansion als Lösung vieler Rätsel 3. Skalares Feld und Symmetriebrechung 4. Quantenfluktuationen 5. Zusammenfassung 6. Quellen 7. Bilderverzeichnis
1. Die Schwierigkeiten des Standardmodells Das,,Flatness''-Problem Das Horizont-Problem Fehlende Existenz exotischer Teilchen Es gibt keinen Prozess, der die,,keime'' der Anisotropie erklären kann. Die nicht behebbare Singularität zur Zeit t=0 Warum gibt es keine Antimaterie im Kosmos? Woraus besteht die dunkle Materie? Woher kommt die dunkle Energie? 1.1 Das Horizontproblem Nach dem Standardmodell müsste der beobachtbare Kosmos aus vielen Bereichen bestehen, die kausal nicht miteinander verbunden sind. Stattdessen ist er homogen und isotrop in allen seinen Teilen. 1.2. Das,,Flatness''-Problem Warum folgt der Kosmos dem unwahrscheinlichen Fall κ=0, also warum ist die Geometrie euklidisch? 1.3. Die fehlende Existenz exotischer Teilchen Der heiße Anfang des Kosmos sollte auch zur Entstehung massiver exotischer Teilchen beigetragen haben, die aber bisher nicht beobachtet wurden. 1.4. Die,,Keime'' der Anisotropie
Es gibt keinen kausalen Prozess, der die,,keime'' der Anisotropien erklären kann, welche notwendig sind, um die Anisotropien der Hintergrundstrahlung und die heutigen Strukturen des Kosmos zu verstehen. 1.5. Die Singularität zur Zeit t=0 Das Standardmodell hat bei t=0 eine nicht hebbare Singularität. Offensichtlich versagt die Allgemeine Relativitätstheorie als klassische Theorie bei sehr frühen Zeiten (Planckzeit). 2. Die kosmische Inflation Die Idee kam ursprünglich von Alan Guth. Er arbeitete Ende der 70er Jahre als,,postdoctorial Fellow'' an der Cornwell Universität und beschäftigte sich damals als theoretischer Physiker mit den,,grand Unified Theories'' (GUTs). 2.1. GUTs: Die Vereinigung von Wechselwirkungen Die GUTs vereinigen Die elektromagnetische Wechselwirkung mit der Symmetriegruppe U(1) Die schwache Wechselwirkung mit der Symmetriegruppe SU(2) Die starke Wechselwirkung mit der Symmetriegruppe SU(3) miteinander. Sie unterscheiden sich nicht nur in ihrer Stärke und in ihren Reichweiten, sondern auch in der Symmetrie ihrer inneren Freiheitsgrade, wie z.b. Spin, Isospin, Flavor, etc. Diese Symmetrien werden Eichsymmetrien genannt. Man suchte nach einer umfassenden Symmetriegruppe, U(1)*SU(2)*SU(3). Eeine höhere Symmetrie müsste bei Teilchenenergien auftreten, bei welchen die Extrapolation der gemessenen Wechselwirkungsparameter zu einem Wert hin konvergiert.
Wir beobachten heute (Punkt A) kosmische Strahlung (CMB, die aus ganz verschiedenen Regionen des Kosmos kommt, ohne dass sich Unterschiede (bis auf Anisotropien <10-4 ) feststellen lassen. Nach der Abbildung war die Zeit, die seit dem Beginn vergangen ist, zu kurz zum Austausch von Lichtsignalen. Bei den Energien, wie sie möglicherweise unmittelbar nach dem Urknall herrschten, gab es dann nur noch eine umfassende Wechselwirkung (,,grand unification''). Die uns bekannten Wechselwirkungen wären beim Abkühlen durch Brechung der Eichsymmetrien,,auskondensiert''. 2.2. Der Verlauf der Wechselwirkungsparameter
Wir haben eine experimentelle Absicherung bis 100 GeV, der folgende Bereich bis 10 16 GeV heißt die,,wüste''. 2.3. Die magnetischen Monopole A. Guth untersuchte null-dimensionale Störungen, sog. Magnetische Monopole, die als massive Teilchen auftreten sollten. Da bisher noch keine magnetischen Monopole beobachtet werden, muss es einen Mechanismus geben, der ihr Auftreten sehr unwahrscheinlich macht. Möglich: Eine Phase exponentieller Expansion, die die Konzentration der magnetischen Monopole sehr stark verdünnte. a(t) ~ expαt. Voraussetzung: Die,,dunkle Energie'' ist der dominierende Beitrag. Wir erhalten die Gleichung: Ω Λ 1. a(t) wird so stark anwachsen, dass der Krümmungsterm rechts bald vernachlässigt werden kann. Die Lösung ist: Wenn man davon ausgeht, dass Entropie am Anfang sehr klein und von der Größenordnung k B gewesen ist, dann muss die Zunahme des Volumens Gewesen sein, und damit sollte die Zunahme des Skalenparameters
Betragen. Der Ansatz löst das Horizontproblem, da sich der Raum rascher ausbreitet als Lichtsignale, so dass der heute dem Beobachter zugängliche Raum kausal zusammenhängend ist. Der Raum wird euklidisch, ohne dass spezielle Anfangsbedingungen erforderlich sind. Der Beginn der Inflation kann aus E 1 > 10 16 GeV abgeschätzt werden, was auf eine Zeit t 1 < 10-38 s führt. Der Kosmos wurde anfangs von Quantenfluktuationen des Materiefelds beherrscht. Sie sind eine mögliche Ursache für die,,keime'' der Anisotropie. 2.4. Skalares Feld und Symmetriebrechung Ein Urfeld, das die Inflation in Gang gesetzt hat, genannt Inflaton-Feld, sollte unabhängig vom Skalenfaktor a(t), wie auch die dunkle Energie. Am einfachsten geht man von einem skalaren Feld aus, dies hat den Vorteil, besonders einfach zu sein. Wir setzen c=1 und schreiben die Lagrange-Dichte des skalaren Feldes zunächst im Minkowski- Raum wie folgt: Mit Der Variationsansatz führt auf die Euler-Lagrange-Gleichung woraus man erhält: Für das Potential kann man verschiedene Ansätze machen. Der einfachste Ansatz ist
Man erhält so die Klein-Gordon-Gleichung Oder in Fourier-transformierter Form Das Teilchen (Inflaton), welches durch das skalare Feld beschrieben wird, hat die Masse m und es gilt der relativistische Energiesatz: Wobei Fordert man Homogenität, wird ΔΦ=0. Will man Phasenumwandlungen beschreiben, sollte das Potential auch Potenzen höherer Ordnung in Φ enthalten. Ein Beispiel ist das sogenannte Higgs-Potential Mit m² < 0 und λ < 0. Das Potential hat bei Φ=0 ein Maximum Und 2 Minima bei mit
2.5. Verlauf des Higgs-Potentials Wenn das Materiefeld ein Potential wie in der vorherigen Abbildung besitzt, dann kann es vor einem Phasenübergang einen metastabilen Zustand bei Φ=0 einnehmen. Damit gäbe es ein zeitweise konstantes Λ, das aber schnell wieder abklingen muss, da die inflationäre Expansion nur kurze Zeit andauern soll (,,the graceful exit problem''). Für ein skalares Feld im frühen Kosmos gilt für die Lagrange-Dichte Mit der Euler-Lagrange-Gleichung Hier ist. Nach Einsetzen von g μν und Differenzieren erhält man als Bewegungsgleichung des Feldes eine modifizierte Klein-Gordon-Gleichung
Oder Das Glied mit 2 wird im Folgenden weggelassen, als Folge der Homogenität und wegen des Anwachsens von a² im Nenner. Setzt man das Potenial ein, so erhält man die Gleichung einer gedämpften Schwingung Die Schwingung des Feldes wird durch die Expansion des Raumes gedämpft. Das skalare Feld koppelt in der Robertson-Walker-Metrik von selbst an den expandierenden Raum. Man spricht von einer minimalen Kopplung, die nur über die Metrik läuft. Wenn die Dämpfung durch H groß genug ist, bewegt sich das System im aperiodischen Grenzfall, auch,,slow roll down'' genannt. Die zweite Ableitung kann vernachlässigt werden. Nach Wiedereinsetzen von Bleibt folgende Gleichung übrig: Mit dem Energie-Impuls-Tensor T μν ist es möglich, einen Ausdruck zu finden, der anstelle der klassischen Dichte steht. Die Feldtheorie bietet zur Berechnung von T μν aus der Lagrangedichte des Feldes ein Standardverfahren an. Bei Vernachlässigung der Gradientenglieder (Homogenität) und mit c=1 erhält man hieraus Und
Mit der,,slow roll condition'' erhält man aus diese beiden Gleichungen letztendlich Wir suchen zunächst den Zusammenhang von Skalenparameter a und Feld Φ. Mit der Bedingung, dass sich die Energiedichte des skalaren Feldes wie der Λ-Term verhält und der Krümmungsterm sowie etwaige vom Volumen abhängige Felder während der inflationären Epoche schnell genug verschwinden, erhalten wir die Friedmann-Gleichung Mit der,,slow roll condition'' erhalten wir außerdem Und Durch Differenzieren nach der Zeit ergibt sich Danach dividieren wir durch Integrieren über Φ und schreiben links die Hubble-Funktion aus Nach Integration über die Zeit erhalten wir schließlich
Wobei wir für V(Φ) das einfache quadratische Potential von Andrej Lindes,,chaotischer Inflation'' verwendet haben. Wir erhalten Was integriert nach der Zeit Ergibt. Nach Andrej Linde startet das Feld bei etwa (in Planck-Einheiten). Dann sollte Sein, damit die Fluktuationen der CMB die richtige Größe bekommen. Die inflationäre Expansion klingt ab, wenn der Exponent kleiner als 1 wird, also nach einer Zeit von (mit der Planckzeit d.h. Die Inflation endet nach etwa Beim Vergleich der letzten Gleichungen erhalten wir Nach jeweils einer Hubble-Zeit vergrößern sich die Längenmaße um den Faktor e=2,718. Die Zahl der e-entfaltungen während der inflationären Periode ist Der Wert von N hängt wesentlich von der Wahl des Potentials V ab. Mit dem quadratischen Potential wird In anderen Modellen wird N mit mindestens 60 angesetzt, um das Horizontproblem zu lösen.
Die Inflation behebt viele der oben genannten Schwierigkeiten. Sie verlangt eine Epoche beschleunigter Expansion, ä>0, die von der potentiellen Feldenergie angetrieben wird. Weiterhin müssen die,,bedingungen des Abrollens'' erfüllt sein. Wenn es beim Abrollen des skalaren Feldes eine inflationäre Lösung gibt, dann nähern sich alle linearen Störungen dieser Lösung an und zwar mindestens exponentiell. 4. Quantenfluktuationen Der Ereignishorizont ist der geometrische Ort aller Punkte ist, von welchen ein Lichtsignal den Beobachter nicht mehr in endlicher Zeit erreicht. Bei exponentieller Expansion ist der Abstand zum Ereignishorizont endlich und während der Inflation bei schwach veränderlichen H(t) fast stationär. Der Ereignishorizont bildet eine absolute Begrenzung für die Moden des Felds, d.h.. Die Unschärferelation besagt in diesem Fall Es ist deshalb sinnvoll, nach Fluktuationen In der Hintergrundstrahlung zu suchen, die als Quantenfluktuationen beginnen, nach Überqueren des Horizonts stehen geblieben sind und später zu klassischen Störungen anwuchsen. Ihre räumliche Ausdehnung bekommt durch die Inflation makroskopische Größenordnungen. Sie bilden die Keime für die Entstehung von Anisotropien in der CMB und für die inhomogenen Massenverteilungen und später gebildete Strukturen wie Galaxiencluster. 5. Zusammenfassung Die Annahme einer inflationären Epoche löst das Horizontproblem, das Flachheitsproblem, das Fehlen exotischer Teilchen und die Anisotropien der CMB. Die exponentielle Expansion um einen Faktor größer als exp(60) wird durch die Energie eines,,urfelds'' (Inflaton-Feld) ausgelöst.
Die Energie hält sich während der inflationären Epoche auf einem nahezu konstanten Wert, muss aber danach genügend schnell wieder abklingen. Zwischen Materie und Antimaterie muss es eine geringfügige Asymmetrie gegeben haben, die durch Inflation nicht zu erklären ist. Die Keime für die Strukturbildung werden durch Quantenfluktuationen des Inflaton-Feldes gebildet, die durch die Inflation zu makroskopischer Größe aufgebläht werden. Die Singularität bei t=0 kann nur im Rahmen der Quantengravitation behoben werden, die in inflationären Modellen meist nicht diskutiert wird. Das bedeutet, dass man außerhalb der Planckgrößen bleibt. 6. Quellenverzeichnis www.wikipedia.org Skript von Wolfgang Gebhardt, Kapitel 8 Astronomy & Astrophysics manuscript no. Planck 'inflation' driver, December 6/2013: Planck 2013 results. XXII. Constraints on inflation. A.R. Liddle, D. Lyth, Cosmological inflation and large scale structure. Chap. 7.1., 7.2. J.N. Islam, An introduction to mathematical cosmology. Chap. 3.2. 7. Bilderverzeichnis Skript von Wolfgang Gebhardt, Kapitel 8