Warum einfach, wenn es auch schwer geht? Prof. Dr.-Ing. Doris Danziger Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff
Fuzzy Prädikatenlogik Die Prädikatenlogik erweitert die Aussagenlogik mit den Junktoren, und um den Existenzquantor und den Für Alle -Quantor. Dies gestattet Aussagen der Form es gibt ein x mit der Eigenschaft P(x) oder für alle x gilt P(x). Wahrheitswerte τ (truth values) von Aussagen die Quantoren enthalten lassen sich üblicherweise bestimmen als: x: P x = inf x { P x } x : P x = sup x { P x } 2
Fuzzy Relationen Es seien Ω und Ψ zwei Mengen. Das Kreuzprodukt Ω Ψ ist die Menge aller geordneten Tupel (x,y) mit x Ω und y Ψ. Eine fuzzy Relation R(x,y) ist eine Teilmenge R Ω Ψ mit Werten in [0,1], welche die Beziehung zwischen x und y beschreibt. Für diskrete Mengen lässt sich R als fuzzy Matrix schreiben. Relationen lassen sich verketten. Sei Ξ eine weitere Menge und U(y,z) eine Relation auf Ψ Ξ dann gilt für die Relation V = R U mit V(x,z) Ω Ξ: V x, z = sup y R x, y U y, z 3
Bemerkungen: Fuzzy Relationen Bei diskreten Mengen kann die Verkettung durch die Matrizenmultiplikation abgebildet werden. Die Elemente a jk sind Wahrheitswerte. Die Multiplikation wird per AND- und die Addition per OR- Verknüpfung berechnet. Meistens max-min... Der Fuzzy Vergleich ist ein Beispiel für eine Equivalenzrelation R(Ω,Ω). Ähnliche Relationen sind <,, etc. die sich auch fuzzy definieren lassen. Auch der klassische Implikationsoperator (P Q) ist eine Relation aus Prämisse und Konklusion. Relationen sind i.a. nicht kommutativ und das Rechnen mit ihnen ist uns nicht so geläufig... 4
Fuzzy Vergleich als Relation Wie groß ist der Wahrheitsgehalt der Aussage A ist (ungefähr) gleich B, d.h. τ(a B)? Nach dem Zadehschen Erweiterungsprinzip ist dies gleich dem Wert der maximalen Übereinstimmung von A und B. A B = sup x A x B x Der Wahrheitsgehalt von W(A B) ist bei dem Wert x 0 mit der größtmöglichen Übereinstimmung von A und B gegeben, z. B mit dem Min-Operator bei dem größten Wert für den A(x 0 )=B(x 0 ) gilt. 5
Fuzzy Logik Ein Objekt x gehört nicht nur eindeutig zu einer Menge A, sondern kann auch zugleich zu deren Komplement gehören, falls Dies bedeutet in der Fuzzy-Logik gilt kein Satz vom Widerspruch (dies hängt von der T-Norm ab!): A x {0,1} x : A x A x 0 Auch der Satz vom ausgeschlossenem Dritten ist nicht mehr uneingeschränkt gültig: x : A x A x 1 6
Unscharfe Logik Klassische Logik Fuzzy Logik 1.0 1.0 f w 0.5 falsch wahr falsch jein wahr Klassische Logik kennt nur die Werte 0 oder 1. Fuzzy Logik definiert Wahrheitsgehalt als Menge mit einer Zugehörigkeit μ w (x) [0,1] mit μ f = μ w = 1 - μ w Epimenides: μ w = μ f 1 - μ w μ w = 0.5 7
Vergleich Fuzzy Logik & Control Wodrin liegt der wesentliche Unterschied zwischen logischen Aussagen und Fuzzy Reglern? Regler arbeiten meist auf einer Strecke mit scharfen Eingängen und Rückführung der defuzzifizieren Ausgangs. Fuzzy Logik benötigt Algorithmen, die mit Fuzzy Mengen Mehrfachverkettungen ermöglichen, ohne sofortiger Defuzzifizierung und Rückführung. Logik System müssen daher mit unscharfen Fuzzy Mengen und nicht nur auf scharfen Eingangswerten operieren können! 8
Kühlung mit scharfer Regelung Das Beispiel einer Kühlung soll den Vorteil von Fuzzy Regeln erläutern. Häufig sind scharfe Regeln unangemessen: R 1 if (temp<30) then fan off = 0 ma R 2 if (30<=temp<60) then fan low = 50 ma R 3 if (60<=temp<90) then fan high =100 ma R 4 if (temp>120) then fan very high=150ma 9
Scharfe Laptop Kühlung Fan current 150 ma very high 100 ma high 50 ma low AC/DC 0 ma off 30 60 90 120 T / C 59 C low jedoch 61 C high unstetig. Kühlung wird bei 60 mit low-high oszillieren. 10
Regeln mit linguistischen Variablen Die Regeln werden unscharf formuliert: R 1 if very cold then fan off R 2 if cold then fan low R 3 if warm or hot then fan high R 4 if hot then fan very high off, low, high etc. bezeichnen linguistische Variablen, die durch Fuzzy Mengen beschrieben werden. 11
Linguistische Variablen ( T) 1.0 cold warm hot very hot 0.5 off Zuordnung der Temperatur zu den Fuzzy Mengen... 30 60 90 120 T / C Fuzzyfizierung 59 C 61 C 12
Fuzzy Fan Status (I) 1.0 off low high very high 0.5 Dieselben sprunghaften Regeln erlauben unscharf formuliert eine stetige Regelung! off 50 100 150 200 Fan current I/mA Defuzzifizierung 59 C low high = 98 ma 61 C high very =102 ma 13
Truth Value Der Wahrheitswert τ(a) wird in der Fuzzy Logik mit dem Grad an Zugehörigkeit τ(a)(x) = μ A (x) zur Fuzzy Menge A identifiziert. Kleinbuchstaben stehen häufig für den jeweiligen Wahrheitswert. In einer Regel if x P then y Q, wird der Implikationsoperator I(p, q) nur aus den Wahrheitswerten p und q der Prämisse und Implikation für eine gewählte Belegung (x,y) berechnet: P Q = I p, q p:= P x q := Q y 14
Fuzzy Implikation Die Übersetzung der klassischen Implikation in eine Fuzzy Logik ist nicht eineindeutig. Es gibt mehrere Vorschläge für die Implikation P Q: P Q P Q P P Q P Q = max 1 p,q P Q = max 1 p,min p, q klassisch wahr P Q P Q 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 Obige Formeln, sind abgeleitet mit Min-Max als t- und s-norm, auch dies ist frei wählbar! Allgemein wird P Q mit einer Funktion I(p,q) berechnet. 15
Implikationsoperatoren Bereits bei der klassischen Implikation, gibt es verschiedene Definitionen, entsprechend existieren unterschiedliche Varianten des fuzzifizierten Implikationsoperators, z.b. Gödel, Łukasiewicz. P Q = min 1,1 p q Für den Schluss P (P Q), mit approximativer Prämisse P P, soll als Konklusion Q Q erfolgen: Q = P P Q Mamdani ersetzt (P Q) durch min(p,q) und Larsen wählt das Produkt (P Q) = P*Q. Beide sind für P=0 falsch(!) da klassisch I(0,Q)=1. 16
Mamdani Approximation Die Rechtfertigung für die Vereinfachung nach Mamdani/Larsen lautet, in einem Expertensystem wird eine Regel mit τ(p)=0 nicht feuern und der falsche Implikationsoperator trägt nichts zum Ergebniss bei... Hierdurch vereinfacht sich der Ausdruck für die Implikation Q = P P Q auf Grund der Assoziativität von zu: Q P P Q = q Q =: q 17
Der generalisierte Modus Ponens Die klassische Implikation Q = P P Q fuzzyfizierter Version lautet: Q y = sup x Im Fall der vereinfachten Mamdani Implikation mit MinMax Norm ergibt dies: Q y = sup x Q y = min p,q y p = sup x T P x, I P x,q y min P x, P x in min P x, min P x,q y D.h. der Träger von Q bleibt erhalten! 18
Übung Berechnen Sie das Ausgabe Fuzzy Set B zur Regel if A then B, wenn das Eingabedatum A x =A x c gegen A, um eine Konstante c verschoben ist, für die Fälle: Mamdani Implikation mit I(x,y)=T(x,y)= min(x,y). Wie lautet der Algorithmus falls der Wenn-Teil aus einer Konjunktion if A 1 A 2 then B besteht? Larsen Implikation mit I(x,y)=T(x,y)=x*y. Tip: Wählen Sie für A(x) eine Dreiecksfunktion. Machen Sie gegebenenfalls Fallunterscheidungen für Kern/Träger in Abhängigkeit von c. 19
Fuzzy Inferenz Für eine gegebene Fuzzy Regel R: if x is A then y is B mit Fuzzy Mengen A und B, und einer Eingabe A x lautet der verallgemeinerte fuzzy modus ponens B = A A B Die Ausgabe wird berechnet mit Hilfe einer T-Norm und dem Implikationsoperator p q =: I p,q B y = sup x T A x, I A x, B y 20
Fuzzy Regelbasis Eine fuzzy Regelbasis mit n Regeln R j : A j B j j=1,,n wird bestimmt als System von Relationsgleichungen B j =A j R j=1,,n und die Lösung ist gegeben, wenn die Konjunktion n C= j=1 A j Gö B j nicht leer und eine Lösung für jede Regel R j ist. 21
Fuzzy Approximations Zu gegebener (fuzzy) Eingabe A lautet die Lösung n A j Gö B j B = A j=1 Ein Expertensystem führt die Regeln unabhängig aus und eine approximative Obermenge der Lösung ist: n B = j=1 A A j B j B Fuzzy Control erweitert(!) meistens die Lösungsmenge durch eine disjunktive Verknüpfung: n C = j=1 A A j XY B j B Zadeh's compositional rule of inference 22
Offene Fragen Die OR Aggregation der Ergebnisse hat sich in zahlreichen Anwendungen der Fuzzy Control bewährt, meistens mit Mamdani Inferenz... Die Wahl AND oder OR Aggregation zu verwenden hängt vom Anwendungsfall ab: Sind die Regeln unabhängige Aussagen oder sind sie streng gekoppelt? Letzteres ist vermutlich der Fall für Anwendungen von Fuzzy Logic, wo die AND Aggregation erforderlich ist. Zur Illustration dient das fuzzy computer experiment der Lab4Jefis Site... 23
Fuzzy Experiment Wir wollen y = 1 x mit Fuzzy Logik regelbasiert berechnen. Hierzu nehmen wir eine Fuzzy Partition mit drei Mengen und der Regelbasis: Rule Base for y = 1 x R 1 : if x is low than y is high R 2 : if x is med than y is med R 3 : if x is high than y is low 24
Fuzzy Partition Eine natural fuzzy partition ist eine Menge von n eindeutig überlappenden Mengen A j, mit: 0 A j A k x x, j k 1 n 1 A j x x j=1 In unserem Beispiel ist n=3 und die Regeln erfüllen R k : if x is A k then y is A n-k+1 Korrelar: Mindestens n-2 Regeln haben kein Match egal welchen Wert x annimmt. 25
Mamdani sup-min - Inference input value I(p,q)=min(p,q) OR-aggregation: output sets Die Ausgabe passt gut zu y =1- x final result with COG 26
Larsen sup-prod - Inference I(p,q)= p q OR-aggregation: Auch die sup-* Interferenz funktioniert... 27
Łukasiewicz - Inference min(1,1-p+q) OR-aggregation: Falls eine Regel keinen Match hat, so wird die bei Fuzzy Logik die universelle Menge geschlussfolgert. 28
Łukasiewicz - Inference min(1,1-p+q) OR-aggregation: Auch das Aus- Schließen nicht erfüllter Regeln in einer RE hilft nicht... 29
Was ist passiert...? Die Mamdani Min-/Larsen Produkt Implikationen sind keine richtigen Inferenz Operatoren, da sie beide eine (falsche) Implikation liefern: I(0,q) = 0 falls die Premise p Null ist. Genau deshalb sind sie geeignet für die OR Aggregation, da sich eine nicht feuernde Regel nicht bemerkbar macht. Implikationsoperatoren mit I(0,q)=1 werden im Fall einer OR-Aggregation überall eine 1 liefern. Daher ist AND-Aggregation für diese Operatoren die einzig mögliche Wahl... 30
Łukasiewicz - Inference min(1,1-p+q) AND-aggregation: Für logische Implikation ist Aggregation die richtige Wahl. 31
Gougen - Inference min(1,q/p) AND-aggregation: Die Form der Lösungsmenge ändert sich je nach dem ge- Wählten I(p,q)... 32
Gödel - Inference ={ I 1 q p q else AND-aggregation: Gödel bietet die kleinste Lösungsmenge 33
Vorläufiges Resultat Obgleich dies keine mathematisch schwierige und aussagekräftige Demonstration ist, stellt sich die Frage Wie sind regelbasierte Systeme, die logische Entscheidungen treffen, zu entwerfen? Für eine OR-Aggregation von Regeln sind nur die Mamdani- und Larsen Implikationen brauchbar. AND-Aggregation funktioniert am Besten mit I(0,q)=1 Operatoren, selbst wenn Rule-Engines für p=0 nicht feuern. Gibt es noch weitere Möglichkeiten der Inferenz? Die Antwort ist: Ja, aber dies ist abhängig vom gewählten Wahrheitsbegriff! 34