Fuzzy Logic & Control

Transkript

1 Λογος ist..., wenn man trotzdem denkt. Prof. Dr.-Ing. Doris Danziger Prof. Dr. rer. nat. Nikolaus Wulff

2 Agenda Klassische Mengen Regelbasierte Systeme Mehrwertige Logiken und Fuzzy Logik Fuzzy Mengen, Operationen und Implikationen Fuzzy Mengen und Partitionen Fuzzyfizierung und Defuzzifizierung Fuzzy Pattern Matching Fuzzy Image Processing 2

3 Soft-Computing Unter dem Begriff Soft-Computing werden mehrere Teilgebiete der Künstlichen Intelligenz subsummiert: Neuronale Netze Fuzzy-Logik Evolutionäre Algorithmen Schwarm Intelligenz, Ant Colonie... Bayessche Netzwerke => Wahrscheinlickeitstheorie Chaos Theorie Es geht um Relationen/Abbildungen [0,1] n [0,1] m 3

4 Klassische Mengen Klassische Mengen erlauben eine klare Einteilung, ob ein Element x zu der Menge A gehört oder nicht. Es sei die Grundgesamtheit und A eine nichtleere Teilmenge hiervon. Die charakteristische Funktion A (Indikatorfunktion) beschreibt die Zugehörigkeit eines Elements x zur Menge A A : { 0,1 } x A x ={ 1 x A 0 otherwise 4

5 Klassische Operationen Für klassische Mengen sind die Operationen Vereinigung A B, Schnitt A B und die Negation definiert und lassen sich mit Hilfe der Indikatorfunktion darstellen. Vereinigung von A und B A B x =min 1, A x B x Schnitt von A und B A B x = A x B x Negation von A A x =1 A x A A B B 5

6 Boolscher Verband/Algebra Eine nichtleere Menge von Symbolen A, B, C,... versehen mit den Junktoren logisches und logisches oder Negation bildet die Grundlage der Aussagenlogik. Die Symbole A werden nach ihrem Wahrheitsgehalt W(A) aus der Menge W(A) {0,1} bewertet. Mit obigen Verknüpfungen ergibt sich die aus der Informatik- und Elektrotechnikvorlesung bekannte, Boolsche Algebra oder Logik. 6

7 Eigenschaften klassischer Mengen Das Komplement des Universums ist die leere Menge und vice versa: = = Für jede Menge A gilt der Satz vom ausgeschlossenen Dritten ( tertium non datur ) A A= W A A =1 Und der Satz vom Widerspruch A A= W A A =0 7

8 Klassische Logik Klassische Logik kennt 2 2 n-wertige Funktionen über der (Power Set) Menge 2 2 n : {0, 1} n {0, 1}. Beispiele für n=2 sind die AND und OR Operationen, weniger bekannt ist der logische Schluss (Operator). x y x y x y x y n Übung: Wie können alle Funktionen für n=2 dargestellt werden. Welche sind allgemein bekannt? 8

9 Regelbasierte Systeme Regelbasierte Expertensyteme bestehen aus einem Langzeitgedächtnis dem Wissensspeicher und einem Kurzzeitgedächtnis von Fakten/Sätzen. Mit Hilfe von Regeln werden aus den bekannten Fakten der KnowledgeBase (KB) neue Fakten als Konklusionen gewonnen: R k : if P k then Q k gegeben P k KB dann KB.insert(Q k ) Hierbei lassen sich die gewonnen Konklusionen als neue Eingaben in weiteren Regeln verwenden. 9

10 Vorwärtsverkettung Liste conclude(liste p={p α,...,p ζ }) { KB.insert(p); conq = {} do { temp = {} for all R k : P k =>Q k in KB { if R k (P k ) is true and new temp.insert(q k ) } conq.insert(temp); KB.insert(temp); } while(temp!= empty) return conq; } Eingabe ein Liste von Fakten. Leer Liste von Konklusionen. Auffüllen der Konklusionsliste Pseudo-Algorithmus der Vorwärtsverkettung. Es werden so lange neue Fakten zur KB hinzugefügt, bis keine weitere Regeln mehr feuern. 10

11 Modus Ponens Die klassische Logik kennt mehre Regeln des logischen Schließens, einer der wichtigsten ist der sogenannte Modus ponendo ponens. Folgt aus der Prämisse P die Konklusion Q und sei P als wahr bekannt, so wird auf Q geschlossen. formal P Q Q P regelbasiert R: if P then Q gegeben P KB dann KB.insert(Q) 11

12 Modus Tollens Die Verneinung des Modus ponens führt zum Widerspruch Modus tollendo tollens. Gilt die vorhergehende Regel R des Modus ponens, jedoch die Ableitung Q ist nicht wahr, so kann auch die Voraussetzung P nicht wahr sein. formal regelbasiert P Q Q P R: if P then Q gegeben Q KB dann KB.insert(!P) Merke: fehlende Fakten feuern nicht! 12

13 Kontraposition Äquivalent zur vorhergehenden Aussage R ist der Umkehrschluss, die Kontraposition der Implikation. Wenn Q nicht gilt, so kann auch P nicht gültig sein. Die Rollen von Prämisse und Konklusion werden also nach vorhergehender Negation vertauscht. formal regelbasiert Q P Q P R: if!q then!p gegeben!q KB dann KB.insert(!P) 13

14 Und Elemenierung Eine weitere praktische boolsche Inferenzregel ist die Und-Elemenierung. Aus einer wahren Konjunktion P 1 P 2 kann auf jedes der Konjunkte geschlossen werden: formal P 1 P 2 sowie P 1 P 2 P 1 P 2 14

15 Aussagenlogik Mit Hilfe der Aussagenlogik kann zu einer Menge von logischen Formeln F die Lösungsmenge α an möglichen Wahrheitswerten ermittelt werden. Ist α zu F passend, d. h. α(f)=1 so heißt α ein Modell für F, geschrieben als α F. Ist die Menge der Prämissen klein, so kann dieses Modell übersichtlich mit Hilfe einer Wahrheitstafel ermittelt werden. Andernfalls muss durch geeignete Transformationen systematisch eine Lösungsmenge ermittelt werden. Eine Menge F von logischen Formeln heißt erfüllbar wenn mindestens ein Modell existiert. 15

16 Philosophisches 1. Platon hatte Recht mit seiner Einschätzung des Sokrates genau dann, wenn Sokrates kein großer Philosoph war. 2. Wenn Sokrates ein großer Philosoph war, dann hatte Aristoteles Recht mit seiner Einschätzung des Platon. 3. Aristoteles hatte nur dann Recht mit seiner Einschätzung des Platon, falls Platon Recht hatte mit seiner Einschätzung des Sokrates. Übung: Existiert ein lösendes Modell α? 16

17 Lösungsansatz R 1 P S P S R 2 S A S A R 3 A P A P F P S S A A P Sowohl mit einer Wahrheitstabelle als auch mit Hilfe von elementaren Umformungen in eine disjunktive Normalform (DNF) lässt sich zeigen, dass gilt... 17

18 Algorithmus für eine DNF 1) Eliminiere und durch ihre Definition. 2) Ersetze jede Teilformel G durch G. 3) Ersetze jede Form (G H) durch G H. 4) Ersetze jede Form (G H) durch G H. 5) Entstehen Ausdrücke der Form K wende 2) an. 6) Wiederhole 3) -5) so oft wie möglich. 7) Ersetze jede Formel der Form G (H I) durch (G H) (G I). 8) Ersetze jede Formel der Form (G H) I durch (G I) (H I). 9) Wiederhole 7) und 8) so oft wie möglich. 18

19 Klassischer Zusammenbruch Die klassiche Logik gerät schnell in Konflikte mit Aussagen wie der des Epimenides: Dieser Satz ist falsch, sagt der notorische Lügner. Ist der Satz wahr, hat er nicht gelogen. Hat er jedoch gelogen, so ist der Satz wahr... Bob der Friseur rasiert genau die Männer, die sich nicht selbst rasieren. Wer rasiert Bob? Dieser Satz ist falsch. All dies sind Beispiele des Gödel Dilemmas. 19

20 Dreiwertige Logik Łukasiewicz dreiwertige L 3 -Logik gilt als Prototyp. Neben 0 und 1 für wahr und falsch gibt es noch den Wert ½ für unbestimmt = unbekannt = indifferent. AND 0 ½ 1 OR 0 ½ ½ 1 ½ 0 ½ ½ ½ ½ ½ ½ Lösungsidee: Die Belegung für 0 und 1 soll die klassische Logik widerspiegeln. 20

21 Mehrwertige Logik Die Idee drei auf n Wahrheitswerte zu L n auszudehnen ist eine nahe liegende Verallgemeinerung. Vollkommen analog erhalten wir dann rationale Wahrheitswerte der Form {0,½,1}, {0,⅓, ⅔,1},... {0, 1/(n-1),,(n-2)/(n-1),1} aus dem Interval [0,1]. Erste Arbeiten hierzu gab es 1922 mit L ℵ für die rationalen Zahlen und mit L für alle reellen Zahlen aus dem Einheitsintervall. Ähnliche Wahrheitswerte sind auch in den Gödel Logiken G k und G zu finden. Die Definition der logischen Operatoren unterscheidet sich... 21

22 Natürliche Anforderungen Mehrwertige Logiken dürfen für die Belegungen 0 und 1 nicht im Widerspruch zur Boolschen Logik stehen. Die AND und OR Operatoren sollen vernünftigen algebraischen Anforderungen genügen. Monotonie, Kommutativität und Assoziativität. De Morgans Gesetze soll gelten. Der Wahrheitsgehalt p=w(p) der Prämisse darf nicht höher sein, als der Wahrheitgehalt der Konklusion q=w(q), d.h. p q und je wahrer die Prämisse, desto wahrer die Konklusion. 22

23 Implikationsoperatoren Der Implikationsoperator einer Regel P Q ist eine zweiwertige Funktion I:[0,1] [0,1] [0,1]. Seien p und q die Wahrheitswerte von P und Q so sind folgende Eigenschaften gewünscht: I 0, q = 1 I 1,q = q I p, p = 1 I p, q q I p, q = 1 p q Der Wahrheitsgehalt der Konklusion ergibt sich aus der Verkettung von Prämisse und Implikation. 23

24 Gödel und Łukasiewicz Logik Konjunktion (AND): Disjunktion (OR): Unterschiedlich sind Negation und Implikation. Negation: Gö x:= { 1 x=0 0 else x y :=min x, y x y :=max x, y Luka x := 1 x Implikation: { p Gö q := 1 q p q else p Luka q := min 1,1 p q 24

25 Implikationen Die Łukasiewicz und Gödel Implikation führen zur unterschiedlichen Lösungsmengen. Beispiel Implikationen für L 4 und G 4. Luka p q 0 ⅓ ⅔ 1 Gödel p q 0 ⅓ ⅔ ⅓ ⅔ ⅓ ⅔ ⅓ ⅔ 1 1 ⅔ 0 ⅓ ⅓ ⅔ ⅓ ⅔ 1 25

26 Übungen Wie verhalten sich die Gödel und Łukasiewicz Logiken für Werte x,y {0,1}? Wie verhält sich die doppelte Negation ( x) in den beiden Systemen? Gilt Tertium non datur und Satz vom Widerspruch? W x x =0 W x x =1 Gelten die klassische Implikationsbeziehungen p q p q p q für p,q {0,1} und p,q ]0,1[, d. h. auf [0,1]? 26