Juni 015 Aufgabe 1 Flächenanteile (4) Die Strecke DB ist Diagonale im Rechteck ABCD. Der Punkt M ist Mittelpunkt der Strecke AD und der Punkt N Mittelpunkt der Strecke AB. a) Die Strecken MN, MC und NC sowie die Diagonale DB zerlegen das Rechteck in sieben Teilflächen. Gib für jede Teilfläche ihren Anteil an der Gesamtfläche des Rechtecks exakt als Bruch an und begründe die angegebenen Werte. b) Zeige Zerlegt man die trapezförmige Teilfläche MNSR in vier Teildreiecke und fügt diese den Nachbardreiecken hinzu, dann besitzen jeweils zwei der sechs Teilflächen den gleichen Inhalt. D M A D M A R R X N N S S C B C B
MA-THEMA Juni 015 Aufgabe Die Potenzen von 13 als Quadratsumme 13 = 3 + 13 = 1 + 5 3 13 = 39 + 6 = 46 + 9 4 13 = 156 + 65 = 119 + 10 5 13 = 507 + 338 = 597 + 1 = 598 + 117 a) Zeige, dass die Gleichungen erfüllt sind (dass die Rechnungen stimmen). b) Gib eine entsprechende Gleichung für 6 13 an und zeige, dass sie erfüllt ist. c) 6 7 Gib alle Gleichungen für 13 sowie für 13 an. Beschreibe, in welcher Weise die Anzahl der Darstellungen als Summe aus zwei Quadraten mit steigender Hochzahl zunimmt. d) Untersuche, ob außer 13 auch noch andere Zahlen für eine ähnliche Darstellung ihrer Potenzen als Summe aus zwei Quadraten in Frage kommen.
MA-THEMA Juni 015 3 Aufgabe 3 pythagoreische Trapeze d d c c b a b a Die linke Abbildung illustriert den wohl bekanntesten Satz der Mathematik, den Satz des Pythagoras. In der rechten Abbildung müssen die kleineren Quadrate offensichtlich noch etwas vergrößert werden, damit dort gilt a = b + c + d. Dabei sollen a, b, c und d für die Seitenlängen des Trapezes stehen. a) Zeichne mit einem dynamische Geometriesystem wie GeoGebra ein Trapez. Konstruiere Quadrate über den Seiten und bestimme ihren Flächeninhalt durch Messung. Verändere das Trapez so, dass die Summe der Flächeninhalte der Quadrate über den drei kürzeren Seiten so groß ist wie der Flächeninhalt des über der längsten Seite errichteten Quadrats. Gib die Abmessungen eines solchen Trapezes an. b) Die Seitenlängen in der linken Abbildung bilden das pythagoreische Tripel ( 5 ; 1 ; 13 ), für das die Gleichung 5 + 1 = 13 gilt. Untersuche, ob es Trapeze gibt, deren Seitenlängen pythagoreische Quadrupel bilden, also vier natürliche Zahlen a, b, c und d, für die gilt a = b + c + d. c) In der linken Abbildung ist das Dreieck rechtwinklig. Gib eine Konstruktion für ein Trapez an, das einen rechten Winkel enthält und in dem die Gleichung a = b + c + d erfüllt ist, wobei a, b, c und d reelle Zahlen sind. Begründe, dass eine solche Konstruktion immer ausgeführt werden kann. Untersuche, ob es rechtwinklige Trapeze gibt, deren Seitenlängen pythagoreische Quadrupel bilden.
MA-THEMA Juni 015 4 Arbeitsmaterial Liste pythagoreischer Quadrupel und pythagoreischer Tripel b c d a b c d a x y z x y z 1 3 14 1 1 4 3 5 84 13 85 4 4 6 18 1 4 8 6 10 80 39 89 6 3 7 18 13 6 3 1 5 13 7 65 97 6 6 3 9 18 14 3 3 1 9 15 0 99 101 7 4 4 9 6 3 3 8 15 17 60 91 109 8 4 1 9 16 16 8 4 15 8 17 11 15 113 7 6 6 11 16 15 1 5 16 1 0 108 45 117 9 6 11 0 1 9 5 0 15 5 44 117 15 8 8 4 1 4 8 6 6 4 7 5 100 75 15 1 4 3 13 18 18 9 7 4 10 6 88 105 137 1 6 4 14 1 1 1 7 0 1 9 4 143 145 10 10 5 15 14 7 7 1 0 9 144 17 145 11 10 15 3 10 10 7 4 18 30 140 51 149 14 5 15 3 14 7 1 35 37 7 135 153 1 9 8 17 4 1 3 7 35 1 37 13 85 157 1 1 1 17 5 10 7 3 4 40 10 119 169 1 1 6 18 6 7 7 40 9 41 5 165 173 14 8 8 18 4 1 8 8 36 7 45 180 19 181 16 8 18 1 16 1 9 40 30 50 104 153 185 15 10 6 19 4 1 11 9 8 45 53 176 57 185 17 6 6 19 4 16 3 9 44 33 55 168 95 193 18 6 1 19 0 0 10 30 48 36 60 8 195 197 14 14 7 1 0 4 30 60 11 61 84 187 05 16 11 8 1 8 10 4 30 16 63 65 156 133 05 16 13 4 1 5 39 65 140 171 1 18 9 6 1 56 33 65 0 1 1 19 8 4 1 48 55 73 16 63 5 0 5 4 1 36 77 85 60 1 9
MA-THEMA Juni 015 5 Aufgabe 4 Klammern setzen Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Aber wie ist die Priorität in dem Term 79 793 geregelt? Wenn mehrere Rechenzeichen gleicher Priorität aufeinander folgen, liest man von links nach rechts. Das kann durch Klammern verdeutlicht werden, indem man schreibt (( 79 7) 9) 3. Für die Anzahlbestimmung verschiedener Klammersetzungen sollen in dieser Aufgabe stets alle Klammern gesetzt werden, also auch solche, die durch vereinbarte Rechenregeln als überflüssig gelten. a) Berechne den Wert des Terms (( 7) 9) 3 anders, z.b. ( 7 ( 93) ) 79. Setze nun die Klammern 79 und berechne den Wert des veränderten Terms. Bestimme alle unterschiedlichen Möglichkeiten, den Term 79 79 3 durch Klammern zu verändern und gib jeweils den Wert an. Tipp Wenn die Struktur der Terme mit unterschiedlichen Klammersetzungen durch Rechenbäume dargestellt wird, ist das Abzählschema überschaubarer. 79 7 9 3 79 7 9 3 ArithmeticFertilizer L1 K 5 viel hilft viel b) In a) haben zwei Terme trotz unterschiedlicher Klammersetzung den gleichen Wert. Erkläre, warum das so ist. Ersetze alle Divisionszeichen durch Minuszeichen und untersuche, ob es ebenfalls unterschiedlich geklammerte Terme gibt, die den gleichen Wert haben. Ändere nun nur das erste Rechenzeichen Bestimme zum Vergleich alle unterschiedlichen Möglichkeiten, den Term 79 793 durch Klammern zu verändern und gib jeweils den Wert an. c) Bestimme alle unterschiedlichen Möglichkeiten, den Term 4096 64 8 4 durch Klammern zu verändern und gib jeweils den Wert an. d) In einem dreigliedrigen Term gibt es genau zwei Möglichkeiten, Klammern zu. In a) und c) hast für viergliedrige Terme und für fünfgliedrige Terme die Anzahl unterschiedlicher Klammersetzungen bestimmt. Untersuche nun systematisch die Anzahl unterschiedlicher Klammersetzungen für Terme mit 6 und mehr Zahlen. Formuliere eine Regel. setzen, nämlich ( a b) c und a ( b c)