Die Aufgaben der folgenden Probeklausur sind auf den Inhalt der Vorlesung bis zum 16. 1. 2015 beschränkt. Die Aufgaben der Klausuren werden den Inhalt der gesamten Vorlesung abdecken. Was sie für die Klausur brauchen: nicht radierbarer Stift, z.b. Kugelschreiber amtlicher Ausweis mit Lichtbild, Studierendenausweis Alle aus der Vorlesung und den Übungen bekannten Tatsachen dürfen zur Lösung der Klausuraufgaben verwendet werden. Die von Ihnen angegebenen Begründungen müssen aber nachvollziehbar sein. Schreiben Sie also jeweils kurz, welche Aussage Sie gerade verwenden (z.b. weil E 2,3,7 diffeomorph zu S 2 ist oder denn für jede orientierungserhaltende Bewegung Φ gilt τ Φ c = τ c ).
Geometrie für Lehramt Gymnasium: Einführung in die Differentialgeometrie Probeklausur, 16. 1. 2015 Bearbeitungszeit: 150 Minuten Die Klausur besteht aus 10 Aufgaben. Jede Aufgabe zählt 10 Punkte. Wer mindestens 50 Punkte erreicht, hat die Klausur bestanden. Jede Aufgabe steht auf einem eigenen Blatt. Bearbeiten Sie bitte die Aufgabe auf der Vorder- und Rückseite dieses Blattes. Falls dieser Platz zur Bearbeitung einer Aufgabe nicht ausreicht, benutzen Sie bitte die leeren Blätter am Ende der Klausur. Schreiben Sie dabei deutlich dazu, auf welche Aufgabe sich Ihre Lösung bezieht. Falls auch dieser Platz nicht ausreicht, melden Sie sich bitte bei der Aufsicht, die dann weitere Blätter an Sie ausgibt. Schreiben Sie Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer auf jedes dieser Blätter. Jedes ausgegebene Blatt ist am Ende mit der Klausur abzugeben, auch wenn es nicht benutzt wurde. Außer dem Klausurbogen und von der Aufsicht ausgegebenen Blättern darf kein Papier oder sonstiges Material beschrieben werden. Erlaubte Hilfsmittel: Bleistift, Radiergummi, Lineal, Geodreieck Mitschrift und/oder Skript der Vorlesung Übungsaufgaben zur Vorlesung eigene Lösungen und/oder Musterlösungen zu diesen Aufgaben Andere Hilfsmittel sind nicht erlaubt. Dazu gehören insbesondere Taschenrechner, Bücher, sonstige gedruckte oder handgeschriebene Informationen außer den oben ausdrücklich erlaubten, leeres Papier. Gewertet werden nur Lösungen, die mit einem nicht radierbaren Stift (z.b. Kugelschreiber) in schwarzer oder blauer Farbe geschrieben bzw. gezeichnet sind. Bleistifthilfslinien in Ihrer Zeichnung gehen nicht in die Wertung ein. Alle Kommunikationsgeräte, z.b. Mobiltelefone, sind auszuschalten und in einer Tasche zu verstauen, die Sie geschlossen auf den Boden neben Ihrem Platz stellen. Füllen Sie vor Beginn der Klausur die erste der beiden Erklärungen auf der Rückseite dieses Blattes aus. Viel Erfolg!
Vor Klausurbeginn ausfüllen und unterschreiben: Ich habe zur Kenntnis genommen, dass die Fakultät für Mathematik diese Klausur bis zum 31. 3. 2017 aufbewahrt. Nach diesem Zeitpunkt wird die Klausur vernichtet. Datum Unterschrift Bitte hier nichts eintragen! Aufgabe 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Σ Note Punkte Nach der Klausureinsicht ausfüllen und unterschreiben: Hiermit bestätige ich die Einsicht in meine vollständige Klausur. Ich erkenne das Ergebnis und die Note an. Datum Unterschrift
Aufgabe 1. Zeichnen Sie die Spur des Weges c : [ 2π,2π] R 2, der durch c(t) := 1 2 ( ) t sin(t) t + sin(t) definiert ist, in das Koordinatensystem unten auf dieser Seite ein. (Für die volle Punktzahl ist nur die korrekte Zeichnung nötig. Wenn Sie aber die Ihrer Zeichnung zugrunde liegenden Überlegungen kurz dokumentieren, können Sie auch für eine falsche Zeichnung noch Punkte erhalten.) 5 4 3 2 1 4 3 2 1 1 2 3 4 1 2 3 4 1
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Aufgabe 2. Berechnen Sie die Krümmung und die Torsion des Weges c : [1,2] R 3, der durch definiert ist. c(t) := 1 2 t 2 t 8 3 t 3/2 3
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Aufgabe 3. Geben Sie für jede der folgenden fünf Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Antwort jeweils kurz. (Jede der fünf Antworten lässt sich in ein bis drei Sätzen begründen. Eine richtige Antwort ohne Begründung oder mit völlig falscher Begründung gibt keinen Punkt.) (a) Der durch c(t) := 1 t 4 e t arctan(t) t 5 definierte Weg c : [0,3] R 4 hat unendliche Länge. (b) Der Graph der durch f (x, y) := y 3 e x 23y + sin(x y) + 1 definierten Abbildung f : R 2 R ist zusammenhängend. (c) Es gibt eine geschlossene Kurve γ in R 2 mit einfacher Länge L e (γ) = 1, sodass R 2 \Spur(γ) eine Wegzusammenhangskomponente besitzt, deren zweidimensionales Lebesgue-Maß größer als 5π ist. (d) Es gibt keinen wendepunktfreien Weg c : R R 3 mit b c (0) + n c (0) = 0. (Hierbei bezeichnen n c,b c das Normalen- bzw. das Binormalenfeld von c.) (e) Für jeden periodischen regulären Weg c : R R 3 mit negativer Krümmung ist die von c repräsentierte Kurve [c] einfach geschlossen. 5
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Aufgabe 4. Der durch c(t) := ( ) cos(t) sin(2t) definierte Weg c : R R 2 ist regulär und periodisch mit Periode 2π (das müssen Sie nicht beweisen). Seine Spur sieht folgendermaßen aus (auch das müssen Sie nicht überprüfen): Berechnen Sie die Umlaufzahl der von c repräsentierten orientierten geschlossenen Kurve [c]. 7
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Aufgabe 5. Betrachten Sie die Funktion f : R R und den Weg c : R R 2, die durch definiert sind. Beweisen Sie: c ist regulär. f (t) := e sin(t)+sin(sin(t)), c(t) := c ist periodisch mit Periode 2π. c hat mindestens vier Scheitel. ( ) f (t)cos(t) f (t)sin(t) 9
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Aufgabe 6. Geben Sie für jede der folgenden fünf Aussagen an, ob sie wahr oder falsch ist, und begründen Sie Ihre Antwort jeweils kurz. (Jede der fünf Antworten lässt sich in ein bis drei Sätzen begründen. Eine richtige Antwort ohne Begründung oder mit völlig falscher Begründung gibt keinen Punkt.) (a) Jeder Graph einer glatten Abbildung R 2 R ist diffeomorph zu R 2. (b) R 2 {0,1} ist eine Fläche in R 3. (c) 17 ist ein kritischer Wert der Abbildung f : R 2 R mit f (x, y) := (x + 1) 2 + 17. (d) Jede Immersion R 2 R 3 ist injektiv. (e) Jede Submersion R 2 R 3 ist surjektiv. 11
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Aufgabe 7. Beweisen Sie, dass x ) 2 S := y R (2 3 4x z 2 + y 2 + z 2 + 2z = 0 eine Fläche ist. Zeigen Sie, dass S diffeomorph zu S 1 S 1 ist. 13
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Aufgabe 8. S sei eine k-dimensionale Untermannigfaltigkeit von R n. Beweisen Sie, dass alle Vektorfelder X, Y, Z auf S die folgenden Gleichungen erfüllen: S X Y S Y X = [X,Y ], d ( g S (Y, Z ) ) (X ) = g S( S X Y, Z ) + g S( Y, S X Z ). 15
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Aufgabe 9. S sei der Graph der Abbildung f : R 2 R mit f (x, y) = x y. Wir betrachten die globale Parametrisierung (R 2,F, R 3 ) von S, für die F : R 2 R 3 durch F (x, y) = ( x, y, f (x, y) ) gegeben ist. Berechnen Sie alle Christoffel-Symbole von S bezüglich dieser Parametrisierung. 17
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Aufgabe 10. Es seien R,r R >0 mit R > r. Für α R sei f α : R 3 R 3 durch x cos(α)x sin(α)y y sin(α)x + cos(α)y z z definiert. Zeigen Sie, dass die Einschränkung ϕ α von f α auf den Torus T R,r eine Isometrie T R,r T R,r ist. Geben Sie mit Beweis eine Isometrie ϕ: T R,r T R,r an, zu der kein α R mit ϕ = ϕ α existiert. 19
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Platz für weitere Lösungen. Falls Sie hier etwas schreiben, geben Sie an, zu welcher Aufgabe es gehört! 21
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Platz für weitere Lösungen. Falls Sie hier etwas schreiben, geben Sie an, zu welcher Aufgabe es gehört! 23
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