Vrwndung knmatschr Kttn b dr Gnrrung on Fnt-Elmnt-Modlln Martn Wbhofr Vorlgnd Arbt stllt n am Lhrstuhl für Fördrtchnk Matralfluss Logstk dr chnschn Unrstät Münchn ntwcklt Modllrungsmthod or, d n Abbldung on Fnt-Elmnt- Modlln als knmatsch Strukturn rmöglcht. Dab bstht das Gsamtmodll aus nr Rh nzlnr FE-lmodll, d durch Glnk mtnandr rbundn snd. Durch das Vrändrn wngr Paramtr kann d räumlch Anordnung dr lmodll zunandr rändrt wrdn. Somt lassn sch d untrschdlchn trbszuständ dr raln Maschn durch n nzgs Modll abbldn, wodurch dr Aufwand für d Modllrung, rchnung und Auswrtung drartgr Systm rhblch rduzrt wrdn kann. Problmstllung und Zlstzung D Modllrung, rchnung und Auswrtung on Fnt-Elmnt- Strukturn, d j nach trbszustand untrschdlch räumlch Ausprägungn habn, st mt dn konntonlln Modllrungsmthodn mt nm hohn Zt- und Kostnaufwand rbundn. Am spl dr Gttrmast-Fahrzugkranbrchnung lässt sch dsr Sachrhalt shr gut zgn. Fahrzugkran mt Gttrmastauslgrn wrdn für nn brtn rch bzüglch Hubhöh, Ausladung und Hublast ngstzt. Lang Haupt- und Hlfsauslgr rlaubn Hubaufgabn übr hoh auwrk hnwg. D größtn Lastmomnt rrcht n Fahrzugkran mt kurzm Hauptauslgr, Abspannmast und nm großn Suprlft-Ggngwcht (gl. Abbldung ). Um dsn, on dr jwlgn Hubaufgab abhänggn, untrschdlchn Anfordrungn Rchnung zu tragn, st n drartgr Kran nach dm aukastnprnzp konzprt. Dr Autor st wssnschaftlchr Mtarbtr m Arbtsgbt Kranbau am Lhrstuhl für Fördrtchnk Matralfluss Logstk dr chnschn Unrstät Münchn. Zu snn Aufgabn zählt d Entwcklung on Mthodn zur ffzntn FE-rchnung on Fahrzugkrann.
groß Hubhöh groß Hublast Abbldung : Hubaufgabn mt untrschdlchn Anfordrungn Dss bstht, nbn Obr- und Untrwagn, aus nr bgrnztn Zahl on Gttrmastbautln für das Auslgrsystm. Entsprchnd dr Varatonsmöglchktn dr nzlnn Auslgrtypn lässt sch daraus n Vlzahl untrschdlchr Ausrüstungsarantn zusammnstlln. Abbldung zgt dr spl on durchschnttlch rzg Kombnatonsmöglchktn ns Gräts [Döm-95]. Jd Ausrüstungsarant kann zudm n rschdnn Auslgrlängn (Rüstzuständ) aufgbaut wrdn. Alln durch d untrschdlchn Längn könnn sch für n Ausrüstungsarant brts bs zu sbzg rschdn Rüstzuständ rgbn. Ncht jd Ausrüstungsarant kann n so ln rschdnn Kombnatonn aufgbaut wrdn, jdoch rgbn sch für nn Gttrmast-Fahrzugkran oft bs zu fünfhundrt rschdn Rüstzuständ. Entsprchnd dr Hubaufgab und dn äußrn Ggbnhtn stllt dr Kranbtrbr das Auslgrsystm zusammn. Als wchtgsts Hlfsmttl für d rchtg Auswahl ds Rüstzustands sthn d raglasttablln zur Vrfügung.
Nur Hauptauslgr Hauptauslgr mt Suprlft Haupt- und Hlfsauslgr mt Suprlft Abbldung : Ausrüstungsarantn ns Gttrmast-Fahrzugkrans En raglasttabll nthält n tabllarschr Form n raglastkur, d für jdn Rüstzustand (Ausrüstungsarant n nr bstmmtn Ausbauläng) d maxmal Hublast n Abhänggkt dr Auslgrstllung (Ausladung) bschrbt. D Erstllung dr raglastkurn ghört nbn dr Optmrung dr maxmaln ragfähgkt zu dn Hauptaufgabn b dr rchnung ns Fahrzugkrans. Dab st hut dr Ensatz dr Fnt-Elmnt-Mthod (FEM) Stand dr chnk. S rmöglcht, b dr Konzprung dsr Grät n optmal Lösung für das Vrhältns on raglast zum Egngwcht zu fndn. Auch wnn n dr Praxs ncht jd dnkbar Stllung ds Systms brchnt wrd, st für jdn Rüstzustand n Mndstanzahl an
raglastpunktn zu rmttln. En nzlnr raglastpunkt gbt für n dfnrt Auslgrstllung d maxmal Hublast an, für d all gfordrtn Nachws nach dn gültgn Normn rfüllt snd. All Nachws snd für n Rh rschdnr Lastfäll zu führn. Ds rfassn spzll anspruchungn, bsondr trbswsn sow äußr Ggbnhtn währnd ds Ensatzs on Fahrzugkrann. Zusätzlch snd b dr stmmung on raglastpunktn noch wtr Paramtr zu brückschtgn. Ds snd zum spl dr maxmal zulässg odndruck ds Raupnfahrwrks odr d maxmal übrtragbar Kraft dr Rollndrhrbndung. D Anzahl dr durchzuführndn rchnungn rgbt sch aus dr Vlfalt möglchr Rüstzuständ, dr rschdnn Auslgrstllungn, dr notwndgn raglastpunkt nr raglastkur und schlßlch aus dr Nachrchnung allr Lastfäll nach Norm. Mhrr Hundrttausnd Rchnläuf snd dshalb b Fahrzugkrann kn Sltnht. Da Gttrmast-Fahrzugkran nur n klnn Stückzahln und häufg nach spzlln Kundnwünschn gfrtgt wrdn, rursachn d Konstrukton und d rchnung b dr Auftragsabwcklung nn hohn Zt- und Kostnaufwand. Da dr prnzpll Ablauf nr FE-rchnung für jdn Rüstzustand, Stllung und Lastfall dntsch st, also algorthmschn Charaktr hat, btt sch aufgrund dr großn Anzahl dr notwndgn rchnungn n Automatsrung dr Abläuf an. Dab kommt s n bsondrm Maß auf n automatsrbar Modllgnrrung an. Dr hr orgstlltn Modllrungsmthod lgt d Abbldung on Fnt-Elmnt-Modlln als knmatsch Strukturn zugrund. Dab wrd das Gsamtmodll aus nr Rh nzlnr FE-lmodll aufgbaut, d durch Glnk mtnandr rbundn snd. Ds Glnkrbndungn lassn sch n Form knmatschr ndungn mathmatsch formulrn und schränkn somt d wgungsmöglchkt dr nzlnn Gldr zunandr n. Das Gsamtmodll wrd dmzufolg durch n knmatsch Ktt bschrbn, n dr sch d räumlch Anordnung dr FE-lmodll zunandr, ngschränkt durch nn Satz on knmatschn ndungn, n Poston und Orntrung rändrn kann. D untrschdlchn Stllungn ds Systms könnn mt Hlf ns nzgn Modlls durch das Vrändrn wngr Paramtr shr nfach und zurlässg rzugt wrdn. Ds Egnschaft st für d Automatsrung dr rchnung drartgr Systm on außrordntlchr dutung. Aufbaund auf dn hr bschrbnn thortschn Grundlagn wurd das Programmsystm VsualNODYA (gl. [Gün-4]) ntwcklt, das n 4
on dr Modllrung bs hn zur Auswrtung durchgängg rchnung on Fnt-Elmnt-Modlln mt rändrlchr räumlchr Ausprägung rmöglcht. dr Anwndung on VsualNODYA n rschdnn rchnungsprojkt konnt gzgt wrdn, dass mt dr hr orgstlltn Modllrungsmthod d Effkttät ds rchnungsrfahrns gstgrt und damt rbundn d Entwcklungszt rkürzt wrdn kann. Knmatsch Kttn Maschnn bsthn n dr Rgl aus nr Rh nzlnr lkörpr (augruppn, autl), d durch Lagrungn, Führungn, Vrbolzung tc. so mtnandr gkopplt snd, dass d zur Erfüllung dr Funkton dr Maschn n Vrbndung sthndn wgungn und Kraftübrtragungn bstmöglch rrcht wrdn. Um ds Wchslwrkungn zu bschrbn, bdnt man sch sog. Mhrkörprsystm (MKS), d sch auch zur schrbung großr Vrschbungn gnn, was dr normaln trbsws solchr Maschnn ntsprcht. Währnd man mt Hlf on Mhrkörprsystmn d wgungsgrößn (Gschwndgktn, schlungungn) dr Enzlkörpr, d Zwangskräft und Momnt n dn ndungsstlln untrsucht [Gar-94, Sha-94, Sha-98], bschränkt man sch b knmatschn Kttn auf rn knmatsch trachtungn. Es wrdn ldglch d wgungn ds mchanschn Systms btrachtt, ohn nach dn Ursachn zu fragn. En knmatsch Ktt bstht aus nr ndlchn Anzahl on Gldrn, d durch Glnk mtnandr rbundn snd. En Glnk lässt wgungn n bstmmtn Frhtsgradn odr Rlatbwgungn zwschn nzlnn Gldrn zu odr schränkt s n. Knmatsch Kttn könnn als offn odr gschlossn Strukturn ausgprägt sn (gl. Abbldung ). offn knmatsch Ktt gschlossn knmatsch Ktt Abbldung : Untrschdung knmatschr Kttn 5
Modllbldung Mt dr m folgndn Kaptl orgstlltn Modllrungsmthod könnn Fnt-Elmnt-Modll als knmatsch Strukturn abgbldt wrdn. Dadurch rgbt sch d Möglchkt, auf nfach Ws durch das Ändrn wngr Paramtr n kurzr Zt untrschdlch räumlch Konfguratonn ds Modlls zu rzugn, um somt d rschdnn trbszuständ nr Maschn ffznt nachzubldn. Dss Konzpt st n Hnblck auf n Automatsrung dr Fnt- Elmnt-rchnung solchr Systm shr gut ggnt. Dab snd m Untrschd zu dm n [Schr-] bschrbnn Vrfahrn zur Systmmontag sowohl offn als auch gschlossn knmatsch Kttn modllrbar. Außrdm kann das Modll n Form nr aumstruktur blbg tf gschachtlt aufgbaut wrdn. Durch d Übrtragung dr wgungsmöglchktn on Glnkn dr raln Maschn n das Fnt-Elmnt-Modll st n wrklchktsnah Abbldung möglch.. Das -Ebnn-Modll D Abbldung on Fnt-Elmnt-Modlln als knmatsch Strukturn lässt sch anhand ns -Ebnn-Modlls anschaulch rklärn (gl. Abbldung 4). Ausghnd on nr raln Maschn wrd ds n dr rstn Modllbn als Starrkörprktt btrachtt. Anschlßnd ght man n dr zwtn Ebn auf n Fnt-Elmnt-Modll übr. Ral Maschn Starrkörprmodll FE-Modll Raltät Modllstufn Abbldung 4: -Ebnn-Modll m rstn Schrtt dr Modllrung wrd das ral Systm n augruppn und autl (Substrukturn) zrlgt. Ds stlln m Starrkörprmodll 6
d bwglchn Gldr nr Starrkörprktt dar. W n [Wb-4] gzgt wrd, trägt d Untrtlung ds Gsamtsystms n lsystm ncht nur zur Übrschtlchkt ds Modlls b, sondrn rduzrt n rhblchm Maß dn Rchnaufwand b dr Lösung ds Montagproblms. Untr rn knmatschr trachtung wrdn d lkörpr gmäß dn raln Lagrungn, Führungn, Vrbolzungn tc. durch ggnt ndungslmnt (Scharnrglnk, Lnarführung, Schbhüls, tc.) an hrn Glnkanschlüssn m Modll mtnandr rbundn. Man rhält somt nn Mchansmus mt dn wgungsmöglchktn dr raln Maschn (gl. Abbldung 5). autl augruppn Starrkörprmodll Abbldung 5: Montag ds Starrkörprmodlls n dsr Phas dr Modllrung st zur schrbung dr nzlnn lkörpr ldglch d räumlch Anordnung dr Glnkanschlüss on dutung. Durch Lösn ds Montagproblms kann jd gwünscht Stllung dr Gsamtstruktur n Abhänggkt dr ndungsparamtr (Wnkl, Abständ) rzugt wrdn und man rhält d Poston und Orntrung jds nzlnn autls. W n Abbldung 6 dargstllt, wrd bm Übrgang on dr Starrkörpr- n d FE-Modll-Ebn jds autl durch n ntsprchnds Fnt- Elmnt-Modll rstzt. D räumlch Anordnung dr FE-lmodll zunandr st durch d Poston und Orntrung dr autl ggbn. Um aus dn nzlnn FE-lmodlln n Gsamtmodll zu rhaltn, müssn d lmodll mchansch mtnandr rknüpft wrdn. D knmatschn ndungn ds Starrkörprmodlls wrdn n Kopplbdngungn dr Knotnrschbungn umgwandlt, sodass d wglchkt auch n dr FE-Struktur rhaltn blbt. Ds st nur möglch, wnn n dn Vrbndungsstlln ntsprchnd Knotn zur Vrfügung sthn. Als Vorausstzung dafür snd spzll Anschlussdfntonn n dn autl-modlln orzunhmn. Dfnrt man schlßlch noch Lastn 7
und Randbdngungn, so kann am Gsamtmodll n FE-rchnung durchgführt wrdn. Starrkörprmodll FE-Modll Abbldung 6: Übrgang Starrkörprmodll FE-Modll. Anschlüss Als Anschluss A, j ns Körprs K wrd hr d Vrbndung on n Anschlusspunktn P, k ( k =,..., n) bzchnt. En Anschlusspunkt kann dab n blbgr Körprpunkt sn, dr durch snn Ortsktor p, k m autlkoordnatnsystm anggbn wrd (gl. Abbldung 7). K P, p, y p, P, A,j x O p, z P, Abbldung 7: Anschlussdfnton D m Folgndn bnötgtn Anschlüss bschränkn sch auf -Punkt-, -Punkt- und -Punkt-Anschlüss. Währnd n -Punkt-Anschluss n Ebn aufspannt, kann dr -Punkt-Anschluss gomtrsch als Grad gdutt wrdn. Dr -Punkt-Anschluss stllt ldglch nn Raumpunkt dar. 8
K P, K P, K P, y y y P, x x x z O z O P, z O P, -Punkt-Anschluss -Punkt-Anschluss -Punkt-Anschluss Abbldung 8: Anschlusstypn dr Strukturmontag st ldglch d Poston und Orntrung dr autlanschlüss on dutung. Wrdn zw autl durch n ndungslmnt mtnandr rbundn, so wrd n bstmmt räumlch Anordnung dr btlgtn Anschlüss durch d ndungsglchungn rzwungn. Möcht man bsplsws zw autl n Form ns Kuglglnks (gl. Abbldung 9) mtnandr rbndn, so snd zur Dfnton zw - Punkt-Anschlüss notwndg. D ndungsglchungn ds Kuglglnks würdn d Anschlusspunkt P, und P, dr autl K und K stts zur Dckung brngn, sodass glt: () p, = p, K p, p, K Abbldung 9: Kuglglnk Hnschtlch dr Vrdrhung dr autl zunandr würd das Kuglglnk knrl Enschränkungn bwrkn. dr Anschlussdfnton st jdoch noch n wtrr, wsntlchr Gschtspunkt zu bachtn. W brts rwähnt, müssn nach dr Strukturmontag, bm Übrgang om Starrkörprmodll zum FE-Modll, d lmodll mchansch rträglch mtnandr rbundn wrdn. 9
D aus dm knmatschn Modll bkanntn wgungsmöglchktn müssn auch auf d Fnt-Elmnt-Struktur übrtragn wrdn, sodass d als rbungsfr angnommnn Führungn und Lagrungn n hrn Frhtsgradn kn Kräft bzw. Momnt übrtragn. n nm Fnt-Elmnt-Modll wrd n solchs Glnk mt Hlf on Kopplbdngungn zwschn dn Frhtsgradn dr Elmntknotn ralsrt. Als Vorausstzung muss abr gltn, dass an dn Vrbndungsstlln dr lmodll Elmntknotn orhandn snd, d sch am slbn Ort bfndn. W brts n [Döm-95] rläutrt wrd, rwst sch b dr Dfnton on autlanschlüssn d Vrwndung on Elmntknotn als Anschlusspunkt (gl. Abbldung ) als shr snnoll. P, K P, P,5 A,=(P,, P,,P,) P, O P,5 A,=(P,49, P,5,P,5) P,49 Abbldung : Anschlussdfnton m FE-Modll n nm FE-autlmodll wrd n Knotn durch sn Poston m autlkoordnatnsystm ndutg bschrbn. Vrbndt man n Elmntknotn zu nm Anschluss, so kann ds durch spzll Markrungslmnt (traclns) m FE-Modll gschhn. Dadurch wrd klar, dass brts b dr Modllrung dr knmatschn Struktur d lkörpr als FE-Modll hntrlgt wrdn müssn, da b dr Dfnton dr ndungslmnt d Anschlussdfntonn bnötgt wrdn.. ndungslmnt D lkörpr nr knmatschn Ktt könnn durch Glnkrbndungn rschdnr Art mtnandr rbundn wrdn. Dadurch wrdn wgungn n bstmmtn Frhtsgradn odr Rlatbwgungn zwschn dn nzlnn Gldrn zuglassn odr ngschränkt. D m Folgndn bschrbnn ndungslmnt ghörn ausschlßlch dr Grupp dr holonomn ndungn an. Somt hängn d ndungsglchungn ldglch on dn Lagkoordnatn ab. Mathmatsch könnn holonom ndungn n fast blbgr Ausartung
bschrbn wrdn. n tchnschr Hnscht rfülln jdoch nur wng Ausprägungn n snnoll Funkton und snd mt dn konntonlln Mttln dr Produktonstchnk hrstllbar. Ds Rstrktonn schränkn d Anzahl thortsch möglchr ndungslmnt stark n. Aus dn rblbndn Möglchktn lässt sch n Auswahl on Standardglnkn abltn, d nach dr Anzahl hrr Frhtsgrad klassfzrt wrdn (class jont, class jont, ) könnn. n abll st n Auswahl on Standardglnkn dargstllt: abll : Übrscht Standardrbndungn ndungslmnt (jont) Enspannung (anchor jont, clamp jont) Starr Vrbndung (fxd jont, rgd jont) Scharnrglnk (rolut jont) Lnarführung (prsmatc jont, translatonal jont) Schraub (hlcal jont) Schbhüls (cylndrcal jont) Kuglglnk (sphrcal jont, ball jont) Abstand (dstanc jont) 5 Frhtsgrad Wnkl (angl jont) 4 Strukturmontag 4. Poston und Orntrung dr lmodll Zur schrbung dr Poston und Orntrung ns Starrkörprs könnn Koordnatnsystm und ransformatonsmatrzn bnutzt wrdn.
Zunächst wrd gmäß Abbldung n kartsschs Koordnatnsystm ngführt, wlchs m Anschauungsraum als n ass für all darn darzustllndn Vktorn dnt. Dss Rfrnzsystm wrd ggnübr dm Anschauungsraum als ruhnd angnommn und stllt somt n nrtals Koordnatnsystm dar, das n dn wtrn trachtungn als nrtalsystm ( O, x, y, z ) bzchnt wrd. Jdm lkörpr K ds Systms wrd n kartsschs O,,, zugwsn, wlchs n nm Punkt Koordnatnsystm ( ) x y z O fst mt dm Körpr rbundn st. Somt kann d Poston ds Körprs K ggnübr dm nrtalsystm durch d Vrschbung on O bzüglch O anggbn wrdn. Ds ranslaton wrd mt dm Vrschbungsktor := (,, ), gmssn n Koordnatn ds nrtalsystms, ausgdrückt. x y z y K y O x r O x z P z Abbldung : Poston und Orntrung ns Starrkörprs Zur schrbung dr Orntrung ds Körprs K, gmnt st d Vrdrhung on ggnübr, wrdn d Eulr-Paramtr bzw. Quatrnonn rwndt. Zur schrbung nr blbgn Drhung wrdn n bdn Fälln r Paramtr bnötgt. m Untrschd zu dn Eulr-Paramtrn snd d Quatrnonn normrt. d bschrbn n blbg Drhung m Raum durch n ggnt normrt Drhachs := u u u und durch nn Drhwnkl ϕ. ( ) u x, y,, z, u z r ϕ r x y Abbldung : Drhung durch Drhachs und Drhwnkl
Abbldung zgt d Drhung ns Vktors r um d Achs u n d Endposton r '. Dab zählt d Vrdrhung um ϕ m Uhrzgrsnn post. D Quatrnonn (,, ) snd w folgt dfnrt:, ϕ : = sn ϕ : = = u cos bzw. ϕ = ux cos, = u y ϕ cos, ϕ = uz cos D Paramtr, und gbn somt d Drhachs und dn Drhwnkl an. Zusätzlch bschrbt folgndr Zusammnhang d Abhänggkt dr Quatrnonn untrnandr. Dab wrd schrgstllt, dass d Drhung ohn Vrzrrung rfolgt. = () Mt Hlf dr Quatrnonn lassn sch d Vktorn r Abbldung durch r ' = Quat r und r ' aus mt dr orthonormaln x -Drhmatrx = () Quat nnandr übrführn. D Poston und Orntrung ns Körprs somt durch dn Vktor (,,,,, ) x = x y z, K m nrtalsystm kann ndutg fstglgt wrdn. Angmrkt s an dsr Stll, dass d schs Frhtsgrad ns Starrkörprs durch d sbn Komponntn on (4) bschrbn wrdn. Da d Quatrnonn durch () n zhung zunandr sthn, bldt ( ) x, y, z,,,, kn Systm aus Mnmalkoordnatn. (4)
4. Mathmatschr Ansatz m Folgndn wrd n Starrkörprsystm btrachtt, das aus n Körprn K =,..., n bstht. D Poston und Orntrung ns lkörprs K wrd gmäß (4) durch d sbn Komponntn ds Vktors =,,,,, bschrbn. Zur Angab dr gomtrschn ( ) x x y z, Anordnung ds Gsamtsystms wrd dr Vktor (,,,,,,,...,,,,,, ) x := x y z nx ny nz n n n, n zusammngstzt aus dn nzlnn Vktorn dr lkörpr, rwndt. W n Kaptl 4. rläutrt wrd, handlt s sch hrb ncht um nn Satz on Mnmalkoordnatn, da d Quatrnonn,..., ns Körprs ncht unabhängg onnandr snd. D Lag dr Körpr rlat zunandr wrd durch n Systm on m j m holonomn, nchtlnarn ndungsglchungn ( ) bschrbn. S stlln dn Zusammnhang dr Lagparamtr x,..., n hr. Man rhält n nchtlnars Glchungssystm dr Form: F (6) ( x) = (5), F j mt: F ( x) F ( x) M = F ( ) j x M F ( x) m Zur ndutgn Montag muss das Systm knmatsch bstmmt sn. Dadurch rgbt sch für dn Frhtsgrad f ds Systms d Fordrung: f : = 7 n m = (7) Es snd folglch m = 7 n lnar unabhängg Glchungn n das Glchungssystm (6) nzufügn. Dab wrd dm Umstand Rchnung gtragn, dass zur Dfnton dr schs Frhtsgrad ns Körprs b Vrwndung on Quatrnonn sbn Paramtr notwndg snd. n das Glchungssystm snd zusätzlch zu dn ndungsglchungn d Vrträglchktsbdngungn () nzufügn. Das ndungsglchungssystm (6) st, w nchtlnar Glchungssystm m Allgmnn, nur numrsch durch trat 4
Nährungsrfahrn lösbar. kanntlch könnn nchtlnar Glchungssystm mhrr Nullstlln habn, wob jd Lösung x nn Zustand (hr Stllung dr knmatschn Struktur) darstllt, b dm sämtlch Glchungn glchztg rfüllt snd. Zu wlchr Lösung das Nährungsrfahrn strbt, hängt m Wsntlchn on dn Anfangswrtn zu gnn dr traton ab. Somt st s b dr Montag nr knmatschn Struktur on Vortl, wnn brts d Ausgangslag dr nzlnn lkörpr nährungsws dr babschtgtn Montagstllung ds Systms ntsprcht. 4. Formulrung dr ndungsglchungn m Folgndn wrd xmplarsch gzgt, w d ndungsglchungn ds Kuglglnks aus Kaptl. (gl. Abbldung 9) mathmatsch formulrt wrdn könnn. En ausführlch schrbung dr n abll aufgführtn Standardrbndungn kann n [Wb-4] nachglsn wrdn. Mt Hlf nr Punkt zu Punkt -dngung wrdn gmäß Abbldung d Körprpunkt P, und P, dr Körpr K und K m Raum zur Dckung gbracht. K O O p, P, O p, O P, K P, =P, p, K p, K O O Abbldung : Punkt zu Punkt -dngung Mathmatsch wrd dsr Zusammnhang durch d Glchung F = p p = (8),, 5
6 bschrbn. Führt man nun n, bzüglch ds Anschauungsraums ruhnds, nrtals zugssystm ( ) z y x O,,, n (gl. Kaptl 4.), so schrbt man d Glchung (8) n dr Form:,, = = p p F (9) W brts n Kaptl. bschrbn, wrdn d knmatschn ndungn ds Starrkörprmodlls mt Hlf on Anschlüssn dfnrt. Dab wrdn d Anschlusspunkt k P, dr Anschlüss durch drn Ortsktorn k p, m körprfstn Koordnatnsystm anggbn. Es st also zwckmäßg Glchung (9) untr zu Hlfnahm dr ransformatonsorschrft p p r r = () n d Form,, = = p p F () übrzuführn. Dab bschrbt d Vrdrhung ds Körprs K m nrtalsystm. Es glt gmäß (): = : () Vrwndt man zur schrbung dr Poston und Orntrung ns Körprs dn Vktor (4), dann rgbn sch aus () mt dr Vrnfachung z y x = : () d dr Komponntnglchungn ( ) =,, j F j zu:,, = = p p F x x x x (4),, = = p p F y y y y (5),, = = p p F z z z z (6)
D holonomn ndungsglchungn (4) bs (6) lgn ldglch d Poston dr bdn Anschlusspunkt P, und P, zunandr fst. D bdn Körpr K und K könnn sch jdoch fr um dn gmnsamn Kopplungspunkt ggnnandr rdrhn, was sch anhand ns nfachn spls anschaulch zgn lässt. Würdn bd Körpr m Ursprung hrr ass O und O mtnandr rbundn, so würdn p, und p, zu. D ndungsglchung () würd sch dann rduzrn zu: F= = mt p = p = (7), D Quatrnonn dr bdn Körpr, wlch d Orntrung bschrbn, kommn n (7) ncht or und untrlgn dadurch auch knrl Enschränkungn. En Punkt zu Punkt -dngung schränkt mt hrn dr ndungsglchungn dr Frhtsgrad ds Systms n., 4.4 Montag ds Gsamtsystms dr hr orgstlltn Mthod zur Abbldung on Fnt-Elmnt- Modlln als knmatsch Strukturn könnn ral Systm nach dm aukastnprnzp aufgbaut wrdn. Das Gsamtsystm wrd n augruppn und autl (Substrukturn) zrlgt. m Untrschd zu dm n [Löw-9] orgstlltn Konzpt kann jd augrupp hrrsts wtr augruppn und autl nthaltn. Als Ergbns ntstht n blbg tf gschachtlt, hrarchsch ggldrt Struktur, d baumartg durchlaufn und barbtt wrdn kann. W n [Wb-4] gzgt wrd, trägt dr Aufbau ds Gsamtsystms als aumstruktur ncht nur zur Übrschtlchkt ds Modlls b, sondrn rduzrt n rhblchm Maß dn Rchnaufwand b dr Montag. Abbldung 4 zgt bsplhaft dn hrarchschn Aufbau ns Gttrmast-Fahrzugkrans n Hauptauslgr mt Suprlft -Konfguraton, dssn Strukturbaum aus dn Ebnn,, und V bstht. n dr rstn Ebn bfndt sch ldglch dr Wurzlknotn ds aums, n Platzhaltr für das Gsamtmodll. D zwt Ebn stzt sch zum spl aus rschdnn autln (Untrwagn, Obrwagn, Abspannbock tc.) und zw augruppn (Suprlftmast und Hauptauslgr) zusammn. D augrupp Hauptauslgr bstht hrrsts aus fünf autln (Fußstück, Zwschnstück 6m, Zwschnstück m, tc.) und nr wtrn augrupp Kopf. 7
Modllstruktur Kopf Untrflasch Hauptauslgr (HA) Obrwagn Untrwagn Suprlftmast (SL) Haltstangn Abspannbock Gttrmast-Fahrzugkran Untrwagn Obrwagn Abspannbock Untrflasch Hublast Haltstangn (HA) Mastfuß Zwschnstück m Mastsptz Hauptauslgr (HA) Fußstück Zwschnstück 6m Zwschnstück m Zwschnstück m Rduzrstück Kopf Rollnsatz Anschlusskopf V Hrarchbnn Abbldung 4: Hrarchschr Aufbau ns Gttrmast-Fahrzugkrans Mt Hlf ds hr bschrbnn mathmatschn Vrfahrns lässt sch n Starrkörprsystm, bsthnd aus blbg ln lkörprn, ntsprchnd dn knmatschn ndungn montrn. D ndungsglchungn wrdn dab n Koordnatn ns nrtaln zugssystms formulrt. Jd augrupp und dr Wurzlknotn bstzn n solchs zugssystm, sodass jd augrupp für sch autonom montrt wrdn kann. Dafür müssn folgnd Vorausstzungn rfüllt sn: Zur Dfnton dr ndungslmnt nnrhalb nr augrupp könnn nur Anschlüss on autln rwndt wrdn, d slbst Untrknotn dr augrupp snd. Ds glt auch für dn Wurzlknotn. D Substrukturn dr augrupp müssn durch d ndungn zu nm schlüssgn, knmatsch bstmmtn Systm rnt wrdn, sodass Glchung (7) rfüllt st. Hat d zu montrnd augrupp wtr augruppn als Kndknotn, so müssn ds brts rfolgrch ormontrt wordn sn, bor ds slbst montrt wrdn kann. Damt wrd schrgstllt, dass sch d Lag und Orntrung dr zur Montag rwndtn autlanschlüss nnrhalb ds Kndknotns ncht mhr ändrn und somt gültg snd. 8
Zur Montag ds Gsamtsystms wrd d aumstruktur Ebn für Ebn durchlaufn (gl. Abbldung 5). Ausghnd on dr ndrstn Ebn, m spl aus Abbldung 4 ntsprcht ds dr Ebn V, wrd jd aumbn nach augruppnknotn durchsucht. rfft man auf n augrupp, so wrd ds zusammngbaut. Erst wnn all augruppn nr Ebn rfolgrch ormontrt wrdn konntn, kann dr Montagalgorthmus rsuchn, d nächst höhr lgnd Ebn zu montrn. Da n augrupp b dr Vormontag zwar n sch montrt wrdn kann, jdoch aufgrund dr fhlndn ndungn mt dn augruppn dr nächst höhr lgndn Ebnn sch als Ganz m Raum fr bwgn kann, wrd n autl dr augrupp durch n automatsch gnrrt ndung m Raum fstghaltn. Nach rfolgrchr Vormontag wrd ds ndung wdr ntfrnt. Montag ds Gsamtsystms Sprng n d ndrgst Ebn Montag allr augruppn dr aktulln Ebn All augruppn rfolgrch montrt? nn Mldung: Montag b augrupp X abgbrochn Abbruch dr Montag Sprng n d nächst höhr Ebn st n wtr Ebn orhandn? nn Erfolgrch Montag ds Gsamtsystms Abbldung 5: Procdr b dr Montag ds Gsamtsystms Ds schrttws, baugruppnorntrt Montag ds Gsamtsystms rwst sch auch b fhlrhaft dfnrtn Systmn als shr snnoll, da n unzurchnd knmatsch bstmmt augrupp sofort dntfzrt und lokalsrt wrdn kann. 9
5 Zusammnfassung Mt Hlf dr Abbldung on Fnt-Elmnt-Modlln als knmatsch Struktur st n ffznt FE-rchnung on Systmn, d hr räumlch Ausprägung j nach trbszustand ändrn, möglch. Dab wrd das Gsamtmodll aus nr Rh nzlnr FE-lmodll aufgbaut, d durch Glnk mtnandr rbundn snd. Ds Glnkrbndungn lassn sch n Form knmatschr ndungn mathmatsch formulrn und schränkn somt d wgungsmöglchkt dr nzlnn Gldr zunandr n. Das Gsamtmodll wrd dmzufolg durch n knmatsch Ktt bschrbn, n dr sch d räumlch Anordnung dr FE-lmodll zunandr, ngschränkt durch nn Satz on knmatschn ndungn, n Poston und Orntrung rändrn kann. D untrschdlchn Stllungn ds Systms könnn durch das Vrändrn wngr Paramtr shr nfach und zurlässg rzugt wrdn. Ds Egnschaft st für d Automatsrung dr rchnung drartgr Systm on außrordntlchr dutung und wst ggnübr hrkömmlchn Mthodn folgnd Vortl auf: Enfach Erzugung on Stllungsarantn durch Vrändrn wngr Paramtr anhand ns nzgn Modlls lbg, sowohl offn als auch gschlossn knmatsch Kttn modllrbar Übrschtlchr und transparntr Modllaufbau durch n aumstruktur lbg tf gschachtltr hrarchschr Aufbau dr Modll Schrttws, baugruppnorntrt Montag ds Gsamtsystms zum nfachn Auffndn fhlrhaft dfnrtr lsystm (augruppn) Rduzrung ds Rchnaufwands b dr schrttwsn, baugruppnorntrtn Montag ds Gsamtsystms Aufwandsrduzrung b dr Modllbldung durch das aukastnsystm durch Wdrrwndung glchr autl Groß Vrändrung dr Glnkparamtr durch schrttws rchnung dr Endstllung Automatsrbar Montag für Srnbrchnungn Wrklchktsnah Abbldung dr wgungsmöglchktn on Glnkn dr raln Maschn m Fnt-Elmnt-Modll
6 Ltratur: [Döm-95] [Gar-94] [Gün-4] [Löw-9] [Schr-] [Sha-94] [Sha-98] [Wb-4] Dömök, S.: Automatsrt und datnbankgstützt rchnung on Gttrmastkrann. Dssrtaton, chnsch Unrstät Münchn, 995 García d Jalón, J. u.a.: Knmatc and dynamc smulaton of multbody systms: th ral-tm challng. Nw York: Sprngr-Vrlag, 994 Günthnr, W. A. u.a.: En flxbls Programmsystm zur rchnung Fntr- Elmnt-Modll als knmatsch Struktur. n: Fördrn und Hbn Hft 6, 4, S. 44-45, Vrngt Fachrlag GmbH, Manz, 4 Löw, H.: Automatsrung dr rchnung und Konstrukton ds Stahlbaus on Fahrzugkrann auf dr ass on FE- und CAD-Mthodn. Dssrtaton, chnsch Unrstät Münchn, 99 Schrödr, F.: En datnbankbasrts Anwndrsystm zur rchnung on Gttrmast-Fahrzugkrann. Dssrtaton, chnsch Unrstät Münchn, Shabana, A. A.: Computatonal dynamcs. Nw York: John Wly & Sons, 994 Shabana, A. A.: Dynamcs of multbody systms. Cambrdg: Cambrdg Unrsty Prss, 998 Wbhofr, M.: Abbldung on Fnt-Elmnt-Modlln als knmatsch Strukturn. Dssrtaton, chnsch Unrstät Münchn, 4