Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen

Erinnerung/Zusammenfassung zu Abbildungsmatrizen Thomas Coutandin (cthomas@student.ethz.ch) 7. November 2 Abbildungsmatrizen Im Folgenden betrachten wir stets endlich dimensionale K-Vektorräume (K irgend ein Körper, z.b. K = R oder C). Wenn V ein K-Vektorraum der Dimension n ist und B = (b,..., b n ) eine Basis von V, so ist die Koordinatenabbildung bezüglich B die nach Satz 3. (siehe unten) eindeutig bestimmte bijektive lineare Abbildung K B V K n für welche K B (b i ) = e i ( i n) gilt (K B ist bijektiv weil (e,..., e n ) eine Basis von K n ist). Damit ist K B (λ b + + λ n b n ) = wobei λ i K ( i n). K B ordnet einem Vektor v V das n-tupel K B (v), seine B- Koordinaten, zu. Beachte dass K E = id K n. Als allererstes sehen wir ein dass jede (m n)-matrix A = (a ij ) K m n eine lineare Abbildung L A K n K m, x A x = a... a n a m... a mn λ λ 2 λ n induziert. Beachte dass in den Spalten von A genau die Bilder der Standardbasisvektoren von K n unter L A stehen. Umgekehrt, gegeben eine lineare Abbildung F V W zwischen K- Vektorräumen V, W der Dimensionen dim V = n, dim W = m können wir diese vollständig durch eine (m n)-matrix ausdrücken; dafür müssen wir aber eine Basis A = (a,..., a n ) in V und eine Basis B = (b,..., b m ) in W wählen! Diese Matrix heisst Abbildungsmatrix von F bzgl. der Basis A im Startraum V und der Basis B im Zielraum W, und ist definiert durch M BA (F ) (f ij ) wobei 2 F (a j ) = f kj b k ( j n). () Es bezeichne e i =, x x n = j= x j a j a mj K n, wobei die an der i-ten Stelle steht ( i n). (e,..., e n) ist die Standardbasis von K n. 2 Beachte die Stellung von A (Startraumbasis) und B (Zielraumbasis) im Index!,

2 KOORDINATEN-TRANSFORMATIONSMATRIZEN 2 (Für jedes j n sind die Koeffizienten f kj ( k m) durch () wohldefiniert, denn da B eine Basis von W ist lässt sich F (a j ) W als eindeutige Linearkombination der b k darstellen.) Diese Definition ist so gewählt dass in den Spalten von M BA (F ) genau die Bilder der Startraum- Basisvektoren unter der Abbildung F ausgedrückt in Zielraumbasis-Koordinaten stehen, d.h. es gilt M BA (F ) = (K B (F (a )) K B (F (a n ))), (2) und insbesondere M EmE n (L A ) = A, wobei A eine beliebige (m n)-matrix ist und E n = (e,..., e n ) die Standardbasis von K n. Aus obiger Definition () von M BA (F ) bekommt man direkt die folgenden drei fundamentalen Identitäten Wenn F V W und G W Z lineare Abbildungen sind (V, W, Z endlichdimensionale K-Vektorräume) und A, B bzw. C Basen von V, W bzw. Z sind, so gilt M CA (G F ) = M CB (G) M BA (F ) und M AA (id V ) = I n, (3) (hier bezeichnet I n K n n die Einheitsmatrix) sowie K B (F (v)) = M BA (F )K A (v). (4) Beweis von (3). Es seien A = (a,, a n ), B = (b,, b m ) und C = (c,, c l ). M BA (F ) (f ij ) ist gegeben durch () und M CB (G) (g ij ) durch G(b k ) = l i= g ikc i ( k m). Es gilt G F (a j ) = G( f kj b k ) = f kj G(b k ) = f kj i= l g ik c i = l ( g ik f kj )c i i= für j n, und m g ikf kj ist nach Definition der Matrizenmultiplikation gerade der Eintrag von M CB (G)M BA (F ) an der Stelle (i, j). Mit der Definition von M CA (G F ) ergibt sich die Behauptung. Die zweite Identität in (3) ist offensichtlich. Beweis von (4). Wenn K A (v) = (λ λ n ) T so folgt mit (2) und der Linearität von K B und F, M BA (F )K A (v) = n i= λ ik B (F (a i )) = K B (v). Die zwei Identitäten in (3) haben sehr nützliche Konsequenzen. Zum Beispiel wenn F bijektiv ist (dann gilt m = n), dann folgt aus (3) dass M AB (F )M BA (F ) = M AA (id V ) = I n, also M BA (F ) = M AB (F ). (5) Oder wenn A, A Basen von V und B, B Basen von W sind so folgt durch zweifache Ausführung von (3) die folgende Transformationsformel M B A (F ) = M B B(id W ) M BA (F ) M AA (id V ). (6) 2 Koordinaten-Transformationsmatrizen Obige Diskussion lässt sich auf den Spezialfall V = W, F = id V V V reduzieren. Wenn A, B Basen von V sind, so folgt aus (3) dass M AB (id V )M BA (id V ) = M AA (id V ) = I n, also M BA (id V ) = M AB (id V ). (7)

3 BEMERKUNGEN 3 Die Matrix M BA (id V ) heisst Koordinaten-Transformationsmatrix von der Basis A in die Basis B (beachte die Reihenfolge!). Nach (4) führt M BA (id V ) genau A-Koordinaten in B-Koordinaten über K B (v) = M BA (id V )K A (v). (8) Die Komponenten c ij von M BA (id V ) (c ij ) sind nach () durch die Gleichungen a j = c kj b k ( j n) (9) gegeben. Anders ausgedrückt gilt wegen (2) dass M BA (F ) = (K B (a ) K B (a n )). Für praktische Zwecke besonders nützlich ist die Beobachtung dass im Fall V = K n die Matrix M EA (id K n) die besonders einfache Form M EA (id K n) = (a a n ) () annimmt, wobei E = (e,..., e n ) die Standardbasis von K n ist und A = (a,..., a n ). Die Matrix M AE (id K n) hat keine so einfache Form, nach (7) ist sie aber einfach das Inverse der schnell bestimmbaren Matrix M EA (id K n) in (). Der einfachste Weg um die Einträge der Koordinatentransformationsmatrix M BA (id K n) zu bestimmen ist im Allgemeinen die Formel M BA (id K n) = [M EB (id K n)] M EA (id K n) welche aus (3) und (7) folgt 3. (Wenn n klein ist kann man die Komponenten c kj in (9) eventuell direkt raten.) 3 Bemerkungen 3. Satz (Konstruktion linearer Abbildungen). Es seien V, W Vektorräume über einem Körper K. Gegeben eine Basis (v i ) i I von V (I Indexmenge) und eine durch I indizierte Familie {w i i I} W, so existiert genau eine lineare Abbildung F V W so dass F (v i ) = w i für alle i I. Wenn (w i ) i I eine Basis von W ist, dann ist F ein Isomorphismus. Hier sind wir nur an der Situation interessiert wo die Vektorräume V, W endlich dimensional sind; sei n = dim V und m = dim W. Im Abschnitt über Abbildungsmatrizen haben wir gesehen dass jede Matrix D = (d ij ) K m n eine lineare Abbildung L D K n K m induziert. Dieser Sachverhalt lässt sich noch ein wenig verallgemeinern. Sei A = (a,..., a n ) eine Basis von V, B = (b,..., b m ) eine Basis von W und sei D = (d ij ) K m n. Dann existiert nach Satz 3. genau eine lineare Abbildung F = L BA (D) V W so dass F (a j ) = 3 Es gilt M BA(id K n) (3) = M BE(id K n)m EA(id K n) (7) = M EB(id K n) M EA(id K n). d kj b k ( j n). ()

4 BEISPIELE 4 Es gilt L EmE n (D) = L D. Wir kennen nun die Abbildungen 4 M BA Hom(V, W ) K m n, F M BA (F ) L BA K m n Hom(V, W ), D L BA (D). Beide sind linear, und aufgrund von () und () sogar invers zueinander. Damit haben wir gezeigt dass Hom(V, W ) = K m n für endlich dimensionale Vektorräume V, W mit dim V = n und dim W = m. Die Transformationsformel (6) lässt sich auch graphisch veranschaulichen. Es gilt das folgende kommutative Diagramm K n L MBA (F ) K m K A K B L MAA (F ) V F W L MB B (id) K n K A L MB A (F ) K B K m 4 Beispiele Aufgabe 4.. Betrachte die Basen P = (p, p 2, p 3 ) und Q = (q, q 2, q 3 ) von R 2 [X] gegeben durch p = X, p 2 = + X + 2X 2, p 3 = + X + 3X 2, q = 2 + X 2, q 2 = + X, q 3 = + X 2. sowie die lineare Abbildung F R 2 [X] R 3 [X], s (X 3 + X)s + (X 2 )s + (X + 2)s a) Bestimme die Transformationsmatrix M QP (id) von der Basis P in die Basis Q. b) Berechne die Q-Koordinaten des Polynoms w = 3p + p 2 p 3 und schreibe w als Linearkombination der Polynome q, q 2, q 3. c) Bestimme die Abbildungsmatrix M BA (F ) von F bezüglich der Standardbasen A = (, X, X 2 ) und B = (, X, X 2, X 3 ) von R 2 [X] bzw. R 3 [X]. d) Bestimme die Abbildungsmatrix M BP (F ) von F bezüglich der Basis P im Startraum und der Basis B im Zielraum. e) Bestimme das Polynom F (w) R 3 [X]. Lösung. a) Wir sehen sofort dass 2 M AP (id) = und M AQ (id) =, 2 3 4 Hom(V, W ) bezeichnet den Vektorraum aller linearen Abbildungen von V nach W.

4 BEISPIELE 5 wobei A = (, X, X 2 ) die Standardbasis von R 2 [X] bezeichnet. Wir wollen die Transformationsmatrix M QP (id) = M QA (id)m AP (id) = [M AQ (id)] M AP (id) bestimmen. Dazu berechnen wir das Inverse von M AQ (id) 2 M AQ (id). 2 =[M AQ (id)] Wir bekommen 2 3 M QP (id) = [M AQ (id)] M AP (id) = =. 2 2 3 4 6 b) Die P-Koordinaten von w sind K P (w) = (3 ) T. Mit dem Ergebnis aus (a) erhalten wir die Q-Koordinaten von w 2 3 3 2 K Q (w) = M QP (id)k P (w) = = 3. 4 6 Es gilt also w = 2q + 3q 2 + q 3. c) Es gilt F () = (X 3 + X) + (X 2 ) + (X + 2) = 2 + X, F (X) = (X 3 + X) + (X 2 ) + (X + 2)X = + 2X + 2X 2, F (X 2 ) = (X 3 + X)2 + (X 2 )2X + (X + 2)X 2 = 2X 2 + 5X 3. Damit bekommen wir die Abbildungsmatrix M BA (F ) von F bezüglich der Basis A = (, X, X 2 ) in R 2 [X] und der B = (, X, X 2, X 3 ) in R 3 [X] 2 M BA (F ) = ( K B (F ()) K B (F (X)) K B (F (X 2 )) ) = 2 2 2. 5 d) Die Abbildungsmatrix M BP (F ) von F bezüglich der Basis P im Startraum und der Basis B im Zielraum erhalten wir unter Benutzung von (c) 2 M BP (F ) = M BA (F ) M AP (id) = 2 2 2 = 2 3 3 2 6 8. 2 3 5 5 e) Das Polynom F (w) R 3 [X] könnten wir natürlich auch direkt berechnen, aber mithilfe von (d) geht es schneller Die B-Koordinaten von F (w) sind 3 K B (F (w)) = M BP (F )K P (v) = 2 3 3 3 2 6 8 = 6 4, 5 5 also gilt F (w) = 3 + 6X + 4X 2 5X 3.

4 BEISPIELE 6 Aufgabe 4.2. Betrachte die Basis C = (c, c 2, c 3, c 4, c 5 ) von R 5 gegeben durch c = () T, c 2 = ( ) T, c 3 = ( ) T, c 4 = ( ) T, c 5 = () T, sowie die durch 2 3 A = R5 5 induzierte lineare Abbildung F = L A R 5 R 5. Berechne die Abbildungsmatrix M CC (F ) von F bezüglich der Basis C (in Start- und Zielraum). Lösung. Wir haben sofort M EC (id) =, wobei E = (e,..., e 5 ) die kanonische Basis von R 5 bezeichnet, und berechnen das Inverse dieser Matrix M EC (id) =[M EC (id)] Wir bekommen M CC (F ) = M CE (id) M EE (F ) M EC (id) = [M EC (id)] M EE (L A ) =A M EC (id) 2 3 = = 2. 2 = 2 2 2

5 DUALRAUM UND KOORDINATEN 7 5 Dualraum und Koordinaten Gegeben sei ein beliebiger K-Vektorraum V. Der Vektorraum V = Hom(V, K) aller linearen Abbildungen V K heisst der Dualraum von V. Wenn A = (a i ) i I eine Basis von V ist, so sei für jedes i I a i V die eindeutig bestimmte lineare Abbildung welche a i (a k ) = δ ik (k I) (2) erfüllt. Wenn V endlich-dimensional ist und A = (a,..., a n ), so ist A = (a,..., a n) eine Basis von V und heisst die zu A duale Basis. Es gilt dim V = dim V. (Erinnerungswürdig ist dass man eine Basis von V wählen muss um einen Isomorphismus V V angeben zu können; Φ A V V, a i a i ( i n) ist ein solcher Isomorphismus. Allerdings sind V und V = (V ) kanonisch isomorph; Ψ V V, v (f f(v)), ist der kanonische Isomorphismus.) In Koordinaten bzgl. einer Basis B von V bedeutet (2) (unter Benutzung von (4)) genau dass M B (a i ) K B (a k ) = δ ik ( i, k n). (3) Mit ist die kanonische Basis () von K gemeint. Beachte dass M B (f) für f V ein Zeilenvektor ist. (3) ist äquivalent zu M B (a ) ( K B (a ) K B (a n ) ) = I n, M B (a n) bzw. nach (2) zu M B (a ) M B (a n) = [M BA (id V )]. (4) Im Fall V = K n ist oft der Fall B = E = (e,, e n ) von Interesse. Allgemein nützlich ist noch der Zusammenhang zwischen der Abbildungsmatrix M A (f) von f V und den A -Koordinaten von f. Es gilt M A (f) T = K A (f) (f V ). (5) (Falls diese Formel unbekannt ist, ist der Beweis eine gute Übung!) Gegeben eine lineare Abbildung F V W und Basen A von V bzw. B von W, so gilt für die Abbildungsmatrix der dualen Abbildung F W V, g F (g) = g F, (beachte die Reihenfolge von W nach V, nicht umgekehrt) die Identität Trivial aber nützlich ist noch die Beobachtung dass (id V ) = id V. M A B (F ) = M BA (F ) T. (6) Beweis von (6). Es sei A = (a,..., a n ) und B = (b,..., b m ). M A B (F ) (α ij ) ist gegeben durch ( ) F (b j ) = n i= α ija i ( j m) und M BA (F ) (ν ij ) durch ( ) F (a k ) = m l= ν lkb l ( k n). Die linken Seiten von ( ) und ( ) lassen sich mithilfe der Definition von F verknüpfen (F (b j ))(a k) = b j (F (a k)) ( j m, k n). Damit folgt mithilfe von (2) α kj = α ij a i (a k ) = (F (b j))(a k ) = b j(f (a k )) = b j( ν lk b l ) = i= für j m und k n, wodurch die Behauptung gezeigt ist. l= ν lk b j(b l ) = ν jk, l=