QCD-Effektive Theorie

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1 QCD-Effektive Theorie Vortrag im Rahmen des Seminars Hadronenspektroskopie und Erzeugung von Resonanzen, WS 2005/06 Denis Besak Lehrstuhl für Theoretische Physik III Universität Dortmund

2 Inhaltsübersicht 1. Allgemeiner Vorspann 2. Effektive Theorie für das Beispiel c su d 3. Zerfälle von D-Mesonen 2

3 Abschnitt 1: Allgemeiner Vorspann 1.1 Motivation 1.2 Einige Begriffe der elektroschwachen Theorie 1.3 Das Konzept der Renormierung 3

4 1.1 Motivation Ziel: Schwache Zerfälle von Hadronen beschreiben Problem: Hadronen nicht elementar, sondern gebundene Zustände! Starke WW berücksichtigen Effektive Feldtheorie gesucht Wie soll man Amplitude berechnen? nicht rein perturbativ, da Bindungsenergie klein Kopplung stark wegen asymptotischer Freiheit! Theoretisches Hilfsmittel: Operatorproduktentwicklung (OPE) 4

5 Effektive Theorie Ansatz: H eff i C i (µ, M W ) Q i, µ = O(1GeV) Q i : Lokale, hadronische Operatoren = effektive Vertizes C i : Wilson-Koeffizienten = effektive Kopplung Ansatz erzielt Faktorisierung in perturbative short-distance und nichtperturbative long-distance Beiträge W ± herausintegriert, d.h. kein dynamischer Freiheitsgrad mehr! Keine Prozesse mit externen W-Bosonen Übergangsamplitude ergibt sich aus M i C i (µ, M W ) Q i Matrixelemente von Q i müssen berechnet werden! Schwierig, da nichtperturbativ! 5

6 Berechnung der C i Im Prinzip perturbativ, aber Kopplungsparameter ist α s 4π ln M W 2 µ 2 Kann groß sein, wenn µ M W! Verschiedene Ordnungen: ( αs LO: Summiere Beiträge der Form 4π ln M W 2 ) n O µ 2 (1) Problem!! NLO: Summiere Beiträge der Form α ( s αs 4π 4π ln M W 2 ) n O (α µ 2 s ) usw. NLO wichtig, z.b. wegen Überprüfung der Störungsentwicklung und Abhängigkeit der C i vom Renormierungsschema 6

7 1.2 Einige Begriffe der elektroschwachen Theorie Standardmodell: 3 Generationen von Leptonen + Quarks SSB Eichgruppe: SU (3) C SU (2) L U (1) Y SU (3) C U (1) EM ( ) ( ) ( ) νe νµ ντ Leptonen: e, µ, τ SU (2) L Dublett Quarks: ( u d ) L, L L e R, µ R, τ R ( ) ( ) c t s, b L L L ; u R, d R,... SU (2) L Singlett; kein ν R Beachte: Flavour-Eigenzustände q i Massen-Eigenzustände q i! Quarkmischung: q = V CKM q d s = V ud V us V ub V cd V cs V cb d s b V td V ts V tb b V CKM parametrisiert durch 3 Drehwinkel + 1 komplexe Phase 7

8 Elektroschwache Wechselwirkung Elektroschwache Wechselwirkung durch L = g w 2 ( J + µ W µ,+ + Jµ 2 W µ, ) + ejµ EM A µ + g w Jµ 0 }{{} 2 cos ϑ Zµ }{{ w } L CC L NC L CC : geladene Ströme, ändern Flavour hier betrachtet! L NC : neutrale Ströme, lassen Flavour unverändert Es ist J µ + = (ūd ) V A + ( cs ) V A + ( tb ) V A + Leptonen; Jµ = ( J µ + Dabei bedeutet (ūd ) V A := ūγ µ (1 γ 5 ) d usw. ). Man führt schließlich die Fermi-Konstante durch G F 2 = g2 w 8M 2 W ein; numerischer Wert: G F GeV 2 8

9 1.3 Konzept der Renormierung Wir wollen kurz erläutern, was Renormierung beinhaltet. Betrachte QED L = 1 4 F µνf µν + ψ ( i e 0 A m 0 ) ψ. Frage: Was sind e 0, m 0? Antwort: Nicht die physikalische Ladung bzw. Masse, da e ± nicht von e ± mit virtuellen γ bzw. virtuellen e + e -Paaren unterscheidbar! Man kann experimentell z.b. nicht unterscheiden zwischen folgenden Prozessen: Man muss alle Ordnungen der Störungstheorie berücksichtigen! m = m 0 + δm Parameter werden renormiert: e = e 0 + δe Beachte: Korrekturen formal divergent Regularisierung 9

10 Dies demonstrieren wir für die Masse: Für exakten Elektron-Propagator gilt Massenrenormierung 1P I = Ein-Teilchen-irreduzibel: Kann nicht durch Durchtrennen einer internen Linie in zwei disjunkte Diagramme gespalten werden Wir bezeichnen die irreduzible Greenfunktion mit iσ(p) (Σ(p): Selbstenergiefunktion) und summieren auf (geometrische Reihe!): S F (p) = i + i ( ) Σ ( p) p m 0 p m 0 p m 0 = i p m 0 Σ ( p) Physikalische Masse: Pol des Propagators, d.h. + i p m 0 ( Σ ( p) p m 0 ) ( p m 0 Σ ( p)) p=m = 0 10

11 Nun Taylorentwicklung: Σ ( p) = Σ (m) + ( p m) Σ ( p) p=m + O ( ( p m) 2) mit m = m 0 + Σ( p = m). Dies liefert S F (p) = iz 2 p m Dabei ist 1 = 1 + Σ ( Z p) 2 p=m. Analog bekommt man (unendliche!) Konstante Z 1 für Vertex und Z 3 für Photon- Propgator-diese sollen in Feldoperatoren absorbiert werden! Vorgehen: Multiplikative Renormierung ψ Z 2 ψ R, A µ Z 3 A µ R Spalte L in zwei Teile: L = 1 4 ( F µν) 2 ( R + ψ R i m e A ) ψ R 1 4 δ ( 3 F µν) 2 ( ) R + ψ R iδ2 δ m eδ 1 A R ψr }{{} counterterms 11

12 Renormierungsbedingungen Die counterterms enthalten die Korrekturen δ 1,2,3 := Z 1,2,3 1; δ m := Z 2 m 0 m. Diese werden aus Renormierungsbedingungen berechnet, mit denen physikalische Parameter festgelegt werden. Für die Selbstenergiefunktion liegt es nahe, die on-shell-renormierung zu benutzen. Σ ( p) p=m = 0 Σ ( p) p=m = 0 Man erhält daraus z.b. in 2.Ordnung δm = 3α 4π m 0 ln Λ2 m 2 + finite. 0 Man kann das aber auch allgemeiner fassen und erhält endgültig: Σ ( p) p2 = µ 2 = 0 Σ ( p) p2 = µ 2 = 0 12

13 Analog für QCD: L = 1 4 F µν,a F a µν 1 2ξ 0 ( µ A µ,a ) 2 + q (i m 0 ) q + (η a ) µ µ η a + g 0 q i (t a ) ij A a µ q j + g 0 f abc ( µ (η a ) ) η b A c µ g 0 2 f abc F a µν Aµ,b A ν,c g2 0 4 f abe f cde A a µ Ab ν Aµ,c A ν,d Dabei sind A a µ die Gluonfelder, q = (q i) die Quarkfelder, η a die Faddeev-Popovghosts und t a die Generatoren der SU(3); ξ 0 ist der Eichparameter. Renormierung: A a µ = Z 3 A a µ,r, q = Z q q R, η a = Z 3 η a R g 0 = Z g g, ξ 0 = Z 3 ξ, m 0 = Z m m Frage: Was ist die Skala µ aus Renormierungsbedingung? 13

14 Antwort: Im Prinzip ist das egal! Renormierungsgruppe Sei G (n) (p 1,... p n ; µ, g, Q m ) = Φ(p 1 )... Φ(p n )Q m mit Massenoperator Q m = m/2 Φ 2 eine beliebige, bei der Skala µ renormierte Greenfunktion. Die Änderung mit der Skala ist dann gegeben durch Callan-Symanzik-Gleichung [ µ µ + β(g) ] g + nγ(g) + γ m(g) G (n) = 0. Die Funktionen β, γ m erfüllen Renormierungsgruppengleichung d g(µ) = β (g(µ)) d ln µ d d ln µ m(µ) = γ m(g)m(µ) laufende Kopplungskonstante bzw. Quarkmasse Laufende Kopplungskonstante wird Problem der großen Logarithmen lösen! Man nennt die Funktionen γ anomale Dimension Skalenverhalten 14

15 Berechnung von β, γ m Wird auf counterterms zurückgeführt, indem man renormierte Greenfunktion in bestimmter Ordnung berechnet und fordert, dass Callan-Symanzik-Gl. erfüllt ist. Ergebnis für QCD: g 5 g 3 β(g) = β 0 16π β 2 1 (16π 2 ) ( ) g 2 g 2 γ m (g) = γ m,0 16π + γ 2 m, π 2 Die Koeffizienten β i, γ m,i sind Funktionen der Zahl der betrachteten Flavours und der Anzahl der Farben. Für später brauchen wir β 0 = 11 3 N c 2. Für die laufende Kopplungskonstante α s = g2 Asymptotische Freiheit! α s (Q) = 4π α s (µ) 1 + β 0 α s (µ) 4π erhält man aus RG-Gleichung Q2 ln µ 2 15

16 Abschnitt 2: Effektive Theorie für das Beispiel c su d 2.1 Herleitung + Diskussion von H eff 2.2 Berechnung der Wilson-Koeffizienten 2.3 Zusammenfassung 2.4 Ausblick: Pinguine&Co. 16

17 2.1 Herleitung + Diskussion von H eff Wir betrachten nun H eff für schwachen Zerfall c su d, was z.b. D 0 K π + entspräche. Gesucht: Effektive Theorie, in der W-Boson kein dynamischer Freiheitsgrad mehr ist! Wir demonstrieren das Verfahren anhand der Schwachen WW und beziehen die QCD-Korrekturen am Schluss mit ein. M 2 W Nach Feynmanregeln ist M = i G F Vcs V ud 2 k 2 MW 2 ( sc) V A (ūd) V A W ± sehr schwer (ca.80 GeV), daher betrachte k 2 MW 2! Entwicklung am Besten mit Pfadintegralformalismus zu bewerkstelligen. Zentrale Größe ist erzeugendes Funktional Z, aus dem die Greenfunktionen durch Funktionalableitung gewonnen werden. 17

18 Hier: Z W ( DW + DW exp i d 4 x L W ) mit L W = L W,kin + g w 2 2 ( J + µ W µ,+ + J µ W µ, ) Nun führe Integration durch, d.h. W ± werden herausintegriert. Z W exp [ ] is eff mit Seff = d 4 xl kin g2 w d 4 xd 4 yjµ (x) µν (x y) J ν + (y) 8 ) Dabei ist µν (x y) die Fouriertrafo von µν 1 (k) = (g µν k 2 MW 2 kµ k ν MW 2. Die Faltung mit µν (x y) bewirkt, dass nur Beiträge mit kleinem x y eine Rolle spielen! Jetzt entwickle S eff nach Potenzen von 1/MW 2 short-distance ( ) OPE Niedrigste Ordnung: µν (x y) = gµν 1 δ (x y) + O M 2 W M 4 W 18

19 L int,eff = G F 2 J µ (x) J µ,+ (x) +... Dies ist gerade die Fermi-Theorie der schwachen WW, in der man eine Punkt-WW vorliegen hat! Das Produkt zweier Operatoren wurde in eine Summe von Operatoren entwickelt; höhere Ordnungen wegen der großen Masse M W immer stärker unterdrückt! Für D 0 K π + bekommt man also mit dem Operator (i, j: Farbindizes) H eff,w = G F 2 V cs V udq Q 2 = ( s i c i ) V A (ū j d j ) V A. Nun müssen wir die QCD-Korrekturen miteinbeziehen! 19

20 Einbeziehung der QCD Wir erhalten nun zusätzliche Diagramme mit Gluonaustausch: Hadronische Bindung erfordert zudem Einführung der Wilson-Koeffizienten: mit den Operatoren H eff = G F 2 V cs V ud (C 1 Q 1 + C 2 Q 2 ) Q 1 = ( s i c j ) V A (ū j d i ) V A Q 2 = ( s i c i ) V A (ū j d j ) V A. Q 1 enthält eine Mischung der Farben durch das Gluon. Ohne QCD erhielte man offenbar C 1 = 0, C 2 = 1! 20

21 Renormierung der Q i Beachte, dass Q i multiplikativ renormiert werden müssen! ABER: counterterm zu Q 1 hat Anteil proportional zu Q 2 und umgekehrt! Operatoren mischen unter Renormierung! Q i = Z ij Q j,r mit 2x2 Matrix Z ij Die Q i müssen abgeschlossen unter Renormierung sein bestimmt Anzahl! Hier nur zwei nötig, aber i.a. gibt es viel mehr! (siehe 2.4) Für unser Beispiel bekommt man (Λ: cutoff) Z = 1 + 3α s 4N c π ln Λ2 µ 2 ( 1 Nc N c 1 ). 21

22 2.2 Berechnung der Wilson-Koeffizienten Um Amplitude zu bestimmen, muss man Matrixelement von H eff berechnen: Somit zwei Aufgaben zu lösen: M ( c su d ) = i G F 2 V cs V ud (C 1 Q 1 + C 2 Q 2 ) Berechne Wilson-Koeffizienten C i Ermittle für gegebenen Prozess hadronische Matrixelemente Wir gehen hier nur auf den ersten Punkt im Detail ein. 22

23 Perturbative Berechnung der Wilson-Koeffizienten Man führt matching durch, berechnet also Amplitude und Matrixelemente perturbativ in gewünschter Ordnung und vergleicht mit Ansatz aus effektiver Theorie. Berechne zunächst M aus Diagrammen von Folie 20 mit masselosen externen Quarks Entspricht unphysikalischer Amplitude, da Quarks als freie Teilchen behandelt! Nun berechne Q i in derselben Ordnung perturbativ, indem W-Boson-Propagator durch Spinoramplituden ersetzt wird! Schließlich wird in M ( c su d ) = i G F 2 V cs V ud (C 1 Q 1 + C 2 Q 2 ) eingesetzt und Koeffizienten verglichen. 23

24 C 1 = 3α s 4π ln M 2 W µ 2 + O(α2 s ) C 2 = 1 + 3α s 4N c π ln M 2 W µ 2 + O(α2 s ) Unabhängig von externen Teilchen! Faktorisierung 80GeV erhält man als Kopplungsparame- Beachte: Mit α s(1gev) 4π ter α s 4π ln M W 2 µ , M W Sehr groß; höhere Ordnungen müssten aufsummiert werden! 24

25 Summation der großen Logarithmen Lösung mit Renormierungsgruppe: Wilson-Koeffizienten erfüllen die RG-Gleichung d d ln µ C i (µ) = γ ij (α s ) C j (µ) mit anomaler Dimension γ(α s ) = Z 1 d d ln µ Z. γ ist nichtdiagonal Gehe zu einer Basis über, in der γ diagonal ist! Gesuchte Basis: Q ± = 1 2 (Q 1 ± Q 2 ) Wilson-Koeffizienten: C ± = C 1 ± C 2 = 1 + Anomale Dimension: γ ± = α s 4π γ(0) ± 1, γ(0) ( ) 3 αs 3 N c 4π ln M W 2 µ 2 ± = ±6N c 1 N c 25

26 Lösung der RG-Gleichung liefert Lösung der RG-Gleichung C ± (µ) = [ αs (µ W ) α s (µ) ] γ (0) ± /2β 0 C ± (µ W ), β 0 = 11 3 N c 2. Wähle Skala µ W so, dass ln M 2 W µ 2 W klein am einfachsten ist µ W = M W. Da C ± (µ W ) = 1, folgt nach Einsetzen von α s (µ) (Folie 15): C ± (µ) = 1 α s (µ) 1 + β 0 4π ln M 2 W µ 2 γ (0) ± /2β 0 (1 + O (α s )). Führende Logarithmen alle aufsummiert: Ausdruck enthält ln M W 2 ) n µ 2 in jeder Ordnung; Problem gelöst! Um O(α s )-Unsicherheit zu verringern berechne anomale Dimension und C ± (µ W ) in höherer Ordnung Unsicherheit O(α 2 s ) usw. 26 (

27 2.3 Zusammenfassung des Vorgehens Kurz zusammengefasst berechnet man Prozesse in effektiver Theorie wie folgt: 1. Berechne Wilson-Koeffizienten perturbativ bei Skala µ W M W in gewünschter Ordnung durch matching. 2. Löse RG-Gleichung für C i (µ), berechne damit C i bei gewünschter Skala. 3. Berechne hadronische Matrixelemente mit speziellen Methoden. (hier nicht behandelt) 27

28 2.4 Ausblick: Pinguine & Co Das Beispiel c su d war bewusst einfach gewählt; i.a. gibt es viel mehr Q i! Betrachte z.b. ( su) V A (ūd) V A, das bei Zerfall K 0 π + π auftritt. Hier gibt es zusätzliche Diagramme, die Pinguin-Diagramme: Gluon zeigt keine chirale Kopplung Vektorstrom Zerlege in (V + A)- und (V A)-Anteil! 28

29 Vier neue Operatoren: Q 3 = ( s i d i ) V A q ( q jq j ) V A Q 4 = ( s i d j ) V A q ( q jq i ) V A Q 5 = ( s i d i ) V A q ( q jq j ) V +A Q 6 = ( s i d j ) V A q ( q jq i ) V +A Tragen nicht zu c su d bei, da Gluonkopplung Flavour erhält! Operatoren Q 1,..., Q 6 abgeschlossen unter Renormierung Q i = Z ij Q j,r mit 6x6-Matrix Z ij. Weitere Operatoren durch Ersetzen des Gluons durch Photon oder Z 0 -Boson elektroschwache Pinguin-Diagramme: 29

30 Vier weitere Operatoren: Q 7 = 3 2 ( s id i ) V A q e q( q j q j ) V +A Q 8 = 3 2 ( s id j ) V A q e q( q j q i ) V +A Q 9 = 3 2 ( s id i ) V A q e q( q j q j ) V A Q 10 = 3 2 ( s id j ) V A q e q( q j q i ) V A Unter gleichzeitiger Renormierung von QED und QCD sind Q 1,..., Q 10 abgeschlossen. Z ij ist 10x10-Matrix! Beachte: Nicht alle unabhängig voneinander! Es gilt Q 4 = Q 2 + Q 3 Q 1 ; 2Q 9 = 3Q 1 Q 3 ; 2Q 10 = Q 1 + 2Q 2 Q 3 Weitere Diagramme, indem man q, q durch Leptonen l, l ersetzt sechs weitere Q i! 30

31 Weiterhin gibt es zwei Box-Diagramme Tragen zur K 0 K 0 bzw. B 0 B 0 -Mischung bei Ferner gibt es noch zwei magnetische Pinguin-Diagramme, die in speziellen Zusammenhängen (B-Mesonen) auftreten und im Quark-Loop nur das top-quark enthalten Insgesamt existieren 20 hadronische Operatoren, die aber nicht alle zugleich zu einem Prozess beitragen! 31

32 Abschnitt 3: Zerfälle von D-Mesonen Wir wollen Zerfälle von D 0 und D + -Mesonen diskutieren, insbesondere: 32

33 Effektive Theorie durch H eff = G F 2 V cs V ud (C + Q + + C Q ) mit Q ± = 1 2 (Q 1 ± Q 2 ) (siehe Folie 25). Numerische Werte: C 1 (m c ) = 1.32, C 2 (m c ) = 0.58 C + (m c ) = 0.76, C (m c ) = 1.90 Quarks als masselos angenommen; ū bzw. d nimmt nicht an WW teil! (spectator quark) Matrixelemente am einfachsten (und unsichersten!) mit Faktorisierung behandelt: πk ( s i c i ) V A (ū j d j ) V A D = K ( s i c i ) V A D π ū j γ µ (1 γ 5 ) d j 0 }{{} =f π p µ Die Zerfallskonstante f π kann als bekannt vorausgesetzt werden. Für das erste Matrixelement rechts setzt man z.b. an: ( K ( s i c i ) V A D = f p µ D ) ( pµ K + f+ p µ D + ) pµ K f ± sind zu bestimmende Formfaktoren Wir zeigen nun anhand dreier Anomalien, dass das spectator Modell unzureichend ist! 33

34 Anomalien bei D-Zerfällen 1. Wenn spectator quark unwichtig, dann sollten Lebensdauern gleich sein! ABER: Unterschied um Faktor 2.5! Lebensdauer von D + erhöht! τ ( D 0) = s, τ ( D +) = s 2. Vorhersage: Amplitude von D 0 in K 0 π 0 um Faktor 2C + C unterdrückt und 3 Amplitude von D 0 in K π + um Faktor 2C + + C erhöht 3 Liefert Unterschied um Faktor 80 in Zerfallsbreiten! ABER: Man misst branching ratios D 0 K π + : (3.80 ± 0.09) % D 0 K 0 π 0 : (2.20 ± 0.22) % 34

35 Anomalien bei D-Zerfällen 3. Verhältnis von ( hadronischer und semileptonischer Zerfallsbreite (Palmer/Stech 1993) Γ H = 2C α s Γ SL 12π z ) ( 2 r + C α ) ( ) s z 0 6π + 2z 2 1 r + O z 0 mit kinematischen Faktoren z 0, z 2 und r = 1 D ciγ µ γ ν Fµν a ta c D. m 2 c D cc D Mit α s (m c ) 0.36, r 0.36 bekommt man als Vorhersage Γ ( H 1 = O Γ SL aber experimentell m 3 c m 3 c ) Γ H = 11 ± 1.7 für D 0 - Mesonen Γ SL Γ H 3.2 für D + - Mesonen Γ SL 35

36 Erklärung für anomales Verhalten Punkte 1 und 3 können mit Pauli-Prinzip erklärt werden: Die Amplituden beim D + -Zerfall interferieren destruktiv auf Grund der zwei identischen d-quarks Hadronische Amplitude und damit Zerfallsbreite von D + gg. semileptonischer verringert und damit gleichzeitig Lebensdauer erhöht! Effekt normalerweise vernachlässigbar, nur zufällig durch spezielle kinematische Verhältnisse effektiv Punkt 2 noch nicht definitiv geklärt; könnte mit Resonanzeffekten im Endzustand zusammenhängen oder mit zusätzlichem Austausch weicher Gluonen oder Annihilation von Quark und Antiquark in W-Boson, unter Beteiligung des spectator quarks. Fazit: Nicht immer führt dieses einfache Modell wirklich zum Erfolg! Die Physik der D-Mesonen bleibt ein schwieriges Gebiet mit vielen möglichen Überraschungen. Die Physik der B-Mesonen hingegen ist viel genauer durch das spectator Modell beschrieben und wird in den beiden folgenden Vorträgen genauer beleuchtet. 36

37 Literaturverzeichnis G.Buchalla, A.J.Buras, M.E.Lautenbacher, Weak Decays Beyond Leading Logarithms Rev.Mod.Phys. 68 (1996), pp T.Cheng, L.Li, Gauge theory of elementary particle physics Oxford University Press, 1984 L.B.Okun, Leptons and Quarks North-Holland Publishing Company, 1982 W.F.Palmer, B.Stech, Inclusive nonleptonic decays of B and D mesons Phys.Rev. D48, pp (1993) M.E.Peskin, D.V.Schroeder, Introduction to Quantum Field Theory Perseus Books, 1995 R.Rückl, Weak Decays of Heavy Mesons Talk at XXII. International Conference on High Energy Physics, Leipzig