Grundbegriffe der Informatik

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1 Grundbegriffe der Informatik Kapitel 12: kontextfreie Grammatiken Thomas Worsch KIT, Institut für Theoretische Informatik Wintersemester 2015/2016 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 1 / 54

2 Überblick Rekursive Definition syntaktischer Strukturen Kontextfreie Grammatiken Relationen (Teil 2) Eine Grenze kontextfreier Grammatiken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 2 / 54

3 Wo sind wir? Rekursive Definition syntaktischer Strukturen Kontextfreie Grammatiken Relationen (Teil 2) Eine Grenze kontextfreier Grammatiken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 3 / 54

4 Spezifikation formaler Sprachen Beschreibung formaler Sprachen nur mit Hilfe einzelner Symbole und der Operationen Vereinigung, Konkatenation und Konkatenationsabschluss GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 54

5 Spezifikation formaler Sprachen Beschreibung formaler Sprachen nur mit Hilfe einzelner Symbole und der Operationen Vereinigung, Konkatenation und Konkatenationsabschluss ist manchmal möglich manchmal nicht (Beweis später) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 4 / 54

6 Ausschnitt der Definition der Syntax von Java 1 Block: { BlockStatements opt } 2 BlockStatements: BlockStatement BlockStatements BlockStatement 3 BlockStatement: Statement... 4 Statement: StatementWithoutTrailingSubstatement... 5 StatementWithoutTrailingSubstatement: Block... siehe: docs.oracle.com/javase/specs/jls/se7/html/jls-14.html GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 5 / 54

7 Rekursion Definition von BlockStatements nimmt Bezug auf BlockStatements Definition von Block nimmt (indirekt) Bezug auf Statement Definition von Statement nimmt (indirekt) Bezug auf auf Block Was soll das bedeuten? GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 6 / 54

8 Vereinfachungen 1 Block: { Blockstatements } 2 BlockStatements: BlockStatement BlockStatements BlockStatement 3 BlockStatement: Statement... 4 Statement: StatementWithoutTrailingSubstatement... 5 StatementWithoutTrailingSubstatement: Block... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 54

9 Vereinfachungen 1 X ( X ) 2 BlockStatements: BlockStatement BlockStatements BlockStatement 3 BlockStatement: Statement... 4 Statement: StatementWithoutTrailingSubstatement... 5 StatementWithoutTrailingSubstatement: Block... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 54

10 Vereinfachungen 1 X ( X ) 2 X X X X 3 BlockStatement: Statement... 4 Statement: StatementWithoutTrailingSubstatement... 5 StatementWithoutTrailingSubstatement: Block... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 54

11 Vereinfachungen 1 X ( X ) 2 X X X X 3 X X ε 4 Statement: StatementWithoutTrailingSubstatement... 5 StatementWithoutTrailingSubstatement: Block... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 54

12 Vereinfachungen 1 X 2 X 3 X 4 X ( X ) X X X X ε X 5 StatementWithoutTrailingSubstatement: Block... GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 54

13 Vereinfachungen 1 X 2 X 3 X 4 X 5 X ( X ) X X X X ε X X GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 7 / 54

14 Vereinfachungen es bleibt K1: X: ε K2: X : XX K3: X : (X) K4: Auch gemeint: nichts anderes ist ein X GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 8 / 54

15 Versuch einer formalen Sprache versuche, mit X eine formale Sprache L zu assoziieren: L = {ε} LL {(}L{)} trügerische Hoffnung: die Inklusion L... spiegelt K1, K2, K3 wider die Inklusion L... spiegelt K4 wider Fragen: 1. Gleichung lösbar? wäre schön, 2. Lösung eindeutig? wäre schön, GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 54

16 Versuch einer formalen Sprache versuche, mit X eine formale Sprache L zu assoziieren: L = {ε} LL {(}L{)} trügerische Hoffnung: die Inklusion L... spiegelt K1, K2, K3 wider die Inklusion L... spiegelt K4 wider Fragen: 1. Gleichung lösbar? wäre schön, und ja, das ist so 2. Lösung eindeutig? wäre schön, GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 54

17 Versuch einer formalen Sprache versuche, mit X eine formale Sprache L zu assoziieren: L = {ε} LL {(}L{)} trügerische Hoffnung: die Inklusion L... spiegelt K1, K2, K3 wider die Inklusion L... spiegelt K4 wider Fragen: 1. Gleichung lösbar? wäre schön, und ja, das ist so 2. Lösung eindeutig? wäre schön, aber nein, das ist nicht so GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 54

18 Versuch einer formalen Sprache versuche, mit X eine formale Sprache L zu assoziieren: L = {ε} LL {(}L{)} trügerische Hoffnung: die Inklusion L... spiegelt K1, K2, K3 wider die Inklusion L... spiegelt K4 wider Fragen: 1. Gleichung lösbar? wäre schön, und ja, das ist so 2. Lösung eindeutig? wäre schön, aber nein, das ist nicht so = finde und charakterisiere die «interessierende» Lösung GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 9 / 54

19 Lösbarkeit von L = {ε} LL {(}L{)} konstruiere Folge L 0, L 1,... formaler Sprachen L i L 0 = {ε}. für i N 0 sei L i+1 = L i L i {(}L i {)} Lemma. L = i N 0 L i erfüllt die Gleichung. Beweisstruktur: zeige L {ε} LL {(}L{)} L {ε} LL {(}L{)} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 10 / 54

20 Beweis des Lemmas Teil 1 für jedes i N 0 : ε L i, denn: ε L 0 für alle i N 0 ist L i L i L i+1, wenn ε L i, dann auch ε = εε L i L i L i+1. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 54

21 Beweis des Lemmas Teil 1 für jedes i N 0 : ε L i, denn: ε L 0 für alle i N 0 ist L i L i L i+1, wenn ε L i, dann auch ε = εε L i L i L i+1. also für jedes i N 0 : L i L i+1, denn L i = L i {ε} L i L i L i+1. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 54

22 Beweis des Lemmas Teil 1 für jedes i N 0 : ε L i, denn: ε L 0 für alle i N 0 ist L i L i L i+1, wenn ε L i, dann auch ε = εε L i L i L i+1. also für jedes i N 0 : L i L i+1, denn L i = L i {ε} L i L i L i+1. Zeige: L {ε} LL {(}L{)} Da ε L 0 L ist, ist L = L{ε} LL {ε} LL {(}L{)}. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 54

23 Beweis des Lemmas Teil 1 für jedes i N 0 : ε L i, denn: ε L 0 für alle i N 0 ist L i L i L i+1, wenn ε L i, dann auch ε = εε L i L i L i+1. also für jedes i N 0 : L i L i+1, denn L i = L i {ε} L i L i L i+1. Zeige: L {ε} LL {(}L{)} Da ε L 0 L ist, ist L = L{ε} LL {ε} LL {(}L{)}. Zeige: L {ε} LL {(}L{)} sei w {ε} LL {(}L{)}. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 11 / 54

24 Beweis des Lemmas Teil 2 wir wissen für jedes i N 0 : ε L i für jedes i N 0 : L i L i+1 L {ε} LL {(}L{)} noch zu zeigen: L {ε} LL {(}L{)} sei w {ε} LL {(}L{)}. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 54

25 Beweis des Lemmas Teil 2 wir wissen für jedes i N 0 : ε L i für jedes i N 0 : L i L i+1 L {ε} LL {(}L{)} noch zu zeigen: L {ε} LL {(}L{)} sei w {ε} LL {(}L{)}. 1. Fall: w = ε L 0 L. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 54

26 Beweis des Lemmas Teil 2 wir wissen für jedes i N 0 : ε L i für jedes i N 0 : L i L i+1 L {ε} LL {(}L{)} noch zu zeigen: L {ε} LL {(}L{)} sei w {ε} LL {(}L{)}. 1. Fall: w = ε L 0 L. 2. Fall: w LL: w = w 1 w 2 mit w 1 L und w 2 L w 1 L i1 und w 2 L i2 w 1 L i und w 2 L i für i = max(i 1, i 2 ) w = w 1 w 2 L i L i L i+1 L GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 54

27 Beweis des Lemmas Teil 2 wir wissen für jedes i N 0 : ε L i für jedes i N 0 : L i L i+1 L {ε} LL {(}L{)} noch zu zeigen: L {ε} LL {(}L{)} sei w {ε} LL {(}L{)}. 1. Fall: w = ε L 0 L. 2. Fall: w LL: w = w 1 w 2 mit w 1 L und w 2 L w 1 L i1 und w 2 L i2 w 1 L i und w 2 L i für i = max(i 1, i 2 ) w = w 1 w 2 L i L i L i+1 L 3. Fall: w {(}L{)}: dann w {(}L i {)} L i+1 L für ein i N 0 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 12 / 54

28 Lösung von L = {ε} LL {(}L{)} nicht eindeutig {(, )} ist auch eine Lösung, denn zeigt man wie oben ist trivial, da {(, )} eben alle Wörter sind. {(, )} ist eine andere Lösung, denn ((( ist zwar in {(, )} aber nicht in i N 0 L i : man vergleiche die Anzahlen der ( und ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 13 / 54

29 Was kann man an i N 0 L i sehen? L 0 = {ε} L 1 L 0 = { () } L 2 L 1 = { ()(), (()) } L 3 L 2 = { ()()(), (())(), ()(()), ()()()(), ()()(()), (())()(), (())(()), (()()), ((())) } Dabei gilt z. B.: (())()() L 3, weil (()) L 2 und ()() L 2 und Regel K2 (()) L 2, weil () L 1 und Regel K3. () L 1, weil ε L 0 und Regel K3. ()() L 2, weil () L 1 und () L 1 ist und Regel K2 () L 1, weil ε L 0 und Regel K3. () L 1, weil ε L 0 und Regel K3. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 14 / 54

30 Die Erklärung für (())()() L 3 graphisch dargestellt (())()() L 3 (()) L 2 ()() L 2 ( () L 1 ) () L 1 () L 1 ( ε L 0 ) ( ε L 0 ) ( ε L 0 ) ε ε ε GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 15 / 54

31 Vereinfachte Darstellung für (())()() L 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 54

32 Vereinfachte Darstellung für (())()() L 3 ( ) ( ) ( ) ( ) ε ε ε mal wieder ein Baum ( Wurzel oben, Blätter unten) bisher: von unten nach oben interpretiert als Begründungen kontextfreie Grammatiken: von oben nach unten syntaktische Ersetzungen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 16 / 54

33 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Klammerstrukturen sind wichtig. Manchmal kann man sich einem Fixpunkt «annähern». Fixpunkt von f ist ein x mit x = f (x). so kann man L = {ε} LL (L) auch sehen... Das sollten Sie üben: keine Angst vor dem Lesen und Finden von Beweisen ruhiges Hinsehen: eine passende Vorgehensweise drängt sich manchmal fast auf GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 17 / 54

34 Wo sind wir? Rekursive Definition syntaktischer Strukturen Kontextfreie Grammatiken Relationen (Teil 2) Eine Grenze kontextfreier Grammatiken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 18 / 54

35 Kontextfreie Grammatik G = (N,T, S, P) N Alphabet der Nichtterminalsymbole T Alphabet der Terminalsymbole kein Zeichen in beiden Alphabeten: N T = {}. S N das Startsymbol P N V ist endliche Menge von Produktionen V = N T Menge aller Symbole überhaupt für jedes (X,w) P schreibt man X w Bedeutung: man kann X ersetzen durch w Beispiel G = ( {X }, {a, b}, X, {X ε, X axb} ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 19 / 54

36 Ableitungsschritt mittels einer Produktion Ersetzung der linken Seite durch die rechte u v aus u V ist v V in einem Schritt ableitbar wenn u = w 1 Xw 2 und v = w 1 ww 2 für Produktion X w in P und Wörter w 1,w 2 V Beispiel G = ({X }, {a, b}, X, P) mit P = {X ε, X axb} Dann gilt z. B. abax baxxxx abax baax bxxx, denn abax } {{ ba } X }{{} XXX w 1 w 2 abaxba } {{ } w 1 axb XXX }{{} w 2 Ebenso gilt abax baxxxx abaax bbaxxxx, denn }{{} aba X baxxxx } {{ } w 1 w 2 }{{} aba w 1 axb baxxxx } {{ } w 2 GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 20 / 54

37 Anmerkungen (1) bei einer Produktion linke Seite immer ein Nichtterminalsymbol Terminalsymbole werden nie ersetzt Ersetzung X w immer überall möglich unabhängig vom Kontext kontextfrei GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 21 / 54

38 Anmerkungen (2) legt Relation zwischen Wörtern fest könnte auch schreiben: R V V Infixschreibweise üblich schreibe u v und nicht (u,v) R, analog zu 5 7 und nicht (5, 7) R Ableitungsrelation im allgemeinen weder links- noch rechtstotal weder links- noch rechtseindeutig Vorsicht: nicht mit anderen Pfeilen verwechseln GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 22 / 54

39 Ableitungsfolgen werden i und notiert für jede u,v V und für jedes i N 0 gelte u 0 v genau dann, wenn u = v u i+1 v genau dann, wenn für ein w V : u w i v u v genau dann, wenn für ein i N 0 : u i v Beispiel G = ({X }, {a, b}, X, {X ε, X axb}): X axb aaxbb aaaxbbb aaabbb X aaxbb axb aaaxbbb X aaabbb abb abb GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 23 / 54

40 Jede Grammatik erzeugt eine formale Sprache Welche Wörter aus T können aus Startsymbol abgeleitet werden? von G = (N,T, S, P) erzeugte formale Sprache L(G) = {w T S w} solche formalen Sprachen heißen kontextfrei GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 24 / 54

41 Beispiel einer kontextfreien Grammatik/Sprache Beispielgrammatik G = ({X }, {a, b}, X, {X ε, X axb} aaabbb L(G) wegen X axb aaxbb aaaxbbb aaabbb für alle i N 0 gilt: X a i b i {a i b i i N 0 } L(G) Beweis leichter, wenn man gleich zeigt: für jedes i N 0 : (X a i b i X a i Xb i ) Umgekehrt kann man zeigen: für jedes i N 0 : wenn X i+1 w dann w = a i b i oder w = a i+1 Xb i+1 also L(G) {a i b i i N 0 } Insgesamt: L(G) = {a i b i i N 0 }. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 25 / 54

42 Kompaktere Notation bei vielen Produktionen statt {X w 1, X w 2, X w 3, X w 4, X w 5 } schreibe man {X w 1 w 2 w 3 w 4 w 5 } und lese die senkrechten Striche als «oder» Beispielgrammatik: P = { X axb ε } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 26 / 54

43 Java-Syntax Interpretation der Definition kontextfreie Grammatik Block,... jeweils ein Nichtterminalsymbol Doppelpunkt entspricht Pfeil eingerückte Zeile: rechte Seite einer Produktion aufeinander folgende Zeilen denke man sich durch senkrechte Striche getrennt Beispiel 2 BlockStatements: BlockStatement BlockStatements BlockStatement bedeutet BlockStatements BlockStatement BlockStatements BlockStatement GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 27 / 54

44 Java-Syntax Interpretation der Definition (2) «optionaler» Bestandteil 1 Block: { BlockStatements opt } bedeutet Block { BlockStatements } { } GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 28 / 54

45 kontextfreie Grammatiken versus Syntax von Programmiersprachen viele Nichtterminalsymbole stehen für strukturelle Konzepte der Programmiersprache Ideal alles, was nicht ableitbar ist, ist syntaktisch falsch alles, was ableitbar ist, ist syntaktisch korrekt Realität alles, was nicht ableitbar ist, ist syntaktisch falsch aber auch Dinge ableitbar, die syntaktisch falsch manche Forderungen an syntaktische Korrekheit in «üblichen» Programmiersprachen nicht mit kontextfreien Grammatiken auszudrücken aber «das meiste» GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 29 / 54

46 Ableitungsbäume sind übersichtlicher als schrittweise Ableitungen Grammatik für unser Klammerproblem: ({X }, {(, )}, X, {X XX (X) ε}). lange Ableitungsfolgen manchmal nicht sehr erhellend: X XX (X)X (X)XX (X)X(X) ((X))X(X) ((X))X() ((X))(X)() (())(X)() (())()( man darf umordnen (Kontextfreiheit!) Linksableitung besser X XX (X)X ((X))X (())X (())XX (())(X)X (())()X (())()(X) (())()() Rechtsableitung analog noch übersichtlicher: Ableitungsbaum GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 30 / 54

47 Ableitungsbaum X ( X ( X ) ) X X ( X ) X X ( X ) beginne mit Startsymbol als Wurzel Ableitungsschritt X w von ersetztem X Kanten nach unten zu den Symbolen von w ε ε ε GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 31 / 54

48 Wohlgeformte/korrekte Klammerausdrücke ({X }, {(, )}, X, {X XX (X) ε}) erzeugt sogenannte wohlgeformte oder korrekte Klammerausdrücke (KKA). umgangssprachlich was sich ergibt, wenn man in «normalen» arithmetischen Ausdrücken alles außer den Klammern weglässt (etwas) präziser ε ist KKA. Wenn w 1, w 2 KKA sind, dann auch w 1 w 2. Wenn w KKA ist, dann auch (w). Nichts anderes ist KKA. Klammersprachen sind ganz wesentliche Beispiele kontextfreier Sprachen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 32 / 54

49 Arithmetische Ausdrücke S T 3 S S - T - T 2 1 G = (N,T, S, P) die Grammatik mit Nichtterminalsymbolen N = {S, T} Terminalsymbolen T = {1, 2, 3, +, -, *, /, (, )} Startsymbol S Produktionen P = {S T S+T S-T S*T S/T, T (S) 1 2 3}. betrachte Ableitungsbaum links vergleiche (3-2)-1 und 3-(2-1) ähnliches Problem: if (B 1 ) if (B 2 ) S 1 else S 2 Vorlesung Compilerbau Auswertung von Ausdrücken Erzeugung eines Programm(teil)s zur Auswertung von Ausdrücken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 54

50 Arithmetische Ausdrücke S T 3 3 S S - T - T G = (N,T, S, P) die Grammatik mit Nichtterminalsymbolen N = {S, T} Terminalsymbolen T = {1, 2, 3, +, -, *, /, (, )} Startsymbol S Produktionen P = {S T S+T S-T S*T S/T, T (S) 1 2 3}. betrachte Ableitungsbaum links vergleiche (3-2)-1 und 3-(2-1) ähnliches Problem: if (B 1 ) if (B 2 ) S 1 else S 2 Vorlesung Compilerbau Auswertung von Ausdrücken Erzeugung eines Programm(teil)s zur Auswertung von Ausdrücken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 54

51 Arithmetische Ausdrücke S T S S - T 2 - T G = (N,T, S, P) die Grammatik mit Nichtterminalsymbolen N = {S, T} Terminalsymbolen T = {1, 2, 3, +, -, *, /, (, )} Startsymbol S Produktionen P = {S T S+T S-T S*T S/T, T (S) 1 2 3}. betrachte Ableitungsbaum links vergleiche (3-2)-1 und 3-(2-1) ähnliches Problem: if (B 1 ) if (B 2 ) S 1 else S 2 Vorlesung Compilerbau Auswertung von Ausdrücken Erzeugung eines Programm(teil)s zur Auswertung von Ausdrücken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 54

52 Arithmetische Ausdrücke S 3 T S S - T 2 - T G = (N,T, S, P) die Grammatik mit Nichtterminalsymbolen N = {S, T} Terminalsymbolen T = {1, 2, 3, +, -, *, /, (, )} Startsymbol S Produktionen P = {S T S+T S-T S*T S/T, T (S) 1 2 3}. betrachte Ableitungsbaum links vergleiche (3-2)-1 und 3-(2-1) ähnliches Problem: if (B 1 ) if (B 2 ) S 1 else S 2 Vorlesung Compilerbau Auswertung von Ausdrücken Erzeugung eines Programm(teil)s zur Auswertung von Ausdrücken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 54

53 Arithmetische Ausdrücke S 3 T S 1 S - T 2 - T G = (N,T, S, P) die Grammatik mit Nichtterminalsymbolen N = {S, T} Terminalsymbolen T = {1, 2, 3, +, -, *, /, (, )} Startsymbol S Produktionen P = {S T S+T S-T S*T S/T, T (S) 1 2 3}. betrachte Ableitungsbaum links vergleiche (3-2)-1 und 3-(2-1) ähnliches Problem: if (B 1 ) if (B 2 ) S 1 else S 2 Vorlesung Compilerbau Auswertung von Ausdrücken Erzeugung eines Programm(teil)s zur Auswertung von Ausdrücken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 54

54 Arithmetische Ausdrücke S 3 T S 0 S 1 - T 1 - T G = (N,T, S, P) die Grammatik mit Nichtterminalsymbolen N = {S, T} Terminalsymbolen T = {1, 2, 3, +, -, *, /, (, )} Startsymbol S Produktionen P = {S T S+T S-T S*T S/T, T (S) 1 2 3}. betrachte Ableitungsbaum links vergleiche (3-2)-1 und 3-(2-1) ähnliches Problem: if (B 1 ) if (B 2 ) S 1 else S 2 Vorlesung Compilerbau Auswertung von Ausdrücken Erzeugung eines Programm(teil)s zur Auswertung von Ausdrücken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 33 / 54

55 Syntax aussagenlogischer Formeln leicht durch kontextfreie Grammatiken beschreibbar G = ({X },T, X, P) mit T = Var AL {(, ),,,, } Var AL {P i i N 0 }, endlich > < Produktionen auf der nächsten Folie Achtung: Verwechslungsgefahr bei Pfeilen der Pfeil in aussagenlogischen Formeln der Pfeil zwischen linker und rechter Seite von Produktionen und bei senkrechten Strichen in set comprehensions als Trenner zwischen rechten Seiten von Produktionen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 34 / 54

56 Syntax aussagenlogischer Formeln die Produktionen G = ({X },T, X, P) mit T = Var AL {(, ),,,, } Var AL {P i i N 0 }, endlich > < Produktionenmenge P = { X P i P i Var AL } X ( X) (X X) (X X) (X X ) > < Aus X sind genau die aussagenlogischen Formeln mit Aussagevariablen in Var AL ableitbar. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 35 / 54

57 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: kontextfreie Grammatik Ableitung erzeugte formale Sprache Ableitungsbaum Das sollten Sie üben: (semi-)reale Produktionenmengen lesen (Java,...) zu formaler Sprache sie erzeugende kontextfreie Grammatik konstruieren zu kontextfreier Grammatik die erzeugte formale Sprache bestimmen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 36 / 54

58 Wo sind wir? Rekursive Definition syntaktischer Strukturen Kontextfreie Grammatiken Relationen (Teil 2) Eine Grenze kontextfreier Grammatiken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 37 / 54

59 Produkt von Relationen M 1 M 2 M 3 Es seien R M 1 M 2 und S M 2 M 3 zwei Relationen Produkt der Relationen R und S S R = {(x, z) M 1 M 3 es gibt y M 2 : (x,y) R (y, z) S} Infixschreibweise: für alle (x, z) M 1 M 3 x (S R)z gdw. y M 2 : xry ysz ist assoziativ (R S) T = R (S T ) die identische Abbildung auf M als Relation I M I M = {(x, x) x M} I M neutrale Elemente bzgl. R I M1 = R = I M2 R GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 54

60 Produkt von Relationen M 1 M 2 M 3 Es seien R M 1 M 2 und S M 2 M 3 zwei Relationen Produkt der Relationen R und S S R = {(x, z) M 1 M 3 es gibt y M 2 : (x,y) R (y, z) S} Infixschreibweise: für alle (x, z) M 1 M 3 x (S R)z gdw. y M 2 : xry ysz ist assoziativ (R S) T = R (S T ) die identische Abbildung auf M als Relation I M I M = {(x, x) x M} I M neutrale Elemente bzgl. R I M1 = R = I M2 R GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 54

61 Produkt von Relationen M 1 M 2 M 3 Es seien R M 1 M 2 und S M 2 M 3 zwei Relationen Produkt der Relationen R und S S R = {(x, z) M 1 M 3 es gibt y M 2 : (x,y) R (y, z) S} Infixschreibweise: für alle (x, z) M 1 M 3 x (S R)z gdw. y M 2 : xry ysz ist assoziativ (R S) T = R (S T ) die identische Abbildung auf M als Relation I M I M = {(x, x) x M} I M neutrale Elemente bzgl. R I M1 = R = I M2 R GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 54

62 Produkt von Relationen M 1 M 2 M 3 Es seien R M 1 M 2 und S M 2 M 3 zwei Relationen Produkt der Relationen R und S S R = {(x, z) M 1 M 3 es gibt y M 2 : (x,y) R (y, z) S} Infixschreibweise: für alle (x, z) M 1 M 3 x (S R)z gdw. y M 2 : xry ysz ist assoziativ (R S) T = R (S T ) die identische Abbildung auf M als Relation I M I M = {(x, x) x M} I M neutrale Elemente bzgl. R I M1 = R = I M2 R GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 38 / 54

63 Reflexiv-transitive Hülle einer Relation Vereinigung aller Potenzen Ist R M M binäre Relation auf M, dann definiert man Potenzen R i : R 0 = I M für jedes i N 0 : R i+1 = R i R Die reflexiv-transitive Hülle einer Relation R ist R = i N 0 R i GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 39 / 54

64 Reflexiv-transitive Hülle einer Relation ein Beispiel es sei R = {(n, n + 1) n N 0 } N 0 N 0 dann R R = {(n,m) es gibt k N 0 : (n, k) R und (k,m) R} = {(n,m) es gibt k N 0 : k = n + 1 und m = k + 1 R} = {(n, n + 2) es gibt n N 0 } also R 0 = {(n, n) n N 0 } R 1 = {(n, n + 1) n N 0 } R 2 = {(n, n + 2) n N 0 } usw. also R = {(n,m) n m} GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 40 / 54

65 Eigenschaften der reflexiv-transitiven Hülle überlegen uns gleich: R ist reflexiv. R ist transitiv. R ist kleinste Relation, die R enthält und reflexiv und transitiv ist. Relation R heißt reflexiv, wenn I M R, also wenn für jedes x M : x R x Relation R heißt transitiv, wenn R R R, also wenn: für jedes x M, jedes y M, jedes z M : wenn x R y und y R z, dann x R z GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 41 / 54

66 Eigenschaften der reflexiv-transitiven Hülle Erläuterungen R ist immer reflexiv I M = R 0 R für jedes i, j N 0 gilt: R i R j = R i+j. R ist immer transitiv, denn wenn (x,y) R und (y, z) R, dann (x,y) R i und (y, z) R j für i und j N 0 dann (x, z) R i R j = R i+j R. R ist die kleinste Relation, die R umfasst und reflexiv und transitiv ist: R umfasst R und ist reflexiv und transitiv. wenn S beliebige Relation, die reflexiv und transitiv ist, und wenn R S, dann sogar R S. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 42 / 54

67 Was ist wichtig Das sollten Sie mitnehmen: Produkte und Potenzen von Relationen reflexive und transitive Relationen reflexiv-transitive Hülle einer Relation «klassisches» Beispiel: Ableitbarkeit Das sollten Sie üben: Transitivität nachweisen Bilder von Relationen malen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 43 / 54

68 Wo sind wir? Rekursive Definition syntaktischer Strukturen Kontextfreie Grammatiken Relationen (Teil 2) Eine Grenze kontextfreier Grammatiken GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 44 / 54

69 Eine Grenze kontextfreier Grammatiken viele Sprachen in der Informatik sind kontextfrei jedenfalls ein Großteil und der sogar mit zusätzlichen Einschränkungen Details in Vorlesungen zu Übersetzerbau aber es gibt auch kompliziertere Sprachen GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 45 / 54

70 Eine Grenze kontextfreier Grammatiken viele Sprachen in der Informatik sind kontextfrei jedenfalls ein Großteil und der sogar mit zusätzlichen Einschränkungen Details in Vorlesungen zu Übersetzerbau aber es gibt auch kompliziertere Sprachen Lemma. Es gibt keine kontextfreie Grammatik, die die formale Sprache über {a, b, c} erzeugt. L vv = {vcv v {a, b} } Beweisskizze auf den folgenden Folien GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 45 / 54

71 L vv Beispielwörter L vv = {vcv v {a, b} } zu L vv gehören zum Beispiel aabacaaba aca bbbcbbb zu L vv gehören zum Beispiel nicht aabacaabb aaacaaaaaa abaccaba aaacbcaaa aabaab GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 46 / 54

72 L vv ist nicht kontextfrei Hilfsmittel (ohne Beweis): Lemma. Es sei G = (N,T, S, P) eine kontextfreie Grammatik mit ε L(G). Dann gibt es eine kontextfreie Grammatik G = (N,T, S, P ) mit L(G ) = L(G) und in P hat keine Produktion ε als rechte Seite. nennen wir eine solche Grammatik ε-frei GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 54

73 L vv ist nicht kontextfrei Hilfsmittel (ohne Beweis): Lemma. Es sei G = (N,T, S, P) eine kontextfreie Grammatik mit ε L(G). Dann gibt es eine kontextfreie Grammatik G = (N,T, S, P ) mit L(G ) = L(G) und in P hat keine Produktion ε als rechte Seite. nennen wir eine solche Grammatik ε-frei müssen daher nur zeigen: Keine ε-freie kf. Grammatik G erzeugt L(G) = L vv. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 54

74 L vv ist nicht kontextfrei Hilfsmittel (ohne Beweis): Lemma. Es sei G = (N,T, S, P) eine kontextfreie Grammatik mit ε L(G). Dann gibt es eine kontextfreie Grammatik G = (N,T, S, P ) mit L(G ) = L(G) und in P hat keine Produktion ε als rechte Seite. nennen wir eine solche Grammatik ε-frei müssen daher nur zeigen: Keine ε-freie kf. Grammatik G erzeugt L(G) = L vv. d. h. Jede ε-freie kf. Grammatik G erzeugt L(G) L vv. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 54

75 L vv ist nicht kontextfrei Hilfsmittel (ohne Beweis): Lemma. Es sei G = (N,T, S, P) eine kontextfreie Grammatik mit ε L(G). Dann gibt es eine kontextfreie Grammatik G = (N,T, S, P ) mit L(G ) = L(G) und in P hat keine Produktion ε als rechte Seite. Einschränkung der Menge zu betrachtender Objekte nennen wir eine solche Grammatik ε-frei müssen daher nur zeigen: Keine ε-freie kf. Grammatik G erzeugt L(G) = L vv. d. h. Jede ε-freie kf. Grammatik G erzeugt L(G) L vv. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 47 / 54

76 L vv ist nicht kontextfrei (2) Lemma. Es sei G = (N,T, S, P) eine ε-freie kf. Grammatik l die größte Länge der rechten Seite einer Produktion u,w,u T mit w > l k für ein k N 0 Wenn für ein X N X = uwu dann liegen im Ableitungsbaum für X = uwu auf dem Weg von der Wurzel X zu mindestens einem Terminalsymbol von w mindestens k + 1 Nichtterminalsymbole von denen jedes mindestens zwei Nachfolger hat. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 48 / 54

77 L vv ist nicht kontextfrei (2) Beweisskizze des Lemmas Streiche im Ableitungsbaum alle Kanten und Knoten, die ausschließlich zu Symbolen aus u oder u führen. (kein Ableitungsbaum mehr) Die verbliebenen Blätter stehen für die Symbole von w. Fasse alle längeren Pfade ohne Verzweigungen zu einer Kante zusammen. Im resultierenden Baum hat jeder innere Knoten einen Verzweigungsgrad zwischen 2 und l. Wenn jeder Pfad von der Wurzel zu einem Blatt höchstens Länge k hätte, dann könnte der Baum höchstens l k Blätter haben. Aber w > l k. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 49 / 54

78 L vv ist nicht kontextfrei (3) zu zeigen: L vv ist nicht kontextfrei zeige: Es sei G eine ε-freie kf. Grammatik. Dann ist L(G) L vv. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 54

79 L vv ist nicht kontextfrei (3) zu zeigen: L vv ist nicht kontextfrei zeige: Es sei G eine ε-freie kf. Grammatik. Dann ist L(G) L vv. Was bedeutet L(G) L vv? nicht (L vv L(G) und L(G) L vv ) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 54

80 L vv ist nicht kontextfrei (3) zu zeigen: L vv ist nicht kontextfrei zeige: Es sei G eine ε-freie kf. Grammatik. Dann ist L(G) L vv. Was bedeutet L(G) L vv? nicht (L vv L(G) und L(G) L vv ) also nicht L vv L(G) oder nicht L(G) L vv GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 54

81 L vv ist nicht kontextfrei (3) zu zeigen: L vv ist nicht kontextfrei zeige: Es sei G eine ε-freie kf. Grammatik. Dann ist L(G) L vv. Was bedeutet L(G) L vv? nicht (L vv L(G) und L(G) L vv ) also nicht L vv L(G) oder nicht L(G) L vv mache Fallunterscheidung 1. Fall: nicht L vv L(G) 2. Fall: L vv L(G) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 54

82 L vv ist nicht kontextfrei (3) zu zeigen: L vv ist nicht kontextfrei zeige: Es sei G eine ε-freie kf. Grammatik. Dann ist L(G) L vv. Was bedeutet L(G) L vv? nicht (L vv L(G) und L(G) L vv ) also nicht L vv L(G) oder nicht L(G) L vv mache Fallunterscheidung 1. Fall: nicht L vv L(G) dann L(G) L vv fertig 2. Fall: L vv L(G) GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 54

83 L vv ist nicht kontextfrei (3) zu zeigen: L vv ist nicht kontextfrei zeige: Es sei G eine ε-freie kf. Grammatik. Dann ist L(G) L vv. Was bedeutet L(G) L vv? nicht (L vv L(G) und L(G) L vv ) also nicht L vv L(G) oder nicht L(G) L vv mache Fallunterscheidung 1. Fall: nicht L vv L(G) dann L(G) L vv fertig 2. Fall: L vv L(G) zeige: dann nicht L(G) L vv GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 54

84 L vv ist nicht kontextfrei (3) Einschränkung der Menge zu betrachtender Objekte zu zeigen: L vv ist nicht kontextfrei zeige: Es sei G eine ε-freie kf. Grammatik. Dann ist L(G) L vv. Was bedeutet L(G) L vv? nicht (L vv L(G) und L(G) L vv ) also nicht L vv L(G) oder nicht L(G) L vv mache Fallunterscheidung 1. Fall: nicht L vv L(G) dann L(G) L vv fertig 2. Fall: L vv L(G) zeige: dann nicht L(G) L vv GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 50 / 54

85 L vv ist nicht kontextfrei (4) verbliebene Aufgabe: Es sei G = (N, {a, b, c}, S, P) eine ε-freie kf. Grammatik und L vv L(G) zeige: nicht L(G) L vv GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 54

86 L vv ist nicht kontextfrei (4) verbliebene Aufgabe: Es sei G = (N, {a, b, c}, S, P) eine ε-freie kf. Grammatik und L vv L(G) zeige: nicht L(G) L vv d. h. G erzeugt ein Wort w L vv GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 54

87 L vv ist nicht kontextfrei (4) verbliebene Aufgabe: Es sei G = (N, {a, b, c}, S, P) eine ε-freie kf. Grammatik und L vv L(G) zeige: nicht L(G) L vv d. h. G erzeugt ein Wort w L vv es sei k = N betrachte Ableitungsbaum für w = a 1+l2k b 1+l2k ca 1+l2k b 1+l2k L vv GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 54

88 L vv ist nicht kontextfrei (4) verbliebene Aufgabe: Es sei G = (N, {a, b, c}, S, P) eine ε-freie kf. Grammatik und L vv L(G) zeige: nicht L(G) L vv d. h. G erzeugt ein Wort w L vv es sei k = N betrachte Ableitungsbaum für w = a 1+l2k b 1+l2k ca 1+l2k b 1+l2k L vv nach bewiesenem Lemma auf Pfad zu mindestens einem Symbol mindestens k + 1 = N + 1 Nichtterminalsymbole mit Verzweigung also ein Nichtterminalsymbol doppelt auf Pfad betrachte Terminal mit maximal vielen solchen N.sym. GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 51 / 54

89 L vv ist nicht kontextfrei (5) X X w u w z betrachte T.sym. z mit maximal vielen verzweigenden N.sym. da G ε-frei erzeugt jede Verzweigung mind. ein Symbol gehe von z aufwärts, bis sich erstmals ein verzweigendes N.sym. X wiederholt aus unterstem Vorkommen Wort u abgeleitet mit u < l k aus zweitunterstem Vorkommen Wort w uw abgeleitet mit w uw < l 2k GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 52 / 54

90 L vv ist nicht kontextfrei (6) X S X w u w z Wo steht das c? Außerhalb von w uw? leite w w uw w ab dann vor dem c mehr Symbole als dahinter In w w? lasse den Teil der Ableitung weg dann kein c mehr vorhanden In u? leite w w uw w ab dann vor c mehr b als dahinter in allen Fällen Wort L vv abgeleitet GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 53 / 54

91 Zusammenfassung rekursive Definitionen syntaktischer Strukturen Vorsicht kann nicht schaden zumindest manchmal sinnvolle Interpretation möglich Grammatiken kontextfreie Grammatik Ableitung erzeugte formale Sprache Ableitungsbaum Relationen Produkte und Potenzen von Relationen reflexive und transitive Relationen reflexiv-transitive Hülle einer Relation GBI Grundbegriffe der Informatik KIT, Institut für Theoretische Informatik 54 / 54