Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung 1 1

2 Inhalt der heutigen Übung Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Hausübung F.4 (Zuverlässigkeitsberechnung) Bayes sche Entscheidungsanalyse (Aufgabe G.1) Entscheidungsanalyse bei bekannter Information: A priori Analyse Entscheidungsanalyse mit zusätzlicher Information: A posteriori Analyse Entscheidungsanalyse mit unbekannter Information: Prä posteriori Analyse Einsatz der gelernten statistischen Methoden an einem Datensatz (Aufgabe G.)

3 Übersicht Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung 3

4 Aufgabe G.1 Ein Unternehmen plant den Bau einer Fabrik in einer Wüste. Um die Produktion zu gewährleisten, werden 100 Kiloliter Wasser am Tag benötigt. Es bestehen zwei Möglichkeiten, dies zu realisieren: A1: Bohren eines Brunnens vor Ort A: Bau einer Pipeline zur Wasserversorgung Die Pipeline kann für 100 Mio. CHF realisiert werden. Der Bau eines Brunnens kostet 10 Mio. CHF. Es kann jedoch nicht garantiert werden, dass der Brunnen ausreichend Wasser führt. 4

5 Aufgabe G.1 A Priori Analyse Brunnen A 1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung P P 0.60 Pipeline A P 1.0 a) Aus Erfahrungen früherer Projekte mit ähnlichen geologischen Voraussetzungen kann geschlossen werden, dass ein Brunnen mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% ausreichend Wasser führen wird. Für welche Aktion sollten sich die Geschäftsführer dieses Unternehmens entscheiden? θ 1 : Kapazität des Brunnens < 100 Kiloliter θ : Kapazität des Brunnens 100 Kiloliter θ : Kapazität der Pipeline 100 Kiloliter Entscheidungsknoten 5

6 Aufgabe G.1 P 0.40 A Priori Analyse Brunnen A 1 70 P Pipeline A P 1.0 min ; 100 E u P P P min ; min 70 ; 100 = 70 Mio. CHF A 1 Brunnen Pipeline Die Aktion würde mit den gegebenen A Priori Wahrscheinlichkeiten geringere Kosten verursachen. Also sollte der Ingenieur sich für die Erschliessung eines Brunnens vor Ort entscheiden

7 Aufgabe G.1 θ 1 : Kapazität des Brunnens < 100 Kiloliter θ : Kapazität des Brunnens 100 Kiloliter b) Die Kapazität des Brunnens kann durch eine Probebohrung geschätzt werden. Diese Bohrung verursacht Kosten von 1 Mio. CHF. Das Verfahren der Probebohrung liefert drei unterschiedliche Indikatoren bezüglich der Kapazität. Die Wahrscheinlichkeitstabelle für dieses Verfahren ist gegeben. Die erste Probebohrung ergibt eine Indikation I. Sollte der Brunnen zur Wasserversorgung gebohrt werden? Kapazität des Brunnens Indikator < 100 kl > 100 kl I 1 : Kapazität >105 kl P(I 1 θ 1 ) = 0.1 P(I 1 θ ) = 0.8 I : 95 kl < Kapazität <105 kl P(I θ 1 ) = 0. P(I θ ) = 0.1 I 3 : Kapazität < 95 kl P(I 3 θ 1 ) = 0.7 P(I 3 θ ) = 0.1 7

8 Aufgabe G.1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung A Posteriori Analyse Durch eine Probebohrung können wir nun unsere A priori Wahrscheinlichkeiten aktualisieren Dazu verwenden wir den Satz von Bayes. P"( E A) A Posteriori i PAE ( i) P'( Ei) PAE ( i) P'( Ei) n PA ( ) PAE ( ) P'( E) Likelihood i1 θ 1 : Kapazität des Brunnens < 100 Kiloliter θ : Kapazität des Brunnens 100 Kiloliter i i A Priori Gleichung B.15 Skript P ''( q I ) 1 = PI ( q ) P'( q ) 1 1 PI ( q ) P'( q ) + PI ( q ) P'( q ) 1 1 A Posteriori Wahrscheinlichkeit = aktualisierte A Priori Wahrscheinlichkeit P''( q I ) = PI ( q ) P'( q ) PI ( q ) P'( q ) + PI ( q ) P'( q ) 1 1 8

9 Aufgabe G.1 A Posteriori Analyse Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung θ 1 : Kapazität des Brunnens < 100 Kiloliter θ : Kapazität des Brunnens 100 Kiloliter P '( q1 ) = 0.6 P '( q ) = 0.4 Kapazität des Brunnens Indikator < 100 kl > 100 kl I 1 : Kapazität >105 kl P(I 1 θ 1 ) = 0.1 P(I 1 θ ) = 0.8 I : 95 kl < Kapazität <105 kl P(I θ 1 ) = 0. P(I θ ) = 0.1 I 3 : Kapazität < 95 kl P(I 3 θ 1 ) = 0.7 P(I 3 θ ) = 0.1 P P "( q1 I) = = "( q I) = =

10 Aufgabe G.1 A Posteriori Analyse Brunnen A 1 85 P'' I 0.5 Ergebnis der Probebohrung ist jetzt bekannt Pipeline A P I P ' Brunnen Pipeline 1 E'' u min P'' I (10) P'' I (100 10); P' 100 min ; min 85 ; Mio. CHF Mit dieser Indikation aus dem Pumpversuch erscheint die Alternative A 1 als die günstigere und sollte folglich gewählt werden. 10

11 Aufgabe G.1 c) Entscheide, ob überhaupt eine Probebohrung durchgeführt werden sollte. Betrachten wir dazu zunächst den Entscheidungsbaum. 11

12 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse 85 Mio. P P P 1

13 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse Zuerst benötigen wir die Wahrscheinlichkeit, dass die Probebohrung die Indikation I, I oder I3 liefert. 1 I 3 I I 1 PI 3 P I 3 P I 1 13

14 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse P( q ) = P( q ) = 0.4 Kapazität des Brunnens Indikator < 100 kl > 100 kl I 1 : Kapazität >105 kl I : 95 kl < Kapazität <105 kl I 3 : Kapazität < 95 kl P' I P I P' P I P' P' I P I P' P I P' P' I P I P' P I P' I 3 I I 1 P I P I 3 3 P I 1 14

15 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse P( q1 ) = 0.6 P( q ) = 0.4 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Jetzt müssen wir unsere A Posteriori Wahrscheinlichkeiten der Zustände für jede Indikation berechnen. Kapazität des Brunnens Indikator < 100 kl > 100 kl I 1 : Kapazität >105 kl I : 95 kl < Kapazität <105 kl I 3 : Kapazität < 95 kl PI ( ) P( ) P ( 1 I1) P( I1) I 1 PI ( ) P( ) P 1 ( I1) 0.84 P( I1) A A 1 I P I P P I 1 15

16 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse P( q ) = P( q ) = 0.4 Kapazität des Brunnens Indikator < 100 kl > 100 kl I 1 : Kapazität >105 kl I : 95 kl < Kapazität <105 kl I 3 : Kapazität < 95 kl PI ( ) P( ) P 1 1 ( 1 I) 0.75 P( I) I PI ( ) P( ) P ( I) 0.5 P( I) A A 1 P I P I P 1 16

17 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse P( q ) = P( q ) = 0.4 Kapazität des Brunnens Indikator < 100 kl > 100 kl I 1 : Kapazität >105 kl I : 95 kl < Kapazität <105 kl I 3 : Kapazität < 95 kl PI ( ) P( ) P ( 1 I3) P( I3) I 3 PI ( ) P( ) P 3 ( I3) P( I3) A A 1 I P I P P I 3 17

18 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse Brunnen Pipeline E u I min P( I )110 P( I ) 10; P E u I min P( I ) 110 P( I ) 10; P E u I min P( I ) 110 P( I ) 10; P E [u I 3 ] E [u I ] E [u I 1 ] P P P 18

19 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse Brunnen u I1 u I u I E min ; E min ; E min ; Pipeline E [u I 3 ] E [u I ] E [u I 1 ] P P P 19

20 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung E u E u I P[ I ] E u I P[ I ] E u I P[ I ] C E u C Wobei C die Kosten für die Probebohrung sind. Probebohrung Mio. CHF + C I 3 I I 1 PI PI P I Mio. CHF 85 Mio. CHF 6 Mio. CHF 0

21 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse Jetzt können wir die Entscheidung fällen! C Mio. CHF min( A, A, A ) 70 Mio. CHF 1 3 Folglich würden wir uns für den Bau eines Brunnens entscheiden, weil dies mit dem geringsten Risiko verbunden ist. Pipeline A Brunnen A 1 Probebohrung C A 3 Wenn die Probebohrung weniger als 0.5 Mio. CHF kostet, dann lohnt sie sich. Da die Probebohrung aber 1 Mio. CHF kostet sollte diese nicht durchgeführt werden 1

22 Aufgabe G.1 Prä Posteriori Analyse P P P

23 Aufgabe G. An der deutschen Nordseeküste wird ein alter Schutzdamm auf seine Qualität überprüft. Dabei soll sichergestellt werden, dass er den neuesten Sicherheitsbestimmungen genügt. Sie sind der Experte/die Expertin und mit der Beurteilung dieses Schutzdamms beauftragt. Sie sollen überprüfen, ob die Höhe des Dammes ausreichend ist und ob der Damm stabil genug ist oder verstärkt werden muss. 3

24 Aufgabe G. Um die notwendige Höhe des Dammes bestimmen zu können, soll anhand von Messwerten der letzten 30 Jahre ein Modell für die maximale jährliche Wasserhöhe erstellt werden. Jahr Maximaler Wasserstand [m] Jahr Maximaler Wasserstand [m]

25 Aufgabe G. a) Erstelle eine erste Übersicht über die maximale jährliche Wasserhöhe der letzten 30 Jahre. 5

26 Aufgabe G. a) Erstelle eine erste Übersicht über die maximale jährliche Wasserhöhe der letzten 30 Jahre. k 13. 3log(n)

27 Aufgabe G. a) Erstelle eine erste Übersicht über die maximale jährliche Wasserhöhe der letzten 30 Jahre. Kumulierte relative Häufigkeit 7

28 Aufgabe G.. b) Anhand der vorliegenden Daten möchtest du das Intervall bestimmen, in welchem der wahre Mittelwert mit einer Konfidenz von 95% liegt. Da der von dir berechnete Wert für die Stichprobenstandardabweichung s erwartungstreu sich gut mit den Angaben der einschlägigen Literatur deckt, gehst du davon aus, dass er der wahren Standardabweichung entspricht. X PX [ X] X 8

29 Aufgabe G.. PX [ X] X Nach dem zentralen Grenzwertsatz ist der Stichprobenmittelwert näherungsweise normalverteilt mit dem Erwartungswert 1 und der Varianz Var[ X ] x n Damit gilt: X EX [ ] X X X Pk/ k/ 0.95 X n X X PX [ k/ X Xk/ ] n n 9

30 Aufgabe G. Der Stichprobenmittelwert berechnet sich zu: n 1 x x.438[ m] n i 1 i Und gemäss den Annahmen ist die Standardabweichung: 1 s x x [ m] n X erwartungstreu i n 1 i1 Das Intervall berechnet sich demnach zu: P X P[.9.59] 0.95 X Der wahre Mittelwert liegt mit einer Konfidenz von 95% im Intervall [.9m;.59m]. 30

31 Aufgabe G. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung c) Überprüfe anhand geeigneter Wahrscheinlichkeitspapiere, welche Verteilung am besten zu diesen Daten passt. Beispiel: Gumbelverteilung F ( x) exp exp( a( xb)) X ln ln F ( x) a( x b) ax ab y X 31

32 Aufgabe G. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung c) Überprüfe anhand geeigneter Wahrscheinlichkeitspapiere, welche Verteilung am besten zu diesen Daten passt. Beispiel: Gumbelverteilung o o i o i xˆ F ( ˆ ) ln ln ( ˆ X x FX x ) N

33 Aufgabe G. c) Überprüfe anhand geeigneter Wahrscheinlichkeitspapiere, welche Verteilung am besten zu diesen Daten passt. 33

34 Aufgabe G. d) Sollte der Vergleich verschiedener Wahrscheinlichkeitspapiere nicht eindeutig sein, eignet sich auch ein Vergleich der Likelihoods. Schätze hierfür zuerst die Parameter der Lognormalverteilung und der Gumbel Max Verteilung mit der Methode der Momente. Berechne anschliessend die jeweilige Likelihood und entscheide auf dieser Basis, welche Verteilungsfunktion die Daten besser repräsentiert. 34

35 Aufgabe G. u d) Schätzen der Parameter und der Gumbel Max Verteilung mit der Methode der Momente: Gumbel Max Verteilung: fx x e xu e xu u Skript Tabelle D. n 1 x xˆ.4385 n i 1 i n 1 s x n i 1 xˆ i u

36 Aufgabe G. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung d) Schätzen der Parameter und der Lognormalverteilung mit der Methode der Momente: Lognormalverteilung f X 1 1ln( x) ( x) exp x exp( ) exp( ) exp( ) 1 Skript Tabelle D.1 s x x exp( ) 1 ln ln

37 Aufgabe G. 37

38 Aufgabe G. d) Berechne anschliessend die jeweilige Likelihood und entscheide auf dieser Basis, welche Verteilungsfunktion die Daten besser repräsentiert. n L( θ xˆ) f ( ˆ X xi θ) i1 Gumbel Max : Lognormal : Normal : Exponential :

39 Übersicht 39

40 Aufgabe G. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung e) Führe für die Gumbel Max Verteilung einen Chi Quadrat Test auf einem Signifikanzniveau von 10% durch, um beurteilen zu können, ob das Modell verwendet werden kann um die Messdaten zu repräsentieren. Intervall Häufigkeit Wahrscheinlichkeit P [Stichprobe in diesem Intervall] Erwartete Häufigkeit N n p Normalisierte Quadrate der Differenzen Summe m k i1 i n p i i 40

41 Aufgabe G. Stichprobenstatistik: Anzahl Freiheitsgrade: 4 1 = 1 Da < =.7055, kann die Gumbelverteilung auf dem 10% Signifikanzniveau akzeptiert werden. Signifikanzniveau: 10% 41

42 Aufgabe G. f) Der Schutzdamm hat eine Höhe von 5 Metern. Falls der jährliche maximale Wasserstand höher ist als der Schutzdamm, wird von einem Versagen des Dammes gesprochen. Berechne die Versagenswahrscheinlichkeit p f. Versagen wenn jährlicher maximaler Wasserstand > 5 m x x.558e pf P( X 5 [m]) e dx 5m 1F 5 [ m] X

43 Aufgabe G. g) Der Damm erstreckt sich über eine Länge von mehreren hundert Metern. Aufgrund Erosion und anderen altersbedingten Schäden ist die Höhe des Dammes nicht überall gleich. Seine Höhe kann mit einer Lognormalverteilung mit 5[m], 0.5[m] beschrieben werden. Die Sicherheitsmarge berechnet sich demnach zu M DW wobei DDammhöhe und W Wasserhöhe. Berechne die Versagenswahrscheinlichkeit p f anhand einer Monte Carlo Simulation. D Dammhöhe: Lognormalverteilung, 5[m], 0.5[m] W Wasserhöhe: Gumbel Max Verteilung mit Parametern , u

44 Aufgabe G. Monte Carlo Simulation Wasserhöhe: Gumbel Max Verteilung Mit den Parametern W expexp F w w u , u.558 Dammhöhe: ln( d ) Log Normal Verteilung FD d Mit dem Mittelwert 5[m] und Standardabweichung 0.5[m] ergeben sich die Parameter ln ln

45 Aufgabe G. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Monte Carlo Simulation Simulation von Realisationen der Zufallsvariablen für die Wasserhöhe und die Dammhöhe: d M DW 0 w 45

46 Aufgabe G. Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Monte Carlo Simulation Simulation von Realisationen der Zufallsvariablen für die Wasserhöhe und die Dammhöhe: d M DW 0 P f n f PM 0 N 8 10'000 w 46

47 Aufgabe G. h) Neben der Dammhöhe soll auch die Stabilität des Dammes evaluiert werden. Es wird angenommen, dass die jährliche maximale Belastung (Einwirkung) mit einer normalverteilten Zufallsvariablen modelliert werden kann mit kn kn Mittelwert L 6'000 und Standardabweichung. L 1'500 m m Die Belastbarkeit (Widerstand) des Dammes kann ebenfalls mit einer kn normalverteilten Zufallsvariablen modelliert werden mit Mittelwert R 1'000 m kn und Standardabweichung 3'000. R m Die Grenzzustandsfunktion der Stabilität des Dammes ist definiert als: das heisst der Damm bricht (versagt) wenn M 0 M R L 47

48 Aufgabe G. h) Berechne die Versagenswahrscheinlichkeit des Dammes mit diesen Annahmen. kn M R L m kn M R L m M p f M

49 Aufgabe G. i) Wenn es zu einem Stabilitätsversagen des Dammes kommt, dann entstehen Schäden von 6 Mio. Euro. Es steht zur Diskussion, den Damm zu verstärken, so dass seine Belastbarkeit geringfügig steigt. kn kn R 15'000 R '000 m m Die hierfür notwendigen Kosten betragen, diskontiert und auf ein Jahr umgerechnet, 0. Mio. Euro. Berechne die neue Versagenswahrscheinlichkeit eines verstärkten Dammes, und vergleiche das Risiko der zwei Varianten belassen und verstärken. Eine Annahme hierbei ist, dass über die Lebensdauer des Dammes mit dem gleichen Schadenerwartungswert gerechnet werden kann. 49

50 Aufgabe G. i) Konsequenzen 6 Mio. Euro Kosten einer Verstärkung: 0. Mio. Euro/Jahr Belastbarkeit nach einer Verstärkung: R kn kn 15'000, '000 R m m Berechnen der neuen Versagenswahrscheinlichkeit: kn M R L m kn M R L 500 m M M 500 p f 4 50

51 Aufgabe G. i) Konsequenzen: 6 Mio. Euro. jährliche Kosten: Euro. p p f f alt neu p f 6 Mio. Euro A 1 : Damm belassen p f 0 Mio. Euro A : Damm verstärken p f 4 p f 4 6 Mio. Euro 0 Mio. Euro 51

52 Aufgabe G. i) Konsequenzen: 6 Mio. Euro. jährliche Kosten: Euro. p p f f alt neu p f 6 Mio. Euro A 1 : Damm belassen p f 0 Mio. Euro A : Damm verstärken p f 4 p f 4 6 Mio. Euro 0 00 > Euro Entscheidung für Damm verstärken 5