Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

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1 Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Übung

2 Inhalt der heutigen Übung Vorrechnen der Hausübung D.3 Gemeinsames Lösen der Übungsaufgaben D.4: Zufallsvektoren D.5: Multivariate Wahrscheinlichkeiten D.6: Faltungsintegral

3 Multivariate Wahrscheinlichkeitsdichte Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Wou multivariate Wahrscheinlichkeiten? R S Sicherer Bereich Versagen R S Grenustandsfunktion

4 Aufgabe D.4 Die marginalen Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen eines T weidimensionalen Zufallsvektors Z X, Y sind wie folgt definiert: f X 1 2 ( x) 0 für 1 x 1 sonst f Y ( y) 3 (2 2 y y ) für 0 y sonst Der Korrelationskoeffiient wischen X und Y entspricht XY. 1 3 a) Berechne den Erwartungswert von b) Berechne die Kovarian c) Berechne die Varian von d) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 2 C 6 X,4Y 6X 4Y X 4Y

5 ur Erinnerung Skript: Gleichungen D.16 & D.18 Erwartungswertoperator: c cex ( ) ( ) ( ) ( ) Ec EcX E a bx a be X E g X g X E g X E g X Varianoperator: Var c Var cx 0 2 c Var X 2 Var a bx b Var X

6 Aufgabe D.4 a) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 2 b) Berechne die Kovarian C6 X,4Y c) Berechne die Varian von 6X 4Y d) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y EabX abe X ( ) ( ) ( ) ( ) E g X g X E g X E g X a) E[6X 4Y 2] 6 E[ X] 4 E[ Y]

7 f X Aufgabe D ( x) 0 für 1 x 1 sonst f Y ( y) 3 (2 2 y y ) für 0 y 2 4 a) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 2 b) Berechne die Kovarian C6 X,4Y c) Berechne die Varian von 6X 4Y d) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 0 sonst XY 1 3 Berechnung E[X] und Var[X] ( ) 0 EX [ ] xf X x dx x dx x E X EX Var X x 1 E X x fx ( x) dx x dx

8 f X Aufgabe D ( x) 0 für 1 x 1 sonst f Y ( y) 3 (2 2 y y ) für 0 y 2 4 a) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 2 b) Berechne die Kovarian C6 X,4Y c) Berechne die Varian von 6X 4Y d) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 0 sonst XY 1 3 Berechnung E[Y] und Var[Y] EY [ y yf ( y) dy y (2 y y ) dy y ] y 0 0 EY 2 Var Y E Y y y 6 E Y y fy ( y) dy y (2 y y ) dx

9 Aufgabe D.4 a) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 2 b) Berechne die Kovarian C6 X,4Y c) Berechne die Varian von 6X 4Y d) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y Nun können die Rechenregeln für die verschiedenen Operatoren verwendet werden, um die Aufgabe u lösen. Skript: Gleichungen D.16 D.18 a) ( ) ( ) ( ) ( ) E g X g X E g X E g X EabX abe X E[6X 4Y 2] 6 E[ X] 4 E[ Y]

10 Aufgabe D.4 a) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 2 b) Berechne die Kovarian C6 X,4Y c) Berechne die Varian von 6X 4Y d) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y b) C 1 64 C X,4 Y X, Y XY C XY, XY, X Y C Var[ X ] Var[ Y ] CXY, XY Var[ X ] Var[ Y ]

11 Der Erwartungswert und die Varian einer linearen Funktion Zufallsvektor X ( X1, X2,..., X ) T n Lineare Funktion des Zufallsvektors Y a a X 0 n i1 i i Skript: Gleichungen D.24 und D.25 Erwartungswert und Varian der linearen Funktion Y EY a ae X 0 n i1 i i n 2 n n Var Y aivar X i2 aia jcxix j i1 i1 ji

12 Aufgabe D.4 a) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 2 b) Berechne die Kovarian C6 X,4Y c) Berechne die Varian von 6X 4Y d) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y c) 2 Var X Y Var X Var Y C 2 [6 4 2] 6 [ ] 4 [ ] 26(4) XY, 0 n i1 Y a a X EY a ae X 0 n i i1 i i i n 2 n n Var Y aivar X i2 aia jcxix j i1 i1 ji ( 48)

13 Aufgabe D.4 a) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y 2 b) Berechne die Kovarian C6 X,4Y c) Berechne die Varian von 6X 4Y d) Berechne den Erwartungswert von 6X 4Y d) E[6X 4 Y ] 6 E[ X ] 4 E[ Y ] 2 2 E X x fx ( x) dx 2 2 E Y y fy ( y) dy Vgl. Teilaufgabe a) E[6X 4 Y ] 6 E[ X ] 4 E[ Y ]

14 Aufgabe D.5 Es wurden Windgeschwindigkeiten mit wei unterschiedlich genauen Messgeräten erfasst. Uns liegen die multivariaten Wahrscheinlichkeiten für die Anahl der Tage pro Jahr vor, an denen die Überschreitung eines Grenwertes mit den beiden Geräten gemessen wird: P N,N N G ist die Anahl der Tage pro Jahr, an denen die mit dem genau messenden Gerät ermittelten Windgeschwindigkeiten den Grenwert übersteigen. N U ist die Anahl der Tage pro Jahr, an denen die mit dem ungenau messenden Gerät ermittelten Windgeschwindigkeiten den Grenwert übersteigen G U

15 Aufgabe D.5 Die Tabelle eigt für beide Geräte die multivariate Wahrscheinlichkeit der Anahl der Tage pro Jahr, an denen die gemessene Windgeschwindigkeit einen bestimmten Grenwert überschreitet. N G = 0 N G = 1 N G = 2 N G = 3 P(N U ) N U = N U = N U = N U = P(N G ) =

16 Aufgabe D.5 a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Anahl der Tage pro Jahr, an denen Überschreitungen des Grenwertes von den beiden Geräten gemessen wurden, entspricht. b) Es gilt die Annahme, dass das genau messende Gerät immer die exakte Windgeschwindigkeit misst. Wie gross sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Windgeschwindigkeit den Grenwert innerhalb eines Jahres 0, 1, 2 bw. 3 mal überschreitet, wenn nach Angabe des ungenauer messenden Gerätes der Grenwert 2 mal überschritten wird?

17 Aufgabe D.5 Lösung a) Berechne die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Anahl der Tage pro Jahr, an denen Überschreitungen des Grenwertes von den beiden Geräten gemessen wurden, entspricht. PN [ N ] G U

18 Aufgabe D.5 Lösung Wahrscheinlichkeit, dass NG NU PN [ N ] G U U(0) G(2) U(1) U(2) G(3) U(3) Diskrete multivariate Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion G(1) G(0) Wahrscheinlichkeit, dass NG NU PN [ G NU] Wahrscheinlichkeit, dass NG NU PN [ G NU]

19 Aufgabe D.5 Lösung b) Es gilt nun die Annahme, dass das genaue Gerät immer die exakte Windgeschwindigkeit misst. Wie gross sind die Wahrscheinlichkeiten, dass die Windgeschwindigkeit den Grenwert innerhalb eines Jahres 0, 1, 2 bw. 3 mal überschreitet, wenn nach Angabe des ungenaueren Messgeräts der Grenwert 2 mal überschritten wird? bedingte Wahrscheinlichkeit N G = 0 N G = 1 N G = 2 N G = 3 P(N U ) N U = N U = N U = N U = P(N G ) =

20 Aufgabe D.5 Lösung N G = 0 N G = 1 N G = 2 N G = 3 P(N U ) N U = N U = N U = N U = P(N G ) = 1.00 P[ N N 2] G U P[N (N 2 )] G U P[ N 2] U P[( N G 0) ( N U 2)] 001. P[N G 0 N U 2] P[ N 2] U

21 Aufgabe D.5 Lösung N G = 0 N G = 1 N G = 2 N G = 3 P(N U ) N U = N U = N U = N U = P(N G ) = 1.00 P[( NG 1) ( NU 2)] PN [ G 1 NU 2] PN [ 2] U P[( NG 2) ( NU 2)] PN [ G 2 NU 2] PN [ 2] U P[( NG 3) ( NU 2)] 0.03 PN [ G 3 NU 2] PN [ 2] U

22 Diskrete Zufallsvariablen Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Summe von Zufallsvariablen Man betrachte wei Würfel. Das Ergebnis für jeden einelnen Würfel wird anhand der diskreten Zufallsvariablen X und Y beschrieben. Wir suchen die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe der gewürfelten Zahlen 10 entspricht. Die Summe selbst ist wiederum eine Zufallsvariable und kann so dargestellt werden: Z=X+Y Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 10 entspricht, ist??? X /Y

23 Summe von Zufallsvariablen Diskrete Zufallsvariablen Die Summe der Augenahlen in einem Wurf mit wei Würfeln kann als Zufallsvariable dargestellt werden: Z=X+Y Skript: Gleichungen D.31 D.36 Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 10 entspricht, ist: X /Y å 6 i= 4 PZ [ = 10] = PX ( = ipy ) ( = 10-i) = æ ö 1 = 3 ç çè 6 ø

24 Diskrete Zufallsvariablen Die Summe der Augenahlen in einem Wurf mit wei Würfeln kann als Zufallsvariable dargestellt werden: Z=X+Y Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung Summe von Zufallsvariablen Die Wahrscheinlichkeit, dass die Summe 10 entspricht, ist: X /Y Für unabhängige stetige Zufallsvariablen X und Y gilt: å 6 i= 4 PZ [ = 10] = PX ( = ipy ) ( = 10-i) fz( ) = ò fx( x) fy( -x) dx

25 Animation für Faltungsintegral Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

26 Aufgabe D.6 Autobahnbrücken müssen während ihrer Lebensdauer gewartet werden. Die Zeitdauer T wischen den Wartungseinheiten folgt einer Exponentialverteilung mit einem Mittelwert von 10 Jahren. Die Wartungsarbeiten nehmen einen Zeitraum S in Anspruch, der ebenfalls exponentialverteilt ist und einen Mittelwert von 1/12 Jahren aufweist. a) Unter der Annahme, dass T und S unabhängig voneinander sind, soll die Verteilung der Zeit Z wischen aufeinanderfolgenden Wartungsarbeiten berechnet werden, also Z=S+T. b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit P(Z 5)? c) Wir betrachten nun wei Autobahnbrücken, deren Zeitraum bis ur nächsten Wartung T 1 und T 2 beträgt (unabhängig voneinander und gleiche Verteilung wie T). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 5 Jahren für beide Brücken KEINE Wartungsarbeiten anfallen?

27 Aufgabe D.6 Was ist gegeben??? Die Zeit, in der keine Wartung notwendig ist, T, ist exponentialverteilt mit µ T =10 Jahre. Der Zeitraum der Wartungsarbeiten, S, ist ebenfalls exponentialverteilt, jedoch mit µ S =1/12 Jahre. a) Unter der Annahme, dass T und S unabhängig voneinander sind, soll die Verteilung der Zeit Z wischen aufeinanderfolgenden Wartungsarbeiten berechnet werden, also Z=S+T. 0 S S t T T Z Für stetige unabhängige Zufallsvariablen gilt: fz( ) = ò fx( x) fy( -x) dx

28 Aufgabe D.6 a) Z ist definiert innerhalb des Intervalls [0;+ ]. t 1 T ft () t e,( t 0) T s ( t) 1 1 S S fs () s e e,( s0) S S vgl. Tabelle D.1 im Skript ( 0)

29 Aufgabe D.6 Berechnung des Faltungsintegrals f ( ) = f ( t) f ( -t) dt ò Z T S 0 st, ³ 0 unteregrene = 0 ³ t, sonst : s < 0 oberegrene = t 1 T ft () t e ; T 1 fs () s e ( t) S aa x y a x y S

30 Aufgabe D.6 Berechnung des Faltungsintegrals f ( ) = f ( t) f ( -t) dt Z T S 0 -t -( -t) æ 1 öæ 1 ö T S = e ç e ò dt ç ç ç è øè ø = ò 0 ò 0 T 1 e T S S æ æ ö ö 1 1 t ç è çè T S ø S ø dt t 1 T ft () t e ; T 1 fs () s e ( t) S aa x y a x y S = ò 0 1 e T S æ ö çæ - + S T ö t - ç ç çè T S ø S çè ø dt

31 Aufgabe D.6 S T t - 1 ç ç T S S çè çè ø ø fz ( ) = ò e dt 0 T S æ çæ ö ç ö ç - + é 1 T S = T S - S + T êë æ S T ö - + ( ) t - ç çè ø T S S æ ö æ ö ç è ø çè ø S T 1 ç 1 = e e T S S S S T S T æ æ S T ö æ ö - ö TS TS æ ö çè S ø èç S ø T S = e - e = e e - T - S T ç ç - S çè çè ø ø ù úû 0 e ax e dx e a ax

32 Aufgabe D.6 æ ö T S fz ( ) = e e - T - ç S çè ø æ - ö = e e 1 ç çè ø 12 T = 10, = S 1 12 æ - ö = e -e ç çè ø

33 Aufgabe D.6 Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion für Z=S+T : Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung fz ( ) Zeit [Jahre]

34 Aufgabe D.6 b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit P(Z 5)? Hierfür wird die kumulative Verteilungsfunktion F ( ) benötigt: Z FZ( ) fz( ) d

35 Aufgabe D.6 b) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit P(Z 5)? y y FZ ( ) e e dy 0 y e e y 1 1 e e ( 10 ) e e FZ (5) e e æ - ö fz ( ) = e -e ç çè ø ax e dx e a ax

36 Aufgabe D.6 kumulative Verteilungsfunktion FZ ( ) Zeit [Jahre]

37 Aufgabe D.6 c) Wir betrachten nun wei Autobahnbrücken, deren Zeitraum bis ur nächsten Wartung T 1 und T 2 beträgt (unabhängig voneinander und gleiche Verteilung wie T). Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass in den nächsten 5 Jahren für beide Brücken KEINE Wartungsarbeiten anfallen? Keine Wartungsarbeiten in den nächsten 5 Jahren PT5, T 5 PT5 PT 5 PT5 1PT5 1 - t T -0.1t = - = - vergleiche Skript, Tabelle D.1 F () t 1 e 1 e T T 5 T PT5, T 5 1PT5 (1 (1 e ))