Versuch 6 Aufbau einer Schlierenoptik und Anwendung an einem Überschallfreistrahl

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1 Versuch 6 Aufbau einer Schlierenoptik und Anwendung an einem Überschallfreistrahl Strömungsmechanisches Praktikum des Deutschen Zentrums für Luft- und Raumfahrt Georg-August-Universität Göttingen 26. August 2008 Praktikanten Johannes Dörr mail@johannesdoerr.de physik.johannesdoerr.de Jan Schumann-Bischoff jansb.stud@googl .com Durchführung am Betreuer Andreas Westhoff

2 2 INHALTSVERZEICHNIS Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Theorie Laval-Düse Kirchhoffsches Beugungsintegral Schlierenoptik Durchführung Teil Teil Auswertung 8 5 Diskussion 9

3 3 1 Einleitung Dieser Versuch soll qualitativ die Schatten- und die Schlierenoptik vergleichen. Dabei sollen Dichteschwankungen in der Luft mit diesen Verfahren sichbar gemacht werden. Die Dichteschwankungen werden durch einen Verdichtungsstoß erzeugt, wenn ein Objekt mit Überschallgeschwindigkeit angeströmt wird. Dieser Verdichtungsstoß kann als lauter Knall zu hören sein, wenn ein Flugzeug mit Überschallgeschwindigkeit über einem hinweg fliegt. 2 Theorie 2.1 Laval-Düse Ein Gas (hier Luft) habe die Schallgeschwindigkeit a. Die Machzahl M ist dann definiert als das Verhältnis von der tatsächlichen Geschwindigkeit c zur Schallgeschwindigkeit, also M = c/a. Ist M > 1, so handelt es sich um Überschallströmung. Ansonsten strömt das Gas mit einer Geschwindigkeit kleiner als a. Mit der Lavaldüse ist es möglich, eine Strömung mit Unterschallgeschwindigkeit auf Überschallgeschwindigkeit zu bringen. Dabei fließt das Gas durch ein Rohr, dessen Durchmesser sich erst verkleinert und sich dann wieder vergrößert (siehe Abb. 2.1). Nun soll noch Abbildung 2.1: Lavaldüse gezeigt werden, dass durch diese Düse Überschallgeschwindigkeit erzeugt werden kann. Wir nehmen an, dass es sich um eine stationäre und reibungsfreie Strömung handelt. Damit können wir die Strömung durch die eindimensionale Eulergleichung beschreiben. Weiter gilt die Zustandsgleichung dp dρ = a2. Damit erhalten wir mit der stationären Eulergleichung

4 4 2 THEORIE (x ist die Position auf der mittleren Stromlinie): c dc = dp = 1 dp ρ dρ = a2 ρ ρ c M 2 dc = dρ. (2.1) Die Massenerhaltung (Kontinuitätsgleichung) besagt, dass bei einer sationären Strömung durch ein Rohr mit unterschiedlichen Querschnittsflächen A(x) pro Zeit die gleiche Masse m hindurchfließen muss, also m/ t = const. Die Masse ist durch m = ρv gegeben, wobei V dem Volumen entspricht, welches pro der Zeit t bei der Dichte ρ durch den Querschnitt A fließt. Wir erhalten ρv = const. Weiter ist das Volumen durch V = ca gegeben. Damit t ergibt sich d dρ dρ ρca = const t ln ρ + ln c + ln A = ln(const t) [ln ρ(x) + ln c(x) + ln A(x)] = 0 1 ρ Aus (2.1) und (2.2) folgt direkt: dρ + 1 c dc = dc + 1 da A = 0. (2.2) c da A(M 2 1). (2.3) A und c sind auf jeden Fall positiv. In unserem Fall hersche auf der linken Seite der Düse Unterschallgeschwindigkeit (M < 1). Dann können wir Folgendes aus (2.3) ablesen: Von links nach rechts (siehe Abb. 2.1) verringert sich der Querschnitt A, also da < 0. Die Geschwindigkeit wird in diesem Bereich zunehmen, also dc > 0. Ist dies der Fall, so muss M < 1 (und somit ist der Proportionalitätsfaktor < 1), also Unterschallgeschwindigkeit herschen. Schallgeschwindigkeit ist genau dann erreicht, wenn M = 1 ist. Damit wäre c A(M 2 1) allerdings unendlich. Wäre dann da von Null verschieden, so würde dieses einem unendlich großen Geschwindigkeitszuwachs entsprechen, was physikalisch nicht möglich wäre. Folglich kann M = 1 nur dann realisiert werden, wenn der Querschnitt des Rohes konstant ist. In der Laval-Düse ist das genau an der Verengung der Düse. Im rechten Teil der Düse wird die Luft weiter beschleunigt, also dc > 0. Da auch da > 0 ist, muss M > 1 sein. Damit hat die Strömung im rechten Teil der Düse Überschallgeschwindigkeit.

5 2.2 Kirchhoffsches Beugungsintegral Kirchhoffsches Beugungsintegral Über das Kirchhoffsche Beugungsintegral kann das Beugungsbild einer Lichtquelle L berechnet werden, das eine Blendenöffnung passiert (Abb. 2.2). Abbildung 2.2: Herleitung des Beugungsintegrals Auf der Blendenöffnung, die hier in der z =0 -Ebene liegt, ist ein elektrisches Feld der Form E S = E S,0 (x, y) e iϕ(x,y) = E L,0 R eiϕ(x,y) kr vorhanden. Im letzten Schritt nimmt man dabei an, dass es sich um eine punktförmige Lichtquelle handelt, die die Lichtwelle der Amplitude E L,0 gleichmäßig in alle Richtungen emittiert. Von jedem infinitesimalen Flächenelement dσ(x, y) = dy geht eine neue Elementarwelle aus, die im Punkt P (x, y ) auf dem Schirm den Feldstärkenbeitrag de P (x, y ) = C ES dσ(x, y) e ikr r liefert. Daraus folgt das Kirchhoffsche Beugungsintegral über die gesamte Blende: E P (x, y ) = S C E S (x, y) eikr r dy. Nimmt man an, dass der Abstand r zwischen den Blendenpunkten und den Punkten P auf dem Schirm im Verhältnis zu den Werten der Blendenpunkte x und y groß ist, also

6 6 2 THEORIE für die Blendenpunkte x/z 0 1, y/z 0 1 gilt, dann kann r im Nenner durch z 0 und im Exponenten durch eine Taylor-Näherung bis zum quadratischen Term r = z 20 + (x x ) 2 + (y y ) 2 z 0 (1 + (x x ) 2 + (y ) y ) 2 (2.4) 2z0 2 2z0 2 ersetzt werden. Dann erhält man mit dieser Fresnel-Näherung das Integral: [ E P (x, y, z 0 ) = i e ikz 0 ik ( E S (x, y) exp (x x ) 2 + (y y ) 2) ] dy. λz 0 2z 0 S Dabei ist die Konstate C = i/λ und cos θ = z 0 /r gesetzt worden. Ist der Abstand z 0 sehr groß im Verhältnis zum Durchmesser der Blendenöffnung, sodass gilt: z 0 1 λ ( x 2 + y 2), dann lässt sich für (2.4) schreiben: ( ) r z 0 1 xx yy + x 2 + y 2 z0 2 z0 2 2z0 2 Dann erhält man das Integral in der Fraunhofer-Näherung: [ ] E P (x, y, z 0 ) = i e ikz 0 e ( iπ)/(λz0) (x 2 +y 2 ) ik E S (x, y) exp (xx + yy ) dy. λz 0 z 0 Da diese Formel nur bei großen Abständen gilt, sagt man, die Fraunhofer-Näherung beschreibt das Fernfeld. Sie entspricht der Fouriertransformation des Beugungsobjektes. Da bei kleinen Abständen (Nahfeld) die Näherungen nicht mehr gültig sind, muss dort die Fresnelsche Beugung verwendet werden. 2.3 Schlierenoptik Tritt Licht durch ein Medium, das kleine Dichteunterschiede aufweist, so erfahren die Strahlen eine Phasenverschiebung. Da das Auge nur Intensitäten wahrnimmt und diese proportional zum Quadrat des elektromagnetischen Feldvektors ist, ist diese Phasenverschiebung nicht sichtbar. Das Schlierenverfahren stellt eine Möglichkeit dar, die Phase in die Intensität zu modulieren und somit sichtbar zu machen. Dabei wird das Licht, das das Phasenobjekt, also den Bereich mit den Dichteschwankungen, die zu einer Phasenverschiebung führen, über eine Linse in ihrem Brennpunkt fouriertransformiert. Dort kann dann über einen Raumfrequenzfilter, der die Form einer Blende unterschiedlichster Art haben kann, das Spektrum manipuliert werden, ganz analog zur Bearbeitung von Zeitsignalen. Durch eine weitere Linse folgt die inverse Fouriertransformation, aus der man das bearbeitete Signal erhält. S.

7 7 Bringt man in der Brennebene eine Halbblende (Schlierenkante) an, die die Hälfte des Fourierspektrums inklusive der halben nullten Ordnung absorbiert, so erhält man nach der Rücktransformation eine Intensitätsverteilung, die proportional zur Ableitung der Phase ist. Bereiche, in denen sich die Phase also schnell ändert, bekommen also einen sehr deutlichen Kontrast. Beim Betrachten einer Kerze durch die Schlierenoptik sind die Umrisse der Flamme gut zu erkennen, denn diese ist sehr heiß, sodass sich eine hohe Druckänderung ergibt. Schlieren beobachtet man jedoch nur an der einen Seite der Flamme. Dies kommt daher, dass alle negativen Raumfrequenzen weggefiltert werden, während die postiven bestehen bleiben (oder umgekehrt). Dadurch sind Übergänge von Hell auf Dunkel sichtbar, das Umgekehrte jedoch nicht. Über sehr heißen Flächen wie zum Beispiel Dächern, auf die die Sonne scheint, oder Motoren bei der Formel 1 erkennt man auch ohne optische Hilfsmittel das Flimmern der heißen aufsteigenden Luft. Dies kommt daher, dass sich bei sehr hohen Temperaturen auch die Transmissionseigenschaften der Luft ändern, also die Intensität direkt beeinträchtigt wird, und nicht nur die Phase. Auch mit dieser Schattenoptik, die also ohne den Halbfilter auskommt, ist der Überschallstrahl sichtbar, jedoch relativ schwach. 3 Durchführung 3.1 Teil 1 In diesem Teil soll mittels Schatten- und Schlierenoptik ein Objekt (hier eine Kerze) abgebildet werden (Strahlengang siehe Abb. 3.1). Es wird qualitativ das Bild in der Abbildungsebene mit und ohne Schlierenkante verglichen. Ohne Schlierenkante ehalten wir ein Abbildung 3.1: Strahlengang einer Schlierenoptik: Lichtquelle (Q), Linsen (L), Blende (B), Schlierenkante (S), Objekt (M) und Abbildungsebene (F) Bild in der Abbildungsebene mittels Schattenverfahren. 3.2 Teil 2 Hier wird eine Spitze mit Luft (mit Überschallgeschwindigkeit) umströmt und mittels Schatten- und Schlierenoptik das Bild in der Abbildungsebene abfotografiert. Somit kann

8 8 4 AUSWERTUNG der Verdichtungsstoß sichtbar gemacht werden. Aus diesem soll dann die Machzahl der Anstro mung ermittelt werden. 4 Auswertung Wir haben eine spitz zulaufende Platte mit Luft (Machzahl M1 > 1) angestro mt. Von der Spitze habe wir dann Aufnahmen mit der Schlierenmethode und der Schattenoptik gemacht. Damit konnte der Verdichtungsstoß sichtbar gemacht werden. Dieser steht im Winkel ε zur Anstro mrichtung der Luft (Skizze siehe Abb. 4.1). Der O ffnungswinkel der Spitze sei 2δc. Abb. 4.2 und 4.3 zeigen die mit einer Digitalkamera gemachten Aufnahmen. Abbildung 4.1: Skizze der Anstro mung der Spitze und des Verdichtungsstoßes Abbildung 4.2: Verdichtungsstoß (Schattenoptik) Abbildung 4.3: Verdichtungsstoß (Schlierenoptik) Aus den Fotos konnten die Winkel δc = 10.5, fu r die Schlierenoptik εschl = und fu r die Schattenoptik εschatt = abgelesen werden. Dies ergibt im Mittel ε =

9 9 Abb. 4.4 stellt den Zusammenhang zwischen diesen beiden Größen und der Machzahl M 1 der Anströmung dar. Für die gemessenen Winkel können wir eine Machzahl von ablesen. M Diskussion Dieser Versuch hat die Schlierenoptik in Verbindung mit Phänomenen der Überschalllgeschwindigkeit von Luft sehr eindrucksvoll dargestellt. Der an der Spitze entstandene Verdichtungsstoß konnte auf den von uns gemachten Aufnahmen leicht wiedererkannt werden. Die in dem Skript dargestellte Methode zur Berechnung der Machzahl der Anströmung aus gemessenen Drücken war uns leider nicht möglich, sodass wir die über die Schlieren- und Schattenoptik gefundene Machzahl nicht mit einem theoretischen Wert vergleichen können. Somit können wir keine Aussage über die Richtigkeit von M 1 machen. Aufgrund der guten Aufnahmen ist jedoch anzunehmen, dass dieser Wert wenigstens in der Größenordnung mit dem tatsächlichen übereinstimmt.

10 10 5 DISKUSSION Abbildung 4.4: Zusammenhang zwischen ε, δ c und M 1