8. Gewöhnliche Differenzialgleichungen
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- Lisa Gerber
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1 8. Gwöl Drllu 8.. Bu Rusld 8... Gwöl Drllu F s Fuo dr For F: +. D ß F ( ) ( ) ( ) wöl Drllu Rusld Isol W dur d u d Lösusur () dr Drllu ( ) so d Ru dr T ds u ulbr rl wrd. D dr d Drllu jd u Ru dr T Lösusur. D Gs dsr Ru bld ds Rusld. Vrbdusl o u lr Ru dr T ß Isol Lösu D Lösu o wöl Drllu r sbdu s s dr Rl us dr Su o dss w Ellösu us. D Lösu r ll Drllu s d d Su dr oo Lösu ud dr oo odr rulär Lösu. Eräl us r Drllu Lösus so s jd Lrobo o Ellösu wdr Lösu. Ds s d Fors ud dr Surl us dr Drlru rlärbr swrrobl (W) ls swrrobl b Drllu us r uör sbdu S o rd Ldlö Es s swrrobl ( ) ( ) b. Frr s R R ( ) : ; b b u d d Fuo ( ) s ud rll drrbr s. b E Zl ε s dur bs. ( ) Es b d bsd ε o u Lösu u b swrrobl.
2 8.. Drllu rsr Ordu 8... For sbdu. Lr Drllu rsr Ordu bs d For B Hrb r d su Fuo ud r blu dr rs o d.. lr u. Es s r () ud B() Irll [b] s. Ds Wr soll us d b Irll ud (rlls) sr d d sbdu ) bld Hoo Drllu Is lso B ( so ds ls oo b Drllu u Lösu dr ll For B d. Ds Lösusuo s r os. Is d sbdu ) b so wrd d oo Glu B ( w ol lös: d B d l l B dr r wälbr Kos. B d 8... Ioo Drllu Drllu rsr Ordu dr ll For ud ll sbdu (s..) b d rulär Lösu dr For B d * d *. O sbdu su dur robr rd rulär Lösu () odr bu d od dr Vro dr Kos. Du wrd ls s d oo Lösu H () bu br db br d Kos () ls o bä. Bd Bd Bd s ( ) dr blu ( ) B Bd Bd Es d DGL: ( ) B B Bd Bd Bd B B Bd Iro lr ds sll d ud d Bd B d d B d ll Lösu H d D ll Lösu lu: B d d odr * H d B d B d
3 8..5. Tru dr Vrbl E ws Vrr ur Lösu o Drllu rsr Ordu s ds dr Tru dr Vrbl. Db wrd d Drllu u For br b dr d Vrbl ud ur o odr r Tr ur. D sd Glu d soor rr wrd. Bsl: d Q Q d d bw. Q d d d d d bw. d d l bw. Q Hoo Glu odr Älsdrllu For Drllu dr For d d ud odr wob oo Fuo o l Grd sd ß oo Glu odr Älsdrllu. E s Fuo ß oo o Grd w b roorolr Ädru llr Vrbl u d rooroläsor α s dr Fuoswr u d For α ädr. Forl Do: E Fuo u d dsol rll Vorru Φ: ß oo o Grd u d w ür ll l:. Fuo dss Ts sd w. B. d Wrsswsss ud d urwsss. Zu Bsl s d Fuo oo o Grd d Lösuss B oo Glu odr Älsdrllu Tru dr Vrbl dur d Subsuo rr wrd.
4 4 Bsl: Es soll d Drllu lös wrd. Db sd ud oo Fuo w Grds. dr Subsuo ud wrd d Vrbl r: Iro o d d ls rlbrurlu: b b b d d d l l l l l l Rüsubsuo : Ds Lösu so l s lss odr o l ulös: E Drllu For E Drllu wrd Glu dr For d d odr w Fuo sr d dr Glu d d d ü d.. d l S dr Glu s ds ol Drl dr Fuo. Ds ol Drl df r Fuo wr Vrblr F d For: d F d F df d rll blu F ud F. D Fuo ud sd so d rll blu dr Fuo. U uws dss s s u ols Drl dl u d Usd dss d rll blu bd Vrbl l sd. Db s s l wlr Vrbl urs bl wrd:
5 5 F F. lso uss l: d dl s s u Drllu Lösuss. Ur dr Vorussu dss d d d l rr wrd dr Lösu: os d d. Bsl: Es soll d Drllu lös wrd. Ds Glu s d ur 8.. bs 8..4 bsrb ll Vrr l u lös: ) Hoo Glu d d H l b) Ioo Glu d d d B d B ) ll Lösu: H D Glu u w ol srb: d d. Db s ud. Es l wr:. So s d d d ols Drl. Iro d d Ds s bs u ds Vor dr r wälbr Kos ds l Erbs.. D Vorussu dss d d d l s rüll d.. s l. D so rrd For su sodss d d d d d d l. Für d rrd For l old Bu: l l
6 6 Bsl: Es s d Drllu s os u lös. I dr l For d d rb s d Glu os s d d. Übrrüu dr Bdu ür ds ol Drl: d.. ols Drl. su rrd For dr Bu: l l l os s l W dr Sus bw. Kosusuo o soll o br o bä s. lso l: l l l l 6 os s 6. D Iro ds ol Drls bu d Bu d s os s ws dur Dro l u s. d d s s os s D Lösu rb s u: s bw. s Broull s Drllu For Broull s Drllu b d For B α \ Lösuss Zl dss ss s d Rüüru dr Drllu u Drllu rsr Ordu. Es wrd uäs dur l.
7 B D wrd d u Vrbl Dr blu lu. Es rb s drus Drllu rsr Ordu ür (): B ür. Ds DGL läss s d Kl bsrb Vrr lös. slßd wrd rsubsur. Bsl: Gsu wrd d ll Lösu dr old Drllu: 4 ) Lösu o d 4 ; B d d d d ud. 4 (oo DGL) d l l 7 * b) Lösu o (oo Lösu) d d l l l ) Lösu 4 d) Rsubsuo ( ) l l Rs Drllu For RITISHE Drllu ß d Glu ( ) Q R d ll dur dl l udr old Iro lös wrd Lösuss dr Glu Is rulär Lösu ( ) Q R b d d Drllu u lr Drllu rsr Ordu urüür wrd ud wr d s.
8 8 Ds Drllu d For: Q. Bws: s Lösu R Q odr R Q. us ol Q Q R Q R Q Q R Q us dr ll Lösu ür räl dur Rüsubsuo d ll Lösu ür. Bsl: Es wrd d Lösu dr Drllu su. Hrb s Q ud R. E rulär Lösu wurd dur robr ud. ( o s!) D Subsuo rb d Glu odr. D Lösu äß 8..4 rb: d d d B d B H d d d d D Rüsubsuo rb: Erwäswr s db dss b Ks r w rulär Lösu dr Glu rulär Lösu dr Drllu räl. räl.b. ür. D s sol rulär Lösu dr DGL. H o dr Lösu ud.b. ür d l ür d ll Lösu dr RITISHE Drllu d Forl:. I Bsl:
9 9 8.. Drllu r Ordu ud Ss rsr Ordu 8... For o Ss o Drllu rsr Ordu: Koosrbws: Vorsrbws: swrrobl: 8... For o Ss o Drllu r Ordu: Drllu r Ordu wrd srb dr For Lösuss: Es wrd Subsuo durür. : : : : : Drus ol ds u Ss o Drllu ud d u sbdu: ' ud ' Bsl: D old Drllu drr Ordu wrd Ss o Drllu rsr Ordu usrb: ls Ss rb s:
10 b ' ll Lösu: D ll Lösu r Drllu dr For äl ubä wllürl Kos. Ds l l ür d ll Lösu o Ss o Drllu. F F F Ds Lösusr bru dru dss rsu wrd d Ordu ls Subsuo dr Vrbl u rdr u r Drllu u rl. Ds ud ssdr Subsuo wrd rlr dur d Ursdu rsdr Fäll:. D ubä Vrbl s l dr Drllu l. D Subsuo lu d d d d d d d. D wrd d Ordu o u ( ) rrr. Bsl: D Drllu wr Ordu (Swusdrllu) wrd uäs Drllu rsr Ordu usrb: D Subsuo lu d d d d d d d d d d d. d d d d (DGL rsr Ordu) Tru dr Vrbl ud Iro: ) ( d d Zw Iro d d d
11 Tru dr Vrbl ud Iro: d d d Subsuo os s d d s os d D Rüsubsuo lr d ll Lösu d w r wälbr Kos ud φ : s Hl dr ddosor ds Lösu u w ol srb wrd: os s. D bä Vrbl s l dr Drllu l. D Subsuo lu ür d ls drs dr Drllu orod blu o. D Ordu dr DGL wrd d u s rrr. Bsl: D Drllu wr Ordu bsrb d Fllbwu s Fllsrsrrs. Db s s ss ud dr Lurbuso. Wrd ds Glu dur ddr so l d Vrbl dr Drllu: D Subsuo lu d d d. D Vrbl r d Bduu dr Gswd () ds Flls. Es rb s DGL rsr Ordu: (Ordu u s rrr) Lösu: d d l odr bslßd wrd ws l rr u () u rl: d Hl dr sbdu ur Z = lss s d Kos ud bs: S ud.
12 Ds bdu d l Fllswd s. S dr ur Z = urül Fllw D Glu ür d Fllw lu d:. S d bsruö so lu d Glu ür d Fllö ds Fllsrsrus.. D Drllu s oo Fuo. D Subsuo lu d.. d. D Ordu wrd u s rdr. Bsl: D Drllu wr Ordu s oo o Grd s wl l. Zur Lösu dr Drllu wrd d Subsuo rwd. Db l: ud. Drus ol: W usslß ws u Vorussu ür d Subsuo s d lu d odr DGL rsr Ordu:. Iro Vrblru: d d Rsubsuo: l l d d d ulösu rb d Lösu: l 4. D Drllu s Fuo ur o. D ll Lösu lu d oldrß: d d! ud!
13 Bsl: D Drllu wr Ordu s Fuo ur o. Dur wl Iro wrd d Lösu bs: l 6 l 6 l l d d d d Hlr b dr Lösu o Drllu ur Erdru dr Ordu u d old Bu s:. Bsl: D Drllu wr Ordu bsrb d r Fll r ss us dr Hö ud dr sswd. Zwl Iro lr l d Lösu. Wrd d Glu ullr ud slßd rr so räl Folds:. os E d d d d d d D s bb dr Errluss dr rrs bsä word. D wr Iro s w olrr: 4 d d D rb s ds l Erbs w b dr dr Iro Lrurws: Gurs u drr Drllu bd s Bros / Sdjjw / usol / ül: Tsbu dr (5. ul ) u d S 54 bs 54.
14 8.4. Lr Drllus Ss rsr Ordu Lrs Drllus Ss rsr Ordu: Es d For: ud Is so ß ds Ss oo sos oo. Is os r so sr o Ss os Ko. us dr Uru 5. bs 5. soll ur DGL Ss os r bdl wrd Lösbr: Sd d El dr r ud d Fuo s b Irll so ds DGL Ss u Lösu ds Irll Lrobo o Lösu s oo lr DGL Sss: Sd Lösu s oo lr DGL Sss d s u jd blb Lrobo o Lösu wdr u Lösu Lr bä lr Ubä o Lösu: D Fuo u Irll lr ubä lls ür ll us d ol. lr bä. s Irll us drlls ß l lr ubär Lösu: Is d r lr ubä Lösu ds Irll. s Irll ür d ds Ss Fudlss (FS) Fudlr Übrrusr: Fudlss: E Ss lr ubär Lösu o 4 u ß Fudlss Fudlr: ls Fudlr b d r Y. D rll wäl Fudlr röl sär d dr Bru s oo
15 Lösusls: Y H Es dr Fudlr:. Y Y Y Übrrusr odr orr r: Y ˆ Y Y D (ss rll) Übrrusr lu: Hoor Lösusl ds DGL Sss br dr Übrrusr: ˆ Y H Es dr Übrrusr:. Yˆ Yˆ. Yˆ E. Yˆ Yˆ Yˆ 4. ˆ ˆ Y Y Wros Dr s oo lr DGL Sss: Hb d Lösu d Dso so wrd W d r Wros Dr. Is d Wros Dr W ür ll so bld d Lösu Fudlss. Für lr Drllu r Ordu wrd d Wros Dr ws drs dr Lösusrr ür lr Drllus Ss rsr Ordu: D ll Lösu s s us us oo Lösusl ud rulär Lösusl. H Bsu ds oo Lösusls:. Sr: D oo lr DGL Ss wrd Hl dr Eor ud dr Ewr dr r lös. us dr rrss Glu 5
16 6 d E räl ollsäds Ss o (ol) Wurl (= ullsll) (Ewr o ).. Sr: D sd w Fäll u ursd.. Fll: Vrsd Wurl dr Glu E räl ür jd dr Wurl j Lösusor dr orr wrd uss. Ds (ol) Fudlss rb s d u Fold: FS: Tr d ollsäd Ss dr Wurl ol Wurl u (.B. ) d o d Ss u d ojur ol Wurl or. Drus ol d dss u d uör Lösusor ojur ol sd. Ds bd ol Lösu ö dur w rll Lösusor rs wrd. S lu oldrß: R I D bd Vor sr d Rl bw. d Iärl o. Bsl: Gsu wrd d ll Lösu ds old DGL Sss. E bw. E.
17 Drus rb s d bd ol Lösu ud U w rll Lösusor u rl wrd d Eulrs Glu os s bu: os s R ud I. os s s os dr Wros Dr wrd übrrü ob u ds bd Lösu Fudlss bld: os s d d.. j s s Fudlss. os s s os D rll Lösu ds Sss s: os os s s s os. Fll: r Wurl D Wurl r r l u. D Lösu d dr r Wurl Fudlss sr räl d s r u u u. r Ds urd olo s o Grd r. D Vor u sd ubs. S u ds DGL Ss so s lrs Glusss ür d Voroord o d r srd dr Vl dr Wurl blb wälbr sd. Bsl: Gsu wrd d ll Lösu ds old DGL Sss. E Dr Wurl sr dr Lösuss:. Es ds DGL Ss rb 7
18 8. D Vl dr Wurl s w dr u bud s lu d: b b b Es ds DGL Ss ud ulös ds lr Glussss ür u: b b b b b D Fudllösu u lu d: S bld us Fudlss. D ll Lösu lu: I ll Fll d.. ubä o dr Vl dr Ewr dr r s ds old Lösusr wdbr. Es s d r so bsrb Vrr äqul. Lösusr ur Vrwdu dr Übrrusr: dr Bsu dr Übrrusr us d Fudlss äß dr Forl ˆ Y Y Y rb s d oo rll Lösu ds orb swrrobls u Fold: ˆ Y H r u d Es dr Übrrusr bd s ur u Bsu ds rulär Lösusls:. Sr: Für ds Sörld ds DGL Sss wrd oldr s : q q s os D Zl ud üss rll s dr Ewr o s. q ud q sd rll Vorolo. Is μ Ewr so wrd. Sr l Ädru oro.
19 9. Sr: bld d d so ol Söruo: q q q q. Sr: Dr äs s lu: q rd rd Flls μ Ewr s so wrd dsr s : q rd rd Ds ru wr sär Glusss örr Ordu sos üss br Fllursdu ür d Fuoswr o μ rrss olo oro wrd d ws r Z bsru. 4. Sr: Dsr s ür d rulär Lösu wrd ds DGL Ss s. E q dr l Glu lss s d Ko o rl. D räl d rulär Lösu. Bsl: Gsu s rulär Lösu ds old DGL Sss: d rs s ol: q q q I äs Sr wrd u dsr Lösuss ds DGL Ss s ud d ub Ko rl.
20 Lösusr ur Vrwdu dr Übrrusr: u d rulär Lösu läss s Hl dr Übrrusr rl. S lu ll: Y ˆ Yˆ s s ds Zur Bru ds Vors sd dr Rl ws usllr Irl u lös. Bsl: Gsu wrd rulär Lösu u old DGL Ss dss Übrrusr brs bs wurd. s Yˆ dr obsd Forl rb s d: Yˆ s s os s s s s s os s s ds s os s s ds s s s s s os s s os s os os s D rulär Lösu lu: Yˆ s os os s s s s os ds s os s s s s s ds s s s os s s s ll Lösu s b swrrobls: Fss ll bs rr wo Erss us so rb s old Forl: Y Y Y d usdrü dr Übrrusr: Yˆ Yˆ d
21 8.5. Lr Drllu r Ordu Lr Drllu r Ordu: Ur r lr Drllu r Ordu rs Drllu dr For. Ds ß oo lls s s ß oo lls s Lösbr: Sd d Ko ud s b Irll so ür us ds Irll ds swrrobl rll u Lösu b Irll. I Fold soll ur Drllu os Ko br wrd Lrobo o Lösu r lr DGL r Ordu: Sd Lösu r oo lr DGL r Ordu d s u jd blb Lrobo o Lösu wdr u Lösu Uoru DGL Ss rsr Ordu: Es wrd Subsuo durür: r Fudlss: D Drsllu ds Fudlsss o Lösu s oldrß us:
22 usll s Fudlsss: Gb s d oo lr DGL r Ordu os Ko: räl Fudlss w u jdr r ullsll d r Lösu r ud u jd r ojur olr ullsll (r ) d r Lösu r r I R s s os os usss Fudlr Übrrusr: S wrd bso usll w b orl DGL Ss: Y S bs ll brs b DGL Ss bsrb Es (s. u 5.4.). Ds usll dr Übrrusr rol srd Wros Dr: lo u DGL Ss lu s: W Is dr Br dr Wros Dr ull so bld d Slor Fudlss ur b Drllu lls Lösusrr: rrsss olo: Zur Drllu wrd ds rrss olo odr rrss Glu oldrß dr: Bsu ds oo Lösusls:. Sr: Zurs wrd d ullsll dr rrss Glu rl.. Sr: D wrd ds rll Fudlss usll.
23 . Sr: D Lösu ds oo DGL ls lu d: H Bsu ds rulär Lösusls:. Sr: Für ds Sörld dr DGL wrd oldr s : q q s os D Zl ud üss rll s. q ud q sd rll olo.. Sr: bld d d so ol Söruo: q q q ud. Sr: Dr äs s lu: q r u u u r rd rdq D rulär (ol) Lösu wrd w ol s: Drus ol d: q! I Fll dss d Drllu wr Ordu s l r: q. 4. Sr: us dr obsd Forl wrd srws ll Ko bs. Du dr Korl d.. Vrl o Rl bw. Iärl u bd S dr Glu wd wrd. R I Drus ol slßl ür d rulär Lösu: os s R Bsl: Gsu wrd d ll Lösu dr old lr Drllu: s E sol ulu ds Sörlds w (odr r) Tl wrd d owd w s osl d ll For q os q s o Sörldr bs. Hoo Lösu: Es wrd d ullsll ds rrss olos bs. 5 D ll rll Lösu dr oo Drllu lu d: s H os
24 rulär Lösu: Zu : 5 Korl lr: Zu s 4 : 4 s q os q q q q 4 ls äss wrd dr s q Ko o u bs. Ds rb s u Fold: bu u d ub D ll Lösu ds w Tls o Sörld lu d: 4 4 R R os s D ll Lösu dr s Drllu rb s so u: H os s s os Tbll ur Lösusbss o lr oo Drllu. Ordu os Ko: D oo Lösu lu ) ud () us dr u sd Tbll. ullsll o H Lösusbss dr Drllu os s 4
Quantenmechanik I SS 2004 Quantendynamik im Heisenbergbild 54. V. Quantendynamik im Heisenbergbild. 5.1) Heisenberg sche Form der Bewegungsgleichung
Quk I SS 4 Quyk sbrgbl 54. Quyk sbrgbl 5.) sbrg s For r Bwgugsglug Wr ko u ols zu sbrgforlsus zurük. Wr rr us r ss r Urs zws Srögrbl u sbrgbl r wr ss b sbrg Zbäggk Opror lg u Zusä zubägg s wär b Srögr
2.8 Das Bohrsche Atommodell (Wiederholung und Fortsetzung)
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3. Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsmodelle
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Mathematik für Wirtschaftsinformatik. Ulrich Hoffmann. Technical Reports and Working Papers Leuphana Universität Lüneburg
3 Jhrgg H Oor 3 ISSN 939-88 FIAL Mh ür Wrschsor Ulrch Ho Tchcl Rors d Worg Prs Luh Uvrsä Lüurg Hrsg dr Schrrh FINAL: Ulrch Ho Schrhorssrß D-335 Lüurg Mh ür Wrschsor Pro Dr rr Ulrch Ho Ürr Fssug Oor 3
Einschub: Fourier-Transformation
Ermlhys III TU Dormud WS/4 Shu Kh @ TU - Dormud. d Kl Eschub: Fourr-Trsormo Prodsch Vorgäg Nur ud Tch Erdroo, Hrzschlg, Schll, Lch, Schwgrs... movr d Zrlgug s Vorggs d blg Frquz. Bm Lch gschh ds m Prsm
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Kerne 2, 2.Teil. Inhalt
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Lösung der Schrödinger- Gleichung für ein Harmonisches Potential.
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dt ist stabil, wenn es für gegebene Werte ε > 0 und t 0 einen Wert η = η( ε,t 0 ) gibt, so daß jede
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Mikrofon. Vorverstärker. Digitales Signal (zeit- und wertediskret) Analoges Signal (zeit- und wertekontinuierlich) Digitalisierung
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nachfolgend stellen wir Ihnen zusammenfassend das Ergebnis der Jahresabrechnung 2015 für Ihre Wohnung dar:
Hrr x usr usrsrß usrsd Ojk - usrsrß D- usrsd iür wr Jhrsrchu für Ihr ihi N v.. is.. Köl,.. hr hrr Hrr Hrr usr, chfld sll wir Ih zusfssd ds ris dr Jhrsrchu für Ihr hu dr: wirschfusks. izlrchu., irsvrpflichu
3.1 Definition, Einheitsvektoren, Komponenten, Rechenregeln, Vektorraum
. Vktorn. Dfnton, Enhtsvktorn, Komponntn, Rchnrgln, Vktorrum Nn sklrn (Zhln mt Mßnht w Mss, Enrg, Druck usw.) wrdn n dr Physk vktorll Größn ("Pfl" mt Rchtung und Läng) vrwndt: Ortsvktor, Gschwndgkt, Vrschung,