Mathematik für Wirtschaftsinformatik. Ulrich Hoffmann. Technical Reports and Working Papers Leuphana Universität Lüneburg

Transkript

1 3 Jhrgg H Oor 3 ISSN FIAL Mh ür Wrschsor Ulrch Ho Tchcl Rors d Worg Prs Luh Uvrsä Lüurg Hrsg dr Schrrh FINAL: Ulrch Ho Schrhorssrß D-335 Lüurg

2

3 Mh ür Wrschsor Pro Dr rr Ulrch Ho Ürr Fssug Oor 3 Ds vorlgd Sr d ls gld Urlg ür d Vrslug Mh ür Wrschsor ud wrr Vrslug dr Luh Uvrsä Lüurg hllch Bug ur Mh ür Wrschsorr ud Iorr D Durchrug ds Srs rs ch d Bsuch dr Vrslug d dor usälch Zushäg rgäd Schvrhl ud Sr ch usgühr Ihl hdl wrd Dss Sr s ürr Fssug dr Vrölchug Corgh: Ho U: Mh ür Wrschsorr ud Iorr & Üug FINAL 7: 7 ISSN Ggür dsr Aulg wurd g Fhlr rchg ud Bwsd rgä D Kl ur Eührug dr Igrlrchug ud ur Whrschlchshor ud Ss sd u hugo

4

5 Vorwor Ds vorlgd Sr d ls Urlg ür Vrslug ur Mh ür Wrschsorr ud Iorr d rs Sudssr dr Luh Uvrsä Lüurg Es wrd Schulss dr Mh ud dr Wll sch hr odr wgr sr Schvrhl usdrs u woll vorusgs D Thuswhl rolg Blc u d Awdug dr Ior ud dr Wrschsor Schwru dsr Awdug sd d sär Ssr hdl Alsvrhr dr Thor dr Dsruur ud Algorh dr Thorsch Ior ssodr dr Agwd Koläshor ud dr Krolog D ür d Vorghsws ud Arguosch dr Ior sodrs wchg Pr dr vollsädg Iduo wrd gs Kl gwd ud sär Kl hrr uch chrvl Bsl drgsll Drür hus wrd Grudlg vrl d d Vrsäds wrschswssschlchr Zushäg d So wurd Th us vrschd G dr Mh usgwähl dr Ihl sär Sudu vo Blg sd: us dr lr Zhlhor dr Koor dr Alss dr Lr Algr ud dr Whrschlchshor ud dr Ss Üugsug Lösug u d l Kl rgä ds Sr gsodr T D Durchrug ds Srs rs ch d Bsuch dr Vrslug ur Mh d dor usälch wchg Zushäg Bsl ud hsch Bws d d Vrsäds dr hsch Sä d rläur ud rgäd Schvrhl hdl wrd Ds Sr vrch glglch u d Drsllug dr hsch Bws w s ür d Rh ds Ts husgh Asos wrd d d Sä drgsll Schvrhl uch orl grüd Dr Lsr wrd schll ssll dss sch dr Schwrgsgrd dr Errug dr l Th Vrlu ds Ts rhöh Dss vl hsch T här Prol soll ch dvor schrc sch wr ud rghd hsch Schvrhl u schäg Vlhr soll s Ar s sch Gduld ud Durchhlwll uch schwrg Ihl ug Dr llull Gw soll d ch urschä wrd

6 Lruruswhl ur gld Lür Agr M: Dsr Mh 6 Aul Vwg+Tur 6 Brholoé A; Rug J; Kr H: Zhlhor ür Esgr 7 AulVwg+Tur Bulschr A: Lr Algr 7 AulVwg+Tur 9 Bulschr A; Nu HB; Schwrul T: Krogr Thor ud Prs Aul Vwg+Tur Bor F: Kor Alss Srgr 8 Fs M: Whrschlchsrchug ud hsch Ss Aul Duschr Vrlg dr Wsssch 989 Hchrgr D: Mh ür Iorr Aul Prso Sudu 8 Hggr R: Dsr Mh ür Iorr Prso Sudu 4 Hr P: Mh ür Iorr 5 Aul Vwg+Tur H N: Sochs ür Esgr 9 Aul Vwg+Tur Ml C; Mudh M: Mhsch Grudlg dr Ior 5 Aul Vwg+Tur Purr W: Brücurs Mh ür Wrschswssschr 7 Aul Vwg+Tur Schr J: Sssch Mhod dr VWL ud BWL 4 Aul Prso Sudu Sdsær K; Hod P: Mh ür Wrschswssschlr 3 Aul Prso Sudu 9 Sdsær K; Hod P; Srsd A; Srø A: Furhr Mhcs or Ecooc Alss Prso Educo 5 Zwr K: Ss vrsh Ecl Aul Oldourg 8 Wrührd hsch Wr: Grh RL; Kuh DE; Psh O: Cocr Mhcs Aul Addso- Wsl Murr SB; Rlso A: Dscr Algorhc Mhcs 3 Aul Addso-Wsl 4 Y SY: Nur Thor or Coug Aul Srgr

7 Ihlsvrchs Lruruswhl ur gld Lür 4 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl 7 Mg 7 Aussg ud dr logsch Vrüug 3 Bwsch 7 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 5 Vollsädg Iduo 46 6 Edlch Su 53 7 Elr Uglchug 6 Aldug 65 Allgs 65 Grudlgd Egsch vo Aldug 69 3 Ausgwähl Th dr lr Zhlhor 8 3 Prhl 8 3 Modulr Arh Dr Euldsch Algorhus 9 34 Wr usgwähl Ergss dr lr Zhlhor Awdug dr Krolog 3 4 Ausgwähl Th dr Koor 7 4 Bolo 7 4 Aldug wsch dlch Mg 7 43 Ds Pr vo Iluso ud Eluso 9 5 Ausgwähl Th dr Alss 35 5 Folg ud Rh 35 5 Egsch rllr Fuo r Vrädrlch 6 53 Polo Groch rol Fuo Eol- ud Logrhusuo 8 56 Eührug d Drlrchug D Rgl vo d l Hosl 6 58 Ds Nwo-Vrhr 59 Tlorolo 5 5 Focc-Zhl 47 5 Erugd Fuo 53 5 Ahlrchug Bäräu 6 53 Eührug d Igrlrchug 7 6 Ds Lös lrr Glchugsss 88 6 Mr ud Vor 88 6 Lr Glchugsss Ivrr vo Mr 39

8 7 Ausgwähl Th dr Whrschlchshor ud Ss 35 7 Bchug ud Ergss us dr Whrschlchshor 35 7 Zullsvrl 3 73 Mhrdsol Zullsvrl Kovr ud Korrloso Brug u rugd ud chrrssch Fuo Bsl vo Vrlug Grwrsä Puschäug Irvllschäug Hohsss 39

9 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl I ds Kl wrd grudlgd Do Bchug ud Rgl us vrschd G dr Mh usgsll D wrd gwss Vrruh dr Sol dr Mh vorusgs Elrsch ür d osch Eührug r hsch Grudsruur wrd dr sssch Auu ds Zhlsss vo d ürlch s u d ol Zhl schr D Mh grüd hr Thor orl jwls durch Ss vo Ao dh Grudussg d Tl dr hsch Wl ls Bssus d u us h Aussg ud Erss ür ds Tl dr hsch Wl ul Dr Alugsvorgg wrd durch dr logsch Schlussrgl gsur So wurd vrsuch d Auu dr gs Mh ssodr d Auu ds Zhlsss ud dr Mglhr srg osch u grüd D Ewclug srchdr Aoss w d Ers ür Gr dr Möglch dss Ass ö ls ürrgd Ergss dr hsch Forschug ds 9 ud Jhrhudrs gsh wrd Ldr srg orl Bhdlug dsr Th d Rh r uvrsär Aägrvrslug so dss olgd usgwähl Th us l Tlg dr Mh d ür d sär Iorusldug vo Bduug sd hr schulch ud uv schr wrd Nürlch wrd uch hr Präso d Bgr ud orl Korrh dr Arguo vrsuch Mg D Do ds Bgrs Mg ghör u d grudlgd Bus dr Mh D orl Bhdlug s d Grudlg dr Mh vorhl Gorg Cor dr Bgrüdr dr Mglhr h d Bgr dr Mg schulch olgdrß dr: E Mg s Zusssug vo s wohlurschdr Oj usrr Aschuug odr usrs Ds u G E Mg A durch d Auählug dr hr hl El schr wrd B A c d g h j l o q r r u v w ls d Mg dr Buchs usrs Alhs Klschrug oh Ulu Flls d l El dr Auählug llg gläug sd schrä sch häug u d A c w u d Ag Ag dr rs ud l El w

10 8 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl dr rs El B glch 4 sd A ls d Mg llr grd Zhl d größr odr Zu ch s dss s dr Auählug u d Rholg dr El r Mg ch o ud dss glch El dr Auählug ur l gg wrd Shr häug wrd Mg durch chrrssch Egsch schr d jd hrr El uo ud wr dr For h d Egsch B s Lösug dr Glchug 3 M L odr uähldr Schrws L 3 A gschr- Lg El dr Mg A s dr Mg A hl so wrd ; lg ch A so wrd A gschr D lr Mg ch s djg Mg d El häl Bs ll El r Mg A uch d Egsch durch d d El r Mg B gch sd so s A Tlg vo B gschr A B Ehäl B dss El ds ch A voro so s A ch Tlg vo B gschr A B Wrd lso d El vo B durch d Egsch E E E chrrsr dh B h d Egsch E E ud wrd d El vo A durch d Eg- E chrrsr dh A d Egsch E h wo l- sch E l Egsch E E E ur d Egsch E d Egsch E E E voro odr sch us E durch logsch Schlüss l lss so s A B D El r Tlg A r Mg B wrd lso dr Rgl durch hr Egsch chrrsr ls d El dr Org B Für jd Mg A gl d d Tlghug A ud A A Zw Mg A ud B sd glch gschr A B w ür jds El A uch B ud ür jds B uch A gl w lso sowohl A B ls uch B A gl

11 Mg 9 D Vrgug dr Mg A ud B gschr A B A odr B odr d Mg lg: A B A odr B sh us d El d Dr Sch dr Mg A ud B gschr A B A ls uch B lg: A B A ud B sh us d El d sowohl D Dr dr Mg B ud A gschr B \ A sh us d El d B r ch A lg: B \ A B ud A Is A B so s ds Kol dr Mg A üglch dr Mg B gschr dr durch A B B A ud B A Oschlch s ür A B B A = B \ A Für Mg A ch A d Ahl dr El odr d Mächg vo A M P A wrd d Pog dr Mg A ch d us ll Tlg dr Mg A sh dh A L L A P Bslsws lu ür A 3 d Pog A P Für Mg A A A wrd ds rssch Produ dr ls A A A A A A wrd ls -Tul ch B -Tul E El A A A srch uch vo Pr E -sllg Rlo R u r Mg M s Tlg vo r wsllg Rlo R M M M B -l M M schr sll vo R häug R

12 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl D grudlgd Rchrgl ür Oro Mg wrd olgd S usgss: S -: Es s olgd A B ud C Mg D gl: A A A A B A A B B A A B B A B A B B A A B B A Kouvgs v A B C A B C A B C A B C ds Rgl rchrg d Schrws B C A B C B C A B C A B C A ud A B C A Assovgs; v A B A \ B A B B \ A d rch S s dsju Zrlgug vo w A B D hß Zrlgug M M M dr Mg M dsju M M s v A B C A B A C A B C A B A C Dsruvgs v A A B A A A B A v Is C A C so s A A C Sd A C ud B C so gl C C C C C C A B A B A B A B Rgl vo d Morg Sd A C ud B C so olg us A B d Bhug ughr C C B A ud Brug: D Vorussug A C w B C d Aussg v wurd ur gch wl ds Kol r Mg A rlv u r d Mg A ussd Mg C dr wurd

13 Aussg ud dr logsch Vrüug Ds Egsch olg dr us d Do; hr Nchws wrd d Lsr ls Üug ürlss Aussg ud dr logsch Vrüug Logsch Aussg dr Mh wrd w Mg srg osch dr Au ds As soll hr lls ugus s uv Ass vrch wrd Ur r hsch logsch Aussg vrsh S logsch Ss dr wdr WAHR odr FALSCH s d Whrhswr WAHR odr FALSCH s uggssrchlch: whr odr lsch s Bslsws s 3 s Prhl Aussg Whrhswr WAHR whr Aussg s rol Zhl Aussg Whrhswr FALSCH lsch Aussg Jd grd ürlch Zhl d größr ls s läss sch ls Su wr Prhl drsll Aussg dr Whrhswr och ch s d r dr d Whrhswr WAHR odr FALSCH s Dr S Dsr S h d Whrhswr FALSCH s hsch Aussg d r wdr d Whrhswr WAHR och FALSCH h Drrg Sä d slsog ssch Aussg vrsuch hß Prdo Sd P ud Q Aussg so s Hl dr logsch Juor ud odr w ch u u Aussg P Q P Q w P uss D häug u d Klr vrch w dss dr Juor särr ls dr Juor ud dsr särr ls dr Juor d D Whrhswr dr usgs Aussg rg sch us d Whrhswr dr Tl gäß olgdr Whrhsl: Whrhswr vo P Q P Q P Q FALSCH FALSCH FALSCH FALSCH FALSCH WAHR FALSCH WAHR WAHR FALSCH FALSCH WAHR WAHR WAHR WAHR WAHR Bchug Kojuo Dsjuo

14 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl Whrhswr vo P P FALSCH WAHR Bchug WAHR FALSCH Ngo N ds dr Juor wrd logsch Aussg häug och d Juor lr h ur Folg us olg s glchdud gl gu d w gl ud lusvs odr dr glschsrchg Fchlrur uch OR vrwd d durch olgd Whrhsl dr sd: Whrhswr vo P Q P Q P Q P Q FALSCH FALSCH WAHR WAHR FALSCH FALSCH WAHR WAHR FALSCH WAHR WAHR FALSCH FALSCH FALSCH WAHR WAHR WAHR WAHR WAHR FALSCH Bchug Ilo Äquvl Avl U d Whrhswr r ol Aussg u rl d us durch Juor vrud Tlussg sh wrd ll Koo vo Whrhswr d Grudussg dh d Tlussg d Juor rhl gs ud durch Awdug ogr Whrhsl d sch rgd Whrhswr ur Bchug dr Klrsug w Bdug dr Juor rl Bsl: P Q P Q P Q FALSCH FALSCH WAHR FALSCH W F F FALSCH WAHR WAHR WAHR W W W WAHR FALSCH FALSCH WAHR F F F WAHR WAHR WAHR FALSCH F F W P Q P Q P Q FALSCH FALSCH WAHR WAHR W W F FALSCH WAHR WAHR WAHR W W W WAHR FALSCH FALSCH WAHR F F F WAHR WAHR WAHR WAHR F W W

15 Aussg ud dr logsch Vrüug 3 E usgs Aussg dr Whrhswr ll öglch Blgug Whrhswr dr Tlussg d Juor hl ss WAHR s hß Tuolog Bslws sd d Aussg P P ud P Q P r P Q P Q Q Tuolog ch Ds Bsl P Q P Q g dss d Juor durch d Juor ud usdrüc d r Aussg jds Aur r Tlussg dr For P Q durch d Tlussg P Q rs Dr Juor s Grud lso ürlüssg ur vrch r d Sruur dr Aussg ud rhöh d hr Lsr Dr olgd S g dss sch uch d dr Juor ud Hl dr Juor ud usdrüc lss d sch jwls ls ud rchs ds Juors d glch Whrhswr rg Tl v g dss uch ud h u ll Juor ud usudrüc

16 4 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl S -: Es s P ud Q Aussg D sd d olgd Aussg Tuolog P Q P Q vrchr Schrws: P Q P Q P Q P Q vrchr Schrws: P Q P Q P Q P Q Q P P Q P Q Q P vrchr Schrws: P Q P Q Q P P Q P Q Q P vrchr Schrws: P Q P Q Q P v P Q P Q P Q vrchr Schrws: P Q P Q P Q P Q P Q Q P vrchr Schrws: P Q P Q Q P v P Q P Q vrchr Schrws: P Q P Q v P P Q Q Modus os Dr Nchws dsr Aussg rolg durch Auswrug dr srchd Whrhsl

17 Aussg ud dr logsch Vrüug 5 Brug: M o sogr ur Juor us u ll dr Juor usudrüc Du wrd dr Juor durch olgd Whrhsl dr: Whrhswr vo P Q P Q FALSCH FALSCH WAHR FALSCH WAHR WAHR WAHR FALSCH WAHR WAHR WAHR FALSCH Bchug Es gl P Q P Q usdrüc durch P P Q P Q Shr-Oro ud d s P P ud s s Q glchwrg läss sch P glchwrg Dr olgd S g sruurll Äquvl wsch Sä dr lr Mglhr S - ud dr Aussglog S -: S -: Es s P Q ud R Aussg D Aussg W h d Whrhswr WAHR d Aussg F h d Whrhswr FALSCH D sd d olgd Aussg Tuolog Es s olgd A B ud C Mg D gl: P F F A A A P F P P Q P P Q Q P P Q Q P Q P Q Q P P Q Q P Kouvgs A B A A B B A A B B A B A B B A A B B A Kouvgs /

18 6 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl v P Q R P Q P Q R P Q R R Assovgs; ds Rgl rchrg d Schrws P Q R sll vo P Q R ud P Q R vo P Q R sll v A B C A B C A B C A BC Assovgs v P Q P Q P Q Q P v A B A \ B A B B \ A v P Q R P Q P R P Q R P Q P R Dsruvgs v A B C A B AC A B C A B A C Dsruvgs v P P Q P P P Q P v A A B A A A B A v P P v Is C A C so s A A C P Q P Q P Q P Q Rgl vo d Morg Sd A C ud B C so gl C C C A B A B C C C A B A B Rgl vo d Morg Sd A C ud B C so olg us P Q Q P A B d Bhug ughr C C B A ud Allg gl dss S dr lr Mglhr dr ur d Rloch = C ud ud d Oror w Kol vrwd orrsodrd logsch Aussg s ud ughr d Ersug gäß olgdr Tll vor Elr Mglhr = C Aussglog

19 3 Bwsch 7 D Erwrug dr Aussglog ühr u d Prädlog rsr Su dr logsch Sä orulr wrd d d Quor ür ll ud s g hl ö wo ür r Vrl Forl qur wrd Bsl: s Prhl N l Au wrührd Eührug d hsch Log soll hr jdoch vrch wrd 3 Bwsch U d Whrhswr r ol Aussg u rl d us Tlussg sh d durch Juor vrud sd wrd hschr Bws gühr Dsr sh us r Adrrhug logschr Schlüss d gu sr Schlussrgl olg ud jdr dug chvollhr sd uds s soll D Grudlg llr Bws horsch Ss s Mg vo Ao d ls whr go wrd ud vrüg Bsrug dr ugrudlgd Thor ld Außrd g s dlch Mg vo Schlussrgl d s rlu us Aussg d rs ls whr r wurd du ghör d Ao dr Whrhswr ls WAHR go wrd u whr Aussg hrul Forl s Bws s hsch Ss P Adrrhug vo Aussg wo Ag Ao odr rs ws hsch Sä dh Sä d Whrhswr WAHR sh ud glch P s D Ürgg vo r Zl ur Zl rhäl slsws d Tuolog w us S - wd: Is d l S r Tuolog dr For Q R dh h dsl Sruur w Q d s glch R E wr Möglch dr Bwsührug sh dr Awdug dr ls Modus os Tuolog P P Q Q S - v Is j j Zl d dr Aussg P glchus s ud h d For P Q d s glch Q W lso d Aussg P Zl j rs ls Aussg d Whrhswr WAHR r h ud Zl ssll dss d Gülg dr Aussg P d Gülg dr Aussg Q lr d s Q Aussg d Whrhswr WAHR

20 8 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl Oh dsr Sll gur u d orl Vorgg ds Bwss dr Mh ugh wrd g öglch Vorghsws Bwsührug vo Aussg schr A Drr Bws: D o schr Vorghsws s Bsl ür dr Bws Häug r hsch Aussg dr For P Q u Für Bws dsr Aussg olgdrß vorgh: M dss P d Whrhswr WAHR s dss P whr s Durch gg Arguo Awdug logschr Schlüss g dss d uch Q d Whrhswr WAHR h dss Q whr s Bsl: Es s olgd Aussg u ws: Is Prhl d größr odr glch 5 s so s durch 4 lr D Aussg s d For P Q P: s Prhl d größr odr glch 5 s ud Q: s durch 4 lr Für d Bws olgdrß rgur wrd: Es s Prhl 5 Aussg P wrd ls WAHR go D Zhl ud sd dr udrolgd Zhl Gu vo h s durch 3 lr D Prhl s lso ur durch ± odr ± lr s ud 5 vorusgs wrd o ur dr Zhl odr Frg D Prhl ud 5 s sd sowohl ls uch grd Zhl lso durch lr E vo w udrolgd grd Zhl läss sch durch 4 l Isgs rg sch: E dr Zhl odr s durch 3 lr dr Zhl odr s durch 4 lr ud d dr dr d Zhl s durch lr Dhr wrd Aussg Q h d Whrhswr WAHR durch 4 gl E Prhl s ürlch Zhl d ur durch ± odr ± oh Rs lr s

21 3 Bwsch 9 B Idrr Bws: Zu Bws dr Aussg P Q g Q P wl vull d Arguo dsr Rchug chr s Dr dr Bws ruh u dr Tuolog P Q Q P S - Bsl: Es s olgd Aussg u ws: Is ugrd wo g Zhl s d s ugrd D Aussg s d For P Q P: s ugrd ud Q: s ugrd Für d Bws olgdrß rgur wrd: Es s grd D Aussg Q wrd ls WAHR go Ds du r g Zhl D s 4 grd D Aussg P h d Whrhswr WAHR C Bws r Äquvl: U d Aussg P Q u ws sd w Rchug u g älch Bws ür P Q ud Bws ür Q P Häug r Äquvl uch dr For P Q ud Q R I ds Fll sll dr vr Bws ür P Q Q P Q R ud R Q uch dr Bws älch ür P Q Q R ud R P rrg D Bws durch Wdrsruch: Zu Bws dr Gülg r Aussg P dss P d Whrhswr WAHR s Durch gg Arguo Awdug logschr Schlüss g vo r Aussg Q dr Whrhswr vorhr rs ls WAHR r wurd dss ds d d Whrhswr FALSCH s M g lso d Gülg vo

22 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl P Q Q Ds Aussg jdoch ugrud ds Whrhswrs r Ilo ud wg dr Tsch dss Q Q r d Whrhswr FALSCH s ur d gülg s w P d Whrhswr FALSCH w P d Whrhswr WAHR s Bsl: Zu g s d Gülg dr Aussg s rol Zhl w läss sch ch ls Bruch q ürlch Zhl ud q drsll D Aussg P lu hr: läss sch ch ls Bruch q ürlch Zhl ud q drsll Es wrd d Aussg P ls WAHR go dh q ürlch Zhl ud q I Bruch q For d ud q gs ur hrus ür dh ud q h s u gs For ds s d Aussg Q: ud q h s u gs For; Q s d Whrhswr WAHR Aus q olg q ud q lso l d Wr D Prhl s l d Zhl dh D olg q 4 ud q J rg sch dss d Wr q ud d d Zhl q l wdr wl Prhl s Isgs s d Zhl For sowohl vo ls uch vo q; d Aussg Q h lso d Whrhswr FALSCH E Bws durch vollsädg Iduo: Zu Bws vo Aussg ür ürlch Zhl wrd häug d Bwshod dr vollsädg Iduo gs Ds Mhod ruh u r chrrssch Egsch dr ürlch Zhl ud wrd Kl 5 hdl

23 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss I Folgd wrd Ürlc ür d Auu dr wchgs Zhlss gg ud s wrd g grudlgd lgrsch Sruur dr Grudlg llr hr schr Zhlss s d Mg dr ürlch Zhl Ds wrd durch Aoss schr dh durch Rglss ds d Mg dr ürlch Zhl dug durch hr Egsch dr: Ao : N Ao : Für jds N g s ls Ncholgr Ncholgrhl chs El 'N Ao 3: s ch Ncholgr s Els N dh s g N ' Ao 4: Urschdlch El ud h urschdlch Ncholgr Glchdud d s: Sd d Ncholgr ' ud ' wr ürlchr Zhl glch so sd d Zhl ud lls glch Ao 5: E Mg M ürlchr Zhl d d Zhl ud jdr Zhl uch hr Ncholgr ' häl s N dsch N s ds g Modll dss Aosss S schr uch s schr s schr 3 usw Dr - Ncholgr dr s d ürlch Zhl Issodr s ürlch Zhl Ncholgrhl M schr ülchrws N = { 3 4 } Auud u d so dr Grudgsch dr ürlch Zhl wrd rhsch Oro u d ürlch Zhl gühr:

24 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl D Addo + wrd ür d Ncholgr r ürlch Zhl dr durch d rursv Rgl ür jd ürlch Zhl ud jd ürlch Zhl D s slsws 3 5 Au ählch Ws ud durch Zurücührug u d Addo wrd d Mullo gühr: ür jd ürlch Zhl ud jd ürlch Zhl D s D so gühr rhsch Oro güg wchg Gsäßg: Es gl ür jd ürlch Zhl ür jd ürlch Zhl ud ür jd ürlch Zhl : Assovgs Ds Assovgs sg dss s glch Oror u d Rholg dr Klrug ch o; s wrd dhr dr Rgl wgglss Kouvgs Dsruvgs Dr Nchws dsr Rgl rolg durch Rücührug u og Do Bslsws wrd ds Kouvgs dr Addo w olg gg: D Gülg ds Kouvgss wrd uächs ür ud ll N chgws: Für s Für Ncholgrhl s ch Do dr Addo ud dr Tsch dss ds Kouvgs ür ud rs chgws wurd

25 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 3 ch Do dr Addo ür rs gg ch Do dr Addo ch Do dr Addo Aus dr Tsch dss ds Kouvgs ür rs gg wurd wrd s Gülg ür ud ll N chgws: Für s ch Do dr Addo ch Do dr Addo ür rs chgws ch Do dr Addo Für Ncholgrhl s ch Do dr Addo ud dr Tsch dss ds Kouvgs ür ud rs chgws wurd ch Do dr Addo ür rs gg ch Do dr Addo ür rs gg ch Do dr Addo ür rs gg ch Do dr Addo Ählch gh s d Kouvgs dr Mullo: D Gülg ds Kouvgss wrd uächs ür ud ll N gg: Für s Für Ncholgrhl s ch Do dr Mullo ud dr Tsch dss ds Kouvgs ür ud rs chgws wurd ch Do dr Mullo ür rs gg ch Do dr Addo ch Do dr Mullo ch Do dr Mullo Aus dr Tsch dss ds Kouvgs ür rs gg wurd wrd s Gülg ür ud ll N chgws:

26 4 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl Für s ch Do dr Mullo ch Do dr Addo ch Do dr Mullo ür rs chgws ch Do dr Mullo Für Ncholgrhl s ch Do dr Mullo ud dr Tsch dss ds Kouvgs ür ud rs chgws wurd ch Do dr Mullo ch Do dr Addo ür rs chgws ch Do dr Mullo wg dr Kouvä dr Addo ud d d Kouvä ür rs chgws s ch Do dr Mullo ch Do dr Addo ür rs chgws ch Do dr Mullo Zu ch s hr dss d Gülg dr Assovgs ls rs chgws vorusgs wrd S 4-: Es s N ud N D gl Für ud s D Glchug lr odr D Glchug N s ur ür rüll D Glchug s ur ür rüll Lu Do dr Mullo ud dr Addo s Für s ud Ncholgrhl dh ud l d s

27 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 5 lso Ncholgrhl M Ao 3 olg d B- l huug l l sh olgdrß: Für s Is Ncholgrhl ud s N ur öglch d olg us Ao 4 ud I dr w Glchug s : Wär Ncholgrhl Ds s gäß Ao 3 ch öglch Dhr gl ud d s D ürlch Zhl hß lr ls d ürlch Zhl gschr w d Glchug Lösug N s M schr w odr gl Durch ds Fslgug wrd ol Ordugsrlo u d ürlch Zhl dr Erläurug: E wsllg Rlo u r Mg M hß rll Ordugsrlo w ür jds M jds M ud jds c M gl: Rlvä us us ud olg Asr ud c olg c Trsvä E rll Ordugsrlo hß ol Ordugsrlo w ür jds ür jds M usälch gl: M ud odr Vrglchr Dss s sch dr durch dr Rlo u rll Ordugsrlo hdl sh w olg: D Rlvä s wg oschlch

28 6 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl Für d Nchws dr Asr s ud vorus Ds du N ud N Ers dr rs Glchug durch d Ag dr w Glchug so rhäl ud M S 4- olg Aus ud olg N ud N D rs Glchug wrd d w Glchug gs ud rhäl dr Assovä dr Addo Ds g ud d gl d Trsvä dr Rlo D so dr rhsch Oro rlu ur wg wrlch Rchulo Oro w Dr- odr Quoldug ls Uhroro dr Addo w dr Mullo sd ur shr gschrä öglch w ordr dss jwls ds Ergs r dsr Oro wdr El us N rg Dhr ld u dr Bss dr ürlch Zhl Zhlrch d N ud wr so dss d rhsch Oro ud d dr Ordugsrlo u N orgs wrd: M dr u dr Mg durch l N N dr Pr ürlchr Zhl wsllg Rlo gu d w l gl hr s d dr Addo u d ürlch Zhl g Ds Rlo s Äquvlrlo u dr Mg N N sh u Erläurug: E wsllg Rlo ~ u r Mg M hß Äquvlrlo w ür jds M jds M ud jds c M gl: ~ Rlvä us us ~ olg ~ Sr ~ ud ~ c olg ~ c Trsvä Für M ch ~ ~ d u ghörd Äquvllss

29 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 7 Dr olgd S ühr g wchg Egsch r Äquvlrlo u: S 4-: Es s ~ Äquvlrlo u dr Mg M Es s gl ~ gu d w ~ ~ Es gl wdr ~ ~ odr ~ ~ M M ~ M ud M D gl: u dr l S ds Glchhschs sh d Vrgug llr Äquvllss d El us M ld D Gülg dr Aussg sh w olg: Es gl ~ ud s s ~ D s ~ ud dr Trsvä uch ~ Also s ~ sgs ~ ~ Is ughr ~ lso ~ d s dr Rlvä ud dr Trsvä ~ ud ~ dh ~ ~ D olg us ~ ~ chdr: ~ ~ ~ ud ~ lso ~ Bs lso w Äquvllss gss El d sd s glch ~ M d Äquvllss us El us M sh Is ughr M M ~ d s wg dr Rlvä ~ ud ~ ud d ~ M D durch l gu d w l gl dr Rlo s Äquvlrlo u dr Mg N N : Du sd d Egsch Rlvä Sr ud Trsvä chuws: Wg s Rlvä Es gl l Sr dh l D gl uch l lso l Aus l ud l g h olg l ud h l g Dhr gl l h l g D l S gschr wrd ls h l rch S ls g l Aus Ao 4 dr ürlch Zhl olg drus h g dh g h Trsvä d

30 8 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl D Mg dr Äquvllss u dsr Rlo wrd ls Mg Z dr g Zhl ch: Z = N ud N Es s N N Für s N d Lösug dr Glchug schulch D s ud Für s N d Lösug dr Glchug schulch D s ud Dhr uch Z = N N schr D Mg dr ürlch Zhl läss sch Z w durch d Vorschr: D ürlch Zhl N dr Es s d N N ud s wrd owohl hsch orr N Z gschr wrd dr Äquvllss Au Z wrd u d rhsch Oro Addo gschr Z ud Mullo gschr Z dr: Z Z Z Bslsws s lls s; lls s; hr s hr s d Lösug dr Glchug d Lösug dr Glchug 3 Z 4 ud 3 l l l ud l 4 Z Z Hr s u ch dss d Pr Bslsws s jwls dss Wr glch s 3 Z 4 ud 4 3 Z

31 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 9 M sch dvo ürug dss ür d so dr Oro d Assovgs Kouvgs ud Dsruvgs gl Für jd g Zhl w jd g Zhl Z w ud Z Z w gl d Bhug Z I dr so dr Mg Z s u jd Glchug dr For durch Z l lösr: l Z Für s Z Z Z Z l Z Z l Z l l Für g d Glchug srchd Z Ds Aussg du dss s u jdr g Zhl ddv vrs Zhl älch Z g hr s wdr - D Glchug Z dss r dr Wr odr glch h ls g Lösug ud Z d gl ud : Is w ud d ud d ürlch Zhl olg us : odr sh o Guso rgur Z D Ordugsrlo u d ürlch Zhl wrd u r Ordugsrlo Z u d g Zhl orgs: Z gu d w d ürlch Zhl gl;

32 3 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl Z ; Z gu d w d ürlch Zhl gl M ds Do ld d lgrsch Sruur ulllrr ouv Rg Z Z Z Erläurug: E lgrsch Sruur G dr Mg G ud dr wsllg Oro hß Gru w gl: G ür jds G ud jds G Agschlossh dr Oro c c ür jds G jds G ud jds c G Assovä s g El G dr Egsch ür jds G Es s url Els v ür jds G g s El G hß vrss El u ; dss El Ds url El r Gru wrd s d Ag dr Gru ugo: G E Gru G hß ouv Gru w usälch gl: ür jds G ud ür jds G /

33 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 3 E lgrsch Sruur R hß Rg w gl: R s ouv Gru url El R Ds u R üglch dr Oro ddv vrs El wrd ch R ür jds R ud jds R Agschlossh dr Oro c c ür jds R jds R ud jds c R Assovä dr Oro v c c ud c c ür jds R jds R ud jds c R Dsruvä dr Oro ür d Oro E Rg R hß Rg w s El R g ür jds R Es s url Els üglch dr Oro E Rg R hß ouvr Rg w usälch gl: ür jds R ud ür jds R E Rg R hß ulllrrr Rg w usälch gl: D Glchug s ür jds R ur d Lösug Für d Rg R wrd d url El d Ag ds Rgs ugo: R Eg häug vrwd Rchrgl olg ulr us ds Ao:

34 3 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl S 4-3: Ds url El r Gru G s dug s Ds u G vrs El G s dug s Für G ud G Is R Rg üglch dr Oro url El ür s R ud üglch dr Oro url El R d gl R ud R d ddv vrs El ud : D Edug ds url Els r Gru G sh w olg: Sd G ud G url El G d s d urls El G s d urls El G s D Edug ds u G vrs Els rg sch us: Is G vrs u G d s lso wg dr Edu- D s g vrsr El D Aussg lss sch chrch: M ud dr Kouvä dr Oro olg ; wg dr Edug ds url Els üglch dr Oro s dhr Esrchd rg sch ; wg dr Edug vr- sr El üglch dr Oro s dhr Für d l Glchug g dss ddv vrs u ch Do s vrs u üglch dr Oro s d : s; ; wg dr Edug vrsr El -

35 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 33 d osv g Zh- d u I ds S ld d g Zhl N l schlßlch srchd d ürlch Zhl N ud N W o schr läss sch N Z durch d Idrug vo N Asll vo ddv vrs El schr uch d gv g Zhl E rss Egsch olg dr us dr Do dr Mullo gr Zhl: Qudr gr Zhl rg r osv g Zhl: Z ud Z Zur Vrchug wrd Folgd Z N N 3 3 gschr D Z dr Addo Z w d Z dr Mullo Z wrd wdr + w ch d Ordugsrlo Z vrch Z rlu rs Vlhl rssr rhschr Oro jdoch s rchgs Rch dh uch Dvso Uhrug dr Mullo ch r öglch Dhr wrd Z u d Mg dr rol Zhl rwr Auch ds Erwrug rolg wdr orl ür d Do r gg Äquvlrlo u Pr dss Ml vo g Zhl ud Ürgg u d ughörg Äquvllss ud Eug vo Z d Mg dsr Äquvllss: I Folgd s Z Z c Z d Z ud d M dr u dr Mg Z Z dr Pr gr Zhl Rlo ~ durch

36 34 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl ~ c d gu d w d c gl hr s d dr Mullo u d g Zhl g D üglch dsr Äquvlrlo u Pr gr Zhl ghörd Äquvllss wrd ch D rol Zhl sd d gu d Mg dsr Äquvllss: Q = Z ud Z ud M S 4- s c gu d w d c d Z gl D sd ud D Mg dr g Zhl s dr Mg dr rol Zhl g: Z Q ud Z Z Dhr schr wr Z Q owohl uch ds Aussg wdr hsch ch orr s Au Q lss sch Addo Q ud Mullo Q dr d d srchd Oro u Z ors: Für Q ud c d Q wrd dr: c d c Q ud d d c c Q d d D rol Zhl s urls El dr Addo d rol Zhl urls El dr Mullo:

37 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 35 Q Q Zu jdr rol Zhl Q g s dug ddv vrs Zhl gschr Q älch : Q Zu jdr rol Zhl r g s dug ullv vrs Zhl gschr r r r Q Es s r = - : Q Ur dr Dvso s r Q wr Zhl r ud c d c s vrsh d Mullo vo r s : c d c d d c d c s r s r Q Q Q D Ordugsrlo wrd vo Z u Q rwr gschr Q : Es s Q gu d w ud odr ud gl Außrd s d c d c Q Q Q w d gu gl

38 36 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl D osv rol Zhl schlßlch Q sd d Wr gv rol Zhl d Wr Q ud Auch d rol hl sd Qudr osv: Q ud s s ud Z sh o M ds Fslgug ld d lgrsch Sruur Q Q Q dr Ordugsrlo Q gord Körr dr Nchws dr l Egsch wrd ls Üug ohl Erläurug: E lgrsch Sruur K hß Körr w gl: K s ouvr Rg Q d ür jds K g s El K hß ullvs vrss El u ; dss El K s lso ouv Gru d ddv Gru ds Körrs K \ { } s ouv Gru d ullv Gru ds Körrs ud s gl d Dsruvgs Dr Körr K hß gordr Körr w s ol Ordugsrlo u K g olgd Egsch: ür jds K ür jds K ud ür jds K gl: us olg ür jds K ud ür jds K gl: us ud olg

39 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 37 Aus d Do olg S 4-4: Es s K gordr Körr dr Ordugsrlo ud K Ds üglch dr Oro vrs El wrd wdr ud ds üglch dr Oro vrs El Für s ; ; ch D gl: ds Aussg gl jd Körr uhägg vo r Aordug B s ; s Issodr s ud Für wrd uächs gg hru wrd d Aordug vo K ch vrwd: Für K s S 4-3 ds ullv url Els lso wg dr Edug Drus rg sch dss s; olglch s d : ullv vrs u I olg : ; srchd olg : D Aussg rg sch us I olg us dr Aordugsgsch oschlch Für s ud Zur Vrchug wrd wdr d Q dr Addo Q w d Q dr Mullo Q + w ch d Ordugsrlo Q vrch Außrd wrd sll vo vrch gschr I Q sd d wchgs rhsch Oro öglch Jdoch hl dr Ordugsrlo u Q wchg Egsch älch d Vollsädg Bslsw-

40 38 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl s sd d El dr Mg q ud q odr q q Q wohl ch o schrä B durch r 3 s g Q r ls or Schr ür d El dsr Mg d Q häl El dss Qudr rg Dhr wrd d Mg dr rol Zhl so rwr dss d rhsch Oro ud d Ordugsrlo vo Q orgs wrd ud usälch jd chlr ch o schrä Mg ls or Schr s I Bsl dr Mg q q Q ud q odr q wrd ds ls or Schr ch Ds Rsul s dr Körr R dr rll Zhl Dr Erwrugsross u vrschd Ws ur oologsch As vollog wrd B Ddd- Sch ls Fudlolg Irvllschchlug odr durch Dlruchwclug Elrsch wrd hr d Mhod dr Ddd-Sch gg: Erläurug: E Tlg S Q hß Ddd- Sch w gl: S ud S Q Für jds r S s d Mg q q Q ud q r ch Tlg vo S Bdgug hl w Egsch: Is r S ud q Q q r so s uch q S Agschlossh ch u Is r S so g s S r Nchs s Mus Jdr Sch S s ch o schrä: D wär S ch ch o schrä so gä s ür jds q Q r S q r M olg q S lso Q S ud d S Q ws r gäß usgschloss s D Mg R dr rll Zhl s d Mg llr Ddd- Sch I Folgd wrd Sch l grchsch Buchs ch

41 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 39 D Mg dr rol Zhl läss sch R : M Q ud r dr: r Q wrd dr Sch Q ud r R ud Q ud r Q Dss s sch ür jds r Q Q ud r u Sch hdl s lr: oschlch gl ; ür d Nchws vo s ud r q q Q ud q ch Tlg vo ud r r Dhr schr wr r Q ud r r q q ud q Q gl Q d s Q d w Q R owohl ds Aussg hsch ch orr s Sd \ R ud R vrschd Sch so g s q Q q \ odr q I rs Fll s gäß r ud r q r r Q ud r q d s ud q q r Q ; ußrd s s s ch uch ws r rs Fll grd ch gl; dhr s I w Fll olg srchd Isgs wrd u dr Mg dr Sch dh d rll Zhl durch d Mgluso ol Ordugsrlo R dr d d Ordugsrlo u Q ors dh ür r Q ud r Q r r s Q ud r R Q ud r Ds Forsug dr Ordugsrlo u d Sch Q dh u d rll Zhl h d Egsch dss jd chlr ch o schrä Tlg rllr Zhl üglch R ls or Schr Suru R s Vollsädg dr Ordugsrlo Ds Egsch sh w olg: Es s B R chlr ud ch o schrä w durch R D gl ür jds B : w dosgäß Es s Oschlch s ud R ud Q D Mg rüll lso Bdgug dr Do s Schs Bdgug wrd uch rüll: S r dh r ür B D ür Bdgug gl s q q Q ud q r ch Tlg vo ud d vo D rll Zhl s or Schr ür B: D s wr or Schr ür B ud d g s B Wg gl D s dh B

42 4 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl s ls or Schr vo B gud d sls wdr Sch dh rll Zhl s D h dr Sch q q q q q Q q ud q Q ls or Schr d llrdgs ch Q lg älch d ls ch rll Zhl Esrchd läss sch g dss jd chlr ch u schrä Tlg rllr Zhl üglch R größ ur Schr Iu R s S R wrd Folgd gschr D Oro dr Addo ud dr Mullo lss sch vo Q u d Mg dr Sch dh R ors so dss sgs R R R R R u vollsädg gord Körr wrd g Dls ds Nchwss dsr Bhuug wrd hr us Plgrüd ch drgsll: D Addo R wr rllr Zhl Sch ud wrd dr durch R ud M s hr d Addo Q g Es läss sch g dss hrdurch wdr Sch dr wrd dh dss d og Bdgug ud rüll sd Außrd ld R ouv Gru url El dr Addo Q ud R R R Dss R ds url El dr Addo s dh dss ür jds R d Glchug R R gl sh w olg: Is R d h d For s ud s Issodr s R s ud olg Is ughr so s wg d Mg q q ud q vo Ds du d Es s Els ud R R R dh R R Ds ddv vrs El u R s Q ud s g r Q r ud r Es gl älch R R Es s : Q ch Tlg Es s dh R lso ud Zu g s r Q r ud r Wär so s ud Wg r rg sch dr Wdrsruch r Dhr gl dh R

43 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 4 Es s ughr R dh Wg sr Q ud s sr D Mg M N ud s ch lr d ür gl ; ch dss s ud sch ddurch d Uglchug udrh ; olg Folglch h M ls Mg us ürlch Zhl lss El M D gl ud Is ch ds ls El Q \ d g s r r Ds du Dr Wr lg ud d R Is Q \ so s ds ls El gl s Außrd s s ch lss El D ud ud Q \ W o g R D Mullo u R wrd olgdrß dr: Q ud s g r r Für R ud R s R ; r s ud s g s s ud r s s hr d Mullo Q g Ds Mullo wrd u g R orgs durch R R R R R ud R ür R ud R R R ür R ud R R ür R ud R Auch hr läss sch g dss wdr Sch dh rll Zhl s R Ds url El dr Mullo s Q ud R Elrsch wrd hr R R ür R gg: Nch Do s R R Is R R d g s r r ud s s ud r s r M olg Es s ughr Is q q Q ud q so s wg d Mg ch Tlg vo Ds du d Es s Els Für r s r ssodr r R ud r lso Is R R so g s wg R ch dss hr uch vrwd wurd Hr olg R q q Q ud q ud wg Nch s R R R q q Q ud q lls R R Zu R vrs üglch dr Mullo s dr Sch

44 4 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl ch- Q ud wrd Zu R odr Q ud ud dr vrs üglch dr Mullo s odr Du soll lrsch ür R d Glchug R R gg wrd: Nch Do s R Es s R D g s ud s g ud Für s R Is d s ; d wär so wär ud d D rg sch lso R S ughr R dh Es wrd dr Fll rch Für drrgs wrd R gg s R so s wg d lls R : D s g s ud wg R h dss gl Es wrd gs Wg s D schrä s g s ls ürlch Zhl Es s r lso r Außrd s d drlls wär Wdr- D rg sch r M dsr Aschäug olg sruch u r r r r r M sh dss lso s D s r ud r R r Hr s R R R R \ ouv Gru Büglch Addo R ud Mullo R gl d Dsruvgs so dss R R R R R Körr s M dr Ordugsrlo R w wrd R R R u

45 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 43 vollsädg gord Körr Es läss sch g dss r sruurll dr g gord Körr s El R R R hß gv rll Zhl El R R R osv rll Zhl Zur Vrchug wrd ür d Körr dr rll Zhl Folgd wdr R gschr ud s wrd rll Zhl so grch w s us dr Schul gwoh s D Mg R \ Q wrd ls d Mg dr rrol Zhl ch E rrol Zhl hß lgrsch Zhl w s Lösug r Glchug dr For s wo Z ür ud gl Bslsws s ls Lösug dr Glchug lgrsch Zhl E rrol Zhl d ch lgrsch s hß rsd Zhl Zu d rsd Zhl ghör ud Ldr sd uch R och ch ll rhsch Oro öglch So s d Glchug Lösug R Dhr rwr d Zhlrch R ur Whrug dr rhsch Oro: D gär Zhl wrd durch d Egsch dr D s d Mg dr ol Zhl dr durch C = R ud R I dr Drsllug r ol Zhl dr For d d rhsch Sol + w ldglch ls Trch wsch d Koo ud w ud Es wrd rhsch Oro usgühr Für hß dr Rll ud dr Igärl vo D Mg dr rll Zhl s dr Mg dr ol Zhl g:

46 44 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl r r R C ud r r R R Dhr schr wr R C owohl uch ds Aussg hsch ch orr s D ol Zhl lss sch ls Pu r E rchwlg Koordss dr ol E drsll D wrd ür ol Zhl hr Rll u dr horol Achs grg hr Igärl u dr vrl Achs D olgd Aldug g d ol Zhl + ud = Dr Brg dr ol Zhl s gorsch durch d Läg dr Vrdugsl ds Pus dr ol E d Pu dr: D rhsch Oro C Addo ud C Mullo u d ol Zhl wrd dr durch C c d c d ud C c d c d d c I c d w c d d c du c ud d w c d ud d c rhsch Oro d rll Zhl

47 4 Algrsch Grudsruur ud Zhlss 45 Ds url El dr Addo s d ol Zhl ds url El dr Mullo s W lch chrch s u r ol Zhl ddv vrs d ol Zhl Mullv vrs s : C C D Dvso wr olr Zhl ud d c c odr d wrd u d Mullo urücgühr: + / d c d c d c d c d c d d c c d c d c C C C M ds Oro ld uch C C C Körr Auch hr wrd wdr ur Vrchug dr Schrws d rhsch Oro ds Susr wgglss Zu ch s dss d Ordugsrlo dr rll Zhl d R u vollsädg gord Körr ch ch u d ol Zhl orgs wrd; d dr Körr C C C läss sch ch ord: I gord Körr K gl ch S 4-4 ür jds K dh Qudr sd osv; C s ch Do C ud ls El R s gv Isgs gl hsch ch orr: N Z Q R C D jwlg rhsch Oro / ud d Ordugsrlo sow s d l Zhlss ürhu dr sd wrd ür ll Zhlss glch ch

48 46 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl 5 Vollsädg Iduo Ds vorlgd Kl hdl dr wchgs Bwshod w s u Aussg ür ürlch Zhl odr u Aussg ür Mg gh d sruurll äquvl u d ürlch Zhl sd: d vollsädg Iduo Wg dr groß Bduug dsr Mhod ür d Ior wrd ds Kl ushsws d durchgühr Bws d Bsl l gg Es s A Aussg ür d ürlch Zhl N dh d vo häg Es soll gg wrd dss ds Aussg ür ll ürlch Zhl gl Häug s ; d soll A ür ll ürlch Zhl ws wrd Nch dr Bwshod dr vollsädg Iduo gh w olg vor: M g d Gülg dr Aussg A Iduosg M ws d Gülg dr Ilo A A Iduosschluss Aus Ao 5 dr ürlch Zhl Kl 4 E Mg M ürlchr Zhl d d Zhl ud jdr Zhl uch hr Ncholgr ' häl s N dsch olg d dss A ür ll ürlch Zhl gl Hr soll ur dr Slll gg M Dr Iduosg sg M ; dr Iduosschluss sg: w M s d s uch dr Ncholgr M ; Ao 5 sg u grd dss M N gl dh dss A ür ll ürlch Zhl gl wrd Du s A gl ür D Bwshod dr vollsädg Iduo wrd urschdlch Vr g Bsl rläur: Bsl: Zu ws s d Aussg Dr Fll vrläu log d Vr Folgrug vo Ao 5 vrwd älch: E Mg M ürlchr Zhl d d Zhl N ud jdr Zhl uch hr Ncholgr ' häl s N ud dsch

49 5 Vollsädg Iduo 47 Für ll N gl: Iduosg: D Aussg gl ür d u dr l S ds Glchhschs sh ur ud u dr rch S ds Glchhschs sh ; d S rg dsl Wr Iduosschluss: Für N gl: Zu g s dss d ds Forl uch ür d ürlch Zhl + gl Ds läss sch r lch chrch- : Au dr l S ds Glchhschs sh Für ds Su gl d d Forl ür ls gülg vorusgs wrd: 3 ; u dr rch S ds Glchhschs sh 3 ; d S sd glch lso gl d Forl uch ür d ürlch Zhl + Bsl: Zu ws s d Aussg Is A dlch Mg El d häl d Pog P A El dh Mg El s vl Tlg vl Iduosg: D Aussg gl ür d w A El s d s A ; drrss s P B B ud ds Mg häl El vl Iduosschluss: D Aussg gl ür Mg A El dh A P A Es s B Mg El Zu g s dss d Ahl dr Tlg vo B glch s: D B s g s El B D Tl-

50 48 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl g C vo B wrd dch lssr o s ds El hl odr ch Jd Tlg C B C s Tlg vo B \ { } D ds Mg gu El häl g s vl Tlg C B C Jdr Tlg C B C srch gu Tlg C B C älch C C \ { } Ughr srch jdr Tlg C B C Tlg C B C älch C C Dhr g s guso vl Tlg C B C w Tlg C B C älch vl Isgs s d Ahl Tlg vo B glch Bsl: B Sl dr Tür vo Ho sd dr Sl Bchr A B ud C gg Au d Sl A d sch Sch d ürdr sgdr Größ lg; d d dr Sl sd lr D Aug sh dr d Sch vo Ausggssl A u dr dr Sl w B u wg wo jwls d Sch ur l wg wrd dür Dr dr Sl C ls Zwschlg vrwd wrd D s d Rddgug ls größr u lr Sch u lg uhl Wvl Sch üss gu wg wrd? Es ch T d l Ahl Bwgug u Sch vo Sl u dr Sl ur Zuhlh ds dr Sls u wg Oschlch s T T T 3 Folgd Lösugssrg ühr u Zl: M gorr uächs d größ urs Sch u Sl A ud rg d or Sch vo Sl A u Sl C ur Zuhlh ds Sls B ls Zwschschr ur Bchug ogr Rddgug

51 5 Vollsädg Iduo 49 Aschlßd wg d u Sl A vrl größ Sch u Sl B r j j lr s D rg d Sch vo Sl C u Sl B ur Zuhlh ds Sls A ls Zwschschr ur Bchug ogr Rddgug Dr olgd Pscl- Progrussch rlsr ds Srg: CONST = ; TYPE ds_ = ; s_ = 3; PROCEDURE ov : ds_; : s_; : s_; c : s_; { ov wg Sch dr Ahl gg wrd vo S u S wo dr S c ls Zwschschr vrwd wrd } BEGIN { ov } IF > THEN BEGIN ov - c ; Wrl 'Lg Sch vo ' ' ch ' ''; ov - c END END { ov }; Es gl T ud T T ür M o ch wgr Schwgug us; d u d größ Sch u d Ausggssl hruo ud ds vo Ausggssl u dr Sl u wg üss uvor lr Sch u g Sl lg D d größ Sch wg wrd dss l ud d üss och l lr Sch wg wrd Ds du T T Isgs gl T ud T T ür Es l d Bsug vo T llgr Ahägg vo ud ch vo T Du wrd g lr Wr ür usror: T T T T T 3

52 5 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl T 3 T 3 7 T 4 T T 5 T T 6 T D Vruug lg h dss T ür ll N gl ür 6 wurd s l usgrch Für d ürg N wrd d Vruug durch vollsädg Iduo chgws: Iduosg: D Aussg gl ür 6 sh o Iduosschluss: D Aussg gl s N D s T T ch Do vo T Vorussug Iduosschluss Bsl: E wchgs Suchvrhr dr Ior s d Bärsuch: Gg s Fld [] [] ghlg Eräg llgr: üglch r Ordugsrlo vrglchr Eräg d ch usgdr Größ sorr sd dh s gl [] [] [ ] [] D Aug sh dr susll o vorggr Wr ur [] [] voro ud ds Fll d Id u rl ür d = [] gl Asll ds Fld lr vo Ag s vull u Ed u durchsuch olgdrß vorgh: Zuächs wrd ds lr El [] grü r grd Ahl vo El s ds lr El ds rs El dr w Fldhäl Is s glch so s dr gsuch Fldd gud ud d Such s d Adrlls lg w s ürhu Fld voro vordr Fldsch lls < [] s odr hr Fldsch lls > [] s D Eschdug wlch Fldsch wrusuch s j gro wrd Glchg wrd durch ds Eschdug d dr Häl llr oll u Ürsug u ürrüd Fldl usgschloss I Fldsch dr wr u ürrü s wrd ch d glch Pr lso rursv vrhr Ur Usäd uss d Such orgs wrd s och u ürrüdr Fldsch ur och Fldl häl

53 5 Vollsädg Iduo 5 E Pscl- Ilrug dr Bärsuch lu w olg: CONST = ; TYPE Trr = ARRAY [] OF INTEGER; FUNCTION Brsuch : Trr; : INTEGER; vo : INTEGER; s : INTEGER : INTEGER; VAR : INTEGER; BEGIN { Brsuch } Brsuch := -; IF vo < s THEN BEGIN { dr Fldussch [vo] [s] häl dss El } := vo + s - vo + DIV ; IF = [] { } THEN Brsuch := ELSE BEGIN IF < [] { } THEN Brsuch := Brsuch vo - ELSE Brsuch := Brsuch + s; END END ELSE BEGIN IF = [vo] THEN Brsuch := vo; END; END { Brsuch }; Dr Auru u Durchsuch ds Flds [] [] ch d El lu Brsuch ; Dr Rchuwd dr Bärsuch s roorol ur Ahl dr Vrglch dr gch Zl Zur Vrchug dr Als ds Rchuwds wrd go h ch ds For d rg sch ählch Aschäug Dr Wr schr d Ahl dr El ds u durchsuchd Flds I ds Fll s = DIV DIV

54 5 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl dh w ch dr M ds Flds voro häl ds Agssüc ds Flds [] [ - ] vl El w ds Edsüc [ + ] [] lls vl El; d Such wrd dsr Asch orgühr M B wrd d Ahl dr Vrglch ds Els Fldl ch w ds Fld El häl D gl B B B B B U ds Uglchug ur Ahägg vo w vo usudrüc wrd g Wr ür usror: B 3 B B B B B B B B B B 9 B B B B B B D Vruug lg h dss olgd Gsäßg gl: B ür jds N Ds Gsäßg wrd durch vollsädg Iduo og u ür ws: Iduosg: D Aussg gl ür 6 sh o Iduosschluss: D Aussg gl s ur ürlch Zhl N D s B B us d Algorhus Vorussug Iduosschluss Dss Ergs g slsws dss d Bärsuch Fld El l ur 6 Fldlvrglch ög Wr Bsl ür Bws durch vollsädg Iduo d sch d olgd Kl

55 6 Edlch Su 53 D Mhod dr vollsädg Iduo rordr d sorgälg Forulrug dr u wsd Aussg A D uss d u wsd Aussg rs r ud s d Hl ds Iduosgs ud ds Iduosschlusss ws vrr Folgd Hws soll ch wrd: Dr Iduosg s wchg Fhl r dr Bws hlschlg I Iduoschluss lu d Ah Es gl A dh d Gülg vo A wrd ur ür N go ud ch ür ll N 3 B dr Durchührug ds Iduosschlusss uss d Ah dr Gülg vo A uch vrwd dh d Arguo gu wrd 6 Edlch Su Häug h s Su r dlch Ahl vo Sud u u d ll jwls ch ählch Sch ugu sd w S 3 Für ds Su schr ürd S I d Forl wrd chdr = = = ud = gs ud d so rhl Sud wrd usur D Brchug vo S ö lso r Progrrsrch w olg orulr wrd Pscl-Psudocod: S := ; FOR := TO DO S := S + ; w

56 54 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl S := ; := ; WHILE <= DO BEGIN S := S + ; := + ; END; Bsl: Es s 3 D s Häug g Su ch d ls Id = sodr r dr g Zhl uch gv Zhl sd uglss so dss s llg r dlch Su dr For S u u h Hr hß dr Suosd d Zhl d Suosurgr ud d Zhl d Suosorgr D Su S häl vl Sud I dr Drsllug dr Su S wrd dulch w d l Sud ugu sd älch gäß r Forl D Su S s ch ur vo d l Sud sodr uch vo dr Suosurgr ud orgr hägg dh S S D Drsllug S g ch d Wr dr Su Ahä- gg vo dr Suosurgr ud dr Suosorgr E Aug sh dhr dr Brchug ds Wrs dr Su Ahägg vo d Suosgr Brchug dr Su S gschlossr For Bsl: D Su S 3 h d Wr S sch S 4 = 94 B = 4 rg

57 6 Edlch Su 55 E dlch Su läss sch Tlsu rlg d hrrss wdr jwls Such usgss wrd ö B j j j + + j j j j j j D Bchug ds Suosd lg gädr wrd: Asll vo schr uch Is I lg Mg Idg so s I d Su d ddurch häl dss chdr ür jds I ld ud d l Sud uddr Au d Rholg dr d l Ids I rch o s ch Bsl: D Su dr Qudr llr grd Zhl wsch 4 ud s = = = 6 = 4 6 = 36 Aus dr Drsllug dr Surchug Hl ds o gg Pscl- Psudocods sh dss d Su ür lr Ahl vo Sud glch s: ud ür >

58 56 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl Dr olgd S ss ch Rchrgl dlch Su us S 6-: Is c Kos d vo Suosd ch häg so s c c I I I I I Is c Kos d vo Suosd ch häg so s c c ud c c v Es s N D s Idvrschug v j j j I jj I jj = = j j = j j = j j j j j

59 6 Edlch Su 57 S 6-: D Su llr ürlch Zhl s ur Zhl s glch D Su llr grd ürlch Zhl s ur Zhl s glch s grd ud D Su llr ugrd ürlch Zhl s ur Zhl s glch s ugrd ud Es s q R Kos D s ür ür = q q q q q q q q q q q q Slll: q = : 4 ür ür = q q q q q q q q q q q q Slll: q = : /

60 58 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl ür ür 6 = q q q q q q q q q q q q q q 6 6 v Für d Hrlug dr l Aussg wrd lws Bwsch gs d uch u dr Forl ürrgr sd Ds Bwsch soll lrsch rläur wrd Für d Hrlug dr Aussg wrd urschd o grd odr ugrd s Is grd w d s Sud Su Sud Su D Suosrholg wrd gädr: Aus dr Su wrd dr Sud u l Sud dr Su ddr Ds Ergs s D Su ds w Sud dr Su d vorl dr Su lu Allg s d Su ds - Sud dr Su - l Sud dr Su glch Ds Suldug soo vorh w s Sud dr Bw Su g älch -l Dhr s Is ugrd w d s

61 6 Edlch Su 59 D Su s grd ud dr grd ürlch Zhl s ur Zhl rg sch w olg: Is grd w d s s grd ud j j j j Is ugrd w d s s grd ud s grd ud D Su s ugrd ud dr ugrd ürlch Zhl s ur Zhl rg sch w olg: s grd ud s ugrd ud Is grd so s Für grds s ; d olg ds Ergs Is ugrd so s 4 Für ugrds w s ud Dhr gl d Forl uch ür ugrds

62 6 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl B dr Hrlug vo ür q sll Mhod Pruoshod gs wrd: Zur Brchug vo S wrd d Su u wr Sud rgä: D s S Dsr As wrd hr gwähl: q S q q q q q S q q q q S Aulösug ch S lr ds Ergs q q q q S Is q S q d s q q q q q q S q q q q q q q S Ds Forl wrd ch S uglös Is q S q d s q q q q q q q q q q q S q q q q q q q q q S Aulösug dr Forl ch S rg ds Ergs Für q wrd d Forl v sh uch u go Zur Hrlug dr Forl wrd d Mhod dr Prlruchrlgug gs Du wrd dr Sud Su B A rlg ud s wrd d Wr A ud B s: A B A B A B A Ds Glchug gl ür ll Dhr s B A ud A lso B D rg sch

63 7 Elr Uglchug 6 Für v ö wdr d Es dr Pruoshod vrsuch M S s S S D Aulösug ch S glg ch d sch dsr Ausdruc u d S uh Es l r dr Su dr Qudr d sch ldr uh d Su ürg Vllch ö d Su dr Kuhl ch d As dr Pruoshod u rch vrsuch ud ho dss sch ds Su d uch uh ud d Su dr Qudr ürg l M s lso Q 3 ud rch Q Q Ds Glchug wrd ch uglös 7 Elr Uglchug Dr Brg r rll Zhl R wrd dr durch ür ür D gl olgd Rgl: S 7-: Es s R R ud R c D gl: ud /

64 6 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl v c c Drcsuglchug v v v Für s Tl olg ulr us dr Do Tl sh olgdrß: Gl ud so s Gl ud d s ; guso rgur ud Gl ud d s Tl olg us : Für d Vro vo Tl v wrd hrr Fäll urschd ud vrwd: Is c d s c c c c c c Is c d s c c c c c lso c c c c c Is c d s c c c c c lso c c c c c c c Für wrd ählch hägg vo dr Lg vo c rlv u ud rgur S v c so rhäl d rs Uglchug Tl v D w Uglchug rhäl us dr rs Uglchug: I Tl v r wdr Fllurschdug ud wd Tl v : Is odr so s Esrchd rg sch odr : Für s d s Aus Srgrüd gl d Bhuug uch ür

65 7 Elr Uglchug 63 Tl v olg us dr osch Forl: Aus chdr 4 rg sch 4 Häug wrd Brgsglchug Uglchug ugs: S 7-: Es s R R ud R D gl: D Uglchug d Uglchug s glchdud ; s glchdud D Aussg vrr durch Urschdug llr öglch Fäll: Is d s : lso ; Is ughr d s D Vro Fll dh vrläu log Es s R ud R rll Zhl D Mg ud ud ud ud R hß gschlosss Irvll vo s R hß os Irvll vo s R hß hlos Irvll vo s R hß hlos Irvll vo s Ur Irvll wrd gschlosss odr os odr hlos Irvll vrsd Zusälch u d Irvll rllwrg Bgrugsu wrd olgd Irvll dr: ud ud R ud ud R R R R ud

66 64 Grudlgd Do Bchug ud Schvrhl M S 7- s d R ud ud R ud S 7-3: D olgd Aussg ud sd glchdud: D Tlg I R s Irvll ud Für jds I ud jds I s I Dr Nchws dr Korrh dsr Aussg rolg w Rchug: : Es wrd ll Möglch ür I ürrü Elrsch wrd dr Fll I Is d s : lso I gg: Auch hr wrd ll Möglch ür I ürrü Is slsws I ud ch o ud u schrä d wrd ls d größ ur Schr vo I ud ls d ls or Schr vo I gs; d Wr ud sr ch Kosruo vo R J wrd dch urschd o I I I w I gl Es s w I ud I ; d dr Fäll rgur srchd Für I gl ud s wg I ch öglch Ds du Gl ughr I d s Wär ür jds I d wär or Schr vo I Wdrsruch ur Whl vo Also g s I S ud so olg I ud d I Ds du I D Ürrüug dr ürg Fäll ür I rolg u ählch Ws

67 Allgs 65 Aldug Aldug sll Bhug wsch Mg A ud B hr S ö ls Slsrug ds Kos dr Rlo wsch Mg dr wrd Allgs I Kl 4 wurd d Bgr Äquvlrlo ud dr Ordugsrlo gühr Ds sd Slsrug ds llgr Bgrs dr Rlo: Es s A ud B w Mg E Tlg R A B hß Rlo wsch A ud B E Rlo sh lso us Pr A ud B E Rlo R A B hß lsol w s u jd A B R g B r lsol Rlo R o ll El vo A ls rs Koo d Pr R vor Zu A s uch hrr B B g R R E Rlo R A B hß rchsol w s u jd B A R g B r rchsol Rlo R o ll El vo B ls w Koo d Pr R vor Ds El A ds s u B R g uss uch hr ch dug s s dh s u B hrr A A g R R E Rlo R A B hß lsdug w gl: us R ud R olg B r lsdug Rlo gl d: Sd R ud R gl so s uch E Rlo R A B olg ud gl so s uch ud hß rchdug w gl: us R ud R B r rchsdug Rlo gl d: Sd R ud R E Rlo A B hß Aldug vo A ch B w lsol ud rchsdug s Glchdud d s olgd Forulrug: A B s Aldug w s u jd A gu B g

68 66 Aldug D dss dug s El B u A ghör schr sll vo uch ud ch s ls Bld vo ur Häug g s Rchvorschr ch dr u gg A ds Bld u s s w 3 3 D wrd Aldug vo A ch B schr durch A B : odr uch dr For : A B D Mg A hß Dosrch vo d Mg W B ud s g A hß Wrrch vo Es s W B Asll vo W schr uch A Für Fuo : A B s lso dr Wrrch glch A B ud s g A D Ag : A B lg s dss El vo D- T dr chrrssch ür A s jwls gu El vo D- T dr chrrssch ür B s ugord wrd Bslsws ö d Mg A us Oj vo Oj T ud d Mg B us ürlch Zhl sh D lg d Ag : A B s dss jd Oj vo Oj T dr Mg A durch ürlch Zhl d slsws ls Prärschlüsslwr rrrr s ugord wrd D Ag schr w ds Zuordug ür jds El A gschh Ds Bld s Els A ur s dug s ud s gl ür jds A Adrrss s durchus Wr ud ud g; slsws s ür d durch ür R dr Aldug 4 D Mg A ud wrd ls Urld vo ur ch E Aldug : A B A R ud W R hß rll Fuo r Vrädrlch

69 Allgs 67 Bsl: R : R R \{} g: R 3 [ [ h : R d A : A A Idä u A r : R R Prl ] [ F: R ür 3 ür 8 ür N! : N ür! ür Fuläsuo D hr ugühr Do dr Fuläsuo g d For r rursv Do Rursv Fuosdo wrd häug gwd w dr Dosrch dr Fuo d ürlch Zhl odr Tlg dr ürlch Zhl s Für d ls Wr ds Dosrch w ür hrr dr ls Wr wrd dr gg Für größr Wr wrd ls rhschr Ausdruc dr vull lr Wr ud Fuoswr häl D Fuläsuo uch ch-rursv dr wrd: N! : N ür ür

70 68 Aldug E wrs Bsl r rursv Fuo dr ughörg ch-rursv Do s d Focc-Fuo d chrvl Zushg wsch d For dr Do g sh Kl 5: N : N ür ud ür 5 5 ür 5 w I Folgd wrd husächlch rll Fuo rch Glglch wrd u d Ag ds Dosrchs r Aldug vrch; d wrd l r d größ Tlg vo R go ür d d Aldugsvorschr dr s Für Aldug : A B hß d Mg A Grh dr Aldug Sd : A B ud gb : C w Aldug d hß d Aldug ha : C h g d Kooso Zussug dr Aldug ud g gschr h g Es s Wg Wg C ud gl g g Bsl: R \{-} : R R g: R R\{-} g : R R g : R

71 Grudlgd Egsch vo Aldug 69 Grudlgd Egsch vo Aldug E Aldug s : A B hß surjv Aldug Surjo w s rchsol D Aldug : A B s surjv D s A B dh dr Wrrch vo uss g B Für jds B s lso dh s g dss A vull g s hrr Wr A d u gld wrd Bsl: D Aldug R R : s ch surjv d s u r gv Zhl R Wr R g Durch Eschräug dr Zlg jdoch d Surjvä rwg Bslsws s R R : surjv E Aldug s : A B hß jv Aldug Ijo w s lsdug Bsl: D Aldug R : R s ch jv d ür ud oschlch s r s D Ijvä durch Eschräug ds Dosrchs rwg Bslsws s d Fuo R R : jv D Ijvä r Fuo hr Grh gls wrd: Jd Prlll ur -Achs schd d Grh r jv Fuo höchss Pu

72 7 Aldug E Aldug hß jv Aldug Bjo w s sowohl surjv ls uch jv s D Bgr üglch Rlo ud Aldug ss olgd Tll us T dr Rlo lsol rchsol lsdug rchsdug Aldug Surjo Ijo Bjo S -: Es s : A B jv Aldug D gl: Für jds B g s gu A Es g dug s Aldug g : B A g ; ußrd gl ür jds A : g ud ür jds B : g I olg d Es s Els Edug olg us dr Ijvä A us dr Surjvä vo ; d D Aussg S - so rrr dss s Es-u-Es- Bhug wsch d El dr Mg A ud dr Mg B g Is : A B jv Aldug so hß d gäß S - srd Fuo g : B A d Uhrldug vo ud wrd ch Es gl: d A ud d B dh ud B Grh r jv Aldug : R R vollh sch dr Ürgg ur Uhruo durch Sglug dr Wlhlrd 45 -L

73 Grudlgd Egsch vo Aldug 7 Bsl: D Aldug R R F : s ür ss R ud s R jv ud h d Uhruo R R F: I llg s Aldug dr For R R : 3 cd s rll Wr c ud d ch jv D Aldug R R : s wdr jv och surjv Jdoch sd d Aldug R R : ud R R : 3 w dr Uhrldug 3 jwls jv d durch Häug wrd rs ür jv Aldug : A B d ch owdgrws surjv s d Uhrldug dr ud wr ur ür d Wr Wrrch vo : : B us d

74 7 Aldug S -: Es s : A B ud g : B C Aldug D gl: Sd ud g surjv d s uch g surjv Sd ud g jv d s uch g jv Sd ud g jv d s uch g g g jv I ds Fll gl ud ud dr rs Tl vo wrd dr d srchd Do chgrü Für d w Tl vo g dss g d Uhrldug u g s: Du s A B ud c C c g g gg gg Es gl Für dlch Mg A ud B d Es surjvr jvr ud jvr Aldug wsch A ud B olgdrß schd: S -3: D Mg A ud B s dlch Mg A ud B D gl: Es g gu d surjv Aldug : A B w s Es g gu d jv Aldug : A B w s Es g gu d jv Aldug : A B w s Für sd w Bwsrchug u g älch W s surjv Aldug : A B g d s A B W A B s d surjv Aldug : A B dr

75 Grudlgd Egsch vo Aldug 73 Zu : Es s B Wg dr Surjvä vo s D ls Aldug rchsdug s gl ür jds B ud B : B wähl Rräs Für Ds sd rws vrschd D B A s olg B B A Zu : Es s A ud B D Aldug A B : ür s surjv ür Auch ür sd w Bwsrchug u g älch W s jv Aldug : A B g d s A B W A B s d jv Aldug : A B dr Zu : Ijvä du: Sd A ud A Is A ud B Zu : Es s A ud A B : s jv A d s d s B B ud A B B B D Aldug B olg us dr Es r jv Aldug : A B dss wg dr Ijvä vo ud wg dr Surjvä vo s lso gl Is ughr so s d Aldug : jv A B S -3 läss d Schluss u dss Aldug wsch dlch Mg drsl Elhl d Bgr Ijvä Surjvä ud Bjvä usll :

76 74 Aldug S -4: D Mg A ud B s dlch Mg drsl Elhl s : A B Aldug D gl: A B Es D olgd dr Aussg ud c sd äquvl: c s jv Aldug s surjv Aldug s jv Aldug D Äquvl vo ud rg sch w olg d Äquvl u c rg sch d us dr Do dr Bjvä: Is jv Aldug d s A A B Wg A B h dhr jds B Urld dh s surjv Is ughr ch jv d g s A ud Dhr s A A B ud s ch surjv ud A S -3 sg ür dlch Mg dss s gu d glchächg sd w s wsch h jv Aldug g Dsr As läss sch u udlch Mg ürrg: Zw udlch Mg A ud B hß glchächg w s jv Aldug : A B g Wg dr Es dr jv Uhruo g u s ds Do glchdud dr Es r jv Aldug g : B A B udlch Mg A ud B r d olgd Suo u d sch Bsl dr Vorgägruo rd u d ürlch Zhl vrdulch läss: N rd : N D Fuo s ür ll ürlch Zhl dr Aus Ao dr ürlch Zhl sh Kl 4 olg dss s surjv s; u ch s dss Dosrch ch hl s Ao 4 sg dss s jv s Es hdl s sch hr lso u jv Aldug dh d Mg N dr ürlch Zhl s glchächg

77 Grudlgd Egsch vo Aldug 75 dr ch Tlg N = N \ { } Dss Phäo rlu s d Edlch w Udlch r Mg u dr: E Mg A s dlch vo dr Mächg w s jv Aldug A : g dh d El A d ürlch Zhl durchurr: A Hr s j w ür j Is B ch Tlg vo A d s ch S -3 j jv Aldug : B A g Ds Egsch urschd dlch Mg vo r Mg udlchr Mächg E Mg A s vo dr Mächg udlch w s jv Aldug : B A wsch r ch Tlg B A ud A g E Mg hß ählr w s wdr dlch odr glchächg u d ürlch Zhl s E udlch Mg d ch ählr s hß ürählr S -5: Es g jv Aldug h : N Z ud s g jv Aldug h Q Z : N Q D Mg N Z ud Q sd dhr ählr D Mg N dr ürlch Zhl läss sch ch u d Mg R dr rll Zhl jv ld D Mg R s dhr ürählr Für S -5 sd w jv Aldug h : N Z ud h : N Q ug Z Q D Aldug h : N Z wrd dr durch Z h N : Z lls grd s Z lls ugrd s Eg Wr dsr Aldug sd h Z D Ijvä vo h Z sh olgdrß: Es s Is grd ud ugrd d s hz hz N ud N ssodr h h Z Z Is

78 76 Aldug ugrd ud grd d s hz hz s hz hz Sd ud h h Z Z Sd ud d grd d d ugrd d s Zu Nchws dr Surjvä s Z Is d s N ud hz hz Is d s N ud hz hz D Aldug h : N Q wrd w Schr osrur Zuächs wrd jv Q Aldug Q : N Q gg d d u r jv Aldug h Q : N Q rwr wrd: r D rol Zhl Q r N ud N sch udlchs Zhlsch grg d ds us Zl ud Sl sh I dr rs Zl sh ll Zhl 3 4 ; d w Zl häl 3 4 ; d - Zl häl 3 4 D sh d Zhl r dr r- Zl ud - Sl Dss Zhlsch wrd durchurr: rhäl d Nur s d g r r rol Zhl Q r D o ll Zhl Q r 3 ch r usgd Zählr gord ds sd ud Aschlßd o ll Q r 4 ch usgd Zählr gord ds sd 3 ud 3 usw D olgd Tll g g l rol Zhl hr Nur r r ud r Ahl Nur r Es g gu rol Zhl Q 3 3 r älch u Vor ds Bloc vo Zhl lg ll Zhl Q v u v ud u v Dhr o d Nur

79 Grudlgd Egsch vo Aldug 77 D Zhl dh d ürlch Zhl ür r urr d Zhl Q o d Nur r D Aldug Q : N Q wrd u w olg dr: Q Für g s dug s Zhl N Es gl älch: Für N For dug wsch s d ächs u olgd Zhl dr N d Zhl Dhr lg ud Für 7 s 7 ür s 7 ür s 8 D Ahl dr Wr räg Es wrd r ud r gs D grd s ud gl s r N Außrd s r ud d uch N Es wrd Q durch r Q dsr ugür Drsllug dr D olgd Tll g d Ergss Q ür d Wr