1.3.9 Ko- und kontravariante Darstellung vektoriell betrachtet

Transkript

1 4..9 Ko- und ontravarant Darstun vtor btrachtt Mt H dr Bass aus Gchun.. schrbn wr ür nn bbn Vtor :... ndrsts t auch:... so schßt an Vrch au:..4 d.h. n dr Darstun snd d tatsächch as d ontravarantn Koponntn ds Vtors u ntrprtrn. Wr dnrn nun n wtr Bass äß:..5 und bschrbn dat dn Vtor w ot:...6 I Vrch t Gchun.. ntstht so:...7 Dat wrd ar dass d Größn wrch d ovarantn Koponntn von snd. Wr dürn aso schrbn:...8 Nun ndt an ür das Saarprodut wschn dn Basn und :

2 5..9 δ δ. I übrn s an dn Zusanhan nach Gchun.. ür das Saarprodut rnnrt und an d anao Bhun: δ... Dat ot aus Gchun..8 durch Saarutpaton t :.. bw. durch Saarutpaton t :.. und ds Forn nnn wr schon aus dn Gchunn Übun: Bassvtorn ür schwn Koordnatn Ernnr an Übun..8. Brchn t H dr snrt austtn Koordnatntransoraton d Bassvtorn und. Donstrr d Orthoonatät δ ür durch pts Nachrchnn und chn a -Vtorn n das Koordnatnsyst n..4 Physasch Koponntn von Vtorn und Tnsorn D Übunn..7 und..8 habn t daß d Koponntn o- odr ontravarantr Vtorn und Tnsorn ncht notwndrws a d ch Dnson twa d nr Spannun habn üssn. Grchtrws uß an dahr san daß o- und ontravarant Koponntn ns Vtors bw. Tnsors.a. physasch unanschauch Größn snd.

3 Für orthoona Koordnatnsyst aso soch drn Koordnatnnn snrcht aunandr sthn bstht doch d Möcht dadurch v von dr nschaucht artsschr Koponntn urücuwnnn dass an d sonanntn physaschn Koponntn vrwndt. Dr Schüss ur Dnton physaschr Koponntn t darn daß ür orthoona Koordnatnsyst dr trsch Tnsor nur Daonaoponntn bstt: Übun: Daonatät ds trschn Tnsors ür orthoona Koordnatnsyst Man bws d Bhauptun aus Gchun.4. wonach dr trsch Tnsor n Koordnatnsystn t snrcht aunandr sthndn Koordnatnnn nur Daonaoponntn bstt. Vrwnd dab d Dntonschun..8 ür dn trschn Tnsor und bacht dass sch d Größn as Koponntn von Tanntnvtorn an d Koordnatnnn ntrprtrn assn: Gchun... Dann abr äßt sch d Län ns Vtors v. Gchun..9 as Su von Quadratn w ot schrbn:.4. Dab habn wr u ncht t dr EINSTEINschn Suatonsonvnton u brchn d Su übr dr ch Inds pt hnschrbn. D usdrüc bw. snd dsa aso n Sun aus dr Trn sondrn nnchnn dch ws n Daonant ds o- bw. ovarantn trschn Tnsors. Dnrt an nun Vtoroponntn < > w ot: < >.4. so habn ds dn Vort b Quadratur und anschßndr Suaton unttbar au das Quadrat dr Län ds Vtors u ührn: < > < >

4 U ncht t dr EINSTEINschn Suatonsonvnton n Wdrspruch u ratn vrnbarn wr wdr dass übr untrstrchn Inds d n nr For doppt voron ncht surt wrd: Gchunn.4.. Man nnnt d Koponntn < > w brts andutt d physaschn Koponntn ds Vtors. nao ur Gchun.4. assn sch auch physasch Koponntn ür Tnsorn dnrn: B B B < > Übun: D Län ns Vtors ausdrüct n physaschn Koponntn Man bws Gchun.4.4 durch Kobnaton von Gchunn.4. und.4.. Insbsondr ach an sch dab d Bdutun untrstrchnr Inds ar. Man vrsuch sch uvor auch an dr vtorn Brchnun dr Län äß Gchun.4. t H dr au Orthoonabasn spasrtn Gchunn../6: Übun: D physaschn Koponntn ds Spannunstnsors n Zyndroordnatn Mt H dr Erbnss aus dr Übun..7 t an d usdrüc ür d physaschn Koponntn ds Spannunstnsors n Zyndroordnatn hr. Insbsondr vrr an dass a physaschn Koponntn d Dnson nr Spannun habn w ot: rr rϑ r ϑϑ ϑ ϑ + sn ϑ cos ϑ y sn ϑ ϑ cos ϑ + cos ϑ - sn ϑ y + ϑ sn ϑ y ϑ sn ϑ cos ϑ y + cos ϑ ϑ + cos ϑ y cos + sn [ ] sn ϑ cos ϑ cos sn sn. 7

5 y ϕ y bb..4.: Ernnrun an dn Frschntt u MOHRschn Krs Zwdnsonan. y α y y ϕ y d s τ s D d s α dy Ernnr nun an das n dr bbdun.4. ustrrt Prob und das uhör Erbns wchs ttndch au d Gchunn ds MOHRschn Krss ührt: + s cos ϕ + ysn ϕ.4.8 τ s sn ϕ + ycos ϕ. W hänt dss Erbns t dn Gchunn.4.7 usan? Bnüt ur Kärun dsr Fra ond ddtonsthor: sn ϑ cos ϑ cos ϑ + cos ϑ [ ] [ ] sn ϑ sn ϑ cos ϑ Übun: D physaschn Koponntn ds Mtrtnsors Z daß ür Koordnatnsyst n dnn d Koordnatnnn snrcht aunandr sthn d physaschn Koponntn ds Mtrtnsors durch: < >..4. bn snd..4.5 Übun: D Fßspannunsbdnun nach VON MISES Dnr dn Spannunsdvator Σ n artsschn Koordnatn w ot: 8

6 Σ δ..4. Z dass ds Größ spurr st: Σ..4. Ernnr an das Postuat nach von Mss wonach n Mta u ßn bnnt wnn dr ond Spannunsnnwrt rrcht st: Σ Σ..4. st n Wrstonnwrt und as Fßspannun ds Wrstos bannt. Eräutr waru s snnvo st ür Mta d Spur ds Spannunsustands aus d Fsttsrtru u ntrnn. Z dass sch ür nn wdnsonan Spannunsustand schrbn ässt: y Spasr nun au nn ndnsonan Zuvrsuch t Zuspannun und nn ndnsonan Schrvrsuch t Schrspannun τ. Z dass t: τ..4.5 Z durch Transoraton vo artsschn -Syst au n bbs -Syst dass t:..4.6 Z n ähnchr Ws dass sch schrbn ässt: und: Σ Σ.4.7 rs r s Σ Σ Σ Σ Σ Σ..4.8 r s rs 9

7 Spasr schßch au Orthoonaoordnatn und dass t: und: Σ δ.4.9 Σ Σ..4. Spasr schßch noch au bn Poaroordnatn und dass dann t: rr + ϑϑ rr ϑϑ + rϑ..4.