Motivation: Kartesische Koordinaten legen eindeutig einen Punkt im R 3 fest:

Größe: px

Ab Seite anzeigen:

Download "Motivation: Kartesische Koordinaten legen eindeutig einen Punkt im R 3 fest:"

Eleonora Mann
vor 6 Jahren
Abrufe

1 7Wo_Koodnatnsstm_9-6-6doc 7 Kmmln Koodnatn Motaton: Katssch Koodnatn ln ndt nn Pnkt m R 3 fst: D Enhtskton snd othonomt, k, nd otsfst D Dastlln ds Nabla-Opatos latt k Häf snd ab d Smmt ns phskalschn Sstms/Poblms anpasst, kmmln Koodnatn, B Zlnd- od Klkoodnatn, bss als katssch Koodnatn nt s dsm Gnd btachtn nn Tansfomatonn on katsschn af kmmln Koodnatn 7 Fnktonaldtmnant n Koodnatntansfomaton D nschalchkt halb bschänkn ns nächst af dn bnn, dmnsonaln Fall D Tansfomatonsfomln (, ) (, ) b (, ) (, ) fü d Hn- nd Rücktansfomaton solln lokal ndt sn W btachtn d Umbn (, ) ns Pnkts P(,) s d Talo- Entckln n P(,) folt n lna Nähn (bl nd ) : (, ) (, ) : (, ) (, )

2 Z jdm Paa (, ) n d Umbn ds P(,) stt n ohlbstmmts Paa (, ) n d Umbn ds Pnkts P(,) Damt ds ach mkht d Fall, d Koodnatntansfomaton also n d Umbn on P nndt st, mss d Koffntndtmnant ds obn nhomonn lnan Glchnssstms nlch Nll sn ( Kam sch Rl) Df: D as dn patlln bltnn d Fnktonn (,) nd (,) nach nd bldt Dtmnant (, ) : (, ) hßt Fnktonaldtmnant d Koodnatntansfomaton = (,), = (,) D obn btachttn Tansfomatonsfomln bschbn n d Umbn ns Pnkts P (,) na dann n nndt Zodnn (,) (,), nn (,) P(,) nd an (, ) analo fü d Rücktansfomaton (, ) P(,) Bspl: Ebn Polakoodnatn cos sn (, ) (, ) (, ) (, ) b cos sn actan sn cos 3 cos 3 ( sn 3 ) D Koodnatnfomaton st fü all Pnkt d Ebn mt snahm on = ndt

3 7 Nabla-Opato n kmmlnn Koodnatn Enhtskton nd W btachtn d dn dmnsonaln Fall (, ) (, ) (, ) = const = const Entlan d Koodnatnln = const ändt sch n d Vaabl D bltn t n nm Pnkt P n Rchtn d Tanntn = const m Pnkt P nalo st d Vkto tanntal Koodnatnln = const chtt s dn Tanntalkton bldn d bdn nomtn EHV :, : D bstand schn nfntsmal bnachbatn Pnktn nd + d mt dn kmmlnn Koodnatn (, ) nd ( + d, + d) st (Talo-Entckln) d const d ( d, d) (, ) ( d, d) ( d,) ( d,) (, ) d d d d const lso lässt sch d ( m katsschn Fall) as Tlkton sammnstn, d jls n d Rchtn n, n d sch n n Koodnat ändt Das Qadat d Län on d (das sonannt Lnnlmnt) st lch 3

4 ( d) j d d j ob j j Um d Smmnkonnton (, j =, ) ndn könnn, habn dch nd dch stt Im ämlch ddmnsonaln Fall (, j =,, 3) blbt alls ült; d dtt Koodnat d als 3 bchnt Btachtn nn kmmln-othoonal Koodnatn, b dnn d Koodnatnlnn n jdm Pnkt snkcht afnand sthn Bspl fü kmmln-othoonal Koodnatn snd bn Polakoodnatn od Kl- od sphäsch Koodnatn Dann st, nd m bnn Fall folt j j j j ( d) (d) (d) mt dn mtschn Koffntn : nd : mtschn Koffntn Z Bstmmn d Komponntn ds Nabla-Opatos n kmmlnn Koodnatn hn on d koodnatn-nabhänn Dfnton ds Gadntn d () ad () d as Wählt man d ntlan d Koodnatnln = const, folt fü d Rchtnsabltn n Rchtn (ad) ad ad Skalapodkt Kttnl ntfälltn d Bacht m lttn Schtt: (,,) = ((,,), (,,), (,,)) 4

5 5 nalo hn fü d Komponntn ) ad ( nd ) ad ( (m ddmnsonaln Fall) o Inssamt fndn so d Dastlln Fat: In kmmln-othoonaln Koodnatn hat d Nabla-Opato d Komponntn, nd D Enhtskton, nd hänn on dn Koodnatn, nd ab! S sthn m sdck fü dshalb lnks on dn Dffntalopaton, nd Fü all Vkton snd a soohl d Kompontn :, nd : als ach d Enhtskton otsabhän In katsschn Koodnatn hattn dan mt otsfstn Enhtskton,,, also nabhän on,, In ähnlch Ws dn d Dffntalopaton d, ot nd d Laplac-Opato n kmmln othoonaln Koodnatn bstmmt W dn o allm d Ebnss fü bn Polakoodnatn so fü Zlnd- nd Klkoodnatn bnötn

6 73 Ebn Polakoodnatn Tansfomaton: cos sn Koodnatnlnn = const konntsch Ks = const om Uspn ashnd Gadn Enhtskton (Bass) - n omtsch knnn as d Sk lcht cos, sn sn cos D EHV st tanntal Koodnatnln = const, d EHV tanntal = const chtt; bd snd ncht otsfst! D Rchnn bstätt d Ebnss Bsplss fndn fü ( ) ( cos sn ) (sn cos mt sn ) nd cos cos sn ) sn cos nd analo cos sn Ebn Polakoodnatn snd kmmln-othoonal, cossn cossn mtsch Koffntn: =, = Nabla-Opato: 6

7 74 Klkoodnatn (l Übn) Tansfomaton: sn cos sn sn cos Koodnatnlnn, = const om Uspn ashnd Stahln:,,= const --Ebn paalll Ks mt Zntm af d -chs:,, =const Halbks mt Zntm m Uspn dch -chs bandt: Bass sn cos sn sn, cos coscos cossn sn, sn cos D Enhtskton snd on nd -abhän (also ncht otsfst), ab othoonal Fnktonaldtmnant: (,,) (,, ) sn cos sn sn cos coscos cossn sn sn sn sn cos sn sn cos 3 sn sn cos sn sn 3 sn cos sn mtsch Koffntn:,, sn 7

8 Nabla-Opato: sn Da d EHV on nd abhänn, müssn s lnks on dn bltnn sthn! Bspl: Gadnt ns klsmmtschn Skalaflds: () ad () () () "Umständlch": ad() d d d d d d () Laplac-Opato (Übnsttl): () () Podktl ( ) sn sn sn Fü n klsmmtschs Skalafld fndn d d dntschn sdück (Übnsttl) () ( ) 8

Ähnliche Dokumente

9.3 Zweifache Nabla-Anwendungen. Wir kennen bereits ( φ) rot gradφ = 0 Gradientenfelder sind wirbelfrei.

9.3 Zweifache Nabla-Anwendungen. Wir kennen bereits ( φ) rot gradφ = 0 Gradientenfelder sind wirbelfrei. 93 Zwfach Nabla-Anwndnn W knnn bts ( φ ( φ 0 ot adφ 0 Gadntnfld snd wblf Bdtt: ( As F( adφ( folt ot F( 0 nd mkht F( konsats Kaftfld (l 9/93 ( Kann als Opato-Idnttät 0 affasst wdn wl fü blb φ ltnd ZB (