, also jedem Ortsvektor r im R 3 eine skalare Größe φ.

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1 9. Fld 5 Woch_Fld_ 5 4.doc Untschd skala und vktoll Fld: Skalas Fld: Zuodnung: a φ(), also dm Otsvkto m R n skala Göß φ..b.: Duck- od Tmpatuvtlung p(,t) bw. T(,t); Dchtn von Mass, Ladung, Eng und andn skalan Gößn als Funktonn ds Otsvktos und vntull d Zt (statonä bw. tlch vändlch Fld). Vktofld: Zuodnung: a A(), also dm Otsvkto m R n vktoll Göß A()..B.: Gschwndgktsfld n stömndn Flüssgkt u(,t), lktsch Fldstäk E(,t) und magntsch Indukton B(,t) ds lktomagntschn Flds sow natülch all Kaftfld. Gavtatonsfld, Anhungskaft wschn w Massn m und M (vgl. ltt Woch Plantnbwgung) m M F() γ Coulomb-Fld, anhnd od abstoßnd Kaft wschn w uhndn Punktladungn q und Q, Btag fällt bnfalls popotonal um Quadat ds Abstands und st ntlang d Vbndungsln bd Punktladungn gchtt q Q () 4πε 0 F

2 Stoks sch Kaft: Rbungskaft auf n (lamna) umstömt Kugl mt Radus R n n ähn, nkompssbln Flüssgkt mt d dnamschn Vskostät η F () & 6πηR & (n tubulntn Stömungn wächst F nchtlna mt vgl. Kaman sch Wblstaß) v &, Sk: lamna umstömt Kugl Lont-Kaft auf n bwgt Punktladung (q, & ) m lktomagntschn Fld (E, B ) [ E(, t) + B(, t) ] F (,, & t) q & 9. Gadnt ns skalan Flds Enn: Kttngl b Funktonn mh Vändlch Fü φ ( (t) ) st dφ( (t)) dφ( ) d d(t). Fü n Funkton φ mh unabhängg Vändlch,. B. φ (t ), (t ), (t )), glt ( dφ d mt const als d patlln Abltung von φ nach. Hängt φ mplt nu von n unabhänggn Vaabln (.B. t) ab, dann ändn sch mt t all glchtg. In dsm häufg anutffndn Fall glt dφ ( (t), (t), (t)) d + d + d o d ( o Summnkonvnton also Summaton üb,,, ).

3 Man nnnt dφ d "total Abltung" von φ nach t und dφ dφ d + d + d d das "total Dffntal" von φ. Im Folgndn s d Sttgkt ds skalan Flds φ und sn patlln Abltungn n alln Vaabln voausgstt. In dsm Fall lässt sch gn, dass fü patll Abltungn wt Odnung d Rhnfolg d Bldung d Abltung kn Roll splt, also φ φ glt. D Ändung ns skalan Flds φ() φ(,,) n Rchtung d (d,d, d) stt sch adv aus dn Ändungn paalll u dn d Koodnatnachsn usammn φ φ φ dφ (,,) d + d + d. Df.: Das Vktofld mt dn Komponntn T φ φ φ,, : gadφ() : φ() hßt Gadntnfld ds skalan Flds φ(). Dab bchnt dn Vkto-Dffntalopato + +, dn sognanntn Nabla-Opato (h n katsschn Koodnatn!).

4 Offnschtlch glt φ φ φ dφ () d + d + d gadφ() d φ() d. Fat: D Ändung ds skalan Flds φ() n Rchtung d st glch d Pokton ds Gadntn von φ m Punkt auf d Rchtungsabltung. Gomtsch Vanschaulchung am Bspl ns bnn skalan Flds φ(,) B Bwgung ntlang n Aqupotnalln φ const hat d d Rchtung d Tangntn an ds. Aus d φ gadφ d 0 knnn w, dass d Gadnt snkcht auf dn Äqupotnallnn stht (n Rchtung ds stlstn Anstgs m "φ - Gbg" gt). Also st gad φ n Maß fü d Ändung von φ u φ const st. Sk: Gadntn von φ(,) T Bmkung: Das Tpl,, tansfomt sch b Dhung ds Koodnatnsstms w d Komponntn ns Vktos und kann dshalb als Vkto aufgfasst wdn. Mh dau vgl..6., Goßmann S. 7 und.4. S. 40 ds Buchs von S. Goßmann,.B. 4

5 9. Dvgn und Rotaton ns Vktoflds W wndn dn Nabla-Opato unächst n fomal auf Vktofld A() an.. Möglchkt: Skalapodukt aus dn Vkton und A() Df.: D Skala A() : dva() : + + hßt Dvgn ds (sttg dffnban) Vktoflds A() m Punkt. Das skala Fld dv A() wd Qullnfld ds Vktoflds A() gnannt. Gomtsch Intptaton d Dvgn als lokal Qullstäk ns Stömungsflds Ohn Bws: Massndcht ρ (, t) und Stomdcht (, t) ρ(, t) v(, t) gnügn d ρ sognanntn Kontnutätsglchung + dv 0 t (lokal Schbws d Masshaltung). D üb d Obfläch ns nfntsmal klnn Volumn δv um ausflßnd (nflßnd) Flüssgktsmng st glch d Abnahm (Zunahm) d Dcht n δv. Damt st d Dvgn n Maß fü d lokal Qullstäk ds Flds m Punkt. WICHTIG: B d Anwndung ds Opatos auf Funktonn snd sowohl d Rgln d Vktoalgba als auch d d Dffntalchnung u bachtn. dv(a B) (A B) ( A) B + (B ) A B ota A otb klsch! D sch aus d a (b c) b(a c) c(a b) - Rgl d Vktoalgba gbnd Rhnfolg B muss "kogt" wdn, damt d Poduktgl d Dffnalchnung ncht vltt wd. Das st natülch kn Bws; ds st am nfachstn komponntnws u fühn. Wt Bspl Übung. 5

6 . Möglchkt: Vktopodukt aus und A() Df.: D Vkto A() : ota() : A A A + + hßt Rotaton ds (sttg dffnban) Vktoflds A () A () + A () + A () m Punkt. Das Vktofld ot A() wd Wblfld von A() gnannt. Mt Hlf ds Lv-Chvta Smbols lassn sch d Komponntn ds Rotos dastlln als (ota) k k εk, also st k ota ε (Summnkonvnton!). Gomtsch Intptaton d Rotaton als lokal Wblstäk ns Stömungsflds W btachtn das Gschwndgktsfld u () ω ns homognn (ω const) Wbls n n Flüssgktsstömung als Maß fü d "Stäk" ds Wbls". Dann glt ot u() ( ω ) a b c Vktoalgba ω( ) ( ω) Dffntaton ω( ) ( ω ) ( ω ) ( ω ω + + ( ω ) ω ( ) ω + ω + ω ( ω ) ( ω ) ) ω ω ω. D Rotaton gt n Rchtung d Wblachs, d Btag d Rotaton ds Flds st glch ω, also d doppltn Wnklgschwndgkt bw. "Stäk" ds Wbls. Anschaulch Intptaton: Rotatonsgschwndgkt und Ontung ns nfntsmal klnn "Schauflädchn" 6

7 Wnn A gad φ, dann ot A ot gad φ 0 Gadntnfld snd wblf. Bws: (ot gadφ ) 0, analog fü d - und d -Komponnt. Altnatv "Bws": ot gadφ φ 0. gad φ φ hat d "Rchtung von ", dah st das Vktopodukt Wnn B ot A, dann dv B dv ot A 0 Wblfld snd qullnf. k Ak Komponntnws.B. dv ot A ε εk 0 k. Altnatv: "Spatpodukt" dv ot A ( A) 0. D Hlmholt sch Hauptsat d Vktoanalss (859) untstcht, waum Dvgn und Rotaton dfnnd Egnschaftn ns Vktoflds snd. E bsagt: En üb nm nfach usammnhängndn Gbt mt (stückws) glatt Randfläch dfnts Vktofld A() lässt sch stts adv n nn wblfn und nn qullnfn Antl lgn: A() A () + A () mt ot A () 0 und dv A () 0, sofn A( ) asmptotsch ggn Null abfällt. Aus Qull- und Wblstäk ns Vktoflds lässt sch das Fld slbst konstun: ρ ω π A() d ' (')gad' (') gad' 4 ' ', mt dv A ρ, ω ot A. (vgl. S. Goßmann, 9.5., S. ). 7