Grundkurs Optik II: Wellenoptik

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1 Gunkus Optk : Nobt Lnln nsttut fü Optk nfomaton un Unvstät langn-nünbg Stautst. 7/B D-958 langn nsttut fü Optk nfomaton un

2 Motvaton Das schnungsbl von Lcht/lktomagntsch Stahlung kann j nach nwnung sh untschlch sn: Lchtstahln: m lltag (Wllnläng kln vglchn mt Göß bugn Stuktun w Blnn tc.) kann Lcht oft uch Stahln päsntt wn Gomtsch Optk (sh Gunkus Optk ) Tlchnchaakt: Schon S saac Nwton (64-77) bhauptt ass Lcht aus klnn Tlchn bstht. Bugungsffkt wan amt ab ncht kläba. St nstn s Photonntho (95 kläung s Photoffkts afü hlt nstn m Novmb 9 n Noblps fü 9) spcht man Lcht w n t Tlchnchaakt zu. llngs sollt man sch Photonn ncht w kln fst Küglchn vostlln! Quantnoptk (sh Gunkus Optk ) Wllnchaakt: Phänomn w Bugung un ntfnz von kohäntm Lcht sn nu uch n Wllntho kläba (Hugns Young Fsnl Mawll). (Thma s volgnn Gunkuss Optk ) Daaus folgt ann auch m Gnzfall wum gomtsch Optk. nsttut fü Optk nfomaton un

3 Motvaton nhaltsübscht: Mawll-Glchungn un Wllnglchung Polasaton ntfnz Bugung Fou-Optk Gauß Stahln Hologaph Dünn Flm un Fsnl-Glchungn Kohänz nsttut fü Optk nfomaton un 3

4 Ltatu Optk-Lhbüch: M. Bon. Wolf: Pncpls of Optcs Cambg Unvst Pss 997 Cambg J.W. Gooman: ntoucton to Fou optcs.n McGaw--Hll 996 Nw Yok.. Sgman: Lass Unv. Scnc Books 986 Mll Vall G. Luchs: Gomtcal Optcs p ; Wav Optcs p n Spng Hanbook of Lass an Optcs b F. Täg Spng 7 Nw Yok n paa ntssant Ognal-Vöffntlchungn: G.H. Spnc M.V.R.K. Mut: Gnal Ra-Tacng Pocu JOS 5(6) (96) H. Koglnk T. L: Las Bams an Rsonatos ppl. Opt. 5() (966) B. Rchas. Wolf: lctomagntc ffacton n optcal sstms Poc. R. Soc. 53 (959) nsttut fü Optk nfomaton un 4

5 Kaptl : Gunlagn: Mawll Glchungn Zthamonsch Wlln Pontng Vkto Wllnglchung Hlmholtz-Glchung nsttut fü Optk nfomaton un 5

6 Mawll Glchungn nsttut fü Optk nfomaton un 6

7 Mawll Glchungn m folgnn bnutzt Smbol: : lktsch Flstäk (nht: V/m) D: lktsch Vschbungscht (nht: s/m ) H: magntsch Flstäk (nht: /m) B: magntsch nukton (nht: V s/m = T) j: lktsch Stomcht (nht: /m ) : (f) lktsch Laungscht (nht: s/m 3 ) : Otsvkto (nht: m) t: Zt (nht: s) Nabla Opato (nht /m) / / / z nsttut fü Optk nfomaton un 7

8 Mawll Glchungn Mawll Glchungn t B t t Faaa s nuktonsgstz (Wbl s lktschn Fls ntsthn uch ztlch Änung s Magntfls) D t H t j t t mpè schs Gstz + Mawll s wtung (lktsch Stöm zugn Magntfl + Mawll sch Vschbungsstom D / t ) t t D Gstz von Gauß (lktsch Laungn sn Qulln s lktschn Fls) B t Gauß Gstz fü Magntsmus (s gbt kn magntschn Laungn ) nsttut fü Optk nfomaton un 8

9 Mawll Glchungn Matalglchungn allgmn: D( t) ( t) P ( t) P P( t) 3 3 () l () l ( t) j ( t) j ( t) jk ( t) j ( t) k ( t)... j j k B( t) H ( t) M ( t) M ( t) M lnalktsch ffkt nchtlna lktsch ffkt () magn () magn ( t) j ( t) H j ( t) jk ( t) H j ( t) H k ( t)... j j k lna magntsch ffkt 3 nhalt s Gunkuss Optk V: Nchtlna Optk Mat w zu Poukt von Skala l bzw. magn un nhtsmat sotop Mn nchtlna magntsch ffkt m ganz allgmnn Fall müsst man auch noch annhmn ass lktsch Polasaton P un Magntsung M auch vom lktschn bzw. magntschn Fl zu fühn Ztpunktn t =t-t abhängn. nsttut fü Optk nfomaton un 9

10 Mawll Glchungn Matalglchungn (fü lna un sotop Mataln): t t D t H t B Oft: =! : lktsch Funkton (mnsonslos) = s V - m - : magntsch Pmabltät (mnsonslos) =4. -7 V s - m - j t t : spzfsch Ltfähgkt (nht: V - m - ) = Dlktka ltfähg z.b. Mtall Matalpaamt wn auch ncht plzt von Zt abhängg angnommn! llngs bhänggkt von Fqunz/Wllnläng s Lchts (Dspson)! l magn nsttut fü Optk nfomaton un

11 Mawll Glchungn n paa allgmn nmkungn: Kontnutätsglchung lktonamk: H Wgn folgt aus zwtn un ttn Mawll-Glchung: D t t H j j ntgaton üb n Volumn V bzw. ssn gschlossn Obfläch lft mt Hlf s Gauß schn Satzs: V V t Q t V nt j V j Q: lktsch Laung m Volumn V nt : Ntto-Stom aus m Volumn V haus flßt nsttut fü Optk nfomaton un

12 Mawll Glchungn nghaltung n lktonamk:..mawll-glchung - H..Mawll-Glchung gbt: D H H j t Mt Pontng Vkto S : H S B H t H H H j H D Pontng-Vkto S st als Kuzpoukt sowohl snkcht zum lktschn als auch magntschn Fl. Sn nht st n ntnstät (Lstung po Fläch): [S]= V m -. m - = Vm - = W/m D t B t nsttut fü Optk nfomaton un

13 3 nsttut fü Optk nfomaton un Mawll Glchungn nghaltung n lktonamk fü n Spzalfall sotop Dlktka: = un j= t t D t H t B m/s c Wgn un un Äquvalnz fü Vakuumlchtgschwngkt c folgt: m m m w w w H H w w w t w w t H H t t H H t t B H j t D S : : : mt : :

14 Mawll Glchungn D nhtn Gößn w un w m sn: [w ]=[ ][] = s V - m - V m - = Ws m -3 = J/m 3 [w m ]=[ ][H] = V s - m - m - = Ws m -3 = J/m 3 s sn also ngchtn (ng po Volumn). w : ngcht s lktschn Fls w m : ngcht s magntschn Fls w: ngcht s lktomagntschn Fls nsttut fü Optk nfomaton un 4

15 Mawll Glchungn ntgaton Dvgnz s Pontng-Vktos üb n Volumn V (bgnzt uch gschlossn Obfläch ) lft: P nt : S V S V V t wv t V wv S volum V sufac aa Dutung: P nt st Nttosumm lktomagntschn Lstung uch gschlossn Obfläch flßt (=Dffnz zwschn Lstung haus flßt un Lstung hnn flßt). uf chtn St Glchung stht ztlch Änung m Volumn V nthaltnn lktomagntschn ng. Flßt also ng uch Obfläch haus so muss sch ngnhalt m Volumn ntspchn vngn (shalb Mnuszchn)! Dfntonn Göß H als Pontng-Vkto (=Vkto n ngfluss n Wll angbt) un Göß w als lktomagntsch ngcht sn also snnvoll un n sch stmmg. nsttut fü Optk nfomaton un 5

16 Wllnglchung n homognn Dlktka nsttut fü Optk nfomaton un 6

17 Wllnglchung n homognn Dlktka m Folgnn w n Pas sh wchtg Fall homogn un sotop Dlktka (fast all Gläs Luft mt konstant Tmpatu un Duckvtlung Vakuum) bhanlt. Dann glt = j= un uch nstzn Matalglchungn gbn sch folgn Vnfachungn Mawll-Glchungn: H H t t t t H t t t t D Glchungn sn also smmtsch wnn man mt H un glchztg mt vtauscht! nsttut fü Optk nfomaton un 7

18 Wllnglchung n homognn Dlktka llgmn glt fü n blbgs Vktofl folgn Vktonttät: : / / / z D Laplac-Opato Komponnt s Vktos angwant wn! muss ab auf j us stn un ttn Mawll-Glchung homogn Dlktka folgt also: H t H Duch nstzn zwtn Mawll-Glchung kann as magntsch Fl lmnt wn: t t t t nsttut fü Optk nfomaton un 8

19 Wllnglchung n homognn Dlktka Unt Vwnung folgnn Bzhung bzw. Dfnton Bchzahl n n homognn Dlktka folgt schlßlch Wllnglchung n homognn Dlktka: n : c n c t Wgn vohn wähntn Smmt Mawll-Glchungn b Vtauschung von mt H un glchztg mt glt n analog Glchung auch fü as magntsch Fl: H n c H t nsttut fü Optk nfomaton un 9

20 Planwlln n homognn Dlktka nsttut fü Optk nfomaton un

21 nsttut fü Optk nfomaton un Planwlln n homognn Dlktka n Lösung Wllnglchung n homognn Dlktka st: t g t H t f t v v Phasngschwngkt v:=c/n nhtsvkto mt z Nachws: v v v v : t u u f t u u f u u f z t z t u z z z nalogs glt fü H.

22 Planwlln n homognn Dlktka n Wll Fom H t f vt t g vt t=t t=t + t hßt bn Wll a Wllnfontn (=Flächn mt konstantm Wt u) bnn sn. Wllnfont: u vt constant vt D Wllnfontn bwgn sch mt Gschwngkt v n Rchtung s nhtsvktos wnn man as ob ngatv Vozchn vwnt. O =vt nsttut fü Optk nfomaton un

23 Planwlln n homognn Dlktka Othogonaltätsbngung fü Planwlln n homognn Dlktka: Hzu müssn w w Mawll-Glchungn btachtn a s as lktsch un magntsch Fl mtnan vknüpfn wähn Wllnglchung b Fl spat hatt. us Glchung fü uns allgmn bn Wll folgt (nu obs Vozchn w vwnt amt usbtung n Rchtung folgt): t f vt z z f z u f v t u f f z u u n analog Glchung glt fü H nm man f mt g stzt. f u nsttut fü Optk nfomaton un 3

24 4 nsttut fü Optk nfomaton un Planwlln n homognn Dlktka D st un zwt Mawll-Glchung lft ann: u f u g u g u f t t t H t t H t v v ntgaton b Glchungn nach u (ntgatonskonstant Null gstzt): g H H f n c v B Glchungn könnn nu glchztg füllt sn wnn un H n othogonals Dbn von Vkton bln! bn Wlln n homognn Dlktka sn mm Tansvsalwlln!

25 5 nsttut fü Optk nfomaton un Planwlln n homognn Dlktka Pontng-Vkto n bnn Wll n homognn Dlktka H H H H H S ufgun gnschaftn ns Spatpoukts bzw. Vktopoukts glt ab auch: H H H H H S lso glt auch: H w w w w w H w H m m

26 Planwlln n homognn Dlktka Wgn Dfnton Phasngschwngkt v kann Pontng-Vkto n bnn Wll ab auch folgnmaßn gschbn wn: S v H v H vw nschaulch ntptaton: Pontng-Vkto bschbt ngtanspot lktomagntschn Wll. ngcht w btt sch b n bnn Wll längs s (nhts-) Vktos mt Phasngschwngkt v aus (llustaton sh Gafk). S Zlnvolumn mt Fläch un Dck z nthält ng W=wz. Stck z w mt Gschwngkt v m Ztntvall t uchlaufn. Fü ntnstät auf Quschnttsfläch snkcht zu Stahlchtung glt: W wz wv t Btag s Pontng-Vktos st wv S also wklch ntnstät snkcht t t t zu usbtungschtung. nsttut fü Optk nfomaton un z 6

27 Planwlln n homognn Dlktka D ntnstät (gnau: Bstahlungsstäk) auf n Fläch n Nomal n Rchtung N ± zgt ( N =) un nn Wnkl mt usbtungschtung hat st gng a Flächnnhalt gngtn Fläch um /cos vgößt w: W t W t / cos W t cos S cos S N nmkung: D ntptaton ass Wll sch mt Phasngschwngkt ausbtt st natülch mt Voscht zu btachtn a Bchzahl n fü spzll Fäll (z.b. b Röntgnstahlung) auch kln als sn kann. Dann st Phasngschwngkt v=c/n göß als Lchtgschwngkt m Vakuum was natülch ncht laubt st falls amt n Sgnal übtagba wä. n bn Wll st ab unnlch ausghnt so ass s s n Raltät stng gnommn ncht gbt un mt Wllnfont kn Sgnal übtagn w. Man müsst also fü Sgnalübtagung n Wllnpakt nhmn un ot st Guppngschwngkt ntschn. nsttut fü Optk nfomaton un 7

28 8 nsttut fü Optk nfomaton un Planwlln n homognn Dlktka Lna polast zthamonsch bn Wll: Bsh wu bn Wll latv allgmn fnt un Funktonn f un g ncht wt spzfzt. Wchtg Fall sn ab posch Funktonn w cos un sn un n lna polast Wll (.h. lktschs un magntschs Fl schwngn nu n n bn usbtungschtung nthält). t n H u n H t H t n u n t v cos cos v cos cos B zthamonsch Wll pouzt sch Funktonswt nach Po T: ct n T T n t t n T t n T t bzw. v v v cos v cos

29 Planwlln n homognn Dlktka /n st also Stck n Wllnfont n Schwngungspo T zuücklgt un amt glch Wllnläng m Mum mt Bchzahl n. slbst st zughög Vakuum-Wllnläng. Wt wchtg Gößn sn: Schwngungsfqunz : =/T Ksfqunz : ==/T Wllnvkto k (oft auch twas la k-vkto gnannt): k=(n/) s gltn Bzhungn: ct c T c c k kv n nsttut fü Optk nfomaton un 9

30 3 nsttut fü Optk nfomaton un Planwlln n homognn Dlktka D Glchungn fü as lktsch un magntsch Fl nhmn ann auch bkannt Fom an: t k H t H t k t cos cos s soll noch gzgt wn ass s bn Glchungn tatsächlch Mawll-Glchungn fülln un ncht twa as Magntfl n Phasnvschbung latv zum lktschn Fl aufwsn (also z.b. cos uch sn stzt wn) müsst. st Mawll-Glchung n homognn Dlktka lft: sn sn cos cos c n k c H k H t k H t H t k k t k t k

31 Planwlln n homognn Dlktka Dtt Mawll-Glchung n homognn Dlktka lft: k cosk t cosk t k snk t D bn Mawll-Glchungn sn also füllt wnn wum (bzw. k) un H n othogonals Dbn von Vkton.h. paaws snkcht zunan sn. D ann bn Mawll-Glchungn n homognn Dlktka sn wgn Smmt n un H auch füllt. nsttut fü Optk nfomaton un 3

32 Kompl Dastllung zthamonsch lktomagntsch Wlln nsttut fü Optk nfomaton un 3

33 Kompl Dastllung zthamonsch Wlln Kompl Dastllung: Das lktsch un magntsch Fl als phskalsch mssba Gößn müssn ll sn wshalb w Dastllung zthamonsch Wlln mt cos- Funkton (o sn-funkton) gwählt habn. llngs st s mathmatsch gshn n Pas günstg kompl ponntalfunktonn zu vwnn wob nu Raltl phskalsch Butung hat. W üfn Opatonn mt n kompln Funktonn uchfühn solang lna Opatonn uchgfüht wn! Bspl fü lna Opatonn sn ton Subtakton Dffntaton o ntgaton. D Mawll-Glchungn z.b. bnhaltn nu lna Opatonn solang w nu lna ffkt n Mataln btachtn. nsttut fü Optk nfomaton un 33

34 nschub zu Lnatät von Mataln Kuz bschätzung zu Lnatät von Mataln D Gößnonung s lktschn Fls mt m n lkton n nm tom gbunn st kann am Bspl s Wassstoffatoms abgschätzt wn: 9 lmntalaung.6 s bstan vom Kn.5 m 4 ε sv - m - 6 V/m Bm Pontng-Vkto n bnn Wll hattn w gshn ass (m Vakuum) glt: S c Bspl: Dkt Sonnnnstahlung: nmkung: Ds st ztabhängg Foml. Bm Zusammnhang Ztmttlwt ntnstät un Mamum lktschn Flstäk muss chts noch n Fakto ½ sthn. S kw/m 7 m Fokus ns W CW-Lass: S W/ µm W/m V/m 6 V/m D Flstäkn sn also.a. kln ggnüb n Flstäkn m tom so ass nu kln uslnkungn aufttn un ffkt lna sn sollt. b Voscht b Ultakuzpulslasn! Dot kann Flstäk utlch höh als m H-tom sn! Stak nchtlna ffkt! nsttut fü Optk nfomaton un 34

35 35 nsttut fü Optk nfomaton un Kompl Dastllung zthamonsch Wlln llgmn zthamonsch Wll: Bsh hattn w nu n Spzalfall von Planwlln als konkt Fom n Wll bhanlt. n utlch vallgmnt zthamonsch Wll hat folgn Fom: t t z z z z z t t t t t t t z ˆ ˆ R R p p p R cos cos cos st Phas Wll so ass Flächn mt konstantm Wllnfontn astlln. st n komplwtg Vkto latv Phasn Komponntn zunan nthält un sch nu langsam mt m Ot änt. Ê

36 Kompl Dastllung zthamonsch Wlln Noch kompakt kann man n zthamonsch Wll schbn als: t R ˆ t H st Ê w schon voh n komplwtg nun ab allgmn vom Ot abhängg Vkto. m Pnzp könnt also j Komponnt n an funktonal Otsabhänggkt habn. Nu gäb s ann kn gntlch Wllnfont mh so ass snnvollws w voh gltn sollt: ˆ ˆ H gbt ponntaltm n mt m Ot sh schnll van Funkton wähn an Tm Ê sch nu langsam mt m Ot änt. Gnll wn m Folgnn komplwtg Vkton (o an Gößn) mt nm Dach gknnzchnt. uch fü as Magntfl w n glchatg bhänggkt angnommn: t H t Hˆ R mt Hˆ Hˆ nsttut fü Optk nfomaton un 36

37 Mawll-Glchungn fü zthamonsch Wlln nsttut fü Optk nfomaton un 37

38 Mawll-Glchungn fü zthamonsch Wlln Fü sotop lna un nchtglan (=) Mataln lassn sch ztunabhängg Mawll-Glchungn fomuln: R R R R ˆ t ˆ t R H ˆ t ˆ t H R ˆ t Folgt aus. Glchung fü ˆ wgn Hˆ ˆ t H Folgt automatsch aus. Glchung wgn ˆ D tt Glchung folgt also nsbson fü Dlktka (=) o homogn Mataln ( un konstant) aus. Glchung so ass s fü Dlktka o homogn Mataln nu zw unabhängg Glchungn gbt. W habn obn koktws n Raltl gnommn. b s glt fü n blbg komplwtg Vktofunkton f: R mf cost snt t f p t RR f f cos t m f sn R nsttut fü Optk nfomaton un 38

39 Mawll-Glchungn fü zthamonsch Wlln Nun müssn Glchungn fü all Ztpunkt gltn also z.b. fü Ztpunkt t= o t=/(). Dshalb müssn ztunabhänggn Mawll- Glchungn sowohl fü Raltl als auch magnätl nu noch otsabhänggn Funktonn gltn un man hält schlßlch fü kompln Funktonn ztunabhänggn Mawll-Glchungn fü zthamonsch Wlln: ˆ Hˆ ˆ H ˆ ˆ Folgt aus. Hˆ Glchung fü ˆ wgn Hˆ Folgt automatsch aus. Glchung wgn ˆ nsttut fü Optk nfomaton un 39

40 Mawll-Glchungn fü zthamonsch Wlln Bngungn an allgmn zthamonsch Wll aufgun stn bn (ztunabhänggn) Mawll-Glchungn: ˆ ˆ Hˆ Hˆ ˆ Hˆ Hˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Hˆ Hˆ Hˆ ˆ Hˆ Hˆ ˆ Um s Glchungn wt zu bhanln müssn w w schon b Hltung konalglchung gomtschn Optk m Gunkus Optk bückschtgn ass ˆ un Hˆ sch nu langsam mt m Ot änn wähn sch ja Phas n Wll um änt wnn w nu n Wllnläng /n (m Mum mt Bchzahl n) wtghn. nsttut fü Optk nfomaton un 4

41 Mawll-Glchungn fü zthamonsch Wlln st also btagsmäßg sh goß un zwtn Tm auf lnkn St bn Glchungn üfn mt gut Nähung vnachlässgt wn solang man sch ncht n Rgonn Wll bfnt n nn sch mpltu och sh schnll änt w z.b. m Fokusbch. nsgsamt haltn w also unt nnahm ass sch mpltu nu langsam mt m Ot änt zw Glchungn fü Vkton: ˆ ˆ Hˆ ˆ H nsttut fü Optk nfomaton un W w schon b Planwlln gshn hattn sagn s Glchungn aus ass ˆ n othogonals Dbn von Vkton bln. D Vkto st un Hˆ ab ll ann bn Vkton sn komplwtg. Ds st n vallgmnt Othogonaltätsbngung lktomagntsch Wlln w ab stng gnommn nu m Gnzfall gomtschn Optk abgltt habn. Nu ot st ja auch n Wllnfont nutg fnt so ass Vkto Snn macht. 4

42 Pontng Vkto fü zthamonsch lktomagntsch Wlln nsttut fü Optk nfomaton un 4

43 Pontng-Vkto fü zthamonsch Wlln Ztabhängg un ztgmttlt Gößn: D Schwngungsfqunz von schtbam Lcht st so hoch ass nu Ztmttlwt uch nomal tchnsch alsba Dtkton mssba st: =c/=(3. 8 m/s)/( m)=6 THz Ztgmttlt Pontng Vkto S fü n allgmn zthamonsch Wll: T / S S tt Rˆ p t RHˆ p t t T / Rˆ cost mˆ snt RHˆ cost mhˆ snt R ˆ R Hˆ m ˆ m Hˆ R ˆ Hˆ t nsttut fü Optk nfomaton un 43

44 Pontng-Vkto fü zthamonsch Wlln Bsons ntssant st Fall zthamonschn Wll m Gnzfall gomtschn Optk. ˆ Hˆ ˆ Hˆ S R ˆ H R ˆ ˆ R ˆ Hˆ ˆ -Glchungn Mawll ˆ ˆ H ˆ Hˆ R D ztgmttlt Pontng-Vkto st also paalll zum Gantn Wllnfont (=Stahlchtung) un popotonal zum Btagsquaat s kompln Vktos s lktschn Fls Ê. nstll von Ê könnt man auch Ê nstzn a s Vkto n glchn Btag hat. ˆ nsttut fü Optk nfomaton un 44

45 Pontng-Vkto fü zthamonsch Wlln ußm wssn w ass sch längs s Gantn Wllnfont Phas um änt wnn w n Wllnläng /n m Mum mt Bchzahl n laufn. lso glt: n S n c ˆ ˆ c n n ˆ 4 n fü Dlktka ˆ c n ˆ H st w nhtsvkto n Rchtung s Gantn Wllnfont. nsttut fü Optk nfomaton un 45

46 Wllnglchung nsttut fü Optk nfomaton un 46

47 47 nsttut fü Optk nfomaton un Wllnglchung Fü homogn Dlktka hattn w schon Wllnglchung abgltt. H nun allgmn fü lna sotop un unglan (=) Mataln. t t t t t t t t t H t H t t t H t ln D Mawll-Glchungn lautn n sm Fall: D Rotaton stn Glchung gbt: t H t t t t t H t t H t

48 Wllnglchung D tt Mawll-Glchung lft: t t t t t tln us bn Glchungn folgt ann Wllnglchung fü as lktsch Fl: t tln ln t t c t t t nsttut fü Optk nfomaton un 48

49 49 nsttut fü Optk nfomaton un Wllnglchung n ähnlch Ws lässt sch n Wllnglchung fü as magntsch Fl mt Hlf Rotaton zwtn Mawll-Glchung un Vwnung ann Glchungn abltn: t t t H t t t t H t t t t t t t t t t H t H t H t H t H t H ln ln Duch uflösn zwtn Mawll-Glchung nach /t kann auch ztlch bltung s lktschn Fls lmnt wn: t t H t t t t t t H

50 Wllnglchung Schlßlch hält man folgn Wllnglchung fü as magntsch Fl wob allngs as lktsch Fl ncht vollstäng lmnt wn konnt: H t H tln H t ln H t ln t c t H t t Wllnglchung fü lktschs Fl: t tln ln t t c t t t n Vglch mt Wllnglchung s lktschn Fls gbt ass b Glchungn bnah smmtsch bzgl. n stzung von mt H un glchztg mt sn. Nu Tm noch Ltfähgkt nthaltn sn ncht smmtsch bzgl. n atgn stzung. s gbt ab zw wchtg Spzalfäll n nn b Glchungn smmtsch sn. nsttut fü Optk nfomaton un 5

51 Wllnglchung Wllnglchungn fü n Dlktka (könnn ab nhomogn sn): Ltfähgkt = H t tln t H tln t H t ln H t c t ln t Ds bn Wllnglchungn sn smmtsch bzgl. n stzung von mt H un glchztg mt. c t nsttut fü Optk nfomaton un 5

52 Wllnglchung Wllnglchungn fü homogn Mataln (Dlktka o ltfähg Mataln w z.b. Mtall): Gantn von un sn Null H c t t t t c H t t t H t t H sn b Wllnglchungn smmtsch wnn man nu mt H stzt. t nsttut fü Optk nfomaton un 5

53 Hlmholtz-Glchung nsttut fü Optk nfomaton un 53

54 54 nsttut fü Optk nfomaton un Hlmholtz-Glchung D Hlmholtz-Glchungn folgn aus n Wllnglchungn nm man zthamonsch Wlln nstzt: t t ˆ R t H t H ˆ R D ztlchn bltungn lautn ann: t H t t H t t t t H t t H t t t p ˆ R p ˆ R p ˆ R p ˆ R

55 Hlmholtz-Glchung nstzn n Wllnglchungn fü lna sotop un unglan Mataln gbt: ˆ R ˆ R H c ˆ ln ˆ ˆ ln Hˆ c Hˆ ln Hˆ ln Hˆ ln ˆ p t ˆ p t W w schon b n ztunabhänggn Mawll-Glchungn fü zthamonsch Wlln gshn hattn müssn s Glchungn fü all Ztpunkt t gltn so ass s sowohl fü Raltl als auch magnätl nu noch otsabhänggn Funktonn gltn müssn. nsttut fü Optk nfomaton un 55

56 Hlmholtz-Glchung Damt hält man komplwtgn un nu noch vom Ot abhänggn Hlmholtz-Glchungn fü lktschs un magntschs Fl: ˆ ˆ ln ˆ ˆ c ln ˆ Hˆ Hˆ ln ln ln Hˆ c Hˆ Hˆ ˆ Bsons ntssant sn auch h w w schon b n Wllnglchungn Spzalfäll n Dlktka o homogn Mn. nmkung: W hättn Hlmholtz-Glchungn auch aus n ztunabhänggn Mawll-Glchungn fü zthamonsch Wlln kt abltn könnn anstatt zthamonsch Wlln n Wllnglchungn nzustzn. nsttut fü Optk nfomaton un 56

57 Hlmholtz-Glchung Hlmholtz-Glchungn fü n Dlktka: Ltfähgkt = ˆ Hˆ ˆ ln Hˆ ln c c ˆ Hˆ ln ˆ ln Hˆ D bn Glchungn sn smmtsch bzüglch n glchztgn Vtauschung von ˆ mt Hˆ. un mt nsttut fü Optk nfomaton un 57

58 58 nsttut fü Optk nfomaton un Hlmholtz-Glchung Hlmholtz-Glchungn fü homogn Mataln: Gantn von un sn Null ˆ ˆ ˆ H H c H ˆ ˆ ˆ c Ds bn Glchungn sn vollkommn smmtsch bzüglch. H ˆ un ˆ D Glchungn könnn auch n folgnn Opato-t gschbn wn: ˆ ˆ ˆ ˆ H k k Hb glt: / ˆ ˆ n c c c k c

59 59 nsttut fü Optk nfomaton un Hlmholtz-Glchung Duch s Glchung wn also n kompl Bchzahl un n kompl Dlktztätskonstant fnt n Raltl nomal ll Dlktztätskonstant st: nˆ un : ˆ mt ˆ : ˆ c c n ˆ D kompl Bchzahl st ann bstmmt uch: 4 4 un ˆ ˆ 4 n n n n n n n n c n n n n n n n n n n n n

60 Hlmholtz-Glchung D magnätl kompln Bchzahl lautt: n n Dlktka: Wnn Ltfähgkt = st so st natülch auch = un n = un s gltn nomaln Bzhungn w schon füh gshn hattn: nˆ n nsttut fü Optk nfomaton un 6

61 Hlmholtz-Glchung nmkung zu Mataln mt ngatvn Konstantn (z.b. Ngatv-n- Mataln): B Dlktka st > un > (un magnätl sn Null). n Mtalln ( ) kann aggn uchaus ngatv sn a ja glt: n n Bspl: lumnum b =57 nm Wllnläng: n=.86 n =6.83 = =-38.8 un =nn =.4 Ds st ab mm mt bsopton vbunn! n Matal mt ngatv Bchzahl n un ohn bsopton wä nu möglch wnn un b ngatv wän (un magnätl fast Null). Solch Mataln kann man uch künstlch Nanostuktuung mt Stuktun kln als Wllnläng zugn. llngs sn b hnn magnätl ncht Null un bsh zgn solch Mataln shalb stak bsopton. nsttut fü Optk nfomaton un 6

62 Hlmholtz-Glchung nfach Lösung Hlmholtz-Glchung n homognn Mn: n sch n z-rchtung ausbtn bn Wll füllt Hlmholtz-Glchung fü homogn Mn: ˆ ˆ kz ˆ ˆ p nz ˆ / ˆ kˆ p ˆ Wnn magnätl Bchzahl unglch Null st glt also: nˆ n n ˆ ˆ ˆ / ˆ p nz p n z / p nz / D st ponntaltm bschbt nn ponntlln bfall mpltu (fü n >) so ass man bsopton fomal uch kompl Bchzahl ausückn kann. n bstmmtn aktvn Mn (z.b. Vstäk-Mn fü Las) kann n ab auch ngatv sn so ass Vstäkung aufttt. nstll s magnätls Bchzahl vwnt man auch gn n 4 : ˆ ˆ p z / p bsoptonskoffzntn : nz / Fü n z glt S ˆ ˆ nsttut fü Optk nfomaton un 6

63 Hlmholtz-Glchung D Khwt s bsoptonskoffzntn st also Stck nach ntnstät auf / s nfangswts abgfalln st. n Mtalln st oft n >. Dann st nngtf z b mpltu auf / s nfangswts abfällt (bzw. ntnstät auf / ) utlch gng als Wllnläng m Vakuum: z n nsttut fü Optk nfomaton un 63

64 64 nsttut fü Optk nfomaton un Hlmholtz-Glchung nhomogn bn Wlln als Lösung Hlmholtz-Glchung n homognn Mn: D ltzt Fall st Spzalfall n so gnanntn nhomognn bnn Wll. D allgmn nhomogn bn Wll lautt (k un g sn ll Vkton): g k k k g k ˆ mt p p ˆ ˆ p ˆ ˆ n g k n g k g k g k g k g k k k n n n n n n k k k 4 4 ˆ ˆ 4 4 ˆ ˆ ˆ ˆ Hlmholtz-Glchung fot:

65 Hlmholtz-Glchung n ntssant Fom n nhomognn bnn Wll lgt vo wnn kn bsopton aufttt also =. k g k snkcht g bnn mt konstant Phas un bnn mt konstant mpltu sthn auch snkcht aufnan. nhomogn bn Wlln könnn ncht m gsamtn Raum stn a mpltu sonst gnwo ponntll anstgn müsst. S könnn ab z.b. b Totalflon an n Gnzfläch aufttn. Dann w ng s Lchts zwa vollstäng flktt ab s stt auch m Mum mt gng Bchzahl n lktomagntschs Fl as ab ponntll mt m bstan zu Gnzfläch abfällt. D Vkto k s sognanntn vanszntn Wll st paalll zu Gnzfläch Vkto g aggn snkcht zu Gnzfläch. Bfnt sch paalll zu stn Gnzfläch allngs n gngm bstan ( ) n zwt Gnzfläch zu nm Mum n m as Lcht w ausbtungsfähg st kann totzm ng uchtunnln. nsttut fü Optk nfomaton un 65

66 Hlmholtz-Glchung llustaton n vanszntn Wll bzw. n Nachws: Qull: nsttut fü Optk nfomaton un 66

67 Kaptl : Polasaton nsttut fü Optk nfomaton un 67

68 Polasaton Polasts Lcht: Vkto s lktschn un magntschn Fls hat an n Stll s Raums zu jm Ztpunkt fnt Rchtung un Btag. Kohänts Lcht st mm polast. Unpolasts Lcht: Polasaton schwankt stochastsch mt Zt so ass m Ztmttl kn Vozugschtung vohann st. Patll polasts Lcht: n Tl s Lchts st polast un n Tl unpolast. Sonnnlcht st zum Bspl patll polast uch n nfluss tmosphä. m Folgnn w nu vollstäng polasts Lcht btachtt. nsttut fü Optk nfomaton un 68

69 Polasaton Fü zthamonsch Wlln wu m Gnzfall gomtschn Optk gzgt ass n sotopn un lnan Dlktka glt: n Hˆ Hˆ ˆ mt n ˆ Natülch glt Glchung auch fü as ztabhängg lktsch/magntsch Fl: H t Hˆ t t ˆ R R t ˆ s gnügt also b bkannt Wllnfont bzw. Stahlchtung as lktsch Fl zu knnn a ann as magntsch Fl H automatsch bstmmt st. m Folgnn w also nu noch as lktsch Fl btachtt. nsttut fü Optk nfomaton un 69

70 7 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton st Wllnglchung füllt. Wgn cos cos cos cos cos cos c n c n n k t kz t kz k t z t kz t kz t t z t kz t kz t z Wthn w m Folgnn nu n bn Wll n nm homognn Dlktkum btachtt so ass as lktsch Fl nfach Wllnglchung fülln muss: t t c n t Das Koonatnsstm w so gwählt ass sch bn Wll n z-rchtung ausbtt. D allgmn zthamonsch bn Wll lautt ann:

71 Polasaton W müssn also nu noch stn bn Komponntn btachtn un fühn noch n Paamt un Phasnffnz n: : kz t : cos cos cos cos cos sn sn Ds Glchung st Paamtastllung n llps uch Sptz s lktschn Flstäkvktos ( ) n --bn als Funkton von bschbn w..a. wn ab Hauptachsn s llps ncht n - un -Rchtung lgn so ass zu Bchnung Hauptachsn mt Längn a un b noch n Hauptachsntansfomaton uchgfüht wn muss. Dab w angnommn ass glt: > un > un sn. st n Wt Null so lgt lna Polasaton vo un n Hauptachsntansfomaton st ncht nötg. nsttut fü Optk nfomaton un 7

72 Polasaton Lna Polasaton: llps gnt zu n Ln un lktschs Fl schwngt längs s Ln Hauptachs a o b st Null. m Fall = o = o sn= lgn folgn Fäll vo: cos cos cos sn sn Fall = o = st tval a ann nu n Komponntn unglch Null st also auch nu lna Polasaton volgn kann. Fü sn= glt: cos=± cos Das lktsch Fl schwngt also längs s konstantn Vktos ( ± ). nsttut fü Optk nfomaton un 7

73 73 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton llgmn Fall: mplzt Dastllung uns.a. ghtn llps (wob as gumnt von un nfachn Notaton wgn wgglassn w): cos cos cos cos sn cos cos cos sn sn cos sn sn cos cos cos nstzn stn Glchung n zwt lft: sn cos sn sn sn cos cos cos sn

74 74 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton nsts glt fü llps n Hauptachsnfom m um n Wnkl ghtn Koonatnsstm : a b sn cos sn sn cos cos sn sn cos cos sn sn cos mt Y a b b a b a b a m ltztn Schtt wu sncos =sn() gstzt.

75 75 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton s gltn also bn Glchungn: Koffzntnvglch Glchungn gbt: sn cos sn sn cos sn sn sn cos a b b a b a sn cos sn sn sn cos sn sn cos Y a b b a b a sn cos sn sn cos sn b a b a b a ton bzw. Subtakton stn bn Glchungn un cos()=cos -sn gbt:

76 Polasaton us n ltztn bn Glchungn lässt sch nun Dhwnkl Koonatnsstm n bhänggkt ggbnn Paamt un bchnn: cos cos tan Folgn Fäll müssn m Spzalfall = btachtt wn:. cos : Dann st / / 4. cos =: Dann st =(n+)/ un Wnkl ncht fnt. Ds Fall ttt ab nu auf wnn sognannt zkula Polasaton volgt un Vkto s lktschn Fls sch auf nm Ks bwgt. Dann sn bn Halbachsn natülch glch un s stt kn Vozugschtung. ußm st wgn obgn Glchung Dhwnkl nu m ntvall / / / 4 / 4 nutg fnt. Ds gnügt ab a w ncht fstglgt habn ob a o b goß Halbachs st. nsttut fü Optk nfomaton un 76

77 77 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton us n stn bn vohgn Glchungn lassn sch nun uch ton bzw. Subtakton auch Halbachsn a un b bchnn: cos sn cos sn cos sn sn b a b a b a Da [-/;/] glt st cos(). Dshalb könnn w tgonomtsch nttät vwnn: fü fü : mt cos 4 cos 4 cos 4 tan cos s s

78 78 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton Daaus gbn sch schlßlch zpokn Quaat Halbachsn a un b: sn 4 sn cos 4 sn sn 4 sn cos 4 sn s s b s s a Das Vhältns Quaat Halbachsn a un b st: sn 4 sn 4 cos 4 cos 4 s s s s a b n n usückn ganz chts wu jwls bnutzt: cos =-sn

79 79 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton D vschnn Polasatonszustän: Lna Polasaton: W hattn schon gshn ass s Fall st wnn = o = o sn= un hattn uns Hltung fü n Fall gmacht ass kn lna Polasaton volgt! n Gnzwtbtachtung lft ab auch ann w nn fntn snnvolln usuck (ntwcklung Wuzl gmäß ). sn sn sn sn sn 4 sn / / b a b a sn sn b fü / a

80 Polasaton uch Glchung fü n Dhwnkl Halbachsn lft b lna Polasaton snnvoll Rsultat wnn vschnn Fäll untschn wn: cos tan. mpltu = o = (ab ncht b glchztg a ann ga kn Lcht vohann wä) tan()= = n Halbachs (mt Btag unglch Null) lgt längs - o -chs. sn= (un w noch sn Null) cos=± tan H muss zust Spzalfall = wähnt wn b m Wnkl =±/4 btägt. nsttut fü Optk nfomaton un 8

81 8 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton. Fü sn= (un w noch sn Null) un : D Glchung s oppltn Wnkls kann unt Vwnung tgonomtsch Bzhungn n n s nfachn Wnkls umgfomt wn so ass sch n anschaulch Glchung gbt: / / 4 tan tan tan tan tan tan tan tan

82 8 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton Zkula Polasaton: H muss lktsch Flstäkvkto auf nm Ks laufn Halbachsn a=b. sn sn 4 sn 4 sn 4 sn / / b a b a Nun glt ab folgn Unglchung: sn sn Ds kann ab nu fü as Glchhtszchn füllt wn un ann gltn bn Bngungn ( s nu m ntvall [ ;] fnt a posch): / sn

83 Polasaton ngstzt n uspünglch Dfnton s lktschn Fls lft s also fü zkula Polasaton: z z t t cos : kz t cos kz t cos kz t coskz t / cos kz t sn kz t B zkulan Polasaton (un spät auch b llptschn) gbt s also zw vschn Dhsnn: Rchtszkula un lnkszkula Polasaton W vwnn folgn Dfnton fü chtszkula Polasaton: n nm fstn Ot z.b. z= bwgt sch lktsch Flstäkvkto b chtszkula Polasaton mt Zt m Uhzgsnn wnn man von Bobachtungsbn auf nfalln Wll schaut (also antpaalll zu usbtungschtung). Schaut man zu nm fstn Ztpunkt n usbtungschtung so bschbt Sptz s Vktos n Spal n Umlaufsnn n Rchtung Fng chtn Han zgt wnn Daumn n usbtungschtung zgt. nsttut fü Optk nfomaton un 83

84 84 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton Ds butt mathmatsch fü chtszkula Polasaton: t kz t kz t kz t kz t z t z sn cos / cos cos / z z z=konstant t=konstant t

85 Polasaton llptsch Polasaton: D allgmn Fall st llptsch Polasaton wob ot stng gnommn natülch auch lna un zkula Polasaton als Spzalfäll nthaltn sn. m ngn Snn lgt allgmn llptsch Polasaton vo fü: / uch h w w zwschn lnksllptsch un chtsllptsch polastm Lcht untschn wob lktsch Flstäkvkto sch ann auf n allgmnn llps bwgt. nsttut fü Optk nfomaton un 85

86 Polasaton Wt Polasatonszustän: D Polasatonszustan n Wll kann lokal untschlch sn Polasatonzustän w z.b. aal o azmuthal Polasaton b nn as lktsch Fl lokal lna polast st ab mt lokal untschlch Rchtung! Bspl: a) Lna (global) b) Raal (lokal lna) c) zmuthal (lokal lna) ) Zkula ) llptsch (global) f) Lokal vschn llptsch nsttut fü Optk nfomaton un 86

87 87 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton D Stoks-Paamt: Wt Möglchkt polasts Lcht azustlln: Stoks-Paamt s s s un s 3 mt n folgnn Dfntonn: sn : cos : : : 3 s s s s Offnschtlch st s popotonal zu ntnstät (bzw. zum Btag s Pontng- Vktos) Wll. Wthn gbt s nu unabhängg Gößn a glt: sn cos 4 s s s s

88 Polasaton D Poncaé-Kugl: Gaphsch Dastllung Polasatonszustän nm Stoks-Paamt s s un s 3 als Koonatn ns katsschn Sstms aufgtagn wn. Wgn s s s sn nu Punkt auf Kuglobfläch mt Raus s laubt. 3 s Lna Polasaton: = o = o sn= s 3 = Nu Punkt auf Äquatoln ntspchn lna Polasaton. Zkula Polasaton: = un =±/ s =s = Nu bn Punkt an n Poln ntspchn zkula Polasaton. Rchtszkula (= -/) am Süpol. Gnll sn chtshäng llptsch polast Zustän auf Sühalbkugl. s : s s 3 : : lft-han ccula polazaton sn lna polazaton cos s ght-han ccula polazaton s 3 nsttut fü Optk nfomaton un lft-han llptc polazaton s ght-han llptc polazaton 88

89 89 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton D Hlztät: D Hlztät bschbt n Ga zkulan Polasaton n Wll. S st fnt als: 3 sn s s Lna Polasaton: = o = o sn= = Zkula Polasaton: = un =±/ =± llgmn: nschaulch hängt Hlztät mt m Btnga auf Poncaé-Kugl zusammn. Postv Hlztät ntspcht lnkshäng llptsch Polasaton! sn wgn

90 Polasaton nmkung: Ohn Bws s angmkt ass Hlztät as Vhältns zwschn tatsächlchn Komponnt s Dhmpulss n Wll n usbtungschtung zu mamal möglchn Komponnt b ggbn Lchtlstung angbt. B zkula Polasaton also = st Komponnt s Dhmpulss n usbtungschtung mamal. B lna Polasaton st s Null. n bn Wll hat allngs knn Dhmpuls sonn s muss sch um n äumlch bgnzt Wllnüblagung hanln z.b. nn Gauß-Stahl (sh spät)! nsttut fü Optk nfomaton un 9

91 9 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton Kompl Dastllung n polastn Wll un Jons-Vkto: W voh könnn w w n kompl Dastllung wähln nm w n Raltl kompl ponntalfunktonn nhmn. D fü b Polasatonskomponntn gmnsam usbtungstm w spat un n Raltl notn w auch ncht mh Jons-Vkto J n polastn Wll: J J J t kz t kz t kz t kz t kz t z t z p p p p p R p p R cos cos Btagsquaat s Jons-Vkto st popotonal zu ntnstät Wll: J W habn n Jons-Vkto h fü n bn Wll mt usbtung n z- Rchtung fnt kann ab allgmn fnt wn nm man n lokals --Koonatnsstm snkcht zu usbtungschtung zugun lgt.

92 9 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton Jons-Vkton wchtg Polasatonszustän: Lna Polasaton: lktsch (un magntsch) Flvkto längs Ln: J Zkula Polasaton: lktsch (un magntsch) Flvkto bwgn sch auf Ks: (chtszkula) (lnkszkula) / : J

93 Polasaton D Jons-Kalkül: Js lna Polasatonslmnt kann uch n sognannt Jons-Mat P agstllt wn n Jons-Vkto J hnt m lmnt mt m Jons-Vkto J vo m lmnt vbnt. p J PJ p mt P p p Folglch muss P n -Mat sn n ntäg.a. kompl sn könnn. D Wkung von n Polasatonslmntn hntnan w uch Multplkaton h Jons-Matzn agstllt wob w b paaaln Mattho Mat P n s ltztn lmnts ganz lnks stht: J P Pn... P n J nmkung: Falls kn bn Wll volgt kann sch lokals Koonatnsstm Jons-Mat wähn usbtung vänn a s zum nn snkcht zu lokaln usbtungschtung sn muss un sch auch noch um s hn kann. nsttut fü Optk nfomaton un 93

94 Polasaton Jons-Mat ns Polasatos mt Duchlasschtung n -Rchtung: n Polasato lässt nu Komponnt s lktschn Fls längs sn Duchlasschtung uch h glch -chs st. Jons-Mat P : P J J J J J P J Polasato mt um n Wnkl zu -chs ght Duchlasschtung: Dh nfallnn Jons-Vkto zust n as lokal Koonatnsstm s Polasatos n m sn Duchlasschtung lokal -chs st. Multplz mt Jons-Mat P un h ns global Koonatnsstm zuück. Jons- Mat P s Polasatos mt um n Wnkl ght Duchlasschtung: P cos sn cos sn sn cos P sn cos cos cos sn sn sn cos sn cos sn cos cos sn cos sn cos sn J cos sn nsttut fü Optk nfomaton un sn cos 94

95 95 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton Bspl fü Jons-Kalkül mt mhn Polasaton: Polasato w zwschn zw gkuztn Polasaton (st n -Rchtung) um n Wnkl ght. nfallns Lcht s schon n -Rchtung polast. Jons-Mat P gs Gsamtanonung: cos sn cos sn cos sn cos sn cos sn cos sn cos J gs gs P P P P P Btägt o o 9 o so w übhaupt kn Lcht uchglassn. Mamal w uchglassn wnn =45 o. Dann glt: 4 cos 4 sn J D uchglassn ntnstät st also nu noch mamal ¼ nfallnn.

96 96 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton Vtl-Wlln-Plattn = /4-Plattn: Dopplbchns Matal so ass Bchzahl fü Polasaton n lokal - un - Rchtung s Matals untschlch st. Phasnuntsch / /4-Platt: / 4 P / 4 OPD D Jons-Mat n /4-Platt (chs n -Rchtung) st also: Lna polasts Lcht unt 45 o auf /4-Platt zkula polasts Lcht: J J 4 P /

97 97 nsttut fü Optk nfomaton un Polasaton Halb-Wlln-Plattn = /-Plattn: Zw ntsch /4-Plattn hntnan gbn n /-Platt (chs n - Rchtung). 4 / 4 / / P P P Lna polasts Lcht unt Wnkl auf /-Platt: sn cos sn cos / J J P Ds st also lna polasts Lcht unt Wnkl. D /-Platt ht also Polasaton um n Wnkl (.h. gnau -).

98 Polasaton nmkung: B /4- bzw. /-Plattn st also chsnlag latv zu nfallnn Polasaton wchtg! B lna Polasaton unt Wnkl (latv zu -chs) hat man b /4-Platt z.b. folgns gbns: J P J cos sn cos sn cos / sn / 4 s hanlt sch also m allgmnn Fall ( un /) um llptsch polasts Lcht mt n bn Halbachsn längs - un -chs. nsttut fü Optk nfomaton un 98

99 99 nsttut fü Optk nfomaton un Übblck üb wchtg Jons-Matzn: Polasaton P P P / 4 P / Polasato n -Rchtung Polasato n -Rchtung /4-Platt (chs n -Rchtung) /-Platt (chs n -Rchtung) 4 P / /4-Platt (chs n -Rchtung) P / /-Platt (chs n -Rchtung)

100 Kaptl 3: ntfnz nsttut fü Optk nfomaton un

101 ntfnz m folgnn wn w kohänt Wlln glchn Wllnläng btachtt. D Üblagung zw (o mh) kohänt Wlln bzchnt man als ntfnz ton lktschn un magntschn Flstäkvkton Klassschs Bl: lktonn wn kt uch schwngns lktschs Fl bschlungt wähn magntschs Fl nu auf bwgt Laungn wkt Gängg Dtkton agn nu auf lktschs Fl m Folgnn w nu lktschs Fl btachtt obwohl magntschs Fl natülch auch jwls fnt st. nsttut fü Optk nfomaton un

102 ntfnz Bschbung zw ntfnn Wlln: Btachtn zw bn Wlln mt blbg Polasaton n homognm sotopm Matal mt Bchzahl n. Wllnvkton k bzw. k nhtsvkton bzw. n usbtungschtung: k k k k k n k n Zu Bschbung blbg Polasaton jwls lokals -- Koonatnsstm snkcht zu usbtungschtung nötg Wähl nhtsvkto snkcht zu bn uch un fnt st un nhtsvkton bzw. j snkcht auf un jwlgn usbtungschtung sthn: : : : nmkung: Falls un paalll o antpaalll wähl blbgn Vkto snkcht zu (un amt auch ). nsttut fü Optk nfomaton un

103 ntfnz B bn Wlln könnn also nu Komponntn s lktschn Fls längs un längs bzw. habn. Kompntn längs hßn T-Komponntn (tansvsal lctc a lktschs Fl snkcht zu usbtungsbn) Komponntn längs bzw. hßn TM-Komponntn (tansvsal magntc a Magntfl snkcht zu usbtungsbn) Damt könnn lktschn Fl b bn Wlln folgnmaßn bschbn wn: k t R ˆ ˆ t R t R k t R ˆ ˆ Gößn mt Dach bzchnn w kompl-wtg Gößn/Vkton. k k t t nsttut fü Optk nfomaton un 3

104 ntfnz Bchnung s ntfnzmusts b Wlln: ufgun Lnatät üfn Raltl un n bn Wlln ntsch ztabhängg Tm p(-t) n Notaton m Folgnn wgglassn wn so ass b ntfnz b Wlln nu otsabhänggn kompln lktschn Flstäkvkton at wn: k k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Solang w nu as ntfnzmust n n bn snkcht zu mttln usbtungschtung + b bn Wlln btachtn st ztgmttlt ntnstät s ntfnzmusts popotonal zum Btagsquaat von Ê + mt Popotonaltätskonstant a: c c a cos <bc> Bzchnt ab n Wnkl zwschn n bn Vkton. Falls allngs =- st Kosnus-Fakto. nsttut fü Optk nfomaton un 4

105 5 nsttut fü Optk nfomaton un ntfnz Fü ztgmttlt ntnstät + s ntfnzmusts glt ann: k k k k k k k k a ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ mt ˆ ll ann Tm sn wgn n Othogonaltätsbngungn Null. Zu wtn uswtung w. bnötgt:

106 ntfnz Dfn Phasnffnzn Komponntn bn Wlln: ˆ : : kk k cos k k cosk k k Mt uspünglch Dfnton kompln Vkton längs Komponntn folgt: ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ k k k k ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ cos-tm hßn: ntfnztm Räumlch patll kohänt Wlln vo Kosnus noch Kohänz-Fakto zwschn = (nkohänt) un = (kohänt). nsttut fü Optk nfomaton un 6

107 ntfnz ntnstät s ntfnzmusts nthält also Tm TM-Komponntn un Tm T-Komponntn. Da b Komponntn snkcht zunan sn an sch h ntnstätn. ntnstätn un bn bnn Wlln könnn auch n T-Tm un TM-Tm aufgspaltn wn ( un j konstant a bn Wlln!): a a cos k k cos k k nsttut fü Optk nfomaton un 7

108 ntfnz Gttpo un Stfnpo: ntfnz zw bn Wlln Flächn glch ntnstät bzw. glch Phas sn bnn mt: k k konstant G : k k Gttvkto G: stht snkcht auf bnn glch Phas Gttpo : bstan zw bnn glch Phas Bchnung nm von n bn längs s Gttvktos zu nächstn bn mt glch ntnstät (Phas höht sch um ) um n Vkto ggangn w. =: cosk k cosk k G= k -k k k k k k k G G / G n n nsttut fü Optk nfomaton un /n 8

109 ntfnz G n Falls b Wlln paalll sn st Gttpo also unnlch D klnst Gttpo hält man fü ant-paalll laufn Wlln: mn n Gttpo n bhänggkt s Wnkls zwschn bn bnn Wlln: n cos n sn G= k -k k k nsttut fü Optk nfomaton un /n / 9

110 ntfnz ntfnzstfn un Stfnpo: Wklch bobachtt wn.a. kn Flächn glch ntnstät/phas sonn Schnttkuvn s Flächn mt Dtktobn sognanntn ntfnzstfn. B ntfnz zw bn Wlln sn ntfnzstfn ga paalll un äqustant Lnn. D (lokal) bstan zw ntfnzstfn st Stfnpo p. Nu wnn Gttvkto G n Dtktobn lgt st p=. m allgmnn Fall af zu Bchnung Stfnpo nu Komponnt G s Gttvktos n Dtktobn gnommn wn! nsttut fü Optk nfomaton un

111 ntfnz Bws: Ohn Bschänkung llgmnht lg Dtkto n -- bn b z= k k G z k k k k k k G kz kz konstant nalog w b Gttpo glt fü Stfnpo p: p nhtsvkto N snkcht zu Dtktobn G G G N N B Vwnung s Wnkls zwschn Gttvkto G un Flächnnomal N glt: p G G N N G G N N G G N s glt also mm: p cos sn nsn sn nsttut fü Optk nfomaton un

112 ntfnz Kontast V ntfnzstfn: mn ma : Mnmal ntnstät bzw. mamal ntnstät wnn Phas an nm Ot um vat w. Z.B. uch Vaaton Phasnffnz bzw. zwschn n bn ntfnn Wlln. Falls mpltu ntfnn Wlln otsunabhängg (w b bnn Wlln) könnn ntnstätswt s ntfnzmusts auch an untschlchn Otn mt untschlch Phas gmssn wn: V : ma ma mn mn Da ntnstätn mm postv sn kann Kontast nu zwschn (fü ma = mn ) un (fü mn =) van. nsttut fü Optk nfomaton un

113 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn Sstmatsch uswtung ntfnzfoml fü vschn wchtg Polasatonszustän. Lna polasts Lcht b Wlln: Dazu müssn Phasn Komponntn bn Wlln un nsts bzw. un ansts jwls glch sn o sch um untschn: : s : : Paamt s (s=±) wu zu Untschung b Fäll ngfüht. cos k k cos cos k k s cosk k s : Wnkl zwschn n cos k k bn Wlln nsttut fü Optk nfomaton un 3

114 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn Spzalfall.a) B Wlln habn nu T-Komponntn.h. = = s k k T T cos Ds st Glchung man auch n skalan Nähung vwnt wnn man nu n Komponnt s lktschn Fls btachtt un kln Wnkl. Rsultn Kontast: V T T ma ma mn mn nsttut fü Optk nfomaton un 4

115 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn Unt nnahm ass zwt Wll schwäch ntnstät hat also =a un a folgt: V T T a a Natülch st Kontast zwschn un : V TT = fü a=.h. = V TT = fü a=.h. = nsonstn zgt Kuv ass Kontast auch b stak untschlchn ntnstätn noch latv goß st. nsttut fü Optk nfomaton un 5

116 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn Kontast b ntfnz zw bn Wlln mt T-Polasaton: (Zwschnwnkl.45 o =633 nm) mm mm mm mm = V= =.5 V=.94 =. V=.57 =. V=. nsttut fü Optk nfomaton un 6

117 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn D Kontast st also auch b stak untschlchn ntnstätn nzlwlln noch latv goß (z.b. =. V=.). n schwachs Sgnal kann mt Hlf n stakn Rfnzwll tktt wn. Voausstzung st natülch ass b Wlln zunan kohänt sn.h. gntlch müssn s von glchn Lchtqull stammn! nsts hßt s ab auch ass n schwach Stöwll (z.b. Stulcht an Katzn) n kontastch Stöung m ntfogamm lfn kann! Dshalb vsucht man n ntfomt oftmals äumlch Kohänz zwschn n bn Nutzwlln so gng zu machn ass Nutzwlln zwa noch gut ntfn ab möglchst kn Stulcht as nn ann optschn Wg läuft. nsttut fü Optk nfomaton un 7

118 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn Spzalfall.b) B Wlln habn nu TM-Komponntn.h. = = cos k k TM cos TM Nu fü kln Wt s Zwschnwnkls (.h. cos) zwschn bn ntfnn Wlln st s Glchung ntsch mt skalan Nähung bzw. T-Polasaton. D sultn Kontast st um n Fakto cos ggnüb T-Polasaton vmnt: ma mn V TM TM ma cos mn cos cos cos cos B glch ntnstät bn Wlln st Kontast also ncht mh sonn nu noch cos. B =9 o vschwnt Kontast vollstäng a snkcht zunan polast Wlln ncht ntfn. nsttut fü Optk nfomaton un 8

119 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn Spzalfall.c) n Wll hat nu n T-Komponnt.h. = un an Wll nu n TM-Komponnt.h. =: T TM konstant H sthn Polasatonn bn Wlln mm snkcht aufnan so ass kn ntfnz möglch st. Fomal gshn st also Kontast jwls Null. nsttut fü Optk nfomaton un 9

120 Spzalfall.) m allgmnn Fall ass sowohl T- als auch TM-Komponntn b Wlln vohann sn st as Vozchn s Paamts s wchtg. Fü s=+ an sch cos-tm un s gbt ntfnz: ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn s V cos cosk k s cos cos cos cos cos s cos cosk k s cos st as Vozchn s Paamts s aggn s= - uzt sch Gsamt- Kontast ggnüb m Kontast nzlnn Komponntn: V nsttut fü Optk nfomaton un

121 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn s gbt also fü s= - auch n Fall ass Kontast kompltt vschwnt: cos V s cos Hßt ab ass b Wlln ltztnlch snkcht zunan polast sn: cos cos H üfn m Untsch zu voh m Fall s= - auch o ngatv sn. a) s=+.h. Polasatonsvkton b Wlln schwngn m glchn Quaantn snkcht zu usbtungsbn (gstchlt) a zwschn n Komponntn längs un nsts bzw. un ansts kn Phasnvsatz o n bn Fälln Phasnvsatz volgt. b) s= -.h. Phasnvsatz zwschn ntw n Komponntn längs un o längs un. D Polasatonsvkton b Wlln schwngn n untschlchn Quaantn un könnn m Spzalfall auch w snkcht zunan sn. nsttut fü Optk nfomaton un a) b)

122 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn. Zkula polasts Lcht b Wlln: stt nu wnn Komponntn b Wlln jwls glch mpltu bzw. ntnstät habn un Phasnffnz zwschn un nsts bzw. un ansts jwls st: ; ; ntnstät s ntfnzmusts st ann: cos k k cosk k cos cos k k cosk k W müssn vschn Fäll untschn wn:.a) B Wlln habn glchn Dhsnn sn also b chtszkula o b lnkszkula polast..b) B Wlln habn vschnn Dhsnn.h. n st chtszkula un an lnkszkula polast. nsttut fü Optk nfomaton un

123 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn.a) Glch Dhsnn b Wlln: ntnstät s ntfnzmusts st: cos k k cos Kontast s ntfnzmusts st: V cos cos cos cos : cos Zkula polast Wlln mt glchm Dhsnn gbn glchn Kontast w T lna polast Wlln wnn s sch n glch Rchtung ausbtn (=). Btn S sch snkcht zunan aus (=9 o ) so st Kontast mmhn noch halb so goß w b T lna polastn Wlln. Btn s sch aggn ntggngstzt aus (=8 o ) so st Kontast Null. nsttut fü Optk nfomaton un 3

124 ntfnz bn Wlln b vschnn Polasatonn.b) Untschlch Dhsnn b Wlln: ntnstät s ntfnzmusts st: cos k k cos Kontast s ntfnzmusts st: V cos cos cos cos : cos Zkula polast Wlln untschlchn Dhsnns ntfn ncht wnn s sch n glch Rchtung ausbtn (=). Btn S sch snkcht zunan aus (=9 o ) so st Kontast w halb so goß w b T lna polastn Wlln. Btn s sch ntggngstzt aus (=8 o ) so st Kontast w b T lna polastn Wlln. nsttut fü Optk nfomaton un 4

125 ntfnz: Tlchnbschlung nwnung ntfnz zw Wlln zu Bschlungung glan Tlchn (z.b. lktonn): m Pnzp könnn blbg glan Tlchn uch as ntfnzmust zw kohänt Lasstahln bschlungt wn. D ffznz Bschlungung st ab w w shn wn nu goß wnn Tlchn nahzu Lchtgschwngkt habn. h Bwgungsng muss also h Ruhng chn o übstgn um ffznt bschlungt zu wn. Dshalb wn h nu lktonn als lchtst glan Tlchn btachtt. H soll nu as Pnzp btachtt wn so ass w folgnn nfachn Fall btachtn: Zw TM lna polast Wlln glch lktsch mpltu btn sch mt m Zwschnwnkl = zwschn hn k-vkton aus. Koonatn- Sstm w so gwählt ass k-vkton smmtsch sn un n -z- bn laufn (z-chs = Wnklhalbn zwschn bn k-vkton). Längs z-chs habn b Wlln n Phasnffnz. nsttut fü Optk nfomaton un 5

126 6 nsttut fü Optk nfomaton un D Zchnung llustt lktschn Flvkton un k-vkton. Längs z-chs hbt sch as magntsch Fl b Wlln ga auf un s gbt sch nu n Komponnt z s lktschn Fls paalll zu z-chs. z = + z k k t z t z t k t k t z t z t z t k t k t z cos sn cos sn cos sn cos cos cos sn cos cos cos sn cos sn cos sn cos cos cos sn cos cos Mathmatsch glt: ntfnz: Tlchnbschlung

127 ntfnz: Tlchnbschlung Fü z-komponnt s lktschn Fls längs z-chs glt ann: z t z t z t sn cos z cos t : z z t Da b Wlln natülch m Vakuum laufn (sonst wün lktonn stäng abgbmst) kann man mt Wllnläng = c/= c/ auch schbn: z z t sn cos z t c cos c Das längs postvn z-chs flgn ngatv glan lkton w also ann mamal bschlungt wnn an snm Ot glt z = - sn so ass fü Phas s gumnts Kosnus-Funkton gltn muss: c cos c z t z t nsttut fü Optk nfomaton un 7

128 ntfnz: Tlchnbschlung D Ot glch Phas längs z-chs schnn sch also mt schnban Phasn-Gschwngkt c/cos > c auszubtn. Ds st ab kn Wspuch zu spzlln Rlatvtätstho a mt s Phasngschwngkt w nfomaton noch ng tanspott wn. Das lkton hab Gschwngkt v<c (ab v fast konstant a schon nah an c) so ass s sch mm langsam als Phasngschwngkt s ntfnzmusts bwgt. s kann also mt Zt ncht mh Schtt haltn un kommt auch n Bch s ntfnzmusts mt ann Phasn so ass as lktsch Fl postv un amt abbmsn wn kann. nsgsamt wü as lkton also n nm unnlch ausghntn ntfnzmust zw bn Wlln posch bschlungt un abgbmst wn so ass s kn Ntto-Bschlungung hlt. Lgt as lkton m Labo-Sstm n Zt t Stck z=vt zuück so sht s längs z-chs also jwls Phas: z c cos z c z v zcos c v nsttut fü Optk nfomaton un 8

129 ntfnz: Tlchnbschlung D aal ushnung z s Bchs n m as lkton n n Rchtung bschlungt w st also ga so goß ass sch ot Phas um änt. s glt also: c z cos z v c cos v Fazt: nstll ntfnz zw bn Wlln sollt man also z.b. stak fokusst (Gauß-)Stahln mt n aaln ushnung z ntfn lassn n Fokus/bam wast m Kuzungspunkt bn Stahln lgt. Zwa glt ann uns nfach bltung ncht mh akt ab mmhn noch nähungsws. Da Stäk s bschlungnn lktschn Fls mt sn wächst sollt Wnkl zwschn bn Stahln möglchst goß sn. Ds stht ab zum Tl m Wspuch azu ass z möglchst goß sn soll a man wgn Bugung kn Wll auf nn Bch kln ca. z= fokussn kann. D Gschwngkt v s lktons sollt außm schon möglchst nah b Lchtgschwngkt c lgn. nsttut fü Optk nfomaton un 9

130 ntfnz: Tlchnbschlung bschätzung s ngzuwachss ns lktons: Fü z un vc folgt: z c v cos cos 4 cos 3 4 sn.3 m Fokus ultakuz Puls: TV/m (sh Übung.c: mj Pulsng fs Dau fokusst auf ca. 3 µm Fläch). z µm ngzuwachs lkton ca. MVm c (Ruhmass m ). B stakn Hochlstungslasn sn soga noch utlch höh Flstäkn un amt ngzuwächs möglch. ußm kann as lkton n Kaskan mhmals bschlungt wn was allngs ng Stuung fot. nsttut fü Optk nfomaton un 3

131 ntfnz skala Wlln ntfnz skala Wlln: ntfnz ttt natülch ncht nu b bnn Wlln auf sonn b blbgn Wlln. Zu Vnfachung bhanln w m Folgnn nu n n Pas wchtgstn Fall ntfnz sognannt skala Wlln. Skala Wll: nu n Komponnt lktschn Flstäk n monochomatschn Wll w bhanlt un uch n sognannt kompl mpltu u() agstllt. D kompl mpltu st popotonal zu n Komponnt s ztunabhänggn kompln lktschn Flstäk-Vktos Ê() wob Popotonaltätskonstant m Folgnn so gwählt w ass ztgmttlt ntnstät Wll nfach as Btagsquaat kompln mpltu st: : u u u u mt : ll mpltu kompln mpltu; : ll Phas kompln mpltu nsttut fü Optk nfomaton un 3

132 ntfnz skala Wlln Gültgkt skalan Nähung: Fü T lna polast Wlln st skala Nähung akt a ot nfach Komponntn lktschn Flstäk Wlln n T-Rchtung at wn müssn. uch fü TM lna polast Wlln st skala Nähung n sh bauchba Nähung solang Wnkl zwschn n k-vkton b Wlln ncht zu goß st. Bspl: = o cos=.985 = o cos=.94 ußm st n bn Fälln Phas s ntfnzmusts akt nu Kontast st b TM-Polasaton ncht ganz kokt. llngs gbt s ng wchtg skala Wlln Mawll-Glchungn ncht fülln un shalb nu nähungsws stn. nsttut fü Optk nfomaton un 3

133 33 nsttut fü Optk nfomaton un ntfnz skala Wlln Bspl Kuglwll: Kompl mpltu n Kuglwll mt Kümmungsmttlpunkt : a u k a: Konstant mpltu bschbt; k=n/: Wllnzahl (n: Bchzahl : Wllnläng) u k u k k k k k a k a k a k k a u u k a u k k k k k Skala Hlmholtz-Glchung st also füllt!

134 ntfnz skala Wlln b: nschaulch kla ass n Kuglwll kn akt Lösung Mawll- Glchungn sn kann a längs usbtungschtung Wll wgn Othogonaltätsbngung kn lktschs (o magntschs) Fl stn af. lso af n akt Lösung Mawll-Glchungn kn kuglsmmtsch kompl mpltu um n Punkt hum habn! n Kuglwll st ab n sh gut Nähung n Dpolwll solang man sch ncht zu sh aus bn snkcht zu Dpolachs ntfnt n Dpol nthält un ntfnung von mnstns ng Wllnlängn goß st. nsttut fü Optk nfomaton un 34

135 35 nsttut fü Optk nfomaton un ntfnz zw skala Wlln mt n kompln mpltun u un u : u u u u cos cos u u cos ntfnz skala Wlln ntnstät s ntfnzmusts b Wlln:

136 ntfnz skala Wlln Rsultn ntnstät s ntfnzmusts: V cos Mt V Natülch glt fü n Kontast: nkohänt Summ ntnstätn b Wlln = mttl ntnstät s ntfnzmusts Phasnffnz b Wlln ma ma mn mn Kontast V V V V V V nsttut fü Optk nfomaton un 36

137 37 nsttut fü Optk nfomaton un Lokal Stfnpo p: B ntfnz zw blbg skala Wlln st Stfnpo ncht konstant sonn n Funkton s Ots ( ) n Dtktobn. Talo-ntwcklung Phasnffnz bs zu stn Onung lft: ntfnz skala Wlln zwmnsonal Nabla - Opato : D Po p am Ot ( ) st nun ntfnung längs s Gantn Phasnfunkton b sch Phas um änt. Folglch glt fü n ntfnungs-vkto zwschn zw bnachbatn ntfnz-stfn: p p p

138 ntfnz skala Wlln W schon b ntfnz bn Wlln w lokal Gttvkto G n Dtktobn shalb als Gant Phasnfunkton n Dtktobn () fnt: G D Gttvkto G s ntfnzmusts m gsamtn Raum mt Koonatn (z) st fnt als: z z G z z z nsttut fü Optk nfomaton un 38

139 ntfnz skala Wlln Stfnfqunz: D Stfnfqunz n Dtktobn st zpok Wt Stfnpo p un gbt nzahl ntfnzstfn po Längnnht an: p W Stfnfqunz n Dtktobn zu goß so kann Dtkto ntfnzstfn ncht mh auflösn a gängg Dtkton nu n nlch nzahl an Pln habn un nfalln Lchtlstung üb Fläch ns Pls ntgn. G nsttut fü Optk nfomaton un 39

140 ntfnz skala Wlln ntfnz von sphäschn un bnn Wlln: Sphäsch un bn Wlln sn zw wchtgstn Wlln n Optk vokommn. D ntfnz bn Wlln wu ausfühlch fü all möglchn Polasatonszustän untsucht. H nun fü zw sphäsch Wlln (bzw. m Gnzfall unnlch Kümmungsan folgt n bn Wll): nu skala Fall w untsucht obwohl Üblgungn zum nfluss Polasaton ähnlch w b bnn Wlln gltn. Unabhängg von Polasaton w Dffnzphas s ntfnzmusts m skalan Fall kokt bchnt. Wthn w nu Fall kln numsch ptun Kuglwlln untsucht so ass n Phas uch n paabolsch Funkton appomt wn kann. nsttut fü Optk nfomaton un 4

141 ntfnz skala Wlln W btachtn zw Kuglwlln mt Wllnläng (Wllnzahl k=n/ Bchzahl n) un Kümmungsmttlpunktn =( z ) (=): u u a a k k ntfnzmust w nu auf m Dtkto mt n Koonatn (z=) n n klnn Umgbung um n Uspung (==z=) btachtt so ass m Nnn Kuglwlln mt gut Nähung glt ( s Wnkl zwschn un ): cos D mpltun Kuglwlln könnn mt gut Nähung als konstant angshn wn mt :=a / (=): u u k k nsttut fü Optk nfomaton un 4

142 4 nsttut fü Optk nfomaton un D ntnstät s ntfnzmusts b sphäsch Wlln st gmäß ntfnzfoml: ntfnz skala Wlln mt cos k k V V D Phas j bn Wlln kann gmäß n n Taloh bs zu ttn Onung ntwcklt wn: 3 8 k /8 / Mttl ntnstät un Kontast V sn also konstant.