, also jedem Ortsvektor r im R 3 eine vektorielle Größe A(r).

Transkript

1 6 Fldr 5 Wo_Fldr_6-5-6_Skrptdoc Untrschd skalar und vktorll Fldr: Skalars Fld: Jdm Ortsvktor r m R 3 wrd n skalar Größ (r) ugordnt, also r (r) Bspl: Druck- odr Tmpraturvrtlung p(r) bw T(r); Dchtn von Mass, Ladung, Enrg und andrn skalarn Größn als Funktonn ds Ortsvktors r und vntull dr Zt (statonär bw tlch vrändrlch Fldr, B statonär und nstatonär Tmpraturvrtlung, T(r) bw T(r,t)) Vktorfld: Zuordnung: r A(r), also dm Ortsvktor r m R 3 n vktorll Größ A(r) Bspl: Gschwndgktsfld nr strömndn Flüssgkt u(r,t), lktrsch Fldstärk E(r,t) und magntsch Indukton B(r,t) ds lktromagntschn Flds sow natürlch all Kraftfldr Das von nr Mass M rugt Gravtatonsfld übt auf d Mass m d Kraft m M r F(r) r r aus D Gravtatonskraft st anhnd, hr Btrag nmmt quadratsch um Abstand wschn M und m ab D Gravtatonskraft st um Gravtatonsntrum grchtt; das Gravtatonsfld st also n Zntralfld Das Coulomb-Fld bschrbt d anhnd odr abstoßnd Kraft wschn w ruhndn Punktladungn q und Q Dr Btrag dr Coulomb-Kraft fällt bnfalls proportonal um Quadrat ds Abstands wschn dn Ladungn und st ntlang dr Vrbndungsln bdr Punktladungn grchtt q Q r (r) 4 0 r r F

2 Kräft auf nn Körpr könnn auch von snr Gschwndgkt v r abhängn En Bspl dafür st d Stoks sch Kraft Das st d Rbungskraft auf n lamnar umströmt Kugl mt Radus R n nr ähn, nkomprssbln Flüssgkt mt dr dnamschn Vskostät F(r) 6R r In turbulntn Strömungn wächst F nchtlnar mt v r, vgl Karman sch Wrblstraß) Auf n bwgt Punktladung q wrkt m lktromagntschn Fld d Lornt-Kraft F(r,r,t) q E(r, t) r B(r, t) Dab st v r d Gschwndgkt dr Punktladung; E (r, t) bchnt d lktrsch Fldstärk und B (r,t) d magntsch Indukton ds Flds 6 Rchtungsabltung, Gradnt ns skalarn Flds D Ändrung ns skalarn Flds (r) = (,,) n Rchtung T dr (d,d,d) stt sch addtv aus dn Ändrungn paralll u dn dr Koordnatnachsn usammn d (,,) d d d D Größn, const,, const Abltungn dr Funkton (,,) nach, bw und, const snd d partlln Df: Das Vktorfld mt dn Komponntn,, : grad (r) : (r) hßt Gradntnfld ds skalarn Flds (r) Wnn wr dn Vktor-Dffrntaloprator T Nabla-Oprator

3 nführn, lässt sch das Gradntnfld von (r) vrkürt n dr Form grad (r) (r) schrbn: Formal ntstht s durch Anwndung ds Nabla-Oprators auf d Funkton (,,) Bacht: ) Strng gnommn st u bwsn, dass n Vktor st Intrssntn fndn dn Bws B n 36 und 4 ds Buchs von S Großmann "Mathmatschr Enführungskurs für d Phsk" Dort wrd ggt: Das Trpl,, transformrt sch b Drhung ds Koordnatnsstms w d Komponntn ns Vktors Dshalb kann dr Nabla-Oprator als Vktor aufgfasst wrdn ) Aus Scht dr Vktoralgbra handlt s sch b (r) um d Multplkaton ds Vktors mt dm Skalar (r) Währnd n nm Produkt aus nm Vktor a und nm Skalar d Rhnfolg dr Faktorn vrtauscht wrdn kann, a a, st das für das Produkt aus und ncht möglch, wnn von,, und/odr abhängt st glchtg Vktor und Dffrntaloprator T Offnschtlch glt d(r) d(,,) d d d grad (r) dr (r) dr Fat: D Ändrung ds skalarn Flds (r) n Rchtung dr st glch dr Prokton ds Gradntn von m Punkt r auf dr Rchtungsabltung Gomtrsch Vranschaulchung am Bspl ds Gradntnflds ns bnn skalarn Flds (,) Entlang nr Aqupotnalln = const ändrt sch ncht, dh, n dsm Fall st d = 0 und dr Vktor dr st tangntal ur Tangnt an d Äqupotnalln grchtt Aus 3

4 d grad dr 0 rknnn wr, dass grad snkrcht auf dn Äqupotnallnn = const stht, also n Rchtung ds stlstn Anstgs m " - Gbrg" gt Folglch st dr Btrag ds Gradntn von, grad, n Maß für d Ändrung von snkrcht u = const D Ändrung d(r) von n nr blbgn durch dr fstglgtn Rchtung st d Prokton von grad auf dr, folglch das Skalarprodukt aus dn bdn Vktorn grad und dr, odr w obn bschrbn d (r) grad (r) dr (r) dr Hängt mplt nur von nr unabhänggn Varabln (B dr Zt t) ab, dann ändrn sch mt t glchtg, und In dsm häufg anutrffndn Fall glt für d vollständg (total) Abltung von nach dr Zt d dt r,t d(t),(t),(t),t dt d d d ( ) r dt dt dt t t (Kttnrgl b Funktonn mhrrr Vrändrlchr) Snd das skalar Flds und snr partlln Abltungn nach alln Varabln sttg, dann splt b partlln Abltungn wtr Ordnung d Rhnfolg dr Bldung dr Abltung kn Roll Es glt,,,,3,,, 3 6 Dvrgn und Rotaton ns Vktorflds Wndn wr dn Nabla-Oprator auf Vktorfldr A(r) an, könnn wr rn formal n Skalarprodukt odr n Vktorprodukt aus dn Vktorn und A(r) bldn Skalarprodukt aus dn Vktorn und A (r) Df: Das skalar Fld A A(r) : dva(r) : A A hßt Dvrgn ds (sttg dffrnrbarn) Vktorflds A(r) m Punkt r Dss Fld wrd Qullnfld ds Vktorflds A(r) gnannt 4

5 Anschaulch Intrprtaton dr Dvrgn als lokal Qullstärk ns Strömungsflds D übr d Obrfläch ns abgschlossnn Volumns ausflßnd (nflßnd) Flüssgktsmng st glch dr Abnahm (Zunahm) dr Mass n V (Massnrhaltung) Wählt man n nfntsmal klns V um nn Punkt mt dm Ortsvktor r, dann lässt sch d Massblan lokal durch n Bhung wschn Massndcht (r, t) und Stromdcht (r, t) (r, t) v(r, t) ausdrückn (ohn Bws): dv 0 t (Kontnutätsglchung) D übr d Obrfläch von V um r ausflßnd (nflßnd) Flüssgktsmng st glch dr Abnahm (Zunahm) dr Dcht n V Damt st d Dvrgn Qullstärk ds Flds m Punkt r dv n Maß für d lokal Vktorprodukt aus dn Vktorn und A (r) : Df: Das Vktorfld A(r) : rota(r) : A A A A A A A A A hßt Rotaton ds (sttg dffrnrbarn) Vktorflds m Punkt r Dss Fld wrd Wrblfld von A(r) gnannt A(r) A (r) A (r) A (r) Als Komponntn ds Vktorprodukts dr Vktorn und A (r) lassn sch d kartsschn Komponntn ds Wrblflds von A(r) w folgt darstlln (rota) Also st rota A k k A k k (Summnkonvnton!) Anschaulch Intrprtaton dr Rotaton als lokal Wrblstärk ns Strömungsflds Wr btrachtn als Bspl das Gschwndgktsfld const) Wrbls n nr Flüssgktsströmung Dann glt u(r) r ns homognn ( = 5

6 ( ) rot u(r) ( r) ( r) ( ) r ( ) ( ) ( ) 3 ( ) 3 ( ) rot u(r) gt n Rchtung dr Wrblachs, dr Btrag rot u(r) st glch dr doppltn Wnklgschwndgkt bw "Stärk" ds Wrbls Bspl: Wnn A = grad, dann st rot A = rot grad = 0 Gradntnfldr snd wrblfr A A Bws: (rot grad ) 0, analog für d - und d -Komponnt ( rot grad ) 0, ( rot grad ) 0 Altrnatvr "Bws": rot grad 0 grad hat d "Rchtung von ", dahr st das Vktorprodukt Wnn B = rot A, dann st dv B = dv rot A = 0 Wrblfldr snd qullnfr Ak Ak Bws komponntnws, B dv rot A k k 0 Altrnatv: "Spatprodukt" dv rot A ( A) 0 dv(a B) (A B) ( A) B (B) A B rota A rotb klsch B dr Anwndung ds Oprators auf Funktonn snd mmr sowohl d Rgln dr Vktoralgbra als auch d dr Dffrntalrchnung u bachtn D sch hr b klschr Vrtauschung m Spatprodukt (Vktoralgbra) rgbnd Rhnfolg B muss n "korrgrt" wrdn, damt d Produktrgl dr Dffrnalrchnung ncht vrltt wrd Bws komponntnws! B 6

7 Qullstärk und Wrblstärk snd dfnrnd Egnschaftn ns Vktorflds Ds untrstrcht dr Hlmholt sch Hauptsat dr Vktoranalss (859) Er bsagt: Sat: En übr nm nfach usammnhängndn Gbt mt (stückws) glattr Randfläch dfnrts Vktorfld A(r), das asmptotsch ggn Null abfällt, A(r ) 0, lässt sch stts addtv n nn wrblfrn und nn qullnfrn Antl rlgn: A(r) = A(r) + A (r) mt rot A(r) = 0 und dv A(r) = 0 Aus snr Qull- und snr Wrblstärk lässt sch n Vktorfld slbst rkonstrurn: 3 A(r) d r' (r')grad' (r') grad' 4 r r' r r ' (vgl B S Großmann, 95), mt dv A, rot A Bspl: D Mawll schn Glchungn trffn Aussagn übr d Qulln und Wrbl ds lktromagntschn Flds ( (r, t) - Ladungsdcht, (r, t) - Stromdcht) dvd(r, t) (r,t) (), B(r, t) rote(r, t) (), t D(r, t) dvb(r, t) 0 (3), roth(r, t) (r, t) (4) t Dss Sstm von Dffrntalglchungn bschrbt d lktromagntschn Erschnungn m Vakuum (wnn ( r,t) 0, (r,t) 0 ) und n ruhndn Stoffn (dann gmnsam mt dn sognanntn Matralglchungn; m nfachstn Fall sotropr Mdn D r 0 E, B r 0 H ; b stromltndn Mdn E, usw) D lktrschn Ladungn snd d Qulln ds lktrschn Vrschbungsflds D (r, t) (), d tlchn Ändrungn dr magntschn Indukton B (r, t) rugn d Wrbl dr lktrschn Fldstärk E (r,t) (, Induktonsgst), das magntsch Fld st qullnfr (3) sow Ltungs- und Vrschbungsström bstmmn d Wrbl ds magntschn Fldstärk H (r,t) (4) 7