7. Versteifte Platten und Schalenkonstruktionen

Transkript

1 7 Vrstft Plattn und Schalnkonstruktonn Schal: - En Körpr b dm d n Dmnson wsntlch klnr st als d bdn andrn D klnst Dmnson st d Dck dr Schal - Mttls Halbrung dr Dck kann man n gkrümmt Mttlfläch dfnrn - D Blastung dr Schal st blbg s gbt sowohl paralll als auch snkrcht Blastungskomponntn ur Mttlfläch Platt: - En Körpr b dm d n Dmnson wsntlch klnr st als d bdn andrn - Man kann n bn Mttlfläch dfnrn D Mttlfläch st d Mttlbn - D Blastung dr Platt rfolgt snkrcht ur Mttlbn Suprpostonsprnp: - B Aufgabnstllungn ur blbg blasttn Schal rhält man d Lösung mttls Suprposton nr Mmbran-Aufgab und nr Bgungsaufgab dr Schal - B Aufgabnstllungn ur blbg blasttn Platt mt bnr Mttlfläch rhält man d Lösung mttls Suprposton nr Schbn-Aufgab und nr Plattnbgung Schbn-Aufgab (Vrallgmnrtr bnr Spannungsustand): D Platt wrd n Rchtung hrr Mttlbn blastt In dsm Fall st d Spannungsvrtlung übr d Dkk konstant R p p Mmbran-Aufgab: D Spannungsvrtlung st übr d Dck konstant ZB: Luftballon 7 Bgthorn von Schaln / Plattn 7 D Krchhoff-Lovsch Thor D Krchhoff-Lovsch Thor brückschtgt d Schubvrrrungn Schubspannungn ncht D üblch / gbräuchlch Bchnung: Thor dünnr Schaln / Plattn Hpoths: B dr Bgung blbn d ormaln dr Mttlfläch / Mttlbn grad und snkrcht ur dformrtn Mttlfläch dr Schal / Platt Dr Abstand dr Punkt auf dr ormaln ändrt sch b dr Dformaton ncht

2 P ( ) P( ) O b Mttlbn Das -Koordnatnsstm st an d Mttlbn gbundn D an d Mttlbn gbundnn Knngrößn wrdn mt dm Ind ull gknnchnt ZB: P D Konsqun dr Hpoths: und Spannungshpoths: Fstgktsuständ aus dr Bgung dr Platt: - Das Vrschbungsfld: u w w - d Vrschbungskoordnat dr Mttlbn (Durchbgung) w w - d Vrdrhung dr ormaln dr Mttlbn u w - Dr Vrrrungsustand: A u w v w u v w - d Krümmungn dr Mttlfläch D Krümmungn charaktrsrn d Vrformung dr Mttlfläch - Dr Spannungsustand: F Bmrkungn: E E E E E - In Knntns dr Durchbgungsfunkton w kann man jd Knngröß ds Körprs bstmmn - In dr gsamtn potntlln Enrg trtn d wtn Abltungn ds Durchbgungsflds w 7 D Rssnr-Mndlnsch Thor D Rssnr-Mndlnsch Thor brückschtgt auch d Schubvrrrungn / Schubspannungn D üblch / gbräuchlch Bchnung: Thor dckr Schaln / Plattn auf Hpoths: B dr Bgung blbn d ormaln dr Mttlfläch / Mttlbn grad abr s blbn ncht snkrcht ur dformrtn Mttlfläch dr Schal / Platt Dr Abstand dr Punkt auf dr ormaln ändrt sch b dr Dformaton ncht

3 D Konsqun dr Hpoths: konst konst und Spannungshpoths: O D Fstgktsuständ von Plattn aus dr Bgung und aus dm Schub - Das Vrschbungsfld: u w u v - d Vrdrhung dr ormaln um d -Achs - d Vrdrhung dr ormaln um d -Achs D Vrdrhungn w und snd von dm Vrschbungsfld w w - d Wnkländrung dr - und -Achsn - d Wnkländrung dr - und -Achsn - Dr Vrrrungsustand: u v u v u w w konstant v w w konstant Dr Vrrrungstnsor: A - Dr Spannungsustand: E E E E wob E G konstant G konstant unabhängg

4 Dr Spannungstnsor: F Bmrkungn: - Zur Bstmmung dr Fstgktsuständ braucht man dr unabhängg Fldr: w - In dr gsamtn potntlln Enrg sthn nur d rstn Abltungn dr Fldr w 7 Flächnspannungn und Flächnmomnt Das mchansch Modll dr Schal / Platt st d Mttlfläch / Mttlbn dr Schal / Platt D mchanschn Knngrößn snd an d Mttlfläch / Mttlbn gbundn - Mmbranspannungsustand / bnr Spannungsustand: D Vrschbungsfldr: u v D Vrrrungsgrößn und d Spannungn snd übr d Dck konstant Flächnspannungn (Rsultrnd n Bug auf d Dck): - Schalnbgung / Plattnbgung: t d t d d Vrschbungn Vrdrhungn: w Vrrrungn Spannungn: lnar Vrtlung übr d Dck Krchhoff - Lov: D aus Glchgwchtsbdngungn stammndn Schubspannungn snd parabolsch (Wdrspruch!) Rssnr - Mndln: konstant konstant konstant konstant Aus dr Glchgwchtbdngung t Aus dr Rssnr-Mndlnschn-Thor Krchhoff-Lovsch-Thor: - Aus dr gomtrschn Hpoths rgbn sch d Schubspannungn u ull - Aus dn Glchgwchtsbdngungn rgbn sch parabolsch Vrtlungn für d Schubspannungn Rssnr-Mndlnsch-Thor: - D konstant Vrtlung dr Schubspannungn stammt aus dr gomtrschn Hpoths b - D konstant Spannungsvrtlung rfüllt d knmatschn Randbdngungn b ncht 3

5 D Glchht dr bdn Schubuständ kann man durch d Enführung ns Schubkoffntn gwährlstn Für sotrops homogns Matral st 5 / 6 Rsultrnd Kräft / Flächnkräft für bd Thorn: Q d t D Spannungskoordnatn Q t d und snd m Allgmnn klnr als d andrn Spannungn B dünnn Plattn / Schaln snd d Spannungn domnant D domnantn Spannungn snd lnar übr d Dck vrtlt Spannungsvrtlung rsultrnd Momnt: Q M Q M M M Rsultrnd Momnt: M t d M t d M M d Zusammnhang wschn dn Spannungn und rsultrndn Momntn: M M M wob I I I t 3 b I D mamaln Spannungswrt trtn b Schalnbgung / Plattnbgung an dn Obrflächn 73 Isoparamtrschs Plattnlmnt Thortsch Grundlagn: - Vrallgmnrtr bnr Spannungsustand (ESZ) - Rssnr-Mndlnsch (RM) Bgthor dr Plattn Für dn ESZ muss man w für d RM Bgung abr dr unabhängg Fldr annährn: u h u v h v ESZ b auf 4

6 h w h w RM Bgung h u v w - Vrschbungn dr Mttlbn u v - Vrschbungn n dr Ebn w - Vrschbung snkrcht ur Ebn (Durchbgung) - Vrdrhungn dr ormaln dr Mttlbn um d - und -Achsn Vrallgmnrtr Knotnvrschbungsvktor: Vranschaulchung dr Knotnparamtr: u v q w w u v Dr Aufbau dr Elmntknngrößn rfolgt n dr üblchn Ws Problm b dr Anwndung: - Kastnkonstruktonn - Vrstfung mt Rppn An dn Kantn kann man d obgn Plattnlmnt ncht vrbndn Zur Vrbndung fhlt d Vrdrhung um d -Achs Dn Knotnpunktvrschbungsvktor muss man mt dr Vrdrhung rgänn Aus dr Vrdrhung stammn nnrhalb ds Elmnts d Vrschbungn u v 5

7 u v Wchtg Anfordrung: D Vrschbungsfldr an dr Kant müssn b dr Kopplung bnachbartr Elmnt glch sn B Krchhoff-Lovschn-Plattn müssn an dn Kantn ncht nur d Vrschbungn sondrn auch d Vrdrhungn sttg sn 74 Modllrung dr ntrschn Kopplung - Plötlch Dcknändrung nr Platt / Schal: Mttlbn Mttlbn Entrtät D bdn Mttlflächn lgn ncht n dr glchn Ebn Dr Abstand wschn dn Mttlflächn st d Entrtät - Vrstfung mt nm dünnwandgn Stab: Mttlln Mttlbn - Räumlch Kopplung von Stäbn: Mttlln Mttlln H Dr Vktor dr Entrtät: a b c Modllrung dr ntrschn Kopplung: Es gbt n starr Vrbndung wschn dn Knotnpunktn und H Bchnung: bnknotnpunkt H Hauptknotnpunkt q E q H c b q c a q b a Dr lnk (33) Block dr Matr gbt n Starrkörprvrschbung an Dr rcht (33) Block dr Matr gbt n Starrkörprvrdrhung an D Koordnatn ds Entrtätsvktors: H 6

8 a H b H c H D Punkt und H bwgn sch w w Punkt ns Starrkörprs Dr Abstand H vrändrt sch währnd dr Vrformung ncht 75 Isoparamtrschs Schalnlmnt Grundlag: Mmbranthor Rssnr-Mndlnsch-Thor 3 Das Schalnlmnt wrd ncht n dr üblchn Ws aufgbaut Wr ghn von nm räumlchn soparamtrschn Elmnt aus wob d Gomtr n Dcknrchtung mt nr lnarn Funkton bschrbn wrd Aufbau: - D Zusammnhäng dr Schalnthor wrdn hr ncht abgltt und vrwndt - D Annahmn dr Rssnr-Mndlnschn-Thor wrdn n das räumlch Elmnt ngbaut - Im Elmnt wrd n Mttlfläch dfnrt D Grad n Dcknrchtung kann man nährungsws als d ormaln dr Mttlflächn brückschtgn Koordnatn-Sstm: - das (global) Bugs-Koordnatn-Sstm In dsm KS wrdn d Vrschbungskoordnatn u v w dfnrt - an das Elmnt gbundns lokals KS Es gbt n krummlngs ncht rchtwnklgs KS In dsm KS wrd d Gomtr ds Elmnts anggbn - an d Mttlfläch gbundns KS: krummlng rchtwnklg In dsm KS wrdn d Vrdrhungn dr ormaln dr Mttlfläch dfnrt 4 f a h f a h f a h D Bschrbung dr Gomtr:

9 f r af Ind a : untr Obrfläch Ind f : obr Obrfläch a r k D Formfunktonn: h D Formfunktonn snd aus dn bnn Aufgabn bkannt D Formfunktonn ds Schalnlmnts: 357 h h h h Bschrbung dr Gomtr ds Elmnts n Matrnform: h 46 f a h f a af f a Umformung: h h k f a f a h h af k f a f a h h af Zusammngfasst: k r h rk raf r af t Dr Vktor r af gbt nur nährungsws d Rchtung dr ormaln dr Mttlfläch m Knotnpunkt an ährung ds Vrschbungsflds: Wr wolln das Vrschbungsfld mt Hlf dr an d Mttlfläch gbundnn Knngrößn aufschrbn D 3D-Aufgab wrd so auf n D-Aufgab rdurt D Schal wrd mt hrr Mttlfläch modllrt und d mchanschn Knngrößn wrdn an d Mttlfläch gbundn

10 r 3 r Mttlfläch r t st d Brührungsbn/ Tangntnbn und 3 st dr ormalnnhtsvktor m Punkt P D ährung ds Vrschbungsflds: t - d Schalndck m Knotnpunkt t u h q h k - d Vrdrhung dr ormaln um d -Achs - d Vrdrhung dr ormaln um d -Achs u u v w q k uk v k w k u v w - snd d Vrschbungn ns blbgn Punkts P m -KS uk vk w k - Vrschbungn ds Knotnpunkts m -KS Das Vorchn dr Vrdrhungn: t t u t t v u q v k Dr Knotnpunktvrschbungsvktor: q w D Frhtsgrad ds Elmnts: 5 4 u u t Das Vrschbungsfld: v h v h w w 9

11 u A q t t h h h t t Dr Block dr Appromatonsmatr: A h h h t t h h h Bmrkungn: - D Bschrbung / ährung dr Gomtr n dr Rchtung dr Dck st lnar - D Durchbgung (Vrschbung snkrcht ur Mttlfläch) st übr d Dck konstant - Das Schalnlmnt st strng gnommn ncht soparamtrsch - Zur Kopplung dr Elmnt an dn Kantn muss man n dsm Fall auch n Vrdrhung d ährung von u und v wrd mttls addtonalr Gldr rgänt Vrrrungn: u v u v u w v w Spannungn: C D Matr dr Matralknnwrt für sotrops Matral: E C Problm: u v Ds Fldr sthn uns ncht ur Vrfügung w aufnhmn

12 Dfnton ds an d Mttlfläch gbundnn - Koordnatnsstms: Mttlfläch 3 r r k a a P Dr Ortsvktor r k gt u nm blbgn Punkt P dr Mttlfläch: r k D Tangntnvktorn dr Koordnatnlnn: rk a a a a rk a a a a D Brchnung dr Tangntnvktorn: h h h a h h h a a a Dr ormalnnhtsvktor dr Mttlfläch: 3 a a - d Rchtung dr -Achs D Enhtsvktorn dr Tangntnbn: 3 wnn 3 paralll ur -Achs st wnn parlll ur -Achs st 3 Bmrkungn: - Das -KS st lmntunabhängg - Man braucht das -KS ur Kopplung dr Vrändrlchn und ur Bldung dr Vrrrungn - Man braucht d Transformatonsbhung wschn dn - und -KS Transformatonsbhung: D Egnschaftn dr Transformaton: cos cos cos 3 T cos cos cos - D Transformatonsmatr st ortsabhängg: T T - D Transformatonsmatr st n orthogonal Matr: T Dr Vrschbungsgradnt-Tnsor: 3 cos cos cos 3 T T

13 u u u - m -KS: D u u u - m -KS: D 3 - m -KS: ˆ u u u D Bhungn wschn dn Vrschbungsgradntn: T T ˆ T T ˆ ˆ D J D D J D D D J T Transformaton dr Spannungn: T T D Spannungn braucht man gntlch ncht n das -KS u transformrn wl d Spannungn m -KS anschaulchr dargstllt wrdn könnn 76 Gschchtts Kompost-Schalnlmnt D Annahmn dr klassschn Lamnatthor t t - D Schchtn snd shr dünn - Das Matral dr Schchtn st lnar lastsch homogn und orthotrop - D Schchtn snd m ESZ / Mmbranspannungsustand - Zwschn dn Schchtn gbt s n prfkt wstg Haftung s gbt wdr Zwschnräum noch Vrschbungn / Trnnung - D gomtrsch / knmatsch Annahm st auch gültg: Krchoff-Lov odr Rssnr-Mndln Es st n ährungsthor d ncht wdrspruchsfr st Mchanschs Modll nr orthotropn Schcht: T 3 n t k 3 - das matrll an d domnant Fasrrchtung gbundn KS - das an d Mttlfläch gbundn KS Das Matralgst für n orthotrop Schcht m matrlln Koordnatn-Sstm: E E E E G 3 G3 3 3 G3 3 ur b dr Rssnr - Mndlschn -Thor

14 D Matr dr Matralknnwrt st smmtrsch: E E Unabhängg Matralknnwrt: E E G G3 G3 Rssnr - Mndln Bmrkungn: t - Es st ncht schr dass d höchstn Spannungswrt an dn Obrflächn auftrtn D Spannungn muss man n jdr Schcht an dn Grnflächn bstmmn - Dn Fstgktsnachws muss man für jd Schcht gsondrt durchführn D üblchn Vrsagnskrtrn kann man hr ncht bnutn Mttlfläch Das Vrsagnskrtrum nach Tsa-Wu: En Schcht vrsagt (n nm Punkt) wnn d folgnd Bhung glt: H H H H S - Zugfstgktn n dn Rchtungn und H H 3 3 3S 3 S H H - Druckfstgktn n dn Rchtungn und - Schubfstgktn S 3S 3S Gschchtts Schalnlmnt: w v u Mchanschs Modll: n Schalnlmnt an dr Mttlfläch D Bldung dr Stfgktsmatr ds Schalnlmnts: 3

15 n T K B C B da d k k t k A n - d Anahl dr Schchtn C - d Matr dr Matralknnwrt n dr Schcht k k t - d Dck dr Schcht k k A - d Mttlfläch ds Elmnts 4