3.2. Konvergenz der Finite Elemente Methode, Allgemeiner Aufbau der Finite Elemente Programmsysteme

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1 Konrgn dr Fnt Elmnt Mthod Allgmnr Aufbau dr Fnt Elmnt Programmsstm Konrgn mchansch Modllrung Fragstllung: - Wrd d Nährungslösung gnaur wnn man mmr dchtr FE-Vrntung anwndt? Kommn wr mt dr Vrfnrung dr FE-Vrtlung dr xatn ösung nähr? - Für wlch Aufgab bommn wr d xat ösung? Gdanngang nr tchnschn / Ingnur-Aufgab: a) D ral tchnsch / Ingnur-Aufgab Bannt snd: - d Form und Dmnsonn ds Bautls - d Matralnnwrt ds Körprs - d Blastungn d banntn Kräft - d Untrstütung bannt Vrschbungn Mchansch Modllrung (Vrnfachung) b) Mchansch Aufgab (mchanschs Modll): - Gomtrsch Modllrung: Stab / Baln-Konstrutonn Ebn Vrrrungsaufgab Vrallgmnrtr Spannungsustand Rotatonssmmtrsch Aufgab Plattnonstruton Schalnonstruton D Aufgabn - Modllrung ds Matrals: nar lastschr sotropr Stoff nar lastschr orthotropr Stoff Elastsch plastschs Matral usw - Modllrung dr Blastung: Volumnräft: Egnwcht Massnräft aus Bschlungung Flächnblastung nnblastung Enlräft Enlmomnt - Modllrung dr agrung / Untrstütung: n nr Obrfläch an nr n n nm Punt Fnt-Elmnt-Modllrung (Nährung / Vrnfachung) 45

2 c) Fnt-Elmnt-Anals: - Auswahl dr gomtrschn Form dr angwndtn Elmnt - Auswahl dr Dcht dr Vrntung - Auswahl dr Ansat- / Nährungsfuntonn Antwort auf d Fragstllung: - Man wll d xat ösung dr mchanschn Aufgab mmr bssr annährn - D Mthod dr fntn Elmnt wst m Enrg-Snn monoton Konrgn auf wnn d Elmnt bstmmt Anfordrungn rfülln Monoton Konrgn m Enrg-Snn: Dr Nährungswrt dr gsamtn potntlln Enrg wrd das tatsächlch / xat Mnmum dr gsamtn potntlln Enrg annährn wnn d FE-Vrntung mmr dchtr wrd D monoton Konrgn glt nur für Wrt abr ncht für Vrschbungs- odr Spannungswrt u P xat u P xat Q - Anahl dr Elmnt Q D Vorausstungn dr monotonn Konrgn a) D Elmntrntung und das Vrschbungsfld müssn ompatbl / rträglch sn Untr dn Elmntn ann wdr n Spalt noch n Übrlappung ntsthn Q Spalt Übrlappung Kompatbls Vrschbungsfld: - Das Vrschbungsfld muß an dn Elmntgrnn sttg sn - D Abltungn ds Vrschbungsflds bs hn um Ordnungsustand dr mt ns lnr st als d Ordnung m Funtonal müssn an dn Elmntgrnn sttg sn 46

3 u u u ( ) ( ) u u b) Das Elmnt muß ollständg sn Dfnton dr Vollständgt: - D Nährungsfuntonn müssn nn onstantn Vrrrungsustand am Elmnt xatr Ws bschrbn - Im Fall nr Starrörprbwgung dürfn n Vrrrungn / Spannungn m Elmnt auftrtn Ds Bdngungn rfülln sch nur dann wnn d Ansatfuntonn nn ollständgn Polnom rstn Grads nthaltn Vollständg Polnom n bnm Fall: nulltr Grad: rstr Grad: wtr Grad: drttr Grad: x x x x x x Z B: Das Polnom drttn Grads nthält ncht nur d Potnn n dr Rh sondrn d alln orhrsthndn Potnn n dn obrn Rhn Stabtragwr Anwndungsbspl: Brücnonstrutonn Fahrugonstrutonn Frnltungsmast usw B dr Modllrung wrdn d folgndn Annahmn angwndt: - D Konstruton bstht aus Stäbn gradr Mttlln - D Achsn snd Hauptntralachsn ds Qurschntts - Es st fr (Sant-Vnantsch) orson n dn Stäbn Bgstab-horn a) D Brnoullsch hor D hor rnachlässgt d Schubrrrungn 47

4 Hpoths: B Bgung blbn d Qurschntt ds Stabs bn und blbn snrcht ur dformrtn Mttlln ds Stabs F D Folg dr Hpoths: 0 b) D moshnosch hor D hor brücschtgt d Schubrrrungn Hpoths: B Bgung blbn d Qurschntt ds Stabs bn blbn abr ncht snrcht u dr dformrtn Mttlln ds Stabs D Folg dr Hpoths: 0 G G onst x x Wdrspruch: D aus dn Glchgwchtsbdngungn brchntn Schubspannungn x snd ncht onstant (B Rchtcqurschntt st s n parabolsch Vrtlung) D Schubraft: da A G AG A A x x A - Schubfläch B dr Ausrchnung dr Schubrrrungsnrg braucht man d Schubfläch A Dr Schuboffnt st b Rchtcqurschntt 5 / 6 c) Zusammnfassung dr Formln dr horn B Stäbn önnn all mchanschn Größn aus dn Vrschbung und Vrdrhungsfldrn abgltt wrdn Vrschbungsfldr dr Mttlln: u w Vrdrhungsfldr dr Qurschntt: Zusammnhäng dr Brnoullschn hor Bhungn wschn dn Vrschbung- / Vrdrhungsfldrn und dn Banspruchungn u w Bgung Zug-Druc d d du d Unabhängg Fldr: u w Bgung orson 48

5 Zug-Druc: dw E N A AE AEw d Schf Bgung: d d M h IE IE d d d du M h IE IEu d d 0 0 orson: Mc IcG IcG I c - orsonsträghtsmomnt Aus dm Konrgnrtrum a) folgt: - Wnn nur d rstn Abltungn dr unbanntn Fldr n dr potntlln Enrg orommn dann müssn nur d unbanntn Fldr slbst an dn Elmntgrnn sttg sn - Wnn auch d wtn Abltungn dr unbanntn Fldr n dr potntlln Enrg orommn dann müssn sowohl d Fldr als auch hr rst Abltungn an dn Elmntgrnn sttg sn B dr Brnoullschn hor sthn d rstn Abltungn w ' und wtrhn d wtn Abltungn u " und " n dr potntlln Enrg B dr Brnoullschn hor muß man d Sttgt dr Vrschbungsfldr und hrr rstn Abltungn gwährlstn Zusammnhäng dr moschnoschn hor Unabhängg Fldr: u w dw Zug-Druc: N AE AEw d d Schf Bgung: Mh IE IE d d M h IE IE d d d Schub: GA d d du du GA u d d 49

6 orson: d d Mc IcG IcG B dr moschnoschn hor sthn d Fldr ( und ) und hr rstn Abltungn w u n dr potntlln Enrg Dshalb muß man nur d Sttgt dr Vrschbungsfldr gwährlstn Räumlch Stabtragwr räumlchs Stablmnt Vorausstung: wschn dn Stäbn gbt s starr Vrbndung / Kopplung Annahm: n um Stablmnt gbundns loals Koordnatn-Sstm f f f f D nnblastung st ggbn: Bannt Größn: A - d Obrfläch ds Qurschntts I - das orsonsträghtsmomnt ds Qurschntts c I I - Hauptträghtsmomnt ds Qurschntts E dr Youngsch Elasttätsmodul G dr Schubmodul d äng ds Stablmnts f Bchnung ds Elmnts - Bchnung dr Knotnpunt B dm Aufbau dr Zusammnhäng ds D Stablmnts wrd d Brnoullsch hor angwndt Dr rallgmnrt Knotnrschbungstor ds Elmnts: q u q w wob q q Vrallgmnrt wl ncht nur Vrschbungn sondrn auch Vrdrhungn nthaltn snd All Vrschbung- / Vrdrhungsgrößn hängn nur on dr Vrändrlchn ab 50

7 Dr rallgmnrt Vrschbungsfldtor: u u w D Vrschbungsfldr wrdn an dm Elmnt m loaln KS gnährt: B dn Fldrn w und und ) d Sttgt nur für d Fldr gwährlstn B dn Fldrn u und 9 0 a a u a a a a 4 a a a a w a a muß man an dn Elmntgrnn (n dn Knotnpuntn muß abr d Sttgt ncht nur für d Fldr sondrn auch für d rstn Abltungn dr Fldr gwährlstt wrdn D obgn Anfordrungn rfolgn aus dn Kompatbltätsbdngungn Phsalschr Inhalt: - Wnn dann st d Vrbndung wschn dn Elmntn und starr - Wnn dann st d Vrbndung wschn dn Elmntn und glng D Vrdrhungn um d Achsn und snd on dn Vrschbungn u und ncht unabhängg: d du a6 a7 a8 a a a4 d d D Koffntn dr Polnom wrdn mt dn Knotnpuntrschbungn ausgrüct: Im Knotnpunt : 5 9 u u 0 a u 0 a w w 0 a w d d a6 0 du d a 0 a 0 5

8 Im Knotnpunt : 5 u u a a a a u a a a a w w a a w d a6 a7 a8 d du a a a4 d a a Wr habn n nhomogns lnars algbraschs Glchungssstm für d Unbanntn a a a rhaltn D ösung ngstt n dn Nährungsansat: u A u A A u A 5 6 A A 4 A A A A 4 w A w A w D Approxmatonsfuntonn 5 6 A A 6 : A A A A5 A6 D Nährung ds Vrschbungsflds n Matrnform: 4 u w u A A 0 A A4 0 0 A 0 A A 0 A4 0 0 w 0 0 A A u A A 6 4 A 4 6

9 Dr Matrnusammnhang: u A q Dr Vrrrungstor ds Elmnts: (4) (4) () d d d u d d w d 4 d d Dcht / ur gschrbn: D u D A q B q D - d Matrx dr Dffrntal-Opratonn D Dr Vtor dr rallgmnrtn nnrn Kräft / Momnt ds Elmnts: M h IE M h 0 I E 0 0 C N 0 0 AE 0 M c IcG C 44 C - d Matrx dr Matral-/ Qurschntt-Knnwrt Dcht gschrbn: C B q D Stfgtsmatrx ds Elmnts m loaln Koordnatn-Sstm: K A D C D A d Vrallgmnrtr Knotnpuntblastungstor aus nnblastung: f f f f f f f A d D nnblastung ann mmr mt Kräftn n dn Knotnpunt rstt wrdn 0 5

10 D starr Kopplung dr Elmnt: f F F F M 0 M 0 M 0 x O Problm: D m loaln Koordnatnsstm aufgbautn Elmnt önnn ncht gopplt wrdn ösung: Zur Kopplung muß man dn Knotnpunttor dr rallgmnrtn Vrschbungn n n globals KS x transformrn Ebn Stabtragwr - bns Stablmnt Annahmn: - Zwschn dn Stablmntn gbt s starr Vrbndung / Kopplung - D Mttllnn dr Stäb lgn n drslbn Ebn - D Blastung wrt n dr Ebn dr Mttllnn - D Achs x st d Hauptträghtsachs dr Qurschntt s st n grad Bgung F 0 f 0 Das mchansch Modll ds Stabs: - Dr Körpr (dr ral Stab) wrd durch d Mttlln rstt - D mchanschn / Fstgts-Knngrößn wrdn ur Mttlln rbundn 54

11 Bchnungn: f f w M h N w - d Vrschbungsoordnatn dr Punt dr Mttlln N Mh - d Banspruchungn f f f - n bannt nnblastung Bannt snd wtrhn: Das Stablmnt: A - d Obrfläch ds Qurschntts I - das axal Flächnträghtsmomnt E - dr Youngsch Elasttätsmodul ds Stoffs - d äng ds Stablmnts f D Vrschbungsfldr wrdn n dm loaln KS gnährt: 5 6 a a a a 4 w a a D Bchnung dr Knotnpunt: Dr Knotnpuntrschbungstor: q q q 6 q w D Koffntn dr Polnom wrdn mt dn Knotnpuntrschbungn ausgdrüct 0 a Im Knotnpunt : 5 w 0 a w d a d Im Knotnpunt : w w a5 a6 w 0 a a a a 4 d a a a4 d 55

12 Nach dr ösung ds Glchungssstms und nach dr Erstung dr ösung n dn Vrschbungsansat rhält man: A A A A 4 w A w A w 5 6 In dr Matrnform gschrbn: w A 0 A A 0 A4 w 0 A5 0 0 A6 0 6 w Kur / dcht gschrbn: u A q 6 D Ansat-/ Approxmatonsfuntonn: A A A A 4 A5 A6 A A A A 4 A A 5 6 d d 0 d d Dr Vrrrungstor ds Elmnts: dw d w 0 d d D Nährungsansat n d Glchung ngstt: 56

13 d A d A d A d A w d d d d da 5 da d d w 6 6 Kur / dcht gschrbn: D A q B q Dr Vtor dr rallgmnrtn nnrn Kräft / Momnt ds Elmnts: Kur / dcht gschrbn: C B M h I E IE 0 N AEw 0 AE q D Stfgtsmatrx ds Elmnts m loaln Koordnatnsstm : Nach dr Durchführung dr Intgraton: K C K B C B d A A I I IE A A I I D Stfgtsmatrx ann n Blöc rlgt wrdn: K K q f q q q q K K q f Knotnpuntblastungstor ds Elmnts m loaln Koordnatnsstm : 57

14 f f f A d - aus nnräftn: f f Wnn f c onst f c onst dann nach dr Intgraton: - aus Enlräftn f f f f f f f 6 6 Es st wcmäßg wnn man auf dn Stütpunt dr Enlraft nn Knotnpunt annmmt Annahm: dr Knotnpunt st dr Stütpunt dr Enlraft / Enlmomnt F f F M ransformaton n das global Koordnatnsstm : Knotnpuntrschbungstor m loaln KS Knotnpuntrschbungstor m globaln KS ransformatonsbhungn: V cos W sn w V sn W cos Dr Zusammnhang n dr Matrnform: : q w : Q V W V u W cos sn 0 V w sn cos 0 W q Q D ransformaton ds Knotnpuntrschbungstors ds Elmnts : q 0 Q q 0 Q 0 D ransformaton dr Elmntnngrößn: 0 q Q ˆ Kˆ K f f w 58

15 ˆ K - d Stfgtsmatrx m globaln KS ˆ f - d Knotnpuntrschbungstor m globaln KS D Brücschtgung dr Randbdngungn: Das Gln (d glng agrung) Das Enrolln-agr D Enspannung V W 0 Das schf Enrolln-agr: n V 0 m W 0 D Elmntnngrößn (d Stfgtsmatrx und d Knotnpuntblastungstor) müssn m Knotnpunt n das mn KS transformrt wrdn: V cos sn 0 W sn cos 0 w 0 0 Q q Bspl: D Dformaton ns statsch unbstmmtn rägrs B dr Anwndung dr FE-Mthod muß man sch mt dr Frag dr statschn Bstmmung dr Konstruton ncht bschäftgn A C F 0 B l l Ggbn: Gomtr Matral Blastung: l E Ix F 0 Aufgab: D Brchnung dr Durchbgung c und dr Vrdrhung c ds Qurschntts C ösung: D Gstaltung ds FE-Nts - Wr nhmn w Bgstablmnt an 59

16 - D Numrrung dr Knotnpunt: - D Bchnung dr Elmnt - D äng dr Stablmnt: - KS: Man braucht n Koordnatntransformaton - Es st n Blastung n Rchtung w 0 N 0 Das FE-Modll dr Aufgab: F 0 Dr Knotnpuntrschbungstor: D Stfgtsmatrx dr Elmnt: q 6l 6l IE 6l 4l 6l l K K x K K l 6l 6l K K 6l l 6l 4l Das u lösnd lnar algbrasch Glchungssstm: Nach dm Erstn ausführlch gschrbn: K K 0 q f K K K K q f f 0 K K q f 6l 6l 0 0 F 6l 4l 6l l IE x l l l F0 l 6l l l 8l 6l l l 6l F 0 0 6l l 6l 4l M x D Koordnatn dr unbanntn Ratons- / Stüträft: F F M D nmatschn Randbdngungn: 0 Brücschtgung dr Randbdngungn: D Zln und Säuln 5 und 6 wrdn gstrchn x 60

17 4l 6l l 0 IE x 6l 4 l F 0 l l l 8l 0 D ösung ds lnarn algbraschn Glchungssstms: l F0 8 IE x D Vranschaulchung dr Ergbnss: Wr habn n xat ösung rhaltn Erlärung: 7 l F 96 IE x F 0 o l F IE x 0 Aus dr Fstgtslhr st s bannt daß d Banspruchungn b Enlraftblastung d folgndn snd: - d Zug-Drucräft N und Schubräft snd abschnttsws onstant - d Bgmomnt M hx snd abschnttsws lnar B dr angwandtn Fnt Elmnt Nährung: b lnarr Nährung on b ubschr Nährung on st das Bgmomnt hx x lmntws lnar w st d Zugraft N lmntws onstant M I E b ubschr Nährung on st d Schubraft onstant dm d hx I E lmntws D FE-ösung nthält also auch d xat ösung Aus dm Prnp ds Mnmum dr gsamtn potntlln Enrg nthält man d xat ösung 4 Ebn Fachwr bn Zug-Druc Stablmnt Fachwr: x F Annahmn: - D Mttllnn dr Stäb lgn n drslbn Ebn F 6

18 - D Mttllnn dr Stäb snd Gradn - D Gln-Kopplungn lgn an dn Endn dr Stäb - D Kopplungspunt hßn Knotnpunt - D Enlräft dr Blastung grfn ausschlßlch an dn Knotnpuntn an - D nnblastung st n Mttllnnrchtung grchtt Folg: D Banspruchung dr Stäb n Fachwrn st ausschlßlch Zug-Druc N N Ebns Zug-Druc Elmnt Bannt: - d axal nnblastung f f - d Fläch A ds Qurschntt - dr Elasttätsmodul E ds Stoffs - d äng dr Mttlln ds Stablmnts f ( ) In dsm Fall muß man nur das Vrschbungsfld n Stabrchtung approxmrt wrdn: Dr Knotnpuntrschbungstor: w a a q w w Dr Ersat dr Koffntn ds Polnoms mttls dr Knotnpuntparamtr: w w 0 w a w w w a a D ösung ds Glchungssstms: a w a w w D Nährung ds Vrschbungsflds mttls Knotnpunrschbungn: In Matrnform gschrbn: w w w w w w A q w x x 6

19 D Ansatfuntonn / Approxmatonsfuntonn: A ( ) A Dr Vrrrungstor ds Elmnts : Dr Spannungstor: dw w w w B d w E E B q N A q D Stfgtsmatrx ds Elmnts m loaln Koordnatnsstm : K B C B d E B B Ad V V dv Nach dr Durchführung dr Multplaton und dr Intgraton: K EA K K K K Dr Knotnpuntblastungstor ds Elmnts m loaln Koordnatnsstm : - aus nnlastn: dr Fall f onstant f A f d f f f d f F - aus Knotnpunt Enlräft: f F D potntll Enrg ds Elmnts: 0 q f K K q q q q K K q f AE w f F w w w w w F 6

20 D Zusammnopplung dr Elmnt / ransformaton: η η ζ ζ D Stfgtsmatrn und d Knotnpuntblastungstorn sthn m loaln KS ur Vrfügung Im Knotnpunt : q w q w D Elmntnngrößn Knotnpunrschbungn m loaln KS: q w 64 K und V m globalm KS: Q W f müssn n das global KS transformrt wrdn: ransformatonsbhung n salarr Form: w V sn W cos V ransformatonsbhung für das Elmnt n Matrnform: V w sn cos 0 0 W q Q w 0 0 sn cos V 4 W Bchnung: sn s cos c Durchführung dr ransformaton: s 0 ˆ c 0 AE s c 0 0 K K 0 s 0 0 s c 0 c 4 s sc s sc Kˆ Kˆ AE sc c sc c s sc s sc Kˆ Kˆ sc c sc c s 0 s fˆ ˆ c 0 f c f f f 0 s s fˆ 0 c c w W

21 Bspl: Ebns Fachwr mt nr Enlraftblastung Bannt: A A A E E E Aufgab: Bstmmung dr Vrschbung u c mt FEM uc VC WC A B ösung dr Aufgab: o 45 C F 0 o 0 FE Vrtlung: Zug-Druc Elmnt Elmnt: Knotnpunt: Randbdngungn: Knotnpunt Kopplung dr Elmnt m Knotnpunt oal Koordnatnsstm: Globals Koordnatnsstm: Bhung wschn dn loaln und globaln Koordnatnsstmn: 0 5 o o A 45 0 C F 0 B D Stfgtsmatrn m globaln Koordnatnsstm : - Für das Elmnt : cos 075; sn 05; sn cos 04 Kˆ K K AE ˆ ˆ Kˆ Kˆ Für das Elmnt : cos 05; sn 05; sn cos K K AE ˆ ˆ ˆ Kˆ Kˆ K Das lnar algbrasch Glchungssstm dr Konstruton mt allgmnn Bchnungn: Kˆ Kˆ 0 Q f ˆ ˆ ˆ ˆ K ˆ ˆ K K K Q f f 0 ˆ ˆ Q K K ˆ f Ausführlch gschrbn: 65 ˆ

22 V F W F AE V F W V F W F Knmatsch Randbdngungn: V W 0 und V W 0 Das u lösnd Glchungssstm: AE V F W 0 D ösung ds Glchungssstms: V 4 F0 W 007 F0 AE AE 4 Dr allgmn Aufbau dr FE Programmsstm a) Das Modul für Datnngab - D Angab ds gomtrschn Aufbaus dr Konstruton: Punt nn Flächn Volumna - Dr Aufbau ds FE Nts dr Konstruton: Elmnt Knotnpunt Schtpunt: - D FE-Vrtlung / dr FE-Nt muß n dn Brchn dchtr sn wo man d bdutndr Ändrung dr mchanschn Größ rwartt - Auf dn Angrffspunt dr Enlräft / Momnt soll n Knotnpunt falln - Auf d Stütpunt solln bnfalls Knotnpunt falln - D Angab ds Matrals dr Konstruton: D Matralnngrößn önnn sowohl ur Gomtr (n Fläch Volumn) als auch u dn FE Größn (Elmnt Knotnpunt) ugordnt wrdn Spll Fäll: B Stabtragwrn an dsr Stll muß man auch d Knngrößn dr Qurschntt AI x angbn B Schaln- Plattn- und Schbnaufgabn an dsr Stll muß man d Dc angbn - D Angab dr Blastung dr Konstruton: Enlräft / Momnt nn- Flächn- und Volumnräft mpraturrtlung - D Angab dr Untrstütung / agrung: Untrstütung: s gbt n Vrschbung lastsch agrung / Bttung (Fdroffntn) orgschrbn Vrschbungn nmatsch Blastung

23 b) Das Modul / dr l dr FE-Brchnung: - Dr Aufbau / d Brchnung dr Stfgtsmatrn und Knotnpuntblastungstorn dr Elmnt - D Erstllung dr Stfgtsmatrx und ds Blastungstors dr Konstruton - D Brücschtgung dr Randbdngungn (öschung on Zln und Säuln) - D ösung ds lnarn algbraschn Glchungssstms dr Konstruton d Bstmmung dr Knotnpuntrschbungn - D Brchnung on Vrrrungn und Spannungn an dr Elmntbn An dn Knotnpuntn wrdn Durchschnttswrt brchnt c) Das Modul / dr l ur Vranschaulchung dr Ergbnss - d dformrt Form / Gstalt - Spannungn / Banspruchungn / Vrglchsspannungn Stüträft usw 67