Beweis einer einzigartigen Transformation von Reihen

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1 Bws nr nzgartgn Transformaton von Rhn Lonhard Eulr arxv: v1 [math.ho] 26 Jan Ich hab ds Rh btrachtt s = 1 ab 1 c x (a 1(b 1 x 2 2 (c1 (a 2(b 2 3 (c2 wo auf gwohnt Ws Π dn Koffzntn ds vorhrghndn Trms bzchnt. Ds Rh st so bschaffn, dass hr Summ m Allgmnn auf kn Ws ausgdrückt wrdn zu könnn schnt, obwohl s trotzdm n alln Fälln, n dnn ntwdr a odr b n ganz ngatv Zahl st, abbrcht und hr Summ auf ndlch Ws ausgdrückt wrd. 2 Wnn wr nun also stzn und wtr s = z(1 x c a b c a = α und c b = β wrd dr Buchstab z d Summ dsr dr vorhrghndn ähnlchn z = 1 αβ 1 c x (α1(β1 x 2 2(α 1 (α2(β2 3(c2 ausdrückn, d nun n alln Fälln abbrcht, n dnn ntwdr α odr β n ngatv Zahl st, und dahr sooft ntwdr a c odr b c n postv Zahl war. Orgnalttl: Spcmn transformatons sngulars srrum, rstmals publzrt n Nova Acta Acadma Scntarum Imprals Ptropoltna 12, 1801, pp , Nachdruck n Opra Omna: Srs 1, Volum 16, pp , Enström-Nummr E710, übrstzt von: Alxandr Aycock, Txtsatz: Artur Dnr, m Rahmn ds Projkts Eulrkrs Manz 1

2 3 Ds Transformaton st von umso größrr Bdutung anzushn, wl s außr durch lang Um und Irrwg und sogar durch Dffrntalglchungn zwtr Ordnung gfundn wrdn zu könnn schnt. Dahr wrd s dr Mühn wrt sn, d ganz Analyss, auf dr ds Transformaton bruht, klar rörtrt zu habn. 4 Wl s = 1 ab ab (a 1(b 1 x xx tc. 1 c 1 c 2(c 1 st und sogar n jdm folgndn Trm dr Zählr w dr Nnnr zw nu Faktorn rhält, wolln wr durch Dffrntaton zurst aus jdm Trm d zw ltztn Faktorn ntfrnn, wl durch ds Opratornn s x = ab 1 c ab 1 c (a1(b1 x tc. c1 dargstllt wrdn wrd, wlch Glchung mt x c multplzrt und rnut dffrnzrt x c s = abx c 1 ab 1 c (a 1(b 1xc tc. lfrt, wo wr, d wr mmr nach Kürz suchn, das Elmnt x wgglassn habn, was man sch slbst n wng mrkn kann. 5 Glch wolln wr auf ähnlch Ws durch Dffrntaton dn nzlnn Zählrn zw nu Faktorn hnzufügn, und zwar auf ds Ws: 1. Unsr Rh wrd mt x a multplzrt und dffrnzrt rgbn, wlch x a s = ax a 1 ab 1 c (a 1xa tc 2. mt x b1 a multplzrt und wdrum dffrnzrt x b1 a x a s = abx b 1 ab 1 c (a 1(b 1xb tc. lfrt, wlch Form aus dr vorhrghndn ntstht, wnn s mt x b c multplzrt wrd. 2

3 6 Dahr rhaltn wr also ds Glchung wlch ntwcklt auf ds Form x b a1 x a s = x b c x c s x b1 s(ab1x b sabx b 1 s = x b s cx b 1 s zurückgführt wrd. Ds Glchung nmmt durch x b 1 gtlt, und nachdm all Trm auf d rcht St gbracht wurdn, ds Form an 0 = x(1 x s[c (ab1x] s abs so dass von dr Auflösung dsr Dffrntalglchung zwtr Ordnung d Summaton dr vorglgtn Rh abhängt. Abr ds Glchung schnt n dr Tat so bschaffn zu sn, dass s m Allgmnn kn Intgraton zulässt. 7 Obwohl abr ds Dffrntalglchung uns wng an Hlf zu brngn schnt, st s trotzdm für n ausgzchnt Transformaton mpfänglch, mt wlchr man unsr ganz Aufgab rldgt. Wr bnutzn nämlch ds allgmn Substtuton s = (1 x n z woraus wrd, und durch Dffrnzrn wrd log s = n log(1 xlog z s s = z z n x 1 x sn, wlch Glchung rnut dffrnzrt s s s2 ss = z z z2 zz n x2 (1 x 2 lfrt. Dsr füg man nun ds Glchung hnzu und s wrd hrvorghn. s s s 2 ss = z2 zz 2n x z z(1 x nn x2 (1 x 2 = z z 2n x z n(n 1 x2 z(1 x (1 x 2 3

4 8 Wnn also glch d vorglgt Glchung durch s gtlt so dargstllt wrd 0 = x(1 x s [c (ab1x] s s s abs wrdn wr nach Ausführung dr Substtuton zu nr Dffrntalglchung zwtr Ordnung zwschn z und x glangn, wlch sn wrd. x(1 x z z 2nx x z z n(n 1x x2 1 x [c (ab1x] z z n[c (ab1x] x 1 x ab = 0 9 Es st abr klar, dass hr d Zahl n so angnommn wrdn kann, dass d ltztn Gldr, d dn Nnnr 1 x nthaltn, durch s gtlt wrdn könnn; das passrt m Fall n = a bc, nach Enführung wlchn Wrts, sodass s = (1 x c a b z st, und so d Glchung zwschn z und x ds Form rhaltn wrd: x(1 x z[c(ab 2c 1x] z (c a(c bz = 0 10 Wnn wr also glch n dsr Glchung c a = α und c b = β stzn, wrd d Glchung zwschn z und x untr dsr Form rschnn x(1 x z[c (α β1x] z αβz = 0 wlch von dr rstn übrhaupt ncht abwcht, außr dass wr anstll dr Buchstabn a und b hr α und β habn. Wl dahr d rst Dffrnzn- Dffrntalglchung aus dr Rh s = 1 ab 1 c x (a1(b1 2(c1 xx (a2(b2 3(c2 ntstandn st, wrd andrrsts aus dr zwtn Glchung d Rh z = 1 αβ 1 c x (α1(β 1 2(c 1 xx (α1(β1 3(c2 ntsthn, währnd α = c a und β = c b ; und ds zw Rhn s und z hängn so vonnandr ab, dass s = (1 x c a b z st odr s z = (1 xc a b. 4

5 11 Abr aus dr rstn Dffrnzn-Dffrntalglchung kann mt nr drktn Mthod dslb Rh für z gfundn wrdn. Wl nämlch aus dr rstn Rh für x = 0 gstzt s = 1 wrd, wr nun abr z = (1 x ab c s gstzt habn, wrd n dmslbn Fall x = 0 glch z = s = 1 wrdn. Nachdm das bmrkt wurd, wolln wr für z ds Rh anstzn: wohr wrd und z = 1 AxBx 2 Cx 3 Dx 4 tc. z = A2Bx3Cx 2 4Dx 3 5Ex 4 tc. z = 2B 6Cx12Dx 2 20Ex 3 30Fx 4 tc. nach Enstzn wlchr Wrt x(1 x z = 2Bx 6Cx 2 12Dx 3 tc. 2Bx 2 6Cx 3 tc. c z = Ac Bcx 3Ccx 2 4Dcx 3 tc. (α β1x z = (α β1ax 2(α β1bx 2 3(α β1cx 3 tc. αβz = αβ Aαβx Bαβx 2 Cαβx 3 tc. hrvorghn wrd. x(1 x zc z (αβ 1x z αβz = 0 12 Nachdm also all Trm null gstzt wurdn, wrdn wr d folgndn Glchungn rhaltn: I. Ac αβ = 0 II. 2B(c1 (α1(β1a = 0 III. 3C(c2 (α2(β2b = 0 IV. 4D(c 3 (α3(β3c = 0 V. 5E(c4 (α4(β 4D = 0 tc. 13 Dahr wrdn also dslbn Koffzntn gfundn, d wr schon hattn, natürlch 5

6 A B C D tc. = αβ 1 c = A(α1(β1 2(c 1 = B(α2(β2 3(c2 = C(α3(β3 4(c3 Wl abr d Mthod, mt wlchr wr ds hrausragnd Transformaton rhaltn habn, bsondrs skurl st und durch lang Umwg vorght, wär bsondrs zu wünschn, dass man n andr drktr und natürlchr Mthod fänd, durch d man gwss nn ncht zu vrachtndn Zuwachs n d Analyss nbrächt. Ich gsth abr, dass ch mch bshr b dsr Untrsuchung vrgbns bmüht hab. 14 Wl n dsn Rhn d Anzahl dr Faktorn sttg wächst, wähln wr, damt wr hr d aus dr Bnomalpotnz ntsthndn Charaktr angnhmr bnutzn könnn, d Buchstabn a und b, bnso w d Buchstabn α und β; ngatv Wrt tln wr zu, ndm wr a = f, b = g, α = ζ und β = η stzn, so dass ζ = c f und η = c g st, und schon wrdn unsr bdn Rhn s und z vonnandr abhängn, sodass s = (1 x c fg z st. Wr wolln nun zurst gmäß dsr Wrt d rst Rh s ntwckln, und s wrd s = 1 f g 1 c x ( f 1(g 1 x 2 2(c1 sn und auf ähnlch Ws wrd d zwt Rh sn. z = 1 ζη 1 c x (ζ 1(η 1 x 2 2(c1 ( f 2(g 2 3(c2 (ζ 2(η 2 3(c 2 6

7 15 Hr könnn wr schon angnhm d rwähntn Charaktr anwndn. Es bzchn also ( m n dn Koffzntn ds Trms v n, wlchr mt slbgm aus dr Entwcklung dr Bnomalpotnz(1 v m übrnstmmt, sodass wr auf ds Ws ( m ( m ( m (1v m = 1 v v 2 v 3 tc ( habn. Dahr wrd also für d rst unsrr Rhn f 1 = f 1 wrdn; darauf ( ( f(f 1 f f(f 1( f 2 f = ; = tc und so wrd ds Rh glch angnhmr so anggbn: s = 1 g ( f x g c 1 c g 1 ( f c1 x 2 g 2 c g 1 c1 g 2 ( f c2 3 Damt wr nun d Trm, d dn Buchstabn g nthaltn, auf ähnlch Ws zusammnzhn, ( wolln wr d Rh slbst auf bdn ( Stn mt ( dm gc 1 gc 1 g Charaktr c 1 multplzrn; dann wrd nämlch c 1 c = gc 1 c ( ( gc 1 g sn; c 1 c g 1 c1 = gc 1 c1, wlchr Ausdruck wtr mt g 2 c2 multplzrt dsn Charaktr gbn wrd:. Nachdm ds Dng bmrkt ( gc 1 c2 wurdn, rhaltn wr nun ds Rh: ( ( ( ( gc 1 gc 1 f gc 1 s = x c 1 c 1 1 c ( ( ( ( f gc 1 f gc 1 x 2 2 c1 3 c2 16 Auf ähnlch Ws wrd sch auch d andr Rh transformrn lassn; dort st abr natürlch zu bmrkn, dass ds Transformaton auf zwrl Ws aufgstllt wrdn kann, j nachdm, ob d Faktorn ds Nnnrs 1, 2, 3, 4, tc ntwdr mt dm Buchstabn ζ odr mt η vrbundn wrdn. Zurst wrdn wr also aus dr vorhrghndn Rh, wnn wr ζ anstll von f und η anstll von g schrbn, ds Rh rhaltn: ( ( ( ( η c 1 η c 1 ζ η c 1 z = c 1 c 1 1 c ( ( ζ ηc 1 3 c2 x ( ζ 2 ( η c 1 c1 x 2 7

8 Wnn wr abr anstll von f und g n umgkhrtr Rhnfolg η und ζ schrbn, ght ( ( ζ c 1 ζ c 1 ( η ( ζ c 1 ( η ( ζ c 1 z = x x 2 c 1 c 1 1 c 2 c1 ( η ( ζ c 1 3 c2 hrvor. Für jd von bdn abr blbt d Rlaton dslb, natürlch s = (1 x c fg z 17 Damt s klarr rschnt, w shr sch ds zw Rhn, dr für z gfundn wurdn, vonnandr untrschdn, wolln wr anstll von ζ und η d angnommnn Wrt schrbn, natürlch ζ = c f und η = c g und d bdn rstn Rhn für dn Buchstabn z wrdn ( ( ( ( g 1 g 1 c f g 1 z = c 1 c 1 1 c ( ( c f g 1 x 2 tc. 2 c1 ( ( ( ( f 1 f 1 c g f 1 z = c 1 c 1 1 c ( ( c g f 1 x 2 tc. 2 c1 sn. 18 Damt wrd ds Rhn auf n gfällgr Form brngn, wolln wr stzn, so dass gc 1 = h und c 1 = c = 1 und g = h x x st; dahr wrd nämlch unsr anfänglch Rh ( ( ( ( h h f h s = x 1 1 ( ( ( ( f h f h x

9 sn. D bdn folgndn Rhn, d aus dm Buchstabn z gbldt wurdn, wrdn abr zurst ( ( ( ( h 1 h 1 f 1 h 1 z = x 1 1 ( ( f 1 h 1 x 2 tc. 2 2 und darauf ( ( ( ( f 1 f 1 1 h f 1 z = x 1 1 ( ( 1 h f 1 x 2 tc. 2 2 sn; bd Größn s und z abr hängn vonnandr so ab, dass st. s = (1 x fb1 z 19 Wr wolln dn mmnsn Nutzn dr Transformaton b nm aus dr Intgralforml φ cos φ (1 aa 2a cos φ n1 ntstandnn höchst bmrknswrtn Fall zgn, drn Intgral von dr Grnz φ = 0 bs hn zur Grnz φ = 180 ch frlch zurst durch n Vrmutung alln gschlossn hab glch zu sn, währnd ( ( n 1 n V = 0 ( n 1 πa (1 aa 2n1 V ( n aa 1 ( n 2 ( n a 4 tc. 2 wrd; ds Rh wrd, wnn s mt unsrr anfänglchn zusammngbracht wrd, dass V = s( h st, h = n und = 9

10 lfrn, dann abr f = n und x = aa D bdn andrn dahr gbldtn Rhn wrdn zurst ( ( ( ( n 1 n 1 n 1 n 1 z = a 2 1 ( ( n 1 n 1 a 4 tc. 2 2 andrrsts ( ( ( ( n 1 n 1 n 1 n 1 z = a ( ( n 1 n 1 a 4 tc. 2 2 sn, wlch Rhn aus dr Rh V slbst ntsthn, ndm man anstll von n glch n 1 schrbt. Nun wrd abr d Bzhung zwschn s und z s = (1 aa 2n1 z sn; dann st abr ( n V = s 20 Wl dahr φ cos φ (1 aa 2a cos φ n1 = πa (1 aa 2n1 V = πa (1 aa 2n1 ( n st, wolln wr n dsr Form anstll von n glch n 1 schrbn und s s [ ] φ cos φ von φ = 0 πa (1aa 2a cos φ n bs φ = 180 = (1 aa 2n 1 U wrd ( ( ( ( n 1 n 1 n 1 n 1 U = aa tc sn und dahr ( ( n 1 n 1 U = z = (1 aa 2n 1 s s 10

11 21 Wr wolln glch 1 aa 2a cos φ = stzn und ds zw Intgralwrt btrachtn, d wr grad rrcht habn: φ cos φ πa ( n I. n1 = (1 aa 2n1 s II. n πa φ cos φ = ( ( n 1 n 1 (1 aa 2n 1 (1 aa 2n 1 s = πa s Als logsch Konsqunz folgrn wr zwschn dsn zw Intgralformln, d von dr Grnz φ = 0 bs zur Grnz φ = 180 rstrckt wurdn, ds höchst bmrknswrt Rlaton: φ cos φ n1 : ( ( n n 1 n cos φ = : (1 aa 2n1 odr s wrd ( n (1 aa n sn. ( n 1 n φ cos φ = (1 aa n1 n 1 φ cos φ 22 Ich hatt dss ltzt Thorm schon vor ngr Zt auch durch Indukton alln gfundn, und ch hatt von nm Bws davon schon fast d Hoffnung vrlorn, wlchr nun aus dr rwähntn Transformaton dr Rhn sch quas w von slbst offnbart; dahr rknnt man dn Nutzn dsr Transformaton, d mt Rcht von shr wtm Umfang anzushn st, umso klarr. 23 Nachdm ch abr nulch dasslb Thorm vorglgt hatt, schnt sch das dort ggbn Vrhältns zwschn dn bdn Intgralformln rgndw von dm hr gfundnn zu untrschdn; dnnoch ntdckt man, dass s prfkt übrnstmmn, wnn nur das folgnd Vrhältns zur Hlf gnommn wrd, wodurch m Allgmnn ( n ( ( ( n 1 n 1 n : = : 11

12 st, wssn Vrhältns dahr natürlch klar st, wl m Allgmnn mmr ( ( a a 1 = ± st und dahr auch ( b = ± ( b 1 wo d obrn Zchn gltn, wnn n grad Zahl war, d untrn abr wnn ungrad. Dahr wrd also sn. ( ( n n 1 = ± und ( n 1 ( n = ± 24 Dahr kann also unsr Thorm noch gfällgr ausgsprochn wrdn. Wnn wr dr Kürz wgn 1 aa 2a cos φ 1 aa = Θ stzn, so dass = (1 aaθ st, dann wrd dss Vrhältns hrvorghn: φ cos φ Θ n φ cos φ : Θ n1 = n cos φ φ cos φ(1 aa n1 (1 aa n : ( ( n1 n 1 n ( n ( n 1 = : = : und so wrd ( n φ cos φ Θ n1 = ( n 1 Θ n φ cos φ sn. 12

13 Thorm 25 Wnn d Summ dsr Rh bkannt war: ( ( ( ( h f h f h x x ( f 3 ( h 3 d man glch s stz, dann könnn auch d Summn dr bdn folgndn Rhn bschafft wrdn, von dnn d rst ds st: ( ( ( ( ( h 1 f 1 h 1 f 1 h 1 x x 2 tc drn Summ ( h 1 sn wrd, wo man bmrk, dass ( h 1 = ± s ( h (1 x fh1 ( h st, wo das obr Zchn glt, wnn n grad Zahl war, das untr wnn n ungrad; dahr st d Summ dsr Rh ±s (1 x fh1 D andr Rh, drn Summ dahr bstmmt wrdn kann, wrd ( ( ( ( ( f 1 h 1 f 1 h 1 f 1 x x 2 tc sn, drn Summ ( f 1 s ( h (1 x fh1 sn wrd, d auch auf ds Ws ausgdrückt wrdn kann: ( f s ± ( h (1 x fh1 13

14 26 Wnn d Summ dsr dr Rhn gstzt wrdn w folgt ( ( ( ( ( ( ( h f h f h f h A = x x ( ( ( ( ( h 1 f 1 h 1 f 1 h 1 B = x x 2 tc ( ( ( ( ( f 1 h 1 f 1 h 1 f 1 C = x x 2 tc vrhaltn s sch untrnandr so, dass ( ( h 1 h A = ( ( f 1 h A = ( ( f 1 h 1 B = st. (1 x fh1 B (1 x fh1 C C 14