Lineare Feder-Masse-Systeme

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1 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II Lnar Fdr-Mass-Systm 1. Schwngr mt nm Frhtsgrad 1.1 Frschntt: mg Egngwcht ds Klotzs N r Fdrkraft rchts Z Zwangskraft von dr Führung N Fdrkraft lnks auf dn Klotz F(t) vorggbn Kraft 1. Knmatschs Schma: 1.3 Glchungn Dynamsch Glchungn für Klotz ( ) mx = F t N r (1) mz = mg Z () F F r für Fdr m x = N N (3) mt dn unbkanntn gomtrschn Größn ( x z) x F und dn unbkanntn Kräftn Nr, N, Z, Massnmttlpunktskoordnatn ds Klotzs Massnmttlpunktskoordnat dr Fdr

2 1.3. Knmatsch Glchungn Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II für Klotz x( t) = ( t) + (4) z( t) = const. n t z = 0 (5) für Fdr ( t) = + u( t) : 0 (6) mt dn ggbnn Größn Lag ds Massnmttlpunkts m Klotz 0 Läng dr ungspanntn Fdr und dn zusätzlchn Unbkanntn ( t ) Fdrläng u( t ) Vrschbung ds rchtn Fdrnds Bs jtzt: 5 gomtrsch-knmatsch Unbkannt + 3 unbkannt Kräft, abr 6 Glchungn Matral-Struktur-Glchungn hr: Fdrglchungn m F 0 (d Fdrmass wrd vrnachlässgt - m Vrglch zu m) Nr = N = : N (7) ( ( ) ) N = k t 0 HOOKEsch Glchung (8) 1.4 Rsultrnd Glchungn Für d Zwangskraft Z glt mt () Z = mg mz und mt (5) = mg 1.4. Für d Vrschbung u(t) x = + = = + u = u mt ( ) ( ) (4) N = k 0 = k u n Gl. (1) (8) (6) und ( ) mu = F( t) ku

3 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II mu + ku = F( t) (I) Bwgungsglchung D Bwgungsglchung st n nhomogn lnar gwöhnlch Dffrntalglchung. Ordnung mt konstantn Koffzntn. 1.5 Dskusson und Tllösungn dr Bwgungsglchung u( t) = const. n t = : u s u =0 (II.1) statschr Vrschbungszustand k u = s F( t) nur möglch, falls F( t) = const. = : F0 u F k s = 0 Glchgwchtslag (II.) 1.5. F( t) = 0, t mu + ku = 0 u (III) homogn Dffrntalglchung muu + kuu = 0 m k u + u = 0 m k u k u const A + =. = : (IV.1) 1. Intgral dr Dffrntalglchung III m u =: E kntsch Enrg k u =: W potntll odr lastsch Enrg D Gsamtnrg 1 1 k E t := E + W = mu + k u A

4 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II blbt währnd dr Bwgung rhaltn. Für u = 0 wrd E = 0 und 1 W k u = E t maxmal, u = A st also d Maxmalvrschbung odr Ampltud ( ) F t 0 m k E u u t + F ( t ) u P = = : P hßt äußr odr xtrn Lstung dr Kraft ( ) F t ; falls P 0 blbt d Gsamtnrg ncht rhaltn. 1.6 Vollständg Intgraton dr homognn Bwgungsglchung (Fall 1.5.) m k u k u A + = ; A > 0 u k = ( ) m A u (IV. ) Abkürzung: k m =: ω 0 Dmnsonsanalys [ k] [ m] [ F] [ ] N kg = = = u m s = kg k m = s A u u = ω > 0 0 A u 0 u = ω sg u (IV.3) Gwöhnlch (nchtlnar) Dffrntalglchung 1. Ordnung

5 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II Lösung dr Dffrntalglchung IV.3 mt Hlf nr Intgratonstabll odr durch Substtuton, d. h. Enführung nr nun abhänggn Varabln. Hr u =: A snϕ (V) A u = A 1 sn ϕ = A cosϕ A u u u ( cos ) ( A ) = cosϕ ϕ ϕ ϕ ϕ sg( cosϕ) = ω cosϕ 0 sg u Wahl ds Vorzchns: sg( ) sg( u) cosϕ = ( ) ϕ = ω 0 ϕ = ω 0t + β Enstztn von ϕ n Gl. (V) β : Intgratonskonstant; Bzchnung: Phasnvrschbung (dr Skala von ϕ ggn djng von ω 0 t bzw. t) ( ) = sn ( ω + β) u t A 0 t (VI) Allgmn Lösung, d. h. blbgs Elmnt dr Lösungsmng dr Dffrntalglchung (III) 1.7 Dskusson dr allgmnn Lösung D Vrschbung u(t) st n harmonsch odr Snus-Bwgung. Ihr Prod T rgbt sch aus dr Bzhung ( t T) ( t ) ω + + β = ω + β + π 0 0 zu T = π ω 0 (VII.1) Dr Khrwrt rgbt d Zahl dr Prodn j Ztnht odr Frqunz f 1 := = T ω 0 π (VII.)

6 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II D Größ ω 0 := k m (VII.3) hßt Krsfrqunz und st n Systmkonstant. 1.8 Bstmmung dr Intgratonskonstantn aus dn Anfangswrtn ( 0), ( 0) Aus Gl. (IV) folgt für d Ampltud A m = u + k u, also u = u u = v 0 0 A v = u ω 0 (VIII.1) Aus Gl. (VI) folgt für t = 0 ( ) u = u 0 A snβ 0 ( ) v = u 0 ω A cosβ 0 0 (VIII.) Es snd all Vorzchnkombnatonn von u 0 und v 0 möglch, also kann β n jdm β π, + π dr vr Quadrantn lgn. Wr fndn für ( ) β = sgβ = arc cos v 0 ω A sg u 0 0 (VIII.3) Bmrkung: D Funkton tan β alln st unggnt, da s m rstn und drttn bzw. m zwtn und vrtn Quadrantn d glchn Wrt annmmt.

7 . Lnar Längsschwngrkttn Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II Aufbau aus glchartgn Elmntn mt Zählndx :.1 Erläutrungn (a) All Elmnt habn d glch Struktur: S bsthn aus nm gradlng bwgtn Starrkörpr mt dr Mass m sow nr lnarn Fdr mt dr Stfgkt k. D Läng ds ungdhntn Elmnts s. (b) D Elmntgrnzn hßn Knotn. D Knotn snd masslos. An hnn grfn d äußrn Kräft F an (Modllvorstllung; Kräft mt andrm Angrff wrdn auf d Knotn vrtlt ). (c) D (odr n bstmmt) dhnungsfr Lag ds Systms bldt d Bzugslag für d Knotnvrschbungn u. (d) D Knotn und d jwls rchts anschlßndn Elmnt tragn dnslbn Indx.. Systmzustand Vrschbungszustand : = Satz dr Knotnvrschbungn u 1, u... u n, zusammngfaßt zur Spalt u1 u u = u n

8 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II Blastungszustand : = Satz dr auf d Knotn wrkndn äußrn Kräft F 1, F... F n, zusammngfaßt zur Spalt F = F1 F F n An Knotn, für wlch d Vrschbungn u vorggbn wrdn, snd d Kräft unbkannt (äußr Zwangskräft, äußr Raktonn), und für Knotn, an wlchn d äußrn Kräft F vorggbn wrdn, snd d Vrschbungn unbkannt. Rduzrtr Vrschbungszustand: u Spalt dr unbkanntn Knotnvrschbungn Rduzrtr Blastungszustand: F Spalt dr zugordntn bkanntn äußrn Knotnkräft.3 Form dr Systmglchungn Es wrd m folgndn gzgt, daß d Bwgungsglchungn ds Systms n dr Form (hr ohn ngprägt Vrschbungn) F = M u + K u bzw. dr rduzrtn Form F = M u + K u zusammngfaßt wrdn könnn. M K M K Massn- odr Träghtsmatrx Stfgktsmatrx rduzrt Massn- odr Träghtsmatrx rduzrt Stfgktsmatrx Man rhält M und K aus M und K durch Strchn dr zu vorggbnn Knotnvrschbungn ghörndn Spaltn sow dr ntsprchndn zu dn unbkanntn äußrn Zwangskräftn ghörndn Zln. Durch Lösn ds rduzrtn Glchungssystms rhält man (zunächst) d unbkanntn Vrschbungn. Nach Enstzn dr rmttltn Vrschbungn n d zunächst gstrchnn Glchungn lfrn ds d unbkanntn äußrn Zwangskräft.

9 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II.4 Elmntglchungn. Elmnt.4.1 Dynamsch Glchung (Kräftglchung nach NEWTON) m u = N + Z ( ).4. Matral-Struktur-Glchung (Fdrglchung nach HOOKE) N = k w ( ).4.3 Knmatsch Glchung w = u u +1 N Fdrkraft (am Elmnt bzw. Knotn + 1) Z Zwangskraft (am Elmnt bzw. Knotn ) w Längung dr Fdr am Elmnt u Vrschbung ds Knotns Rsultrnd Elmntglchungn Z = m ( ) u k( ) ( u+1 u ) N = k ( u u ).5 Knotnglchungn (Kräftglchungn) +1 F Z N = 1 0

10 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II.6 Hrltung dr Systmglchungn durch Enstzn dr rsultrndn Elmntglchungn n d Knotnglchungn F = Z + N 1 = m u k u u + k u u ( ) ( ) ( + 1 ) ( 1) ( 1 ) ( ) ( ) F = m u k u + k + k u k u ( ) ( 1) 1 ( 1) ( ) + 1 Hraus rgbn sch d Systmmatrzn gmäß Abschntt.3 M = m m m m n Massnmatrx mt Dagonalform K = k1 k k1 k1 + k k k k + k k k n + k n 1 k n k k + k Stfgktsmatrx mt Bandstruktur n 1 n 1 n D Elmnt (1,1) und (n,n) hängn dab von dn spzlln Randbdngungn ab.

11 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II 3. Längsbanspruchts lnar-lastschs Kontnuum als Grnzfall dr Schwngrktt = Längsbanspruchtr... gradr Balkn odr Stab 3.1 Erklärung ds Übrgangs vom dskontnurlchn/dskrtn auf das kontnurlch ndmnsonal Systm Das dskrt Systm bsth aus N Knotn und N (jwls rchts an dn Knotn) anschlßndn Elmntn mt glchm Indx ; dm Knotn bzw. Elmnt snd physkalsch Größn g zugordnt, z. B. d Knotnvarabln u und F, d Elmntparamtr m und k sow d Elmntrandkräft Z und N. Man btracht nun n Folg von Kttn glchr Läng, b dr m Grnzfall zuglch d Elmntzahl N ggn Unndlch und all Elmntlängn ggn Null ghn. Dann trtt an d Stll ds Indx als Adrss für dn Qurschntt d Koordnat x n nr Bzugslag. D Bzugslag st n dr Rgl dhnungsfr. dskrts Systm (Schwngrktt) kontnurlchs Systm (gradr Stab) Dr Enfachht halbr nhmn wr an, daß m dskrtn Systm all Elmnt d glch ungdhnt Läng habn. Dann glt für d Knotnkoordnatn x+ 1 = x + Dm Satz dr g ordnn wr (durch n ggnt Intrpolaton) n hnrchnd oft dffrnzrbar Funkton g(x) mt dn Stützbdngungn ( ) g x = g zu. Mt Hlf dr Abltungn

12 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II n d g( x) ( n) n =: g dx x= x läßt sch d Funkton g(x) n dr Umgbung von x nach TAYLOR n n Potnzrh ntwckln. h g( x + h) = g + hg' + g " +... Hraus rgbt sch g mt h = 0, g 1 mt h=, g +1 mt h =, g + k mt h = k. D so gfundnn Bzhungn wrdn n d Elmnt- und Knotnglchungn ngstzt, dann wrd durch d ndrgst auftrtnd Potnz von gtlt und schlßlch wrd dr Grnzübrgang 0 durchgführt. Dab wrd d Annahm vrwndt, daß für d (ncht dntsch vrschwndndn) Summandn ndrgstr Ordnung d Grnzwrt xstrn. 3. Dskrts Systm: Knotn- und Elmntglchungn (vgl. Abschntt ) 3..1 Dynamsch Glchung (zusammngfaßt für Knotn und Elmnt) m u = N N 1 + F (d I) ( ) 3.. Knmatsch Glchung w = u+1 u (d II) 3..3 Matral-Struktur-Glchung N = k w (d III) ( ) 3..4 Rsultrnd Knotnglchung ( ) ( ) F = m ( ) u k( 1) u 1 + k( 1) + k( ) u k u+ 1 (d IV) 3.3 Aufbrtung dr Glchungn Dynamsch Glchung mt

13 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II rgbt sch m N N = N N x 1 ( ) Mt dn Grnzwrtn ( ) [ ' 0( ) ] = N N N + = [ N ' + 0( ) ] F u N ( ) = ' lm 0 0 ( ) = 0 m lm = : 0 m x ( x) F lm = : 0 lm 0 n( x) ( ) lm u = u x, t 0 N ' = N' ( x) folgt d Schnttlastndffrntalglchung n Längsrchtung ( ) (, ) '(, ) (, ) m x u x t = N x t + n x t (k I) x m x Massnblag ; [ m ] N Normalkraft, Längskraft; [ N] n Längsstrcknlast, Längskraftschüttung, Längskraftblag; [ n] Kurzschrbws für dn Grnzübrgang: kg m = N N = m x = m F mx, N' N', n', u u D Abltungn snd jtzt als partll Abltungn zu vrsthn g dg g dg g( x, t) : = : =, g' ( x, t) : : t = = dt x dx x fst t fst

14 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II 3.3. Knmatsch Glchung Mt 1 ( ) ' ( ) [ ] ( ) [ ] u+ u = u x + u = u + u + 0 u = u' + 0 sch w = u' + 0 ( ) und nach dm Grnzübrgang rgbt w ( ) ( x t) u ' u' ( x t) ε,,, schlßlch d Vrzrrungs-Vrschbungs-Bzhung (, ) = u ( x, t) ε x t ' (k II) m ε (Längs-)Dhnung ; [ ε ] = = m 1 D Dhnung st also dr Quotnt aus Längung und ungdhntr Läng ds Elmnts Matral-Struktur-Glchung Mt folgt N k ( ) w k( ) w = = N w ( ) N ( x, t), ε,, (, ) ( ) (, ) ( x t) k K ( x) N x t = K x ε x t (k III) K L Längsstfgkt ; [ K ] L L = N L Da d Längskraft N und d Dhnung ε ndlch und m allgmnn von Null vrschdn snd, muß das glch für d Längsstfgkt K L gltn Rsultrnd Bwgungsglchung Mt dr Entwcklung k ( u u ) + k ( u u ) = K x u u x [ ] 1 K x u u x [ ] L ( ) ( ) + L ( ) ( + )

15 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II [ ( ) ] 1 = K x u u u + u + 3 ( ) ' " 0( ) L = K L x u u KL + + u + ( x ) u u u ( 3 ' " 0 ) ( ) ' " 0( ) + K ( x ) u ' " + 0( ) u L ' [ ( ) ( )] L ( ) L ( ) = u K x K x L L [ ( ( ) ) ] = u ' K K K ' + 0 L L L u " K x + K x + [ ] 0( ) u" [ K L + ( KL K L ' + 0( ) ) ] + 0( ) [ ' ' " 0 ( ) ] = u K + u K + L L rgbt sch aus dr Glchung (d IV) für das dskrt Systm zunächst F m ( ) = u u KL + u KL + und nach dm Grnzübrgang F ( ' ' " ) 0 ( ) m n( x, t), mx ( x), ( ) u ' K ' + u " K u' K ' + u" K ' = K u L L L L L d rsultrnd Bwgungsglchung ds längsbanspruchtn lastschn Stabs (= gradn Balkns) ( ) (, ) ( ) (, ) ( ) (, ) n x t = m x u x t K x u x t x L (k IV) W man sht, rgbt sch dslb Glchung nach Enstzn dr Matral-Struktur- Glchung (k III) und dr knmatschn Glchung (k II) n d dynamsch Glchung (k I).

16 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II Schma für dn Übrgang zum Kontnuum Dskrts Modll Kontnuumsmodll Dynamsch Glchungn (d I): Gwöhnlch Dffrntalglchungn. Ordndung Schnttlastnglchungn (k I): (Partll) Dffrntalgln.; hr. Ordnung n t, 1. Ordnung n x Knmatsch Glchungn (d II): Algbrasch Dffrnznglchungn Vrzrrungs-Vrschbungsbzhung (k II) (Partll) Dffrntalglchung 1. Ordnung n x Matral-Struktur-Gln. (d III) für das Elmnt : Algbrasch Glchungn Lokal Matral-Struktur-Gl. (k III): Algbrasch Glchung Rsultrnd Bwgungsglchungn (d IV) Systm gkoppltr Dgln.. Ordnung (Matrznform) Lokal Bwgungsglchung: (Partll) Dgl.. Ordnung n t und. Ordnung n x

17 Prof. Dr.-Ing. Brunk - Mchank II 3.4 Unsttgktn und Sngulartätn m Kontnuum Enzlkraft F (=: Sngulartät von n(x)) b x = x 0 D Längskraft N(x) bstzt n Sprungstll b x = x 0, st also dort ncht dffrnzrbar. Knotnschntt b x 0 : Kräftglchung nach NEWTON: ( ) ( ) F + N x + ε N x ε = m ε u 0 0 x ( ) [ ( 0 )] : lm ( 0 ε) ( 0 ε ) N x = N x + N x = F ε 0 Mt N(x,t) sprngt m allgmnn auch d Dhnung ε( x, t) = N( x, t) K ( x) L 3.4. Stfgktssprung b x = x 0 Mt K ( x) ε x, t. L sprngt m allgmnn bnfalls ( )