Beispiel: Eindimensionale Bewegung eines MP unter dem Einfluss einer Kraft F(x), [L 2 /I, 11]

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Ulrike Kraus
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1 Woch.doc, 5/6..6 Bspl: Endmnsonal Bwun ns MP untr dm Enfluss nr Kraft (), [L /I, ] Nwton'sch Bwunslchun (NBG): d m du () d B dsr Bwun lt dr Enrrhaltunssatz m (t) U(t) E const. aus, dr m Untrschd zur NBG n ODE rstr Ordnun für d sucht unkton/bahnkurv (t) st. Stlln wr m Enrrhaltunssatz nach d/ um, trnnn d Varabln und ntrrn, so folt für d zu (t) nvrs unkton m d t () c. E U() D Wrt für d Gsamtnr E und d Intratonskonstant c wrdn aus dn Anfansbdnunn rmttlt. nt ndmnsonal Bwunn zwschn dn Umkhrpunktn, E = U(), snd prodsch (E < U() st dr klasssch vrbotn Brch dr Bwun). ür d Schwnunsdaur/Prod dr fntn Bwun rhaltn wr dn Ausdruck T m (E) (E) d d m T(E). E U() E U() (E) (E) Im allmnn hänt d Schwnunsdaur T von dr Enr E, also von dr Ampltud, dr Schwnun ab. Bspl: Schwnunn klnr Ampltud um n stabl Glchwchtsla = a. In dsm all st U() U(a) U (a)( a) U (a) ( a) :k U (a)... U(a) ( a)

2 und aus dr allmnn orml folt das bkannt Erbns für harmonsch Schwnunn k m, T. ZEIGEN m k In dsm all st d Prod T unabhän von dr Ampltud dr Schwnun. Bspl: Ebns mathmatschs Pndl D dtallrt Rchnun führt auf d Bwunslchun ( t) (t) für dn Auslnkunswnkl (t) und dn Ausdruck T( ) d cos cos / dz sn ( / ) sn z sn für d Schwnunsdaur. Dab st d Pndllän, d Schwrbschlunun und (vl.. Übunsblatt). En ntrssant ra st, ob n Pndl konstrurt wrdn kann, dssn Schwnunsdaur unabhän von dr Ampltud st und das dshalb bsondrs nt für Pndluhrn sn sollt. En drarts Pndl wurd Chrstan Huyns ntdckt. Es handlt sch um das sonannt Zyklodnpndl. Wr b Wkpda als Suchbrff "Zyklodnpndl" nbt, dn rwartt n ntrssant Ekurson n d Epoch dr Anfän dr Nwton schn Mchank. Nwton bzchnt Chrstan Huyns (69-695) als dn "lantst Mathmatkr snr Zt". Zusatz: Kln Ändrunn U() m Potnzal U(), U() << U(), führn zu folndr Korrktur dr Schwnunsdaur d d T m E U() U() E U() m d E U() U() d E U() E U() m d E U() d d E U() E E U() U() m d E E U() Im all ds schwach anharmonschn Oszllators mt dr Bwunslchun

3 m k m 3 Duffn-Oszllator ohn Rbun (Brlnr Innur) rbt sch daraus mt U() m, m U() E n Korrktur dr Schwnunsdaur von T(E). (PRÜEN) 5 m Intrssants übr das Rsonanzvrhaltn rzwunnr anharmonschr Schwnunn fndt sch n [L /I, 9]..4.3 Bschlunt Bzussystm, Trähtskräft ("Schnkräft") all A: Das Koordnatnsystm bw sch translatorsch mt konstantr Rlatvbschlunun a = const nübr dm Inrtalsystm. In hat d NBG d orm mr m( r r ) ma mr. Aus Scht ns Bobachtrs n (dm bschluntn KS) lt Abb. m r nprät Kraft T Trähtskraft mt T ma Trähtskraft/Schnkraft nfol Bschlunun von. azt: B dr ormulrun dr NBG m bschluntn Koordnatnsystm st d Schnkraft T zu brückschtn. Bspl: Bobachtr m fr fallndn ahrstuhl Untr snm nn Gwcht Bschlunun m(s) rfährt Bobachtr m ahrstuhl d m m m r ( T) m(s) T m(s) m(t) (S) (T), vorausstzt, schwr Mass m(s) und trä Mass m(t) stmmn übrn. anfahrndr/abbrmsndr Bus 3

4 all B: Rotrnd Koordnatnsystm/Bzussystm Mt dr Erd vrbundn Koordnatnsystm ("Laborsystm") snd schon wn dr Erdrotaton kn Inrtalsystm. Das Koordnatnsystm mt r (t) (t) (t) (Summnkonvnton) rotr n das Inrtal(!)systm mt r(t) (t), wob d momntan Drhachs (t) durch dn mnsamn Koordnatnursprun vrlauf und somt r(t) r (t) lt. Momntanschwndkt: Aus r(t) r (t) folt, also r(t) (t) Gschwndkt r(t) aus Scht ns mt vrbundnn Bobachtrs (t) (t) G. r'(t) aus Scht ns mt ' vrbundnn Bobachtrs (t) (t) von aus mssn G.ns MP, dr mt ' starr vrbundn rotrt, dssn Koordnatn also const. d'(t) Zur Brchnun von '(t) vrwndn wr dn allmnn Ausdruck für d Gschwndkt b starrr Rotaton um n Drhachs (t) durch dn Koordnatnursprun (vl. MMP): d dr d rsn r sn Krsbon zu d am Krs mt Radus r sn dr st tanntal zur Bahnkurv rchtt, d Bahnbn stht snkrcht zu momntann Drhachs (t) und zum Radusvktor r. Dshalb lt dr(t) r(t) r. d (t) Also st (t) und damt r (t) r (t) (t) r (t). 4

5 ür d Bschlunun rhaltn wr aus r (t) (t) (t) (t) (t) (t) r(t) (t) d d (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) '(t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) '(t) (t) (t) (t) (t) '(t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) (t) Daraus folt r (t) r (t) r r ( r ). S d nprät Kraft m Inrtalsystm (also rotrndn Bzussystm/Nchtnrtalsystm mr ). Dann lautt d NBG m m r m r nprät Kraft Corols Kraft m r Kraft bschlun aus Wnkl un m ( r ). Zntrfualkraft azt: Im rotrndn NIS wrd d Bschlunun ds MP durch d nprät Kraft und dr Trähtskräft bstmmt. () Corols-Kraft: m r C D Corols-Kraft wrkt nur auf MP/Körpr, d sch bzülch ds rotrndn KS bwn, also nur dann, wnn r und wnn und r ncht d lch Wrkunsln bstzn. Infol dr Corols-Kraft wrdn horzontal Bwunn auf dr Nord-/Südhalbkul nach rchts/lnks (n Bwunsrchtun) ablnkt, also nach Sturbord/Backbord/. Bspl: Wrbl n Hoch- und Tfdruckbtn auf dr Nord- bzw. Südhalbkul Bspl: oucault schs Pndl Drhun dr Schwnunsbn ds Pndls. S st an dn Poln mamal, am Äquator Null. D Erdkul drht sch mt E untr dm Pndl w (aus Scht von ). Im mt dr Erd vrbundnn Laborsystm drht sch d Schwnunsbn ds Pndls. 5

6 Bspl: rr all auf dr rotrndn Erd. Bm frn all aus m Höh bträt d Ostablnkun auf dr Nordhalbkul twa cm. () Zntrfualkraft: m ( r ) Rchtun von Drhachs w Z. Btra Z m r sn D Zntrfualkraft/lhkraft st snkrcht von dr Drhachs w rchtt und hr Btra st lch Z m r sn wob dr Wnkl zwschn r und st. Bws: Aus a b c b(a c) c(a b) folt Z r m ( r ) m ( r ) r ( ) m r und für Z r Z (m ) r r (m ) r r r r (m ) r (m ) r sn (rchtwnkls Drck mt dn Stnlänn r, dr Projkton r sn ). r von r auf und Stht snkrcht auf r folt dr bkannt Ausdruck v Z m r m. r 6

7 Bspl Erdabplattun Dr polar Erdradus st twa,5 km klnr als dr äquatoral. Abhänkt dr Erdbschlunun vom Brtnrad D hut Gstalt dr Erd zt n rstarrtr orm dn rotrndn, hmals flüssn Plantn, dssn (hmals flüss) Obrfläch sch snkrcht zu rs nstllt und so d abplattt Erdkul ( God) ntsthn lassn hat. D Normal zur raln Erdobrfläch zt n Rchtun rs r R cos sn, R cos d von dr radaln Rchtun zum Erdmttlpunkt abwcht; ds Abwchun st von dr orafschn Brt abhän. Nährun: Abwchunn snd O( ), also ohn Zntrfualkraft. Zusätzlch muss dr Abstand zur Erdobrfläch rn sn, also r kln. D Komponnt dr Erdbschlunun n Rchtun dr Normaln zum God st n ( ) (9,83,5 cos ) ms mt (45 ) 9,8665 n ms (n Mrshöh). Am Äquator st dr von dr orafschn Brt abhän Korrkturtrm mamal, d Abwchun bträt twa 5 /. Dshalb ht n Pndluhr am Äquator tälch 3 ½ Mnutn zu nr dntschn Uhr an dn Poln nach. Dtallrt Rchnunn vl. z.b. n: Noltn Band, S. 3, Aufab... Obwohl d Bwunslchun m Inrtalsystm nfachr snd, bschrbt man Bwunn auf dr rotrndn Erd n nm mt dr Erd rotrndn Nchtnrtalsystm, dm Laborssystm. Hammrwrfn () Kraft nfol Wnklbschlunun: m r Ds Kraft st nur wrksam, wnn von dr Zt abhänt, also wnn d Rchtun dr momntann Drhachs und/odr d Wnklschwndkt ztabhän st/snd. 7

8 .4.4 Grundstz dr Drhbwun n dr Nwton schn Mchank L r p m r r Drhmpuls M r Drhmomnt dp Untr Vrwndun dr NBG folt dp d dr d r r (r p) p (r p) also r m r dl M Grundstz dr Drhbwun n dr Nwton schn Mchank D ztlch Ändrun ds Drhmpulss st lch dm rsultrndn Drhmomnt..4.5 II. Nwton schs Aom (acto t racto) Raktons- odr Wchslwrkunsprzp, Gstz von Wrkun und Gnwrkun: D von zw Körprn aufnandr ausübtn Wrkunn ( Kräft und /odr Momnt) snd stts btrasmäß lch roß und ntnstzt rchtt. Bspl Gwcht nr Kul und Gnkraft dr Aufla Bspl: Vrlch d trän Massn zwr Körpr durch Mssun dr Bschlununn, d hnn durch dslb Kraft vrlhn wrd. Mölch Ralsrun: Gspannt dr (all andrn Enflüss sn vrnachlässbar) Wrd d spannt dr durchtrnnt, lfrt d Mssun dr Bschlununn unabhän a m von dr Größ dr Kraft = = das Erbns. Ernut rknnt man, dass d a m trä Mass n Enschaft ds Körprs unabhän von dr wrkndn Kraft st..4.6 Suprpostonsprnzp dr Kräft (wurd von Nwton als Zusatz zu dn Aomn formulrt) Wrkn auf nn Masspunkt mhrr Kräft, so bwt r sch so, als wrk auf hn alln d vktorll Summ. Kräftparallloramm 8

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