Aufgaben zu Kapitel 28

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1 Aufgaben zu Kapitel 28 Aufgaben zu Kapitel 28 Verständnisfragen Aufgabe 28 Geben Sie bei den folgenden linearen Systemen den Typ des kritischen Punktes, ) an Welche Stabilitätseigenschaften liegen vor? a) x 2 t) xt), b) x t) 4 5 xt), c) x t) 4 xt), 3 2 d) x 4 t) xt) 2 4 Aufgabe 282 Für x, y) aus dem Rechteck R {x, y) x <, y <b} ist die Funktion f definiert durch fx,y) + y 2 a) Geben Sie mit dem Satz von Picard-Lindelöf ein Intervall [ α, α] an, auf dem das Anfangswertproblem y x) fx,yx)), y), genau eine Lösung auf α, α) besitzt b) Wie muss man die Zahl b wählen, damit die Intervalllänge 2α aus a) größtmöglich wird? c) Berechnen Sie die Lösung des Anfangswertproblems Auf welchem Intervall existiert die Lösung? Aufgabe 283 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems x 3 t) Axt) xt) Zeigen Sie dazu: a) λ 2ist doppelte Nullstelle des charakteristischen Polynoms von A und v, ) ist ein zugehöriger Eigenvektor b) Der Ansatz xt) e λt v 2 + te λt v liefert die Gleichung A λe 2 )v 2 v Bestimmen Sie eine Lösung v 2 c) Die Funktionen x t) e λt v und x 2 t) e λt v 2 + tx t) bilden ein Fundamentalsystem Aufgabe 284 Gegeben ist ein Fundamentalsystem {u, u 2 } eines Differenzialgleichungssystems u x) Ax) ux) und v eine weitere Lösung Welches ist die Dimension von A? Ist auch {u, u 2, v} bzw {u + u 2, u u 2 } ein Fundamentalsystem? Aufgabe 285 Bestimmen Sie die Stabilitätsbedingung für das verbesserte Euler-Verfahren siehe Seite 433) Zeigen Sie, dass der Schnitt des Gebiets absoluter Stabilität mit der reellen Achse das Intervall 2, ) ist Aufgabe 286 Gegeben ist die Differenzialgleichung x 2 y x) xy x) + yx), x,a) mit den Randwertvorgaben y ), ya) b, wobei A>und b R gilt Bestimmen Sie ein Fundamentalsystem der Differenzialgleichung Für welche A ist das Randwertproblem eindeutig lösbar? Geben Sie für ein A, für das keine eindeutige Lösbarkeit vorliegt, je einen Wert von b an, für den das System keine bzw unendlich viele Lösungen besitzt Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

2 2 Aufgaben zu Kapitel 28 Rechenaufgaben Aufgabe 287 Bestimmen Sie alle kritischen Punkte der folgenden Differenzialgleichungssysteme a) b) x t) x t) + x 2 t)) 2, x 2 t) x t) + x 2 t), x t) x t) x 2 t), x 2 t) x t)) 2 x 2 t)) 3 Was können Sie ohne weitere Betrachtungen über die Stabilität der Punkte aussagen? Aufgabe 288 Berechnen Sie die ersten drei sukzessiven Iterationen zu dem Anfangswertproblem u x) x ux)) 2, x R, u) Aufgabe 289 Lösen Sie das Anfangswertproblem u x) ux), u) Aufgabe 28 Bestimmen Sie für die Differenzialgleichung x 2 y x) 3 2 xy x) + yx) x 3 a) zunächst die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen linearen Differenzialgleichung durch Reduktion der Ordnung Nutzen Sie, dass y x) x 2 die homogene Differenzialgleichung löst b) Bestimmen Sie dann eine partikuläre Lösung und die allgemeine Lösung der inhomogenen Differenzialgleichung durch Variation der Konstanten c) Geben Sie die Lösung des Anfangswertproblems mit an y) 7 5 und y ) 2 5 Anwendungsprobleme Aufgabe 28 Zwei Populationen x, y mit x,y stehen in Konkurrenz um eine für beide lebenswichtige Ressource Die zeitliche Veränderung der Populationen wird durch das folgende Differenzialgleichungssystem beschrieben: x t) xt) xt) 2 ) yt) y t) yt) 2 2 yt) ) 3 xt) a) Überlegen Sie sich, welchen Einfluss die einzelnen Koeffizienten im System beschreiben Stellen Sie dazu zunächst fest, um was für ein Modell es sich handelt, wenn eine der beiden Populationen nicht vorhanden ist b) Können beide Populationen koexistieren, oder muss eine davon aussterben? Aufgabe 282 Die Verteilung und der Abbau von Alkohol im menschlichen Körper kann durch das folgende einfache Modell beschrieben werden Mit Bt) bezeichnet man die Menge an Alkohol im Blut zum Zeitpunkt t, mit Gt) die Menge an Alkohol im Gewebe Der Austausch des Alkohols zwischen Blut und Gewebe sowie die Ausscheidung werden durch das Differenzialgleichungssystem B t) αbt) βbt) + γ Gt) G t) βbt) γ Gt) Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

3 Aufgaben zu Kapitel 28 3 beschrieben Dabei beschreibt der Koeffizient α die Geschwindigkeit der Ausscheidung aus dem Körper, der Koeffizient β die Geschwindigkeit des Übergangs vom Blut ins Gewebe und der Koeffizient γ die des Übergangs vom Gewebe ins Blut Geben Sie das Verhalten des Alkoholgehalts qualitativ an Was ist bei der numerischen Lösung des Systems zu beachten? Aufgabe 283 Das Anfangswertproblem x t) Axt) mit x), ) soll einmal mit dem Euler-Verfahren und mit dem Rückwärts-Euler-Verfahren 6 2 xt), t >, 8 4 x k+ x k + h Ax k, k, 2, x k+ x k + h Ax k+, k, 2, und der Schrittweite h gelöst werden Führen Sie für beide Verfahren jeweils die ersten 5 Schritte durch Verwenden Sie dazu nach Möglichkeit einen Computer, da die auftretenden Rechnungen unhandlich sind Welche Schlussfolgerungen ziehen Sie? Aufgabe 284 Zu lösen ist das Randwertproblem xu x) + u x) ux) x 2, u), u) Formulieren Sie das Randwertproblem als Variationsgleichung Stellen Sie außerdem das lineare Gleichungssystem auf, das bei der Methode der finiten Elemente mit 4 Hutfunktionen gelöst werden muss Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

4 4 Hinweise zu Kapitel 28 Hinweise zu Kapitel 28 Verständnisfragen Aufgabe 28 Bestimmen Sie jeweils die Eigenwerte der Matrix und konsultieren Sie die Übersicht auf Seite 939 Aufgabe 282 Bestimmen Sie das Maximum von f auf R und verwenden Sie die Aussage des Satzes von Picard- Lindelöf Die Differenzialgleichung kann durch Separation gelöst werden Aufgabe 283 Für a) und b) muss nur lineare Algebra verwendet werden Stellen Sie für c) die Wronski-Determinante auf Aufgabe 284 Wie viele Elemente hat ein Fundamentalsystem eines n n-differenzialgleichungssystems? Aufgabe 285 Wenden Sie das verbesserte Euler-Verfahren auf die Testprobleme für Stabilitätsuntersuchungen an Aufgabe 286 Es ist eine Euler sche Differenzialgleichung, deren Fundamentalsystem durch den Ansatz yx) x λ bestimmt werden kann Versuchen Sie, die Randwerte durch eine Linearkombination der Funktionen des Fundamentalsystems zu erfüllen Rechenaufgaben Aufgabe 287 Die kritischen Punkte bestimmen Sie durch Lösen der Gleichung x Für die Stabilität des kritischen Punkts z müssen Sie die Eigenwerte von F z) bestimmen, wobei F die Funktion ist, die das System beschreibt Aufgabe 288 Formulieren Sie das Anfangswertproblem als Integralgleichung und leiten Sie daraus eine Fixpunktgleichung her Aufgabe 289 Verwenden Sie den Exponentialansatz ux) v expλx) mit Eigenwert λ und Eigenvektor v Aufgabe 28 Wählen Sie bei der Variation der Konstanten Forderungen so, dass keine zweiten oder noch höheren Ableitungen der freien Funktionen auftreten Anwendungsprobleme Aufgabe 28 Bestimmen Sie kritische Punkte des Differenzialgleichungssystems Welche davon sind stabil? Interpretieren Sie auf dieser Grundlage das Verhalten der Trajektorien Aufgabe 282 Bestimmen Sie die allgemeine Lösung des Systems durch einen Exponentialansatz Überlegen Sie sich die Vorzeichen der Eigenwerte der zugehörigen Matrix Aufgabe 283 Lösen Sie die Gleichung des Rückwärts-Euler-Verfahrens nach x k+ auf Aufgabe 284 Nutzen Sie xu x) + u x) xu x)) und verwenden Sie partielle Integration zur Herleitung der Variationsgleichung Schreiben Sie die Hutfunktionen explizit auf und bestimmen damit die Koeffizienten im Gleichungssystem Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

5 Lösungen zu Kapitel 28 5 Lösungen zu Kapitel 28 Verständnisfragen Aufgabe 28 a) Instabiler Sattelpunkt, b) instabiler Spiralpunkt, c) asymptotisch stabiler uneigentlicher Knoten, d) stabiles Zentrum Aufgabe 282 a) α b/ + + b) 2 ), b) Maximum für b 2, c) yx) tanx + π/4) für x 3π/4,π/4) Aufgabe 283 a), c) siehe ausführlicher Lösungsweg, b) v 2, ) Aufgabe 284 Die Dimension der Matrix ist 2 {u, u 2, v} ist kein Fundamentalsystem, {u + u 2, u u 2 } ist ein Fundamentalsystem Aufgabe 285 Die Stabilitätsbedingung lautet + hλ + hλ)2 2 < Aufgabe 286 Ein Fundamentalsystem ist durch {x, x ln x} gegeben Für A e ist das Randwertproblem eindeutig lösbar Für A b e gibt es unendlich viele Lösungen, ansonsten ist das Randwertproblem unlösbar Rechenaufgaben Aufgabe 287 a) Kritische Punkte z, ) und z 2, ) Beide sind instabil b) Kritischer Punkt ist z, ), der asymptotisch stabil ist Aufgabe 288 Die Iterierten sind u x) x + x2 2, u 2 x) x x2 2 3 x3 + 4 x4 2 x5, u 3 x) x x2 4 3 x x x x x x x9 + 4 x 44 x Aufgabe 289 ux) e x, cos x sin x,cos x + sin x), x R Aufgabe 28 a) y h x) c x 2 +x 2 x für x>, b) yx) 2 5 x 3 +c x 2 +c 2 x, x>, c) c und c 2 2 Anwendungsprobleme Aufgabe 28 a) Siehe ausführlichen Lösungsweg, b) ja, asymptotisch nehmen die Populationen den Wert x, y) 3/4, /2) an Aufgabe 282 Die Lösung ist Bt) c γ + λ ) e λt + c 2 γ + λ 2 ) e λ2t, Gt) c β e λ t + c 2 β e λ 2 t für t>mit zwei Konstanten c, c 2 R Aufgabe 283 Siehe ausführlichen Lösungsweg Aufgabe 284 Das Gleichungssystem ist c c c , c 4 97 wobei die c j die Koeffizienten der entsprechenden Hutfunktion sind Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

6 6 Lösungswege zu Kapitel 28 Lösungswege zu Kapitel 28 Verständnisfragen Aufgabe 28 a) Das charakteristische Polynom ist pλ) λ )λ 2 λ + )λ 2) Es gibt zwei reelle Eigenwerte mit unterschiedlichen Vorzeichen Es handelt sich um einen Sattelpunkt, der stets instabil ist b) Das charakteristische Polynom ist bis auf einen Faktor /9) pλ) 3λ 4)3λ 2) + 3λ 3) λ 3 3i)3λ 3 + 3i) Es liegen die konjugiert komplexen Eigenwerte ± i vor, daher handelt es sich um einen Spiralpunkt Da der Realteil der Eigenwerte positiv ist, laufen die Trajektorien aus dem kritischen Punkt heraus Der kritische Punkt ist instabil c) Das charakteristische Polynom lautet bis auf einen Faktor /9) pλ) 3λ + 4)3λ + 2) + 3λ + 3) 2 Wir haben den einzigen Eigenwert λ Wir bestimmen den zugehörigen Eigenraum durch Lösen des homogenen linearen Gleichungssystems [ ] 4 + 3E 2 2 v Wir erhalten die Lösung v t, ), t R Der Eigenraum hat also die Dimension Damit liegt ein uneigentlicher Knoten im 2 Fall vor Da der Eigenwert ein negatives Vorzeichen hat, ist der kritische Punkt asymptotisch stabil d) Das charakteristische Polynom ist pλ) λ 4)λ + 4) + 2 λ Es liegen die komplex konjugierten Eigenwerte ±2i vor Da der Realteil der Eigenwerte null ist, handelt es sich um ein Zentrum Der Punkt ist stabil, aber nicht asymptotisch stabil Aufgabe 282 a) Da für x, y) R gilt y b, + b) mit b>, so folgt fx,y) + y b) 2 Damit ist die Konstante M aus dem Satz von Picard-Lindelöf gleich + + b) 2 Mit a folgt damit denn + + b) 2 >b α min{, b M }min{, b + + b) 2, b) Wir bestimmen das Maximum von α als Funktion von b b + + b) 2 } α b) b2 + 2b + 2 b2b + 2) 2 b 2 b 2 + 2b + 2) 2 b 2 + 2b + 2) 2 Daher nimmt α für b 2 ein Extremum an Es ist α 2 2) > Da α) und lim αb), handelt es sich um ein Maximum b Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

7 Lösungswege zu Kapitel 28 7 c) Durch Separation erhalten wir aus der Differenzialgleichung dy x + C + y2 Damit ergibt sich die allgemeine Lösung Durch Einsetzen der Anfangswerte folgt yx) tanx + C) yx) tan x + π ) 4 Diese Funktion existiert auf dem Intervall 3π/4,π/4) In Dezimaldarstellung ist α 2) 27 und π/ Aufgabe 283 a) Das charakteristische Polynom ergibt sich als deta λe 2 ) 3 λ) λ) + λ + 2) 2 Damit ist 2 eine doppelte Nullstelle Das Lösen des LGS A + 2E 2 )v v liefert den Eigenvektor v, ) b) Aus der Forderung x t) λe λt v 2 + e λt v + tλe λt v! Axt) e λt Av 2 + te λt Av ergibt sich wegen Av λv das LGS e λt v e λt Av 2 λe λt v 2 e λt A λe 2 ) v 2 Lösen dieses LGS liefert zum Beispiel den Vektor v 2, ) c) Die Wronski-Determinante von x, x 2 ist an der Stelle null von null verschieden, Daher bilden diese beiden Lösungen ein Fundamentalsystem W) detv, v 2 )) Aufgabe 284 Es handelt sich um ein lineares homogenes System Der Vektorraum der Lösungen hat die Dimension n, wenn Ax) eine n n-matrix ist Nach Voraussetzung ist {u, u 2 } ein Fundamentalsystem, dh eine Basis des Lösungsraumes Daher ist n 2 Die drei Vektoren u, u 2, v des 2-dimensionalen Lösungsraumes sind stets linear abhängig, können also keine Basis und daher auch kein Fundamentalsystem sein Man rechnet leicht nach, dass die beiden Elemente u + u 2 und u u 2 des Lösungsraumes linear unabhängig sind und daher ebenfalls ein Fundamentalsystem bilden Aufgabe 285 Das verbesserte Euler-Verfahren ist durch die Gleichungen gegeben Wir wenden dieses Verfahren auf das Testproblem k ) j+ fx j,y j ), k 2) j+ fx j+,y j + hk ) j+ ), y j+ y j + h ) k ) 2 j+ + k2) j+ y x) λ yx), y) Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

8 8 Lösungswege zu Kapitel 28 explizit an Dann ergibt sich Damit ist die Stabilitätsbedingung k ) f, ) λ, k 2) fx, + hk ) ) f h, + hλ) λ + hλ), y + h 2 hλ)2 λ + λ + hλ)) + hλ + 2 hλ)2 + hλ + 2 < Wir setzen nun μ hλ Esist + μ + μ2 2 2 Die Stabilitätsbedingung ist daher für μ R äquivalent zu μ + ) 2 < Die Lösungsmenge dieser Ungleichung ist das Intervall 2, ) [ ] μ + ) 2 + Aufgabe 286 Es handelt sich um eine Euler sche Differenzialgleichung Der Ansatz yx) x λ führt auf die Gleichung λλ ) λ + λ 2 2λ + λ ) 2 Ein Fundamentalsystem ist daher durch {x, x ln x} gegeben Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ist mit Konstanten c, c 2 R Die Ableitung der Lösung ist Aus der Anfangsbedingung y ) folgt somit Damit liefert die Bedingung an der Stelle A den Ausdruck yx) c x + c 2 x ln x, x >, y x) c + c 2 + ln x) c + c 2 + ) c + c 2 b c A + c )A ln A A ln A + c A ln A) Ist ln A, dh A e, so können wir diese Gleichung nach c auflösen und erhalten eine eindeutig bestimmte Lösung des Randwertproblems Ist A e, so lautet die Gleichung b elne+ e Ist b e, so kann also c R beliebig gewählt werden, es gibt unendlich viele Lösungen Für b e gibt es keine Lösung des Randwertproblems Rechenaufgaben Aufgabe 287 a) Die Forderungen x t) x 2 t) für alle t führt auf die Gleichungen x + x 2 2, x + x 2, wobei wir die Abhängigkeit von t unterdrückt haben Einsetzen der zweiten Gleichung in die erste liefert x 2 x 2 ) So erhalten wir die kritischen Punkte z, ) und z 2, ) Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

9 Lösungswege zu Kapitel 28 9 Die Ableitung der Funktion F, die das System beschreibt, ist F x) 2x2 Daher gilt F z ) Diese Matrix besitzt den doppelten Eigenwert Daher ist dieser kritische Punkt instabil Im anderen kritischen Punkt ist F z 2 ) 2 Diese Matrix besitzt die Eigenwerte ± 2 Ein Eigenwert ist negativ, der andere positiv, es handelt sich also um einen Sattelpunkt, der stets instabil ist b) Die Forderung x t) führt auf die Gleichungen x x 2, x 2 x3 2, wobei wir wieder die Abhängigkeit von t weggelassen haben Die erste Gleichung kann nur für x 2 erfüllt sein, es gilt dann x /x 2 Damit erhält man aus der zweiten Gleichung x 2 Es gibt daher nur den einzigen kritischen Punkt z, ) Die Ableitung der Funktion F ist hier Daher gilt F x2 x x) 2x 3x2 2 F z) 2 3 Diese Matrix hat die Eigenwerte 2 ± i Daher handelt es sich um einen asymptotisch stabilen Spiralpunkt Aufgabe 288 Durch Integration erhalten wir aus der Differenzialgleichung die Integralgleichung x ux) + [ ξ uξ)) 2] dξ Wir starten mit der konstanten Funktion u x) Damit ergibt sich x u x) + ξ ) dξ x + x2 2, x u 2 x) + ξ ξ + ξ 2 2 dξ 2 x x2 2 3 x3 + 4 x4 2 x5, x u 3 x) + ξ u 2 ξ)) 2) dξ x x2 4 3 x x x x x x x9 + 4 x 44 x Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

10 Lösungswege zu Kapitel 28 Aufgabe 289 Zunächst muss das charakteristische Polynom bestimmt werden: Also gibt es die Eigenwerte λ und λ 2,3 ± i λ pλ) det λ λ λ) λ) 2 + ) λ) λ i)λ + i) Aus den linearen Gleichungssystemen A λ j E 3 ) v O, erhalten wir die Eigenvektoren v,, ) zu λ, v 2, i, ) zu λ 2 + i, v 3, i, ) zu λ 2 i Die allgemeine komplexwertige Lösung der Differenzialgleichung ist demnach ux) c e x + c 2 i e +i)x + c 3 i e i)x für x R mit Konstanten c, c 2, c 3 C Um diese Konstanten zu bestimmen, setzen wir die Anfangswerte in die allgemeine Lösung ein und erhalten dass lineare Gleichungssystem c i i c 2 c 3 Durch Anwendung des Gauß schen Lösungsverfahrens bekommen wir die Lösung c, c 2 i)/2 und c 3 + i)/2 Insgesamt ergibt sich dadurch die Lösung Aufgabe 28 a) Mit dem Ansatz zur Reduktion der Ordnung ist ux) 2e x i + )e +i)x i )e i)x 2 i)e +i)x + + i)e i)x e x cos x sin x, x R cos x + sin x yx) zx)y x) x 2 zx) y x) z x)y x) + zx)y x) x2 z x) + 2x zx), y x) z x)y x) + 2z x)y x) + zx)y x) x 2 z x) + 4xz x) + 2 zx) Dies setzen wir in die homogene Differenzialgleichung ein: x 2 x 2 z x) + 4xz x) + 2 zx)) 3 2 xx2 z x) + 2x zx)) + x 2 zx) x 4 z x) x3 z x) Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

11 Lösungswege zu Kapitel 28 Somit erhalten wir die Differenzialgleichung xz x) 5 2 z x), die die Lösung z x) 3/2)x 5/2 besitzt Also folgt yx) x 2 zx) x 2 x 3/2 x für x> Die allgemeine Lösung der zugehörigen homogenen Differenzialgleichung ist also y h x) c x 2 + x 2 x, x > b) Mit dem Ansatz Variation der Konstanten ist y p x) Cx)x 2 + Dx) x Ableiten liefert y p x) C x) x 2 + D x) x + 2Cx)x + 2 Dx) x /2 Wir fordern nun und erhalten dann die zweite Ableitung C x) x 2 + D x) x, y p x) 2C x) x + 2 D x) x /2 + 2Cx) 4 Dx) x 3/2 Setzen wir diese Ausdrücke in die Differenzialgleichung ein, so ergibt sich nach einiger Rechnung die zweite Forderung Insgesamt ist somit das lineare Gleichungssystem x 2 x /2 zu lösen Wir erhalten Somit ist und dies liefert die partikuläre Lösung C x) 2 3 x 3 2x 3 C x) + 2 x3/2 D x) 2x 3 2 x3/2 Die allgemeine Lösung der Differenzialgleichung ist also c) Die Ableitung der allgemeinen Lösung ist ) C ) x) D x) x 3 und D x) 2 3 x3/2 Cx) 2 3 x und Dx) 4 5 x5/2, y p x) 2 3 x2 4 5 x3 2 5 x3 yx) 2 5 x3 + c x 2 + c 2 x, x > y x) 6 5 x2 + 2c x + c 2 2 x Durch Einsetzen der Anfangswerte erhalten wir das lineare Gleichungssystem c 3 4 c 2 6 mit der Lösung c und c 2 2 Somit haben wir die Lösung des Anfangswertproblems gefunden, yx) 2 5 x3 + x x, x > Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

12 2 Lösungswege zu Kapitel 28 Anwendungsprobleme Aufgabe 28 a) Ist eine der Populationen nicht vorhanden etwa y ), so liegt für die andere ein logistisches Wachstumsmodell vor, x t) k xt) X xt)) Dabei ist k eine Wachstumskonstante und X die Obergrenze für die Population Für die Population x ist die Wachstumskonstante, für die Population y ist sie /2 Die Obergrenze liegt für beide bei Der zusätzliche Term beschreibt die gegenseitige Beeinflussung der beiden Populationen Da beide auf dieselbe Ressource zugreifen und dadurch ihr Wachstum gegenseitig behindern, ist der entsprechende Koeffizient negativ b) Um diese Frage zu beantworten, stellen wir zunächst fest, wo kritische Punkte liegen Das Gleichungssystem x x 2 ) y und y 2 2 y ) 3 x hat vier verschiedene Lösungen z x, y) : z, z 2, 3/4 z 3, z 4 /2 In z sind beide Populationen ausgestorben, in z 2 und z 3 ist jeweils eine ausgestorben und in z 4 koexistieren beide Damit ist schon einmal die Frage, ob beide koexistieren können, grundsätzlich mit ja zu beantworten Um ein vollständigeres Bild zu erhalten, betrachten wir noch das Stabilitätsverhalten der Lösungen in der Nähe dieser kritischen Punkte Das Differenzialgleichungssystem wird durch die Funktion F mit x x F x, y) 2 2 xy ) 2 y 2 y2 3 xy beschrieben Deren Ableitung ist F 2x x, y) 2 y 2 x ) 3 y 2 y 3 x Für die ersten drei kritischen Punkte gilt F z ), /2 F /2 z 2 ), /6 F /2 z 3 ) /3 /2 In allen drei Fällen können die Eigenwerte direkt an der Matrix abgelesen werden In z liegen zwei positive Eigenwerte vor, es handelt sich um einen instabilen Knotenpunkt In z 2 und z 3 ist je ein Eigenwert positiv, der andere negativ Hier liegen Sattelpunkte vor, die ebenfalls instabil sind Die einzige Trajektorie, die in diese kritischen Punkte hineinführt, ist die Lösung wenn eine der beiden Populationen nicht vorhanden ist In z 4 schließlich gilt Das charakteristische Polynom ist F z 4 ) 3/4 3/8 /6 /4 λ + 3 ) λ + ) λ 2 + λ + 8 λ )λ ) Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

13 Lösungswege zu Kapitel 28 3 Beide Eigenwerte /2) ± / 8) sind negativ, also handelt es sich um einen asymptotisch stabilen Punkt Zumindest für Ausgangssituationen in einer Umgebung von z 4 gilt also, dass beide Populationen koexistieren können Die Populationen nähern sich dabei den Werten x 4 3/4 und y 4 /2 an Allgemeiner kann man sogar zeigen, dass alle Trajektorien außer denjenigen, die in die Sattelpunkte hineinlaufen, den asymptotisch stabilen Punkt z 4 als Grenzwert besitzen Wer mehr zu diesem Modell erfahren möchte, findet im Abschnitt 94 des Buches William E Boyce, Richard C DiPrima: Gewöhnliche Differenzialgleichungen Spektrum Akademischer Verlag, 2, einen guten Einstiegspunkt Aufgabe 282 In Matrixform stellt sich das Differenzialgleichungssystem dar als B ) t) α + β) γ Bt) G t) β γ Gt) Das charakteristische Polynom der Matrix berechnet sich zu Als Eigenwerte ergeben sich demnach pλ) λ + α + β)λ + γ) βγ λ 2 + α + β + γ)λ+ αγ λ /2 α + β + γ 2 α + β + γ 2 ± αγ 2 Beide Eigenwerte sind demnach reell und negativ Mit der zweiten Zeile der Matrix berechnen wir die zugehörigen Eigenvektoren v j v j,v 2j ), βv j γ + λ j )v 2j, j, 2, und daher Damit haben wir die Lösung γ + λj v j, j, 2 β für t> mit zwei Konstanten c, c 2 R Bt) c γ + λ ) e λt + c 2 γ + λ 2 ) e λ2t, Gt) c β e λ t + c 2 β e λ 2 t Da beide Eigenwerte negativ sind, liegt eine exponentielle Abnahme des Alkoholgehalts vor Ist αγ << β, so ist λ Wir haben es in diesem Fall mit einem steifen Differenzialgleichungssystem zu tun In der Anwendung bedeutet dies, dass die Ausscheidung und der Übergang vom Gewebe ins Blut sehr viel schwächer ausfallen, als der Übergang vom Blut ins Gewebe Aufgabe 283 Die Iterationen für das Euler-Verfahren können direkt durchgeführt werden Es ergibt sich k x k x k Für das Rückwärts-Euler-Verfahren lösen wir zunächst die Gleichung nach x k+ auf Es ergibt sich x k+ E 2 h A) x k x k Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

14 4 Lösungswege zu Kapitel 28 Die Iterationen können damit ausgerechnet werden und ergeben k x k x k Die Ergebnisse lassen darauf schließen, dass ein steifes Differenzialgleichungssystem vorliegt Mit der Schrittweite h ist das Euler-Verfahren für dieses System instabil, das Rückwärts-Euler-Verfahren dagegen stabil Die Stabilitätsbedingung für das Rückwärts-Euler-Verfahren lautet übrigens hλ < Diese Bedingung ist für jedes λ mit Re λ) < erfüllt Aufgabe 284 Zunächst beachten wir xu x) + u x) d xu x) ) dx Um die Variationsgleichung herzuleiten, multiplizieren wir die Differenzialgleichung mit eine Funktion v C [, ]), die außerdem v) v) erfüllt, [ xu x) ) ] vx) ux) vx) dx x 2 vx) dx Den ersten Term können wir partiell integrieren, xu x) ) vx) dx [ xu x) vx) ] xu x) v x) dx xu x) v x) dx Daher folgt [ xu x) v x) + ux) vx) ] dx x 2 vx) dx Dies ist die Variationsgleichung Die Diskretisierungspunkte sind x j j/5, j,,5 Die Hutfunktion ϕ j, j,,4, und ihre Ableitungen sind gegeben durch 5x j +, x j <x x j, ϕ j x) j + 5x, x j <x<x j+,, sonst, 5, x j <x x j, ϕ j x) 5, x j <x<x j+,, sonst Die Einträge der FEM-Matrix A a jk ) R 4 4 sind nun gegeben als a jk [ ] xϕ k x) ϕ j x) + ϕ kx) ϕ j x) dx Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28

15 Lösungswege zu Kapitel 28 5 für j,k,,4 Da die Hutfunktion ϕ j außerhalb des Intervalls x j,x j+ ) null ist, verschwinden diejenigen a jk mit j k > Für die übrigen ergibt sich: a jj xj+ x j xj + + [ xϕ j x))2 + ϕ j x)) 2] dx x j x 5 2 dx + xj xj+ x j x j 5x j + ) 2 dx xj+ x j j + 5x) 2 dx x 5) 2 dx j ) + j + ) j xj+ [ ] a jj+ xϕ j x) ϕ j+ x) + ϕ j x) ϕ j+ x) dx x j xj+ + x j xj+ x j x 5) 5dx j + 5x)5x j)dx j + ) j 7 5 Wegen der Symmetrie gilt a j+ j a jj+ Die Matrix des Systems ist demnach durch A gegeben Für die rechte Seite sind noch die folgenden Integrale zu berechnen: xj x 2 ϕ j x) dx x 2 5x j + ) dx x j Somit ergibt sich die rechte Seite des LGS zu xj+ + x 2 j + 5x)dx x j ) j 2 25 j ) + j j j b Arens et al, Mathematik, ISBN: , Spektrum Akademischer Verlag, 28