Klassifikation ebener algebraischer Kurven. Peter Lebmeir Technische Universität Münche#
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3 Klassifikation ebener algebraischer Kurven Peter Lebmeir Technische Universität Münche#
4 Gliederung * * * Die Ausgangssituation Ein numerischer Lösungsansatz Fazit & Ausblick
5 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Dynamisches Geometrie Programm
6 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Freie Punkte: A, B, C
7 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes C hat einen Freiheitsgrad
8 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes C wird bewegt...
9 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes C wird bewegt...
10 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes C wird bewegt...
11 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes C wird bewegt...
12 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes Ortskurve
13 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes Repräsentation Ortskurve
14 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes Repräsentation Diskrete Stützstellen Ortskurve intern
15 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes Repräsentation Diskrete Stützstellen Hochgenaue Daten Ortskurve intern
16 Was ist gegeben? Ortskurve Zirkel & Lineal Konstruktion Verfolgen eines abh. Punktes Repräsentation Diskrete Stützstellen Hochgenaue Daten Homogene Koordinaten Ortskurve intern
17 Was ist gesucht? Klassifikation Grad: Parameter: -0,02 x 2 0,1 x 2 y 2 + o,1 y o,2 xz + y + 2 z = 0 +0,3 yz + 0,9 z 2 0,2 y 3 z - 0,3 y 2 z 2 - = 0 0,8 yz 3-0,4 z 4 = 0 Name: Gerade Parabel Conchoide
18 Was ist zu erwarten? Nicht viel bei zu wenigen Punkten?
19 Was ist zu erwarten? Nicht viel bei zu wenigen Punkten... schlechter Verteilung?
20 Was ist zu erwarten? Nicht viel bei zu wenigen Punkten... schlechter Verteilung... größerer Fehlerbehaftung?
21 Was ist zu erwarten? Nicht viel bei zu wenigen Punkten... schlechter Verteilung... größerer Fehlerbehaftung... doppelter Überdeckung?
22 Was ist zu erwarten? Nicht viel bei zu wenigen Punkten... schlechter Verteilung... größerer Fehlerbehaftung... doppelter Überdeckung Meta - Algorithmen
23 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Ausgangspunkte
24 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punkte legen Alle Punkte gegentesten ablehnen Ausgangspunkte Gradannahme: 0
25 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punktmenge legen Alle Punkte gegentesten Ausgangspunkte Gradannahme: 1
26 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punkte legen Alle Punkte gegentesten Ausgangspunkte Gradannahme: 1
27 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punkte legen Alle Punkte gegentesten ablehnen Ausgangspunkte Gradannahme: 1
28 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punktmenge legen Alle Punkte gegentesten Ausgangspunkte Gradannahme: 2
29 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punkte legen Alle Punkte gegentesten Ausgangspunkte Gradannahme: 2
30 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punkte legen Alle Punkte gegentesten akzeptieren Ausgangspunkte Gradannahme: 2
31 Numerischer Ansatz Sukzessive Gradannahme Kurve durch Punkte legen Alle Punkte gegentesten Kurvenparameter liegen aus Schritt 2 vor! Ausgangspunkte Gradannahme: 2
32 Parameterberechnung Gradannahme: n Projektive Kurvengleichung: n α r,s x r y s z n-r-s = 0 r = 0 n-i s = 0 Punkte berechne τ(x i,y i,z i ) x r i yi s zi n-r-s ( r,s) Algorithmus
33 Parameterberechnung Gradannahme: n Projektive Kurvengleichung: n α r,s x r y s z n-r-s = 0 r = 0 n-i s = 0 Lineare Gleichung in x r y s z n-r-s Punkte berechne τ(x i,y i,z i ) x r i yi s zi n-r-s ( r,s) Löse lin. Gl.sys. Algorithmus
34 Parameterberechnung Gradannahme: n Projektive Kurvengleichung: n α r,s x r y s z n-r-s = 0 r = 0 n-i s = 0 Lineare Gleichung in x r y s z n-r-s n ( ) Summanden/Parameter Kurve bestimmt durch n + 2 ( ) 2-1 Punkte und α 0 Punkte berechne τ(x i,y i,z i ) x r i yi s zi n-r-s ( r,s) Löse lin. Gl.sys. n mit ( ) -1 Punkten und α 0,0 = 1 bzw. α 0,1 = 1... Algorithmus
35 Akzeptanzkriterium Gegeben: Parametervektor α Transformierte Punkte τ(x i,y i,z i ) (euklidisch normiert) Kriterium: max i τ(x i,y i,z i ); α < Tol ( i τ(x i,y i,z i ); α ) 0,5 < Tol
36 Akzeptanzkriterium Gegeben: Parametervektor α Transformierte Punkte τ(x i,y i,z i ) (euklidisch normiert) Kriterium: max i τ(x i,y i,z i ); α < Tol Gemittelte Fehlerquadrate Programm-Output Grad 2 akzeptiert
37 Effekte Fast-singuläre Koeffizientenmatrix Gelenkmechanismus Ortskurvengrad: 6
38 Effekte Fast-singuläre Koeffizientenmatrix Größenordnungsunterschiede Gelenkmechanismus-Daten 0,015 < z-koo. < 0,016
39 Effekte Fast-singuläre Koeffizientenmatrix Größenordnungsunterschiede Verstärkung durch Potenzieren Gelenkmechanismus-Daten z 6 -Spalte im LGS < 10-9
40 Effekte Fast-singuläre Koeffizientenmatrix Größenordnungsunterschiede Verstärkung durch Potenzieren Lage der Kurve Ortsabhängige Akzeptanz 3d Einheitsspäre kaum Unterschiede in den z und x Koordinaten
41 Effekte Fast-singuläre Koeffizientenmatrix Größenordnungsunterschiede Verstärkung durch Potenzieren Lage der Kurve Ortsabhängige Akzeptanz Programm-Output Grad 3 akzeptiert
42 Effekte Fast-singuläre Koeffizientenmatrix Größenordnungsunterschiede Verstärkung durch Potenzieren Lage der Kurve Ortsabhängige Akzeptanz Effekte aus der Punktauswahl Keine projektive Invarianz Transformationen nötig Evtl. Parameterverlust
43 Fazit * * * Klassifikation theoretisch machbar aber schwerer als man denkt Gradannahme Kurve durchlegen Testen ist gangbarer Weg Transformationen sind nötig um Ortsabhängigkeiten aufzulösen
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45 Danke für die Aufmerksamkeit Peter Lebmeir Technische Universität Münche#
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