Musterlösung. Aufgaben zu Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme. Vordiplomskurs Numerische Methoden Sommer 2008
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- Catharina Messner
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1 Musterlösung Aufgaben zu Iterative Lösung Linearer Gleichungssysteme Vordiplomskurs Numerische Methoden Sommer 8. Betrachte das Gleichungssystem Ax b mit ( ( 3 A, b. 6 8 a Konvergiert das Jacobi Verfahren für dieses System? Lösung: Ja, denn A ist diagonaldominant. b Führe einen Schritt des Jacobi Verfahrens durch ausgehend vom Startvektor x ( e. Lösung: ( (( ( ( /3 x ( + /6 8 ( ( ( /3 /3 /6 /3 c Berechne die -Norm der Iterationsmatrix. Nach wie vielen Iterationsschritten ist der Fehler in der -Norm kleiner als 4? Lösung: Iterationsmatrix ist B ( ( /3 /6 Berechne B ρ(b B: ( ( B /3 /3 B /3 /3 α : B 3. ( /3 /3 x ( x ( + 6 ( / 4/ k x (k x αk 6 α 3 α k 3 ( α 4 6 ( log ( α log α! k 7 Schritte
2 d Wiederhole die Aufgabe mit dem Gauss-Seidel Verfahren. Lösung: a diagonaldominant konvergent b also x ( 8 P ( 6 3 c Iterationsmatrix B 8 B B 8 ( (( ( 6 3 ( 6 ( + ( 6 3 ( ( 6 8 ( ( ( / / ( 6 ( 4. Es seien x (k x k α : B 4 8 x ( x ( αk α x( x ( αk α α k ( α 4 ( log ( α 4 A log α (, b k3 Schritte ( 3. Betrachte die Iteration x (k+ B(θx (k + g(θ mit B(θ ( ( θ + θ + θ + θ + 4 θ + θ + θ, g(θ θ + θ + θ. a Für welche θ R ist diese Iteration konsistent? Lösung: ( ( 3 A x A b B(θx ( ( 4θ + / + θ 4 4θ + / + θ ( ( B(θx / + θ / θ + g(θ + x θ R / + θ / θ
3 Also ist jede Lösung des Gleichungssystems auch ein Fixpunkt der Iteration. Der Fixpunkt ist dann eindeutig, wenn det(b(θ I denn dann besitzt (B(θ Ix g(θ genau eine Lösung. Berechne also (( θ det + θ 3 θ + θ + θ + θ + θ (θ + θ 3 +θ 3 ( θ +θ+! θ + θ 3 ±( θ + θ + { 4θ 4 θ ± 4θ θ Also ist die Iteration konsistent für alle θ R \ {,, }. b Für welche θ R ist diese Iteration konvergent? Lösung: konvergent ρ(b(θ <. Berechne die Eigenwerte von B(θ: (! 4λ θ det(λi B(θ det θ θ θ θ θ 4λ θ θ (4λ (θ + θ + (θ θ 4λ (θ + θ + ± (θ θ λ θ +, λ θ also ρ(b(θ < < λ, λ < < θ <. c Bestimme das optimale θ R. Lösung: ρ(b(θ max( θ +, θ ist minimal für θ θ +. Da < θ < folgt θ θ + θ θ θ ± 3 θ opt Gegeben ist das lineare Gleichungssystem Ax b mit 3 A 8 3, b. 4 a Bestimme die LR-Zerlegung von A (ohne Pivot-Strategie und löse damit das obige System. Lösung:
4 L 4, R 3 3 y L b 4, x R y 3 3 b Führe ausgehend vom Startvektor x ( (,, jeweils einen Schritt des Jacobi- und des Gauss-Seidel Verfahrens durch. Lösung: i Jacobi: x ( / / 4 / 8 / 8 / 3 /3 ii Gauss-Seidel: 8 4 x ( / 4 /3 4. a Die Gauss-Seidel Iteration kann wie folgt geschrieben werden: x (k+ B GS x (k + f, mit B GS (D + L U, f (D + L b. Die Iterationsmatrix berechnet man wie oben angegeben: ( ( ( a b a,d b B GS a c d bc ad Die Eigenwerte der Iterationsmatrix sind also und bc ad. Also ist eine Bedingung für Konvergenz des Gauss-Seidel-Verfahrens, dass bc < ad. b Das SOR-Verfahren hat folgende Form (Es gilt jetzt U L : x (k+ B SOR (ωx (k + f(ω, mit B SOR (ω (D + ωl (( ωd ωl, f(ω ω(d + ωl b. 4
5 c Es gilt also B SOR (ω ( ( ( ( ω ω ω ω ω 3 3( ω 3 ω( ω ω + 3 ω Das SOR-Verfahren konvergiert für alle < ω < wenn die Matrix A SPD ist. Also berechnen wir die Eigenwerte von A: Das charakteristische Polynom von A ist λ λ + mit Wurzeln ± 4 ± 7. Diese sind sicher beide grösser als Null, also konvergiert SOR für alle < ω <. ω. B SOR (. Damit ist dann ( ( / 6/ 3/, f(ω 4/ / / ( 4/ x ( B SOR (.x ( + f(. / ( x ( B SOR (.x (.3 + f( a Die Iterationsmatrix B J ω ist gegeben durch B J ω ωbj + ( ωi mit B J D (L + U Also berechnet sich die Matrix zu ( ( ( B J ω ω + ( ω 4 ( ω ω ω ω b Die Matrix A hat die Eigenwerte 3 ±, also ist die Matrix positiv definit. Nach Theorem des Skripts konvergiert das JOR-Verfahren für A SPD genau dann, wenn < ω < ρ(d A Also muss man den letzten Ausdruck berechnen: ( D A mit Eigenwerten ±. Also konvergiert das JOR-Verfahren, wenn < ω < +.76
6 c Die Konvergenzgeschwindigkeit ist durch den Spektralradius der Iterationsmatrix gegeben. Das heisst, wir müssen die Eigenwerte von B J ω berechnen. λ, (ω ω ± ω ( Das sind zwei Geraden mit Steigungen und +. Der Spektralradius ist da am kleinsten, wo sich die Gerade ω+ ω mit der gespiegelten Gerade + ω + ω schneidet. Das ist bei ω, also finden wir das Jacobi-Verfahren. d Die Iterationsmatrix wurde schon in (a berechnet. Also brauchen wir noch den Vektor f. Damit gilt ( ( f ωd b.8 4 ( ( x ( B J ωx ( + f 4 ( ( x ( B J ω x( + f 4 ( 4 ( 4 + ( 4 + ( ( function x mysor(a,b,w % Funktion: mysor.m % Autor: M. Baden % Berechnet die L?sung des linearen Gleichungssystem Ax b mithilfe des % SOR-Verfahrens. Inputs sollen nur A, b und w sein. Deswegen wird der % Startvektor x im Programm festgelegt. % % Input: % A: Systemmatrix % b: Vektor % w: Relaxationsparameter n length(b; % Setze Startvektor auf (,..., x zeros(n,; % Definiere Toleranz und maxit f?r Abbruchkriterium eps ^(-; maxit; % Definiere Laufvariable f?r Z?hlen der Iterationen m; D diag(diag(a; L tril(a - D; R triu(a - D; 6
7 B inv(d+w.*l * ((-w.*d - w.*r; f w.*inv(d+w.*l*b; while true m m+; x_old x; x B*x + f; if norm(x-x_old, < eps break; elseif m+ maxit disp( Max. Iterationen vor gew?nschter Genauigkeit erreicht end end 7
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