Mathematik Schwerpunkt Teil 2

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1 BBZ Biel-Bienne Eine Institution des Kantons Bern CFP Biel-Bienne Une institution du canton de Berne Berufsmaturität Maturité professionnelle Berufsbildungszentrum Mediamatiker Médiamaticiens Centre de formation professionnelle BM Abschlussprüfung 07 TALS Mathematik Schwerpunkt Teil Prüfungsdauer: 90 Minuten, mit Hilfsmittel - Formelsammlung (Fundamentum, ohne zusätzliche Blätter) - Grafikfähiger Taschenrechner CAS im Prüfungsmodus (zurückgesetzt) - Geometriewerkzeug Vorname: Klasse: - Alle Aufgaben müssen direkt auf das Aufgabenblatt gelöst werden - Falls mehr Platz benötigt wird, verwenden Sie die Rückseite oder ein Zusatzblatt - Alle Blätter müssen mit Name und Klasse (Zusatzblätter: Aufgabennummer) beschriftet sein - Der Lösungsweg muss klar ersichtlich und sauber dargestellt sein - Alle Lösungen müssen, falls möglich, eakt angegeben werden - Numerische Lösungen auf vier signifikante Stellen runden - Nicht mit Bleistift schreiben Jede korrekt gelöste Aufgabe aus den Prüfungsteilen und zählt 4 Punkte. Jeder Prüfungsteil umfasst 6 Aufgaben. Total Punktzahl: 48; 4 Punkte ergibt die Note 6 Gesamtnote: Unterschriften:

2 BM Mathematik TALS Schwerpunktprüfung_7_Teil Seite: /8 Aufgabe : a) Eine Firma möchte eine zylinderförmige Dose mit Deckel und 0 ml Volumen auf den Markt bringen. Sie soll mit möglichst kleinem Materialaufwand hergestellt werden. Bestimmen Sie die Funktionsgleichung der Oberfläche (Wand, Boden und Deckel) der Dose in Abhängigkeit des Radius der Dose. b) Skizzieren Sie den Graphen der Funktion. c) Bestimmen Sie die Abmessungen der Dose. 700 O berfläche S(r) Radius r Lösung Aufgabe : HugCa a) b) V = π r & h = 0 ml = 0cm. h = / π r A = π r h + π r & = π r Rechnerbild V + π 4 5 r& = π 4 r& 8 P 700 y P c) lokales Minimum bei r =.74 cm ; h = 7.5 cm P S_TALS_7_T_Lö.doc

3 BM Mathematik TALS Schwerpunktprüfung_7_Teil Seite: /8 Aufgabe : Der Graph einer Polynomfunktion.Grades hat die Nullstellen bei =, = und = und geht durch den Punkt P (-;8). a) Bestimmen Sie die Funktionsgleichung dieser Polynomfunktion. b) Berechnen Sie den y - Achsenabschnitt. c) Zeichnen Sie den Graph der Funktion. Lösung : MoeBe a) Mit Gleichungssystem P a( -) a( -) + b( -) + c( -) + d = 0 solve a() + b() + c() + d = 0 a( -) + b( -) + b( -) + c( -) + d = 0 + c( -) + d = 8 a = ;b = ;c =;d = Oder: f ( ) = a( + )( + )( -) f (-) = a( -)(-)(-4) = 8 a = - f ( ) = oder f ( ) = -( + )( + )( -) b) Ordinatenschnittpunkt (0;) P c) Zeichnung P S_TALS_7_T_Lö.doc

4 BM Mathematik TALS Schwerpunktprüfung_7_Teil Seite: 4/8 Aufgabe : Gegeben sind drei Funktionsgleichungen f (), f () und f (): - f ( ) = ( + ) ( ) = -( -). 5-4 f f ( ) = a) Ordnen Sie die Funktionsgleichungen den abgebildeten Graphen zu: Graph Graph Graph b) Geben Sie in jeder Graphik die korrekte Skalierung der und y - Achse an. - ( ) c) Berechnen Sie die Nullstellen der Funktion f ( ) = + eakt. - d) Beim Berechnen der Umkehrfunktion der Funktion f () gelten bestimmte Einschränkungen. Formulieren Sie diese. S_TALS_7_T_Lö.doc

5 BM Mathematik TALS Schwerpunktprüfung_7_Teil Seite: 5/8 Lösung Aufgabe : StuSi a) Graph : f. () Graph : f & () Graph : f K () Verschiedene Lösungswege/ Begründungen: Punktprobe, Symmetriebetrachtung, Verweise auf bekannte Formeln, Verlauf des Graphen für kleine, respektive grosse -Werte,... ð Korrekte Zuordnung, P b) 5 y c) f K () = 0: ( + ) M& = 0, ergibt als (eakte) Lösungen K = O Ḳ.58 und & = O Ḳ.4 ð Korrekt berechnete Nullstelle: je ½-Punkt = P - P d) Es ist jeweils nur ein Ast umkehrbar Mögliche Begründung: Die Eineindeutigkeit verlangt eine Einschränkung des Definitionsbereiches auf R + oder R -. ð Korrekte Antwort, inkl. Begründung: je ½-Punkt = P S_TALS_7_T_Lö.doc

6 BM Mathematik TALS Schwerpunktprüfung_7_Teil Seite: 6/8 Aufgabe 4: In einem Glasfaserkabel nimmt die ursprüngliche Lichtintensität mit zunehmender Länge eponentiell ab, so dass sie nach m immer noch die Hälfte der ursprünglichen Stärke aufweist. In gewöhnlichem Fensterglas ist die Lichtstärke schon nach 66 mm halbiert. a) Nach wie vielen Kilometern ist bei einem Glasfaserkabel nur noch ein Zehntel der ursprünglichen Lichtintensität vorhanden? b) Geben Sie die Funktionsgleichung, die die Lichtintensität I in Abhängigkeit der Faserlänge in Kilometern angibt, - in der Form l I( ) I e an. Berechnen Sie l. = 0 c) Wie viel Mal stärker müsste bei einem Fensterglas die ursprüngliche Lichtintensität im Vergleich zu einem Glasfaserkabel sein, so dass nach Meter die Lichtintensität gleich gross wäre? Lösung Aufgabe 4: BinCh a) 0, = 0,5 0 = 66, 49km P b) 0 0,5 - l = e l = 8, 859 I() = I 0 e 8,859.5P c) Glasfaser: 0,00 0 I(0, 00) = 0, 5 I(0, 00) = 0, ,066 Fensterglas: 0, = 0,5 = 695, 696 mal stärker.5p Bei 66 m statt mm (wie in der Prüfung) wird =.005 S_TALS_7_T_Lö.doc

7 BM Mathematik TALS Schwerpunktprüfung_7_Teil Seite: 7/8 Aufgabe 5: Ein Designer hat eine Lampe aus Glas in Form einer abgeschnittenen Kugel entworfen. Der Durchmesser der Lampe beträgt 40 cm und der Durchmesser des Sockels 0 cm. a) Berechnen Sie die Höhe des Glaskörpers der Lampe. b) Berechnen Sie die äussere Glasoberfläche der Lampe. c) Welchen Durchmesser hat die kleine Version der Lampe (geometrisch ähnlich, dieselbe Proportion), welche das halbe Volumen der Grossen hat. Lösung Aufgabe 5: MoeBe a) h = = 7. cm P b) Oberfläche der Kugel minus Oberfläche der Kalotte. O = p = 4p cm P c) Zentrische Streckung für k = k = = Durchmesser kleine Version k 40cm =.748cm P S_TALS_7_T_Lö.doc

8 BM Mathematik TALS Schwerpunktprüfung_7_Teil Seite: 8/8 Aufgabe 6 Gegeben ist eine gerade Pyramide mit quadratischer Grundfläche und den Koordinaten der Eckpunkte A:(0;0;0) ; B:(6;8;0); C:(-;4;0); D:(;y;z) der Grundfläche. Die Pyramidenhöhe beträgt 5. a) Berechnen Sie die Koordinaten des Eckpunktes D. b) Berechnen Sie das Volumen der Pyramide. c) Berechnen Sie die Mantelfläche der Pyramide. Lösung 6: BinCh a) D = ( 8; 6; 0) P b) c) æ6ö AB = ç8 AB = 0 è0ø Mittelpunkt AC (-;7;0 ) Pyramidenhöhe: Volumen: V = = 500RE æ ö SA = ç- 7 è-5ø æ7 ö SB = ç è-5ø Fläche 00FE P ÐASB = cos (- 7) + (-5)(- 5) (- 7) + (-5) (- 5 ) = cos = 5,0968 ( 5,0968 ) S = sin = 6. FE Oder: S = = 6. FE P S_TALS_7_T_Lö.doc