Theoretische Informatik I
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- Erich Christoph Kaufman
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1 Theoretische Informatik I Einheit 2 Endliche Automaten & Reguläre Sprachen. Deterministische endliche Automaten 2. Nichtdeterministische Automaten 3. Reguläre Ausdrücke 4. Grammatiken 5. Eigenschaften regulärer Sprachen
2 Automaten: das einfachste Maschinenmodell Betrachtung von außen Eingabe Black Box Ausgabe Sichtweisen von Computern THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN
3 Automaten: das einfachste Maschinenmodell Abstrakte Maschinenarchitektur Speicher Eingabe Prozessor Ausgabe Sichtweisen von Computern THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN
4 Automaten: das einfachste Maschinenmodell Details des Berechnungsmoduls Speicher Eingabe Programm Prozessor Ausgabe Interner Zustand Sichtweisen von Computern THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN
5 Automaten: das einfachste Maschinenmodell Aus der Sicht des Berechnungsmoduls Externer Speicher Eingabe Programm Automat Interner Zustand Ausgabe Sichtweisen von Computern Automaten stehen im Kern jeder Berechnung Schnelle, direkte Verarbeitung von Eingaben Keine interne Speicherung von Daten Speicher sind Teil der Umgebung THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN
6 Automaten: das einfachste Maschinenmodell Externer Speicher Eingabe Programm Automat Interner Zustand Ausgabe Sichtweisen von Computern Automaten stehen im Kern jeder Berechnung Schnelle, direkte Verarbeitung von Eingaben Keine interne Speicherung von Daten Speicher sind Teil der Umgebung Endliche Automaten sind leicht zu analysieren Jede Berechnung endet nach einer festen Anzahl von Schritten Keine Schleifen oder Seiteneffekte THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN
7 Verwendungszwecke für endliche Automaten Basismodell für viele Arten von Hard- & Software Steuerungsautomaten Alle Formen rein Hardware-gesteuerter automatischer Maschinen Waschmaschinen, Autos, Unterhaltungselektronik, Ampelanlagen, Computerprozessoren Entwurf und Überprüfung digitaler Schaltungen Entwicklungswerkzeuge & Testsoftware beschreiben endliches Verhalten Lexikalische Analyse in Compilern Schnelle Identifizierung von Bezeichnern, Schlüsselwörtern,... Textsuche in umfangreichen Dokumenten Z.B. Suche nach Webseiten mithilfe von Schlüsselwörtern Software mit endlichen Alternativen Kommunikationsprotokolle, Protokolle zum sicheren Datenaustausch... THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 2 ENDLICHE AUTOMATEN
8 Automaten beschreiben Sprachen Generierte Sprache Menge aller möglichen Ausgaben des Automaten THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 3 ENDLICHE AUTOMATEN
9 Automaten beschreiben Sprachen Generierte Sprache Menge aller möglichen Ausgaben des Automaten Erkannte Sprache Menge aller Eingaben, die zur Ausgabe ja führen Alternativ: letzter Zustand des Automaten muß ein Endzustand sein THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 3 ENDLICHE AUTOMATEN
10 Automaten beschreiben Sprachen Generierte Sprache Menge aller möglichen Ausgaben des Automaten Erkannte Sprache Menge aller Eingaben, die zur Ausgabe ja führen Alternativ: letzter Zustand des Automaten muß ein Endzustand sein Sprachen endlicher Automaten sind einfach Nur sehr einfach strukturierte Sprachen können beschrieben werden Durch endliche Automaten beschreibbare Sprachen heißen regulär THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 3 ENDLICHE AUTOMATEN
11 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
12 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern z.b. Wechselschalter: Verarbeitung von Drück -Eingaben aus ein Zustände: aus, ein THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
13 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern z.b. Wechselschalter: Verarbeitung von Drück -Eingaben aus ein Zustände: aus, ein zustand: aus THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
14 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern z.b. Wechselschalter: Verarbeitung von Drück -Eingaben aus Drücken Zustände: aus, ein zustand: aus Eingabesymbol: Drücken ein THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
15 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern z.b. Wechselschalter: Verarbeitung von Drück -Eingaben aus Drücken Drücken Zustände: aus, ein zustand: aus Eingabesymbol: Drücken ein THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
16 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern z.b. Wechselschalter: Verarbeitung von Drück -Eingaben aus Drücken Drücken ein Zustände: aus, ein zustand: aus Endzustand: ein Eingabesymbol: Drücken Endzustand wird erreicht bei ungerader Anzahl von Drücken THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
17 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern z.b. Wechselschalter: Verarbeitung von Drück -Eingaben aus Drücken Drücken ein Zustände: aus, ein zustand: aus Endzustand: ein Eingabesymbol: Drücken Endzustand wird erreicht bei ungerader Anzahl von Drücken Mathematische Mengennotation z.b.: {Drücken 2i+ i N} oder {w {Drücken} i N. w = 2i+} THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
18 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern z.b. Wechselschalter: Verarbeitung von Drück -Eingaben aus Drücken Drücken ein Zustände: aus, ein zustand: aus Endzustand: ein Eingabesymbol: Drücken Endzustand wird erreicht bei ungerader Anzahl von Drücken Mathematische Mengennotation z.b.: {Drücken 2i+ i N} oder {w {Drücken} i N. w = 2i+} Reguläre Ausdrücke: algebraische Strukturen z.b.: (DrückenDrücken) Drücken THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
19 Modelle zur Beschreibung regulärer Sprachen Automaten: erkennen von Wörtern z.b. Wechselschalter: Verarbeitung von Drück -Eingaben aus Drücken Drücken ein Zustände: aus, ein zustand: aus Endzustand: ein Eingabesymbol: Drücken Endzustand wird erreicht bei ungerader Anzahl von Drücken Mathematische Mengennotation z.b.: {Drücken 2i+ i N} oder {w {Drücken} i N. w = 2i+} Reguläre Ausdrücke: algebraische Strukturen z.b.: (DrückenDrücken) Drücken Grammatiken: Vorschriften für Spracherzeugung z.b.: S Drücken, S SDrückenDrücken Erzeugt nur ungerade Anzahl von Drücken-Symbolen THEORETISCHE INFORMATIK I 2: 4 ENDLICHE AUTOMATEN
20 Theoretische Informatik I Einheit 2. Deterministische Endliche Automaten. Arbeitsweise 2. Akzeptierte Sprache 3. Entwurf und Analyse 4. Automaten mit Ausgabe
21 Erkennung von Wörtern mit Automaten T TI TI- Endliche Anzahl von Zuständen Ein zustand THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
22 Erkennung von Wörtern mit Automaten nicht T T alles T nicht T, I T I T TI TI- nicht T, Endliche Anzahl von Zuständen Ein zustand Regeln für Zustandsübergänge Eingabealphabet: {A,..,Z,a,..,z,,?,!,..} THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
23 Erkennung von Wörtern mit Automaten nicht T T alles T nicht T, I T I T TI TI- nicht T, Endliche Anzahl von Zuständen Ein zustand Regeln für Zustandsübergänge Eingabealphabet: {A,..,Z,a,..,z,,?,!,..} Ein oder mehrere akzeptierende Endzustände THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
24 Endliche Automaten mathematisch präzisiert nicht T T alles T nicht T, I T I T TI TI- nicht T, Ein Deterministischer Endlicher Automat (DEA) ist ein 5-Tupel A = (Q, Σ, δ, q, F ) mit Q nichtleere endliche Zustandsmenge Σ (endliches) Eingabealphabet δ:q Σ Q Zustandsüberführungsfunktion q Q zustand F Q Menge von akzeptierenden Zuständen (Anfangszustand) (Endzustände) (Finale Zustände) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
25 Beschreibung von Endlichen Automaten Übergangsdiagramm nicht T T nicht T, I T T I T TI alles TI- nicht T, Jeder Zustand in Q wird durch einen Knoten (Kreise) dargestellt Ist δ(q,a) = p, so verläuft eine Kante von q nach p mit Beschriftung a (mehrere Beschriftungen derselben Kante möglich) q wird durch einen mit beschrifteten Pfeil angezeigt Endzustände in F werden durch doppelte Kreise gekennzeichnet Σ meist implizit durch Diagramm bestimmt THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 3 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
26 Beschreibung von Endlichen Automaten Übergangsdiagramm nicht T T nicht T, I T T I T TI alles TI- nicht T, Jeder Zustand in Q wird durch einen Knoten (Kreise) dargestellt Ist δ(q,a) = p, so verläuft eine Kante von q nach p mit Beschriftung a (mehrere Beschriftungen derselben Kante möglich) q wird durch einen mit beschrifteten Pfeil angezeigt Endzustände in F werden durch doppelte Kreise gekennzeichnet Σ meist implizit durch Diagramm bestimmt Übergangstabelle T I sonst Tabellarische Darstellung der Funktion δ Kennzeichnung von q durch einen Pfeil Kennzeichnung von F durch Sterne Σ und Q meist implizit durch Tabelle bestimmt S T S S S T T I S S I T S S * THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 3 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
27 Arbeitsweise von Endlichen Automaten T TI TI- Anfangssituation Automat befindet sich im zustand q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 4 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
28 Arbeitsweise von Endlichen Automaten nicht T T T TI TI- Anfangssituation Automat befindet sich im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 4 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
29 Arbeitsweise von Endlichen Automaten nicht T T T nicht T, I T I TI TI- Anfangssituation Automat befindet sich im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 4 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
30 Arbeitsweise von Endlichen Automaten nicht T T alles T nicht T, I T I T TI TI- nicht T, Anfangssituation Automat befindet sich im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 4 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
31 Arbeitsweise von Endlichen Automaten nicht T T alles T nicht T, I T I T TI TI- nicht T, Anfangssituation Automat befindet sich im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p Terminierung Eingabewort w = a..a n ist komplett gelesen, Automat im Zustand q n THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 4 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
32 Arbeitsweise von Endlichen Automaten nicht T T alles T nicht T, I T I T TI TI- nicht T, Anfangssituation Automat befindet sich im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p Terminierung Eingabewort w = a..a n ist komplett gelesen, Automat im Zustand q n Ergebnis Eingabewort w wird akzeptiert, wenn q n F, sonst wird w abgewiesen THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 4 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
33 Arbeitsweise von DEAs mathematisch präzisiert Erweiterte Überführungsfunktion ˆδ :Q Σ Q Schrittweise Abarbeitung der Eingabe mit δ von links nach rechts Informal: ˆδ(q, w w 2...w n ) = δ(...(δ(δ(q, w ),w 2 ),...),w n ) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
34 Arbeitsweise von DEAs mathematisch präzisiert Erweiterte Überführungsfunktion ˆδ :Q Σ Q Schrittweise Abarbeitung der Eingabe mit δ von links nach rechts Informal: ˆδ(q, w w 2...w n ) = δ(...(δ(δ(q, w ),w 2 ),...),w n ) Mathematisch präzise Beschreibung benötigt induktive Definition ˆδ(q, w) = { q falls w=ǫ, δ(ˆδ(q,v),a) falls w=v a für ein v Σ, a Σ THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
35 Arbeitsweise von DEAs mathematisch präzisiert Erweiterte Überführungsfunktion ˆδ :Q Σ Q Schrittweise Abarbeitung der Eingabe mit δ von links nach rechts Informal: ˆδ(q, w w 2...w n ) = δ(...(δ(δ(q, w ),w 2 ),...),w n ) Mathematisch präzise Beschreibung benötigt induktive Definition ˆδ(q, w) = { q falls w=ǫ, Von A akzeptierte Sprache δ(ˆδ(q,v),a) falls w=v a für ein v Σ, a Σ Menge der Eingabewörter w, für die ˆδ(q, w) akzeptierender Zustand ist L(A) = {w Σ ˆδ(q, w) F} Auch: die von A erkannte Sprache THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
36 Arbeitsweise von DEAs mathematisch präzisiert Erweiterte Überführungsfunktion ˆδ :Q Σ Q Schrittweise Abarbeitung der Eingabe mit δ von links nach rechts Informal: ˆδ(q, w w 2...w n ) = δ(...(δ(δ(q, w ),w 2 ),...),w n ) Mathematisch präzise Beschreibung benötigt induktive Definition ˆδ(q, w) = { q falls w=ǫ, Von A akzeptierte Sprache δ(ˆδ(q,v),a) falls w=v a für ein v Σ, a Σ Menge der Eingabewörter w, für die ˆδ(q, w) akzeptierender Zustand ist L(A) = {w Σ ˆδ(q, w) F} Auch: die von A erkannte Sprache Reguläre Sprache Sprache, die von einem DEA A akzeptiert wird THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
37 Analyse der Sprache des Wechselschalters aus Drücken Drücken ein Sprache: Eingaben, für die Automat eingeschaltet ist Teilmenge der Wörter über dem Alphabet Σ = {Drücken} THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 6 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
38 Analyse der Sprache des Wechselschalters aus Drücken Drücken ein Sprache: Eingaben, für die Automat eingeschaltet ist Teilmenge der Wörter über dem Alphabet Σ = {Drücken} Automat A ist ein Wechselschalter Zwei Eigenschaften sind zu zeigen: S (n): Ist n gerade, so ist ˆδ(aus,Drücken n ) = ein S 2 (n): Ist n ungerade, so ist ˆδ(aus,Drücken n ) = aus Beweis durch simultane Induktion (vgl. Einheit, Folie ) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 6 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
39 Analyse der Sprache des Wechselschalters aus Drücken Drücken ein Sprache: Eingaben, für die Automat eingeschaltet ist Teilmenge der Wörter über dem Alphabet Σ = {Drücken} Automat A ist ein Wechselschalter Zwei Eigenschaften sind zu zeigen: S (n): Ist n gerade, so ist ˆδ(aus,Drücken n ) = ein S 2 (n): Ist n ungerade, so ist ˆδ(aus,Drücken n ) = aus Beweis durch simultane Induktion (vgl. Einheit, Folie ) Formale Beschreibung der Sprache von A L(A) = {w Drücken ˆδ(aus,w) {ein} } = {Drücken 2i+ i N} THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 6 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
40 Entwurf und Analyse endlicher Automaten Entwerfe Automaten für L = {uv u, v {, } } THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 7 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
41 Entwurf und Analyse endlicher Automaten Entwerfe Automaten für L = {uv u, v {, } } Drei Zustände sind erforderlich Zustand q : A hat noch keine gelesen i bleibt in q Zustand q : A hat eine aber noch keine gelesen i j+ bleibt in q Zustand q 2 : A hat eine Zeichenkette gelesen i j v bleibt in q 2 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 7 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
42 Entwurf und Analyse endlicher Automaten Entwerfe Automaten für L = {uv u, v {, } } Drei Zustände sind erforderlich Zustand q : A hat noch keine gelesen i bleibt in q Zustand q : A hat eine aber noch keine gelesen i j+ bleibt in q Zustand q 2 : A hat eine Zeichenkette gelesen i j v bleibt in q 2 Zustandsübergänge erhalten Bedeutung Zustand q : Mit bleibe in q, sonst wechsele nach q Zustand q : Mit bleibe in q, sonst wechsele nach q 2 Zustand q 2 : Bleibe bei jeder Eingabe in q 2, Endzustand THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 7 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
43 Entwurf und Analyse endlicher Automaten Entwerfe Automaten für L = {uv u, v {, } } Drei Zustände sind erforderlich Zustand q : A hat noch keine gelesen i bleibt in q Zustand q : A hat eine aber noch keine gelesen i j+ bleibt in q Zustand q 2 : A hat eine Zeichenkette gelesen i j v bleibt in q 2 Zustandsübergänge erhalten Bedeutung Zustand q : Mit bleibe in q, sonst wechsele nach q Zustand q : Mit bleibe in q, sonst wechsele nach q 2 Zustand q 2 : Bleibe bei jeder Eingabe in q 2, Endzustand Zugehöriger DEA mit Alphabet Σ = {, }, q q q 2 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 7 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
44 q q, q 2 Zeige L(A) = L = {uv u,v {, } } Zeige durch strukturelle Induktion über w: ˆδ(q, w) = q es gibt ein i N mit w = i THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
45 q q, q 2 Zeige L(A) = L = {uv u,v {, } } Zeige durch strukturelle Induktion über w: ˆδ(q, w) = q es gibt ein i N mit w = i Basisfall w = ǫ: Per Definition ist ˆδ(q, ǫ) = q und w = i für i = THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
46 q q, q 2 Zeige L(A) = L = {uv u,v {, } } Zeige durch strukturelle Induktion über w: ˆδ(q, w) = q es gibt ein i N mit w = i Basisfall w = ǫ: Per Definition ist ˆδ(q, ǫ) = q und w = i für i = Schrittfall w = ua für ein u Σ, a Σ: Es gelte ˆδ(q, w) = q. Dann ist ˆδ(q, u) = q und δ(q,a) = q. Es folgt a = und per Annahme u = i für ein i, also w = i+. Es gelte w = i. Dann ist a = und u = i. Mit der Induktionsannahme folgt ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q, u),a) = δ(q, a) = q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
47 q q, q 2 Zeige L(A) = L = {uv u,v {, } } Zeige durch strukturelle Induktion über w: ˆδ(q, w) = q es gibt ein i N mit w = i Basisfall w = ǫ: Per Definition ist ˆδ(q, ǫ) = q und w = i für i = Schrittfall w = ua für ein u Σ, a Σ: Es gelte ˆδ(q, w) = q. Dann ist ˆδ(q, u) = q und δ(q,a) = q. Es folgt a = und per Annahme u = i für ein i, also w = i+. Es gelte w = i. Dann ist a = und u = i. Mit der Induktionsannahme folgt ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q, u),a) = δ(q, a) = q ˆδ(q, w) = q es gibt i, j N mit w = i j+ analog ˆδ(q, w) = q 2 es gibt i, j N, v Σ mit w = i j+ v THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
48 q q, q 2 Zeige L(A) = L = {uv u,v {, } } Zeige durch strukturelle Induktion über w: ˆδ(q, w) = q es gibt ein i N mit w = i Basisfall w = ǫ: Per Definition ist ˆδ(q, ǫ) = q und w = i für i = Schrittfall w = ua für ein u Σ, a Σ: Es gelte ˆδ(q, w) = q. Dann ist ˆδ(q, u) = q und δ(q,a) = q. Es folgt a = und per Annahme u = i für ein i, also w = i+. Es gelte w = i. Dann ist a = und u = i. Mit der Induktionsannahme folgt ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q, u),a) = δ(q, a) = q ˆδ(q, w) = q es gibt i, j N mit w = i j+ analog ˆδ(q, w) = q 2 es gibt i, j N, v Σ mit w = i j+ v Zeige: w L es gibt i, j N, v Σ mit w = i j v Für w L gibt es u,v Σ mit w = uv Wenn u nicht die Form i j hat, dann folgt in u eine auf eine. Das erste solche Vorkommen von liefert die gewünschte Zerlegung THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
49 q q, q 2 Zeige L(A) = L = {uv u,v {, } } Zeige durch strukturelle Induktion über w: ˆδ(q, w) = q es gibt ein i N mit w = i Basisfall w = ǫ: Per Definition ist ˆδ(q, ǫ) = q und w = i für i = Schrittfall w = ua für ein u Σ, a Σ: Es gelte ˆδ(q, w) = q. Dann ist ˆδ(q, u) = q und δ(q,a) = q. Es folgt a = und per Annahme u = i für ein i, also w = i+. Es gelte w = i. Dann ist a = und u = i. Mit der Induktionsannahme folgt ˆδ(q,w) = δ(ˆδ(q, u),a) = δ(q, a) = q ˆδ(q, w) = q es gibt i, j N mit w = i j+ analog ˆδ(q, w) = q 2 es gibt i, j N, v Σ mit w = i j+ v Zeige: w L es gibt i, j N, v Σ mit w = i j v Für w L gibt es u,v Σ mit w = uv Wenn u nicht die Form i j hat, dann folgt in u eine auf eine. Das erste solche Vorkommen von liefert die gewünschte Zerlegung Es folgt w L ˆδ(q, w) = q 2 F w L(A) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
50 ALTERNATIVE BESCHREIBUNG DER ARBEITSWEISE VON DEAS Konfiguration: Gesamtzustand von Automaten Mehr als q Q: auch die noch unverarbeitete Eingabe zählt Formal dargestellt als Tupel K = (q,w) Q Σ THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 9 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
51 ALTERNATIVE BESCHREIBUNG DER ARBEITSWEISE VON DEAS Konfiguration: Gesamtzustand von Automaten Mehr als q Q: auch die noch unverarbeitete Eingabe zählt Formal dargestellt als Tupel K = (q,w) Q Σ Konfigurationsübergangsrelation Wechsel zwischen Konfigurationen durch Abarbeitung von Wörtern (q,aw) (p,w), falls δ(q, a) = p K K 2, falls K = K 2 oder es gibt eine Konfiguration K mit K K und K K 2 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 9 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
52 ALTERNATIVE BESCHREIBUNG DER ARBEITSWEISE VON DEAS Konfiguration: Gesamtzustand von Automaten Mehr als q Q: auch die noch unverarbeitete Eingabe zählt Formal dargestellt als Tupel K = (q,w) Q Σ Konfigurationsübergangsrelation Wechsel zwischen Konfigurationen durch Abarbeitung von Wörtern (q,aw) (p,w), falls δ(q, a) = p K K 2, falls K = K 2 oder es gibt eine Konfiguration K mit K K und K K 2 Akzeptierte Sprache Menge der Eingaben, für die zu akzeptierendem Zustand führt L(A) = {w Σ p F. (q, w) (p,ǫ)} THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 9 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
53 ALTERNATIVE BESCHREIBUNG DER ARBEITSWEISE VON DEAS Konfiguration: Gesamtzustand von Automaten Mehr als q Q: auch die noch unverarbeitete Eingabe zählt Formal dargestellt als Tupel K = (q,w) Q Σ Konfigurationsübergangsrelation Wechsel zwischen Konfigurationen durch Abarbeitung von Wörtern (q,aw) (p,w), falls δ(q, a) = p K K 2, falls K = K 2 oder es gibt eine Konfiguration K mit K K und K K 2 Akzeptierte Sprache Menge der Eingaben, für die zu akzeptierendem Zustand führt L(A) = {w Σ p F. (q, w) (p,ǫ)} Für DEAs weniger intuitiv, aber leichter zu verallgemeinern THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 9 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
54 DEA für L = {w {, } w enthält gerade Anzahl von und } Codiere Anzahl der gelesener / im Zustand q ˆ= (gerade,gerade) q ˆ= (gerade,ungerade) q 2 ˆ= (ungerade,gerade) q 3 ˆ= (ungerade,ungerade) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
55 DEA für L = {w {, } w enthält gerade Anzahl von und } Codiere Anzahl der gelesener / im Zustand q ˆ= (gerade,gerade) q ˆ= (gerade,ungerade) q 2 ˆ= (ungerade,gerade) q 3 ˆ= (ungerade,ungerade) q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
56 DEA für L = {w {, } w enthält gerade Anzahl von und } Codiere Anzahl der gelesener / im Zustand q ˆ= (gerade,gerade) q ˆ= (gerade,ungerade) q 2 ˆ= (ungerade,gerade) q 3 ˆ= (ungerade,ungerade) q q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
57 DEA für L = {w {, } w enthält gerade Anzahl von und } Codiere Anzahl der gelesener / im Zustand q ˆ= (gerade,gerade) q ˆ= (gerade,ungerade) q 2 ˆ= (ungerade,gerade) q 3 ˆ= (ungerade,ungerade) q q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
58 DEA für L = {w {, } w enthält gerade Anzahl von und } Codiere Anzahl der gelesener / im Zustand q ˆ= (gerade,gerade) q ˆ= (gerade,ungerade) q 2 ˆ= (ungerade,gerade) q 3 ˆ= (ungerade,ungerade) q q q 2 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
59 DEA für L = {w {, } w enthält gerade Anzahl von und } Codiere Anzahl der gelesener / im Zustand q ˆ= (gerade,gerade) q ˆ= (gerade,ungerade) q 2 ˆ= (ungerade,gerade) q 3 ˆ= (ungerade,ungerade) q q q 2 q 3 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
60 DEA für L = {w {, } w enthält gerade Anzahl von und } Codiere Anzahl der gelesener / im Zustand q ˆ= (gerade,gerade) q ˆ= (gerade,ungerade) q 2 ˆ= (ungerade,gerade) q 3 ˆ= (ungerade,ungerade) q q q 2 q 3 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
61 DEA für L = {w {, } w enthält gerade Anzahl von und } Codiere Anzahl der gelesener / im Zustand q ˆ= (gerade,gerade) q ˆ= (gerade,ungerade) q 2 ˆ= (ungerade,gerade) q 3 ˆ= (ungerade,ungerade) q q q 2 q 3 Korrektheit: gegenseitige strukturelle Induktion THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
62 Korrektheitsbeweis mit Konfigurationen Zeige simultan für alle Wörter w, v {, } : () (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und g (w) (2) (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und u (w) (3) (q, w v) (q 2, v) es gilt u (w) und g (w) (4) (q, w v) (q 3, v) es gilt u (w) und u (w) g (w) ˆ= w hat gerade Anzahl von Nullen, u (w) ˆ= w hat ungerade Anza hl von Nullen,... THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
63 Korrektheitsbeweis mit Konfigurationen Zeige simultan für alle Wörter w, v {, } : () (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und g (w) (2) (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und u (w) (3) (q, w v) (q 2, v) es gilt u (w) und g (w) (4) (q, w v) (q 3, v) es gilt u (w) und u (w) g (w) ˆ= w hat gerade Anzahl von Nullen, u (w) ˆ= w hat ungerade Anza hl von Nullen,... Basisfall w = ǫ: Per Definition gilt (q,v) (q,v) und g (w) und g (w) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
64 Korrektheitsbeweis mit Konfigurationen Zeige simultan für alle Wörter w, v {, } : () (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und g (w) (2) (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und u (w) (3) (q, w v) (q 2, v) es gilt u (w) und g (w) (4) (q, w v) (q 3, v) es gilt u (w) und u (w) g (w) ˆ= w hat gerade Anzahl von Nullen, u (w) ˆ= w hat ungerade Anza hl von Nullen,... Basisfall w = ǫ: Per Definition gilt (q,v) (q,v) und g (w) und g (w) Schrittfall w = ua für ein u Σ, a Σ: () Es gelte (q,w v) (q, v). Dann gilt (q,uav) (p,av) (q,v) für einen Zustand p. THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
65 Korrektheitsbeweis mit Konfigurationen Zeige simultan für alle Wörter w, v {, } : () (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und g (w) (2) (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und u (w) (3) (q, w v) (q 2, v) es gilt u (w) und g (w) (4) (q, w v) (q 3, v) es gilt u (w) und u (w) g (w) ˆ= w hat gerade Anzahl von Nullen, u (w) ˆ= w hat ungerade Anza hl von Nullen,... Basisfall w = ǫ: Per Definition gilt (q,v) (q,v) und g (w) und g (w) Schrittfall w = ua für ein u Σ, a Σ: () Es gelte (q,w v) (q, v). Dann gilt (q,uav) (p,av) (q,v) für einen Zustand p. Falls a =, dann ist p = q 2 und nach (3) folgt u (u) und g (u). Für w = ua folgt somit g (w) und g (w). Fall a= analog. Gegenrichtung durch Umkehrung des Arguments. (2), (3), (4) analog. THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
66 Korrektheitsbeweis mit Konfigurationen Zeige simultan für alle Wörter w, v {, } : () (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und g (w) (2) (q, w v) (q, v) es gilt g (w) und u (w) (3) (q, w v) (q 2, v) es gilt u (w) und g (w) (4) (q, w v) (q 3, v) es gilt u (w) und u (w) g (w) ˆ= w hat gerade Anzahl von Nullen, u (w) ˆ= w hat ungerade Anza hl von Nullen,... Basisfall w = ǫ: Per Definition gilt (q,v) (q,v) und g (w) und g (w) Schrittfall w = ua für ein u Σ, a Σ: () Es gelte (q,w v) (q, v). Dann gilt (q,uav) (p,av) (q,v) für einen Zustand p. Falls a =, dann ist p = q 2 und nach (3) folgt u (u) und g (u). Für w = ua folgt somit g (w) und g (w). Fall a= analog. Gegenrichtung durch Umkehrung des Arguments. (2), (3), (4) analog. Es folgt w L(A) (q, w) (q, ǫ) g (w) und g (w) w L THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
67 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
68 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
69 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q q 2 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
70 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q q 2 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
71 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q q 2 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
72 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q q 2 5c Kaffeeautomat Akzeptiert,2,5c Münzen, gibt kein Geld zurück, mit Reset-Taste THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
73 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q q 2 5c Kaffeeautomat Akzeptiert,2,5c Münzen, gibt kein Geld zurück, mit Reset-Taste q q q 2 q 3 q 4,2,5 q5 2 5 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
74 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q q 2 5c Kaffeeautomat Akzeptiert,2,5c Münzen, gibt kein Geld zurück, mit Reset-Taste q 2 q 2 q 2 q q 4,2,5 q5 2 5 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
75 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q q 2 5c Kaffeeautomat Akzeptiert,2,5c Münzen, gibt kein Geld zurück, mit Reset-Taste q 2 q 2 q q 3 2 q 4,2,5 q5 2 5 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
76 Weitere Beispiele endlicher Automaten Erkenne Strings, die mit enden q q q 2 5c Kaffeeautomat Akzeptiert,2,5c Münzen, gibt kein Geld zurück, mit Reset-Taste q 2 q 2 q 2 5 reset 2 q 3 2 q 4,2,5 q5 2 5 THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 2 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
77 Endliche Automaten mit Ausgabefunktion 5c Kaffeeautomat mit Restbetragsanzeige q /4 2/3 q /3 2/2 q 2 5/ /2 reset/5 2/ q 3 2/ / q 4,2,5 Münzeinwurf führt zu Zustandsänderung und erzeugt Ausgabe q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 3 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
78 Endliche Automaten mit Ausgabefunktion 5c Kaffeeautomat mit Restbetragsanzeige q /4 2/3 q /3 2/2 q 2 5/ /2 reset/5 2/ q 3 2/ / q 4,2,5 Münzeinwurf führt zu Zustandsänderung und erzeugt Ausgabe q Formalisierungen von Automaten mit Ausgabe Mealy-Automaten: Ausgabefunktion abhängig von Eingabe & Zustand Moore-Automaten: Ausgabefunktion nur von Zustand abhängig Beide Modelle sind äquivalent THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 3 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
79 Mealy-Automaten mathematisch präzisiert 5/ q /4 2/3 q /3 2/2 q 2 /2 2/ reset/5 q 3 / 2/ q 4,2,5 q Ein Mealy-Automat ist ein 6-Tupel M = (Q, Σ,,δ,λ,q ) mit Q nichtleere endliche Zustandsmenge Σ (endliches) Eingabealphabet (endliches) Ausgabealphabet δ:q Σ Q Zustandsüberführungsfunktion λ:q Σ Ausgabefunktion q Q zustand THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 4 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
80 Arbeitsweise von Mealy-Automaten ANALOG ZU DEAS Anfangssituation: Automat im zustand q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
81 Arbeitsweise von Mealy-Automaten ANALOG ZU DEAS Anfangssituation: Automat im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p Bestimme x = λ(q,a) und gebe dieses Symbol aus THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
82 Arbeitsweise von Mealy-Automaten ANALOG ZU DEAS Anfangssituation: Automat im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p Bestimme x = λ(q,a) und gebe dieses Symbol aus Terminierung: Eingabewort w = a..a n ist komplett gelesen THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
83 Arbeitsweise von Mealy-Automaten ANALOG ZU DEAS Anfangssituation: Automat im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p Bestimme x = λ(q,a) und gebe dieses Symbol aus Terminierung: Eingabewort w = a..a n ist komplett gelesen Ausgabewort: Verkettung der ausgegebenen Symbole x..x n THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
84 Arbeitsweise von Mealy-Automaten ANALOG ZU DEAS Anfangssituation: Automat im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p Bestimme x = λ(q,a) und gebe dieses Symbol aus Terminierung: Eingabewort w = a..a n ist komplett gelesen Ausgabewort: Verkettung der ausgegebenen Symbole x..x n Erweiterte Ausgabefunktion ˆλ :Q Σ Schrittweise Erzeugung der Ausgabe mit Abarbeitung der Eingabe Formal: Induktive Definition { ǫ falls w=ǫ, ˆλ(q, w) = ˆλ(q, v) λ(ˆδ(q,v), a) falls w=v a für ein a Σ THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
85 Arbeitsweise von Mealy-Automaten ANALOG ZU DEAS Anfangssituation: Automat im zustand q Arbeitschritt Im Zustand q lese Eingabesymbol a, Bestimme δ(q,a)=p und wechsele in neuen Zustand p Bestimme x = λ(q,a) und gebe dieses Symbol aus Terminierung: Eingabewort w = a..a n ist komplett gelesen Ausgabewort: Verkettung der ausgegebenen Symbole x..x n Erweiterte Ausgabefunktion ˆλ :Q Σ Schrittweise Erzeugung der Ausgabe mit Abarbeitung der Eingabe Formal: Induktive Definition { ǫ falls w=ǫ, ˆλ(q, w) = ˆλ(q, v) λ(ˆδ(q,v), a) falls w=v a für ein a Σ Von M berechnete Funktion: f M (w) = ˆλ(q, w) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 5 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
86 Mealy-Automat für (inverse) Binäraddition Addition von Bitpaaren von rechts nach links Eingabealphabet Σ = {, } {, } Ausgabealphabet = {, } THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 6 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
87 Mealy-Automat für (inverse) Binäraddition Addition von Bitpaaren von rechts nach links Eingabealphabet Σ = {, } {, } Ausgabealphabet = {, } Zwei Zustände sind erforderlich Zustand q : A kann Addition zweier Bits direkt ausführen Zustand q : A hat bei Addition einen Übertrag zu berücksichtigen THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 6 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
88 Mealy-Automat für (inverse) Binäraddition Addition von Bitpaaren von rechts nach links Eingabealphabet Σ = {, } {, } Ausgabealphabet = {, } Zwei Zustände sind erforderlich Zustand q : A kann Addition zweier Bits direkt ausführen Zustand q : A hat bei Addition einen Übertrag zu berücksichtigen Zugehöriger Mealy-Automat,/,/,/,/,/,/ q,/,/ q THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 6 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
89 Mealy-Automaten sind äquivalent zu DEAs Gegenseitige Simulation ist möglich THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 7 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
90 Mealy-Automaten sind äquivalent zu DEAs Gegenseitige Simulation ist möglich Jede Funktion f ist als Menge beschreibbar graph(f) = {(w,v) f(w) = v} graph (f) = {(w,v )..(w n, v n ) f(w..w n ) = v..v n } DEAs können Graphen berechneter Funktionen akzeptieren Satz: f Mealy-berechenbar graph (f) reguläre Sprache THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 7 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
91 Mealy-Automaten sind äquivalent zu DEAs Gegenseitige Simulation ist möglich Jede Funktion f ist als Menge beschreibbar graph(f) = {(w,v) f(w) = v} graph (f) = {(w,v )..(w n, v n ) f(w..w n ) = v..v n } DEAs können Graphen berechneter Funktionen akzeptieren Satz: f Mealy-berechenbar graph (f) reguläre Sprache Jede Sprache L ist als Funktion beschreibbar χ L (w) = { falls w L, charakteristische Funktion von L sonst Charakteristische Funktionen akzeptierter Sprachen sind berechenbar Satz: L regulär χ L Mealy-berechenbar THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 7 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
92 Beweis der Äquivalenz (Skizze) f Mealy-berechenbar graph (f) regulär Zu M = (Q, Σ,,δ, λ, q ) konstruiere A = (Q {q f }, Σ, δ, q, Q) { δ(q, a) falls λ(q, a) = b, mit δ (q, (a,b)) = sonst q f Dann f M (w..w n ) = v..v n genau dann, wenn (w, v )..(w n, v n ) L(A) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
93 Beweis der Äquivalenz (Skizze) f Mealy-berechenbar graph (f) regulär Zu M = (Q, Σ,,δ, λ, q ) konstruiere A = (Q {q f }, Σ, δ, q, Q) { δ(q, a) falls λ(q, a) = b, mit δ (q, (a,b)) = sonst q f Dann f M (w..w n ) = v..v n genau dann, wenn (w, v )..(w n, v n ) L(A) L regulär χ L Mealy-berechenbar Zu A = (Q, Σ, δ, q, F ) konstruiere M = (Q, Σ, {,}, δ, λ, q ) { falls δ(q,a) F, mit λ(q, a) = sonst Dann ist w L(A) genau dann, wenn f M (w) = v für ein v {, } χ L (w) ist das letzte Ausgabesymbol von f M (w) THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
94 Beweis der Äquivalenz (Skizze) f Mealy-berechenbar graph (f) regulär Zu M = (Q, Σ,,δ, λ, q ) konstruiere A = (Q {q f }, Σ, δ, q, Q) { δ(q, a) falls λ(q, a) = b, mit δ (q, (a,b)) = sonst q f Dann f M (w..w n ) = v..v n genau dann, wenn (w, v )..(w n, v n ) L(A) L regulär χ L Mealy-berechenbar Zu A = (Q, Σ, δ, q, F ) konstruiere M = (Q, Σ, {,}, δ, λ, q ) { falls δ(q,a) F, mit λ(q, a) = sonst Dann ist w L(A) genau dann, wenn f M (w) = v für ein v {, } χ L (w) ist das letzte Ausgabesymbol von f M (w) Mehr zu Automaten mit Ausgabe im Buch von Vossen & Witt THEORETISCHE INFORMATIK I 2: ENDLICHE AUTOMATEN 8 DETERMINISTISCHE AUTOMATEN
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Automatentheorie Es gibt drei unterschiedliche Automaten: 1. Deterministische Endliche Automaten (DEA) 2. Nichtdeterministische Endliche Automaten (NEA) 3. Endliche Automaten mit Epsilon-Übergängen (ε-
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c) {abcde, abcfg, bcade, bcafg} d) {ade, afg, bcde, bcfg} c) {abcabc} d) {abcbc, abc, a} c) {aa, ab, ba, bb} d) {{aa}, {ab}, {ba}, {bb}}
2 Endliche Automaten Fragen 1. Was ergibt sich bei {a, bc} {de, fg}? a) {abc, defg} b) {abcde, abcfg} c) {abcde, abcfg, bcade, bcafg} d) {ade, afg, bcde, bcfg} 2. Was ergibt sich bei {abc, a} {bc, λ}?
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