Portfoliooptimierung in diskreten Finanzmarktmodellen

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1 Portfoliooptimierung in diskreten Finanzmarktmodellen Portfolio Optimization in discrete models of Finance Bachelorarbeit zur Erlangung des akademischen Grades Bachelor of Science am Institut für Mathematische Statistik Fachbereich Mathematik und Informatik der Westfälische Wilhelms-Universität Münster vorgelegt von Katharina Hasow Matrikelnummer: Erstprüfer: PD.Dr.Paulsen Münster, den 11. August 2010

2 Erklärung Hiermit versichere ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine anderen als die angegebenen Quellen und Hilfsmittel benutzt habe, dass alle Stellen der Arbeit, die wörtlich oder sinngemäß aus anderen Quellen übernommen wurden, als solche kenntlich gemacht sind und dass die Arbeit in gleicher oder ähnlicher Form noch keiner Prüfungsbehörde vorgelegt wurde. Münster, den 11. August 2010

3 Inhaltsverzeichnis 1 Einführung Nutzenfunktion Formulierung des Portfoliooptimierungsproblems Maximierungsproblem in einem vollständigen Modell Methode zur Lösung des Maximierungsproblems Anwendung in einem Einperioden CRR-Modell Übertragung auf das N-Perioden CRR-Modell Maximierungsproblem in einem unvollständigen Finanzmarktmodell Methode zur Lösung des Maximierungsproblems Anwendung in einem Einperioden Trinomialmodell Beispiel Beispiel Beispiel Anwendung in einem N-Perioden Trinomialmodell Beispiel Beispiel Beispiel Literaturverzeichnis 49 5 Anhang Programm Programm Programm Programm

4 1 Einführung Die vorliegende Bachelorarbeit befasst sich mit dem Thema der Portfoliooptimierung in diskreten, arbitragefreien Finanzmarktmodellen. Das heißt für ein gegebenes Anfangskapital x möchte man eine optimale selbstfinanzierende Handelsstrategie bestimmen, so dass der erwartete Nutzen zum Zeipunkt T maximal ist. Dieses dynamische Optimierungsproblem kann man in zwei Schritten lösen. Zuerst löst man das statische Optimierungsproblem, indem man die optimale Endauszahlung bestimmt, die den erwarteten Nutzen maximiert. Dann kann man in einem vollständigen Fall ein Hedge für diese Auszahlung konstruieren. In einem unvollständigen Modell muss diese Endauszahlung nicht hedgebar sein, das heißt man muss auf die Methoden der Bestimmung der Superhedges zurückgreifen. Im ersten Kapitel wird die Nutzenfunktion definiert und die Formulierung des dynamischen Portfoliooptimierungsproblems aufgestellt. Das zweite Kapitel befasst sich mit dem vollständigen Finanzmarktmodell. Zuerst wird die Äquivalenz zwischen dem dynamischen und dem statischen Optimierungsproblem gezeigt und dann eine Methode zur Lösung des statischen Portfoliooptimierungsproblems hergeleitet. Als Anwendungsbeispiel für die entwickelte Methode betrachtet man dann zuerst das Einperioden CRR-Modell. Die erhaltenen Ergebnisse kann man dann auf das N-Perioden CRR-Modell ausweiten. Im dritten Kapitel wird dann die Methode für ein unvollständiges Finanzmarktmodell hergeleitet. Als Beispiel für ein unvollständiges Modell betrachtet man dann zuerst das Einperioden und dann das N-Perioden Trinomialmodell. An einigen Beispielen wird gezeigt wie der optimale erwartete Nutzen numerisch bestimmt werden kann. 1.1 Nutzenfunktion Definition 1.1 Die Nutzenfunktion U : R R { } stellt den Nutzen eines Endvermögens zum Zeitpunkt T dar und erfüllt die Inada Bedingung, d.h. es gilt: 1

5 U ist monoton steigend auf R, stetig differenzierbar und strikt konkav in {U > } = {x R Ux > }, lim x U x = 0 Ferner gilt entweder: 1. Ux > für alle x R, dann ist lim x U x =. oder: 2. Es existiert ein a R, sodass a = sup{x R Ux = }. Dann ist Ux = für x < a und Ux > für x > a und es gilt lim x a U x =. Im Folgenden schränkt man sich auf den Spezialfall a = 0 ein, dieser hat wirtschaftlich gesehen eine größere Bedeutung. Beispiele: In Abhängigkeit von dem Definitionsbereich {U > } kann man folgende Beispiele für die Nutzenfunktion betrachten: 1. Für {U > } = R: Ux = e αx α > 0, x R lnx, für x > 0 2. Für {U > } = 0, : Ux =., für x Formulierung des Portfoliooptimierungsproblems Man betrachtet ein arbitragefreies, diskretes Finanzmarktmodell mit einem abdiskontierten Preisprozeß S t 0 t T auf einem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit einer Filtration F t 0 t T. Wobei Ω = {ω 1, ω 2,..., ω N } ein endlicher Zustandsraum ist und S t 0 t T adaptiert bezüglich F t 0 t T ist. Man kann nun das Maximierungsproblem für den Erwartungswert der Nutzenfunktion mit Anfangskapital x unter allen selbstfinanzierenden Handelsstrategien 2

6 definieren: ux := sup E P Ux + H S T, 1 H H wobei H der Raum der selbstfinanzierenden Handelsstrategien ist. ux heißt indirekte Nutzenfunktion, sie gibt den optimalen erwarteten Nutzen des Handelns mit Anfangskapital x an. Dies ist ein einfaches Beispiel für ein Portfoliooptimierungsproblem. Die hierfür hergeleitete Methode lässt sich aber auf komplexere Modelle, die zum Beispiel Entnahmen berücksichtigen, erweitern. Das Ziel ist es nun die optimale Handelsstrategie Ĥx H zum Anfangskapital x zu bestimmen. 2 Maximierungsproblem in einem vollständigen Modell 2.1 Methode zur Lösung des Maximierungsproblems Man betrachtet ein vollständiges Finanzmarktmodell. Nach dem 2. Fundamentalsatz der Preistheorie existiert genau ein äquivalentes Martingalmaß Q. Für die weiteren Überlegungen ist der folgende Satz von großer Bedeutung. Satz 2.1 Das Portfoliooptimierungsproblem 1 ist äquivalent zum folgenden Maximierungsproblem: E P UX T = p n Uξ n max! 2 3

7 unter der Nebenbedingung E Q X T = q n ξ n x, 3 wobei X T = X T ω n 1 n N = ξ n 1 n N eine beliebige F T -meßbare Zufallsvariable ist. Beweis: Es ist also zu zeigen: ux = sup E P Ux + H S T = H H ξ 1,...,ξ N, sup N qnξn x = sup E P UX T, X T Cx p n Uξ n mit Cx = {X T : X T ist F T -meßbar und E Q X T x}. : Sei X T = X T ω n 1 n N = ξ n 1 n N Cx. Dies entspricht einer Auszahlung zum Zeitpunkt T mit dem Anfangspreis y = N q nξ n x. Da das Modell vollständig ist, ist X T hedgebar. Das heißt, es existiert eine selbstfinanzierende Handelsstrategie H mit X T = y + H S T. Da U monoton steigend ist und y x, gilt: E P UX T = E P Uy+H S T E P Ux+H S T sup H H E P Ux+H S T. Daraus folgt: sup XT Cx E P UX T ux. : Sei H H beliebig. Dann ist X T, definiert durch X T = x + H S T, ein Endvermögen mit Anfangskapital E Q X T = x, also ist X T Cx. Somit ergibt sich: E P Ux + H S T = E P UX T sup E P UX T X T Cx ux = sup E P Ux + H S T sup E P UX T. H H X T Cx 4

8 Somit kann man das ursprüngliche dynamische Maximierungsproblem durch ein statisches mit einer Nebenbedingung erstetzen. Das heißt, statt in 1 unter allen selbstfinanzierenden Handelsstrategien zu maximieren, deren Zusammensetzung man für jede Periode bestimmen muss, maximiert man unter allen Endauszahlungen X T zum Zeitpunkt T mit E Q X T = x. Weiter kann man jetzt das Maximierungsproblem mit einer Nebenbedingung aus dem Satz 2.1 in eins ohne eine Nebenbedingung mithilfe des Lagrange- Ansatzes umformulieren. Die dazugehörige Langrange-Funktion lautet: Lξ 1,..., ξ N, y = = N p n Uξ n y q n ξ n x dabei ist y 0 der Lagrange-Multiplikator. Man betrachtet nun folgende Funktion: p n Uξ n y q n ξ n p n + yx, 4 Ψy = sup Lξ 1,..., ξ N, y, y 0 5 ξ 1,...,ξ N Durch das Einsetzen der Formulierung 4 in 5 wird das Maximierungsproblem über R N in der Gleichung 5 in N Maximierungsprobleme über R überführt: sup Uξ n y q n ξ n, 1 n N. 6 ξ n p n Um dieses Maximierungsproblem zu lösen braucht man die Definition der dual konjugierten Funktion. Definition 2.2 Ist U : R R { } konkav, dann ist die dual konjugierte Funktion von U. V y = sup[uy yx], y > 0 7 x R 5

9 Die Eigenschaften von V werden im folgenden Satz beschrieben. Satz 2.3 U erfülle die Inada Bedingung. Dann besitzt die dual konjugierte Funktion V : R + R; y sup x R [Ux yx] folgende Eigenschaften. 1. V hat einen endlichen Wertebereich und ist stetig differenzierbar auf 0,, 2. es gilt V = U 1 und V ist strikt konvex auf 0,, 3. lim y 0 V y =,, falls {U > } = R 4. lim y V y = 0, falls {U > } = 0,, 5. Ux = inf y 0 [V y + yx], x {U > }. Beweis: V y = sup x R [Ux yx] für y > 0. Ux ist strikt konkav und yx ist konkav, also ist Ux yx auch strikt konkav. Eine strikt konkave Funktion f besitzt ein globales Maximum an der Stelle ˆx genau dann, wenn f ˆx = 0 ist. Sei fx = Ux yx, dann gilt f ˆx = U ˆx y = 0 U ˆx = y. U ist stetig und streng monoton fallend, da U stetig differenzierbar und strikt konkav ist. Ferner ist U {U > } = 0,. Also ist U : {U > } 0, bijektiv und somit existiert eine Umkehrfunktion U 1 von U. Also wird das Maximum an der Stelle ˆxy = U 1 y angenommen und die Funktion V ist gegeben durch V y = Uˆxy yˆxy. zu 1: V ist stetig differenzierbar, da U stetig differenzierbar ist. Für alle y 0, gilt ˆxy = U 1 y {U > } R, und somit auch Uˆxy R. Also ist V y R für alle y 0,. Somit hat V einen endlichen Wertebereich. zu 2: V y = U U 1 y U 1 y U 1 y + yu 1 y = yu 1 y U 1 y + yu 1 y = U 1 y. 6

10 V ist genau dann strikt konvex, wenn V streng monoton wachsend ist. Es gilt: U ist streng konkav, also ist U streng monoton fallend. Daraus folgt, dass U 1 streng monoton fallend ist. Also ist V y = U 1 y streng monoton wachsend. Also ist V strikt konvex. zu 3: Es gilt lim y 0 V y = lim y 0 U 1 y =, denn U x = 0 genau dann, wenn x gegen läuft. Also ist U 1 y für y 0. zu 4: Sei {U > } = R, dann gilt: lim y V y = lim y U 1 y =, denn U x = x lim y U 1 y =. Für {U > } = 0, gilt: lim y V y = lim y U 1 y = 0, denn U x = x 0 lim y U 1 y = 0. zu 5: Die Funktion fy = V y+yx ist strikt konvex, besitzt also ein globales Minimum an der Stelle y genau dann, wenn f y = 0. Es gilt also: V y = x U 1 y = x y = U x. Also folgt aus V y = UU 1 y yu 1 y: inf y [V y + yx] = V U x + xu x = UU 1 U x U xu 1 U x + xu x = Ux U xx + xu x = Ux. Die folgende Bemerkung ist auch für die kommenden Überlegungen wichtig. Bemerkung 2.4 Erfüllt V die Eigenschaften 1 bis 4 aus dem Satz 2.3, so erfüllt Ux = inf y [V y + yx] für x {U > } die Inada Bedingung. Beweis: Sei Ux = inf y [V y + yx] für x {U > }. V y + yx ist strikt konvex, somit existiert ein globales Minimum an der Stelle y, definiert durch V y = x. V ist streng monoton wachsend und stetig auf 0,, da V strikt 7

11 konvex und stetig differenzierbar ist. Ferner ist lim y 0 V y =. Falls lim y V y = 0, so ist V : 0,, 0 bijektiv. Somit existiert eine stetige Umkehrfunktion von V 1 :, 0 0, und ŷ ist eindeutig bestimmt durch ŷ = V 1 x. Also ist die Funktion U gegeben durch: Ux = V V 1 x + xv 1 x für x > 0. Somit ist Ux > für x > 0, ferner ist U stetig differenzierbar, da V stetig differenzierbar ist. Außerdem gilt: U x = V V 1 x V 1 x + V 1 x x V 1 x = V 1 x. Daraus folgt: lim x U x = lim x V 1 x = 0, denn V y y 0 und lim x 0 U x = lim x 0 V 1 x =, denn V y 0 y. Falls aber lim y V y = ist, so ist die Funktion V : 0,, + bijektiv und es existiert eine stetige Umkehrfunktion V 1 :, 0,. Dann ist U wieder gegeben durch Ux = V V 1 x + xv 1 x für x R. Also ist Ux > und stetig differenzierbar für x R. Ferner gilt: lim x U x = lim x V 1 x =, denn V y y. Außerdem ist U monoton steigend, da U x = V 1 x > 0 für alle x {U > } ist. Ferner ist U strikt konkav auf {U > }. Denn wegen der strikten Konvexität von V ist V 1 monoton wachsend. Also ist V 1 x monoton fallend in x. Also erfüllt U die Inada Bedingung. Die folgenden drei Beispiele veranschaulichen, wie man für eine Nutzenfunktion U die dazugehörige dual konjugierte Funktion V bestimmen kann. 8

12 Beispiele: Für eine Nutzenfunktion U ist die dual konjugierte Funktion V definiert durch V y = sup x Ux yx. Das heißt um V zu bestimmen muss man zuerst ein einfaches Maximierungsproblem für die Funktion fx = Ux yx lösen. Da f strikt konkav und differenzierbar ist, ist die Extremstelle ˆxy eindeutig bestimmt durch f ˆxy = 0. Also hat V folgende Gestalt: V y = Uˆxy yˆxy. 1. Sei nun Ux = lnx für x > 0. Dann ist fx = lnx yx für ein y > 0 und f x = 1 x y. Also ist f ˆxy = 0 genau dann, wenn ˆxy = 1 y. Somit erhält man: V y = fˆxy = ln 1 y y 1 y = lny Sei Ux = xα α für x R, α, 1\{0} eine Nutzenfunktion. Dann ist fx = xα α yx für ein festes y > 0 und f x = x y. Es folgt: f ˆxy = 0 ˆxy = y 1. Somit erhält man: V y = fy 1 = 1 α y α für α, 1\{0}. 3. Sei Ux = exp αx α α für x R, α > 0 eine Nutzenfunktion. fx = exp αx α yx f x = exp αx y und f ˆxy = 0 ˆxy = lny α. α lny Also ist V y = fˆxy = exp 1 y lny = y lny 1. α α α α Nun zurück zu dem Maximierungsproblem. Aus dem Satz 2.3 ist ersichtlich, dass für die Nutzenfunktion U die konjugierte Funktion V nur endliche Werte annehmen kann. Das heißt, dass das Maximierungsproblem in 6 und damit auch in 5 eine Lösung besitzt. Somit erhält man mit Hilfe von 4 und 7 folgende Gleichung für Ψ: Ψy = sup Lξ 1,..., ξ N, y ξ 1,...,ξ N = sup ξ 1,...,ξ N = p n sup ξ 1,...,ξ N p n Uξ n y q n Uξ n y q n p n ξ n 9 ξ n + yx p n + yx

13 = p n V = E P V Sei nun die Funktion v definiert durch: y q n p n y dq + yx + yx. vy := E P V y dq = p n V y q n, y > 0. p n Bemerkung 2.5 Die Funktion v besitzt die gleichen qualitativen Eigenschaften wie V im Satz 2.3. Beweis: v ist eine konvexe Kombination von V ausgewertet auf linear skalierten Werten. Somit hat v einen endlichen Wertebereich und ist stetig differenzierbar und strikt konvex, da V diese Eigenschaften erfüllt. Es gilt v y = N q nv y qn p n. Somit folgt aus lim y 0 V y qn p n =, dass lim y 0 v y =. Analog gilt: lim y v y =, für {U > } = R, da lim y V y =, 0, für {U > } = 0,, da lim y V y = 0. Die Funktion Ψy = vy + yx ist strikt konvex. Ψ besitzt also ein globales Minimum an der Stelle ŷ, wenn folgendes gilt: Ψ ŷ = 0. Also ist ŷ definiert durch v ŷ = x. Aus der Bemerkung 2.5 folgt, dass v stetig und strikt monoton steigend ist. Ferner gilt für {U > } = 0, : lim y 0 v y = und lim y v y = 0. Somit ist v : 0,, 0 bijektiv. Das heißt, dass für jedes x > 0 genau ein ŷx 0, existiert mit v ŷx = x. Für {U > } = R gilt: lim y 0 v y = und lim y v y =. 10

14 Dann ist v : 0,, bijektiv und für jedes x R existiert ein eindeutiges ŷx 0, mit v ŷx = x. Somit existiert für alle x {U > } ein eindeutiges ŷx, so dass inf Ψy = Ψŷx. y>0 Nun hält man ŷx fest und betrachtet die strikt konkave Funktion ξ 1,..., ξ N Lξ 1,..., ξ N, ŷx = p n Uξ n ŷx q n ξ n + ŷxx p n Analog zu oben kann man sich überlegen, dass aufgrund der strikten Konkavität ein eindeutiger Maximierer ˆξ 1,..., ˆξ N dieser Funktion existiert und es gilt U ˆξ n = ŷx q n bzw. ˆξn = V ŷx q n p n p n für alle n = 1,..., N. Insgesamt erhält man inf y>0 Ψy = infvy + xy = vŷx + xŷx = Ψŷx 8 y>0 = sup ξ 1,...,ξ N Lξ 1,..., ξ N, ŷx = Lˆξ 1,..., ˆξ N, ŷx. L ist stetig differenzierbar an der Stelle ˆξ 1,..., ˆξ N, ŷx, da ˆξ n {U > } für alle 1 n N. Somit ist Lˆξ 1,..., ˆξ N, ŷx = 0. Insbesondere ist 0 = y Lξ 1,..., ξ N, y ˆξ1,...,ˆξ N,ŷx N N N = y p n Uξ n y q n ξ n x ˆξ1,...,ˆξ N,ŷx = q n ˆξn x. 11

15 Also ist die Nebenbedingung 3 erfüllt, denn N q n ˆξ n = x. Also gilt: Lˆξ 1,..., ˆξ N, ŷx = p n Uˆξ n 9 Somit gilt ux = Denn ux N p nuˆξ n folgt aus p n Uˆξ n. 10 ux = ξ 1,...,ξ N, sup N qnξn x p n Uξ n p n Uˆξ n, da für ˆξ 1,..., ˆξ N die Nebenbedingung erfüllt ist. ux N p nuˆξ n erhält man aus der Tatsache, dass für alle ξ 1,..., ξ N, die die Nebenbedingung erfüllen, gilt: p n Uξ n Lξ 1,..., ξ N, ŷx Lˆξ 1,..., ˆξ N, ŷx = p n Uˆξ n. Mithilfe von 10,9 und 8 erhält man nun für x {U > }: inf Ψy = inf vy + xy = Lˆξ 1,..., ˆξ N, ŷx = y>0 y>0 p n Uˆξ n = ux. Aus der Bemerkung 2.4 und der Tatsache, dass v die gleichen qualitativen Eigenschaften wie V in 2.3 besitzt, folgt nun: v ist die dual konjugierte Funktion von u und u erfüllt die Inada Bedingung. Somit kann man ŷx, definiert durch v ŷx = x, berechnen durch ŷx = u x, für x {U > }. 12

16 Der folgende Satz fasst die bisheringen Ergebnisse zusammen. Man bezeichne mit ˆX T Cx den Optimierer ˆX T ω n = ˆξ n für n = 1,..., N. Satz 2.6 Gegeben sei ein diskretes, arbitragefreies und vollständiges Finanzmarktmodell mit einem abdiskontierten Preisprozess S t 0 t T auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit einer Filtration F t 0 t T, wobei S t 0 t T adaptiert bezüglich F t 0 t T ist. Sei Q das äquivatente Martingalmaß und U eine Nutzenfunktion mit Inada Bedingung. Seien ux und vx definiert durch Dann gilt: ux = vy = E P V sup X T x Cx E P UX T x, x {U > }, 11 y dq, y > Die Funktion v ist die dual konjugierte Funktion von u, und u erfüllt die Inada Bedingung. 2. Der Optimierer ˆX T x von 11 existiert und ist eindeutig. Es gilt ˆX T x = V y dq oder auch y dq = U ˆX T x wobei x {U > }, y > 0 und y = u x bzw. x = v y. 3. Für u und v gilt: u x = E P U ˆX T x, v y = E Q V y dq xu x = E P ˆX T xu ˆX T x, yv y = E P y dq V y dq. Beweis: 1. und 2. wurden in den oberen Überlegungen gezeigt. Es bleibt also 3. zu zeigen. v y = E P V y dq = dq EP V y dq = EQ V y dq und 13

17 yv y = ye dq P V y dq = EP y dq V y dq. Aus 2. folgt: u x = y = E P y dq = EP U ˆX T x und xu x = yv y = E P y dq V y dq = E P ˆX T xu ˆX T x. = EP U ˆX T x ˆX T x Mithilfe von Satz 2.6 ist es nun möglich den Optimierer ˆX T x zu bestimmen. Da der Markt vollständig ist, existiert ein Hedge für ˆX T x, damit ist dann auch die optimale Handelsstrategie festgelegt. Im Folgenden wird als Anwendungsbeispiel, der oben hergeleiteten Methode, die optimale Handelsstrategie für ein Anfangskapital x in einem CRR-Modell bestimmt. Zunächst betrachtet man das Einperioden CRR-Modell. Hier ist die optimale Handelsstrategie durch den optimalen Anteil des Anfangskapitals, das am Anfang der Periode in die Aktie investiert werden muss, bestimmt. Im nächsten Schritt kann man dann das Einperioden-Modell auf das N-Perioden CRR-Modell ausweiten. 2.2 Anwendung in einem Einperioden CRR-Modell Man betrachtet nun ein arbitragefreies Einperioden CRR-Modell mit Ω = {ω 1, ω 2 }, Wahrscheinlichkeitsmaß P mit P {ω 1 } = p und P {ω 2 } = 1 p. Sei Ŝ0 0=1 der Preis der festverzinslichen Anleihe zum Zeitpunkt 0 und Ŝ0 1 = 1 + r der Preis zum Zeitpunkt 1 für ein r > 1. Für den Preis der risikobehafteten Anleihe gilt: 1 + u, falls ω 1 eintritt, Ŝ0 1 = 1, Ŝ1 1 = 1 + d, falls ω 2 eintritt. 14

18 Da das Modell arbitragefrei ist, gilt d < r < u. Ferner soll d > 1 sein. Für die abdiskontierte Preisentwicklung gilt: S0 0 = 1, S1 0 = 1, 1 + ũ, falls ω 1 eintritt, S1 0 = 1, S1 1 = 1 + d, falls ω 2 eintritt mit 1 + ũ = 1+u 1+r > 1 und 1 + d = 1+d 1+r < 1. Man nimmt o.b.d.a an, dass ũ d. Denn dann gilt E P S 1 1 S 1 0, d.h. die optimale Handelsstrategie wird eine Long-Position in der Aktie haben. Für ũ < d führt man die unteren Berechnungen analog durch, dann ist aber eine Short- Position in der Aktie möglich. Für den äquivalenten Martingalmaß Q gilt: Q{ω 1 } = q = r d u d = d ũ d und entsprechend Q{ω 2} = 1 q = ũ ũ d. Nun ist das Ziel für eine Nutzenfunktion U die optimale Handelsstrategie mithilfe des Satzes 2.6 zu bestimmen. Man nehme die drei Nutzenfunktionen, für die im Kapitel 1.2 die dual konjugierten Funktionen berechnet wurden, als Beispiel. 1. Sei Ux = xα α für α, 1\{0}, x > 0 eine Nutzenfunktion. Dann ist V y = yβ β mit α 1 = β 1 1 die dual konjugierte Funktion von U. Nach dem Satz 2.6 gilt: vy = E p V y dq = pv y q + 1 pv p = p yβ β β q + 1 p p y 1 q 1 p yβ β β 1 q 1 p 15

19 β β q 1 q = c V V y, mit c V = p + 1 p p 1 p Folgende Bemerkung ist für die Berechnung der indirekten Nutzenfunktion u hilfreich. Bemerkung: Seien V y die dual konjugierte Funktion von Ux und c > 0 eine Konstante, dann ist cv y die dual konjugierte Funktion von cu x c. Beweis: Setze Ũx = cu x c. Das heißt es ist zu zeigen, dass cv y = sup x Ũx yx. Setze x = x. Dann gilt: c supũx yx = supcu x cy x x x = c supu x y x = cv y. x Da v = c V V die dual konjugierte Funktion von u ist, folgt: x ux = c V U c V = c 1 α V Ux = c U Ux, mit c U = c 1 α V = p β β 1 α q 1 q + 1 p. p 1 p Für ein x > 0 kann man nun zuerst ŷx ausrechnen: ŷx = u x = c U U x. Somit gilt dann nach Satz 2.6: ˆX 1 x = V ŷx dq = V U xc 1 U 1 dq, da V y = y 1 16

20 = xc 1 V 1 dq, da V = U 1 Folglich gilt: ˆX 1 x = xc 1 V xc 1 V q p 1 1 q 1 p 1 = xc 1 V = xc 1 V d pũ d 1 ũ 1 pũ d, falls ω 1 eintritt 1, falls ω 2 eintritt. 12 Da das Modell vollständig ist, existiert ein Hedge für ˆX 1 x. Nach dem 2. Fundamentalsatz der Preistheorie existieren also x 1, x 2 R mit ˆX 1 x = x + x 1 x 2, Setze ĥ = x 2, dann gilt S1 0 S 1 1. ˆX 1 x = x + ĥ S1 1, da S 1 0 = 0 ist. 13 Mithilfe von 12 und 13 kann man ĥ ausrechnen. Falls ω 1 eintritt, dann gilt: x + ĥũ = xc 1 V ĥ = x q p c 1 V 1 q p 1 1 ũ 1 = ˆkx. Das heißt, dass man um den maximalen erwarteten Nutzen zu erreichen, ˆkx Aktien am Anfang der Periode kaufen muss. Dabei kann ˆk in Abhängigkeit von ũ, d und α genau berechnet werden und es gilt 0 < ˆk < für α, 1\{0}. Man beachte, dass ˆk größer als 1 sein kann, d.h. es ist eine Short-Position in der risikolosen Anleihe möglich. 2. Nimmt man nun Ux = lnx als Nutzenfunktion, so ist V y = lny 1 17

21 die dual Konjugierte von U und es gilt nach Satz 2.6 : vy = E P V y dq = p ln y q p ln y 1 q p 1 p q = p lny ln p lny ln p q 1 q = lny p ln 1 p ln 1. p 1 p Da v die dual konjugierte Funktion von u ist, gilt nach Satz 2.3: ux = inf y 0 vy + yx. 1 1 q 1 p 1 Um nun u zu bestimmen muss man vy + yx nach y ableiten und dann die Ableitung gleich 0 setzen. Wegen der strikten Konvexität von v ist dies hinreichend für ein Minimum. Es gilt also: vy + yx = 1 y + x = 0 y = 1 x. ux = v 1 x + 1 x x = lnx p ln Weiter ist nach Satz 2.6 ŷx = u x = 1 x und ˆX 1 x = V ŷx dq V 1 = V 1 q p 1 p ln q x p 1 q x 1 p 1 q 1 p. = p x, q falls ω 1 eintritt, = 1 p 1 q falls ω 2 eintritt. Aufgrund der Vollständigkeit des Marktmodells existiert nun wieder ein ĥ R mit ˆX 1 x = x + ĥ S1 1. Somit folgt aus x + ĥũ = ˆX 1 xω 1 = p x, dass q p x ĥ = q 1 ũ = pũ d x d 1 ũ = pũ d + d ũ d x =: ˆkx. Somit ist die Anzahl der Aktien ĥ, die gehalten werden müssen, um den maximalen erwarteten Nutzen zu erhalten, bestimmt. 18

22 3. Sei Ux = exp x die Nutzenfunktion, dann ist V y = ylny 1 die dual konjugierte Funktion von U. Es gilt: vy = E P V = p y q p y dq ln y q p lny 1 + ln 1 q + 1 p y 1 q 1 p ln = yq + y1 q lny 1 + ln p q 1 q = ylny 1 + y q ln + y 1 q ln p 1 p q 1 q = V y + cy mit c = q ln + 1 q ln. p 1 p y 1 q 1 p 1 q 1 p 1 Die indirekte Nutzenfunktion u bestimmt man nun wieder mithilfe der ersten Ableitung von vy + yx nach y. vy + yx = V y + c + x = lny 1 + y 1 y + c + x = 0 lny = x c y = exp x c. Also ist ux = V exp x c + c exp x c + x exp x c = exp x c x c 1 + c exp x c + x exp x c = exp x c und ŷx = u x = exp x c. Nun kann man wieder ˆX 1 x bestimmen ˆX 1 x = V ŷx dq ln = x + c ln exp x c q = x + c ln p, falls ω 2 eintritt. 1 q 1 p q p, falls ω 1 eintritt, Weiter gilt ˆX 1 x = x + ĥ S1 1, für ein ĥ R. 19

23 Somit folgt aus x + ũĥ = ˆX 1 xω 1 = x + c ln q p, dass ĥ = c ln ũ q p = 1 q ũ ln 1 qp = 1 1 pq ũ ũ ln d d p. 1 p Somit ist die optimale Handelsstrategie durch die Parameter des Modells eindeutig bestimmt. Bei diesem Beispiel ist bemerkenswert, dass ĥ nicht von x abhängt. 2.3 Übertragung auf das N-Perioden CRR-Modell Sei ε t N t=1 eine Familie von identisch verteilten, stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P, sodass P ε t = 1 = p und P ε t = 0 = 1 p für 1 t N. Ferner sei F t N t=1 eine Filtration, wobei F t = σε n : 1 n t die von ε n t erzeugte σ-algebra ist. Sei der Zinssatz r der festverzinslichen Anleihe gleich 0. Der Aktienpreisprozess S ist definiert durch: S 0 =1 und für t = 1,..., N ist S t u, falls ε t = 1 S t = S t d, falls ε t = 0 = S t u εt 1 + d 1 εt mit 1 < d < 0 < u. Das Ziel ist nun wieder das Maximierungsproblem [ E U x + ] N h n S n max! für eine Nutzenfunktion U zu lösen, wobei h n N H. Im folgenden werden die Nutzenfunktionen Ux = xα α Ux = lnx untersucht. 1. Man betrachte zuerst die Nutzenfunktion Ux = xα α für α, 1\{0} und für α, 1\{0}. 20

24 Durch { [ ]} u t x := sup E U x + h n S n F t n=t+1 14 sind bedingte Nutzenfunktionen für t = 0,..., N definiert, dabei wird über die F n 1 N n=t+1-meßbare Zufallsvariablen h n N n=t+1 maximiert. Für die bedingte Nutzenfunktion gilt folgender Satz. Satz 2.7 Für die bedingte Nutzenfunktion definiert durch 14 gilt: wobei ĥ der optimalen Handelsstrategie in einem Einperioden CRR-Modell entspricht. u t x = c N t U Ux für t = 0,..., N und ĥ t = ĥ S t 1 für t = 1,..., N, Beweis: Der Beweis erfolgt durch Rückwärtsinduktion. IA: Es gilt per Definition: u N x = Ux. Für t = N 1 betrachtet man nur eine Periode von N 1 bis N. Man befindet sich also in einem Einperioden Modell, dabei ist zu beachten, dass der Aktienpreis zum Zeitpunkt N 1 eine F N 1 -meßbare Zufallsvariable ist. In einem Einperioden Modell ist ĥ die Anzahl der Aktien, die man halten sollte um den maximalen erwarteten Nutzen zu erreichen, dabei ist der Aktienanfangspreis S 1 0 = 1. Dementsprechend ist dann ĥn = ĥ S N 1 die optimale Anzahl der Aktien für S N 1 als Anfangspreis. Zu beachten ist, dass ĥn F N 1 -meßbar ist. Auf diese Weise erhält man: u N 1 x = sup {E [U x + h N S N F N 1 ] [ ] = E U x + ĥn S N F N 1 : h N ist F N 1 -meßbar} 21

25 [ ] = E U x + ĥ S N u ε N 1 + d 1 ε N 1 F N 1 S N 1 [ ] = E U x + ĥ1 + uε N 1 + d 1 ε N 1 F N 1 [ ] = E U x + ĥ1 + uε d 1 ε 1 1 [ ] = E U x + ĥ S 1. Bei dem fünften Gleichheitszeichen ist zu beachten, dass ε t N t=1 identisch verteilte, stochastisch unabhängige Zufallsvariablen sind und somit von F N 1 unabhängig sind. Außerdem ist U eine stetige Funktion, also meßbar. Die Gleichheit folgt also aus den Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte. Also ist u N 1 unabhängig von F N 1 und das Maximierungsproblem entspricht dem in einem Einperioden-Modell. Das heißt, man kann die Ergebnisse aus Kapitel 2.1 anwenden: u N 1 x = c U Ux mit c U = p β β 1 α q 1 q + 1 p. p 1 p IV: Es gelte für ein beliebiges t aus {0,..., N}: u N t x = c t UUx ĥ N s = IS: N t N t 1. und ĥ S N s 1 für 0 s t 1. Für den Induktionsschritt benötigt man das folgende Lemma aus Finanzmathematik 1. Lemma: Seien M 1, M 1,M 2, M 2 meßbare Räume, Ω, F, P ein Wahrscheinlichkeitsraum, G eine Unter-σ-Algebra von F. Seien X 1 : Ω M 1 und X 2 : Ω M 2 meßbare Abbildungen und h : M 1 M 2, M 1 M 2 R, BR meßbar. Es gelte ferner: X 1 ist unabhängig von G, X 2 ist meßbar bezüglich G und EhX 1, X 2 22

26 existiert. Dann gilt: Es gilt nun: u N t 1 x = sup EhX 1, X 2 G = EhX 1, X 2 X 2 = EhX 1, X 2 P-fast sicher. { E [ U x + n=n t h n S n F N t 1 ]} { [ ]} = sup E U x + h N t S N t + t ĥ S 1 F N t 1 { [ ]} = sup E U x + h N t S N t u ε N t 1 + d 1 ε N t 1 + t ĥ S 1 F N t 1 { [ ]} = sup E U x + h N t S N t + t ĥ S 1 { [ [ ]]} = sup E E U x + h N t S N t + t ĥ S 1 F N t = sup {E [u N t x + h N t S N t ]} = c t U sup {E [U x + h N t S N t ]} [ ] = c t U E U x + ĥ S 1 = c t U c U Ux = c t+1 U Ux Hier ist zubeachten, dass sich das Supremum in jeder Gleichung auf die Komponenten der Handelsstrategie h n N beziehen. Bei dem zweiten Gleichheitszeichen wurde die Induktionsvoraussetzung für die Komponenten der Handelsstragtegie benutzt. Bei dem vierten Gleichheitszeichen wird das Lemma benutzt, denn es gilt: ξ n N sind i.i.d, also unabhängig von F N t 1, S1 1 = S u ε d 1 ε 1 1, h N t S N t 1 ist F N t 1 -meßbar, setzt man fh N t S N t 1, ε 1 = x+h N t S N t 1 1+ũ ε 1 1+ d 1 ε 1 1+t ĥ S 1, dann ist U f eine Verknüpfung von stetigen Funktionen und somit insbesondere meßbar. ferner gilt EU fh N t S N t 1, ε 1 <, da fh N t S N t 1, ε 1 < für alle ω Ω. 23

27 Also sind alle Voraussetzungen erfüllt und das Lemma liefert die Gleichung. Das fünfte Gleichheitszeichen folgt aus den Rechenregeln für bedingte Erwartungswerte, und bei dem siebten wird die Induktionsvoraussetzung benutzt. Schließlich erhält man das achte Gleichheitszeichen durch analoge Argumentation wie im Induktionsanfang, da wieder ein Einperioden-Maximierungsproblem mit Aktienanfangskurs S N t 1 vorliegt und somit ĥn t = Insbesondere gilt nun: ĥ S N t 1 ux = u 0 x = c N U Ux. Für den Optimierer ˆX t x 1 t T mit dem Anfangskapital x > 0 gilt: ˆX t x = x + t ĥt S t mit ĥt = ĥ S t 1 für 1 t T. Im Einperioden-Modell ist ĥ = x ˆk, wobei x das zur Verfügung stehende Kapital ist. Also ist die optimale Handelsstrategie im Mehrperioden-Modell definiert durch ĥt = ˆX t 1 x S t 1 ˆk, da zum Zeitpunkt t ˆXt 1 x als Kapital zur Verfügung steht. ˆk kann wieder in Abhängigkeit von dem Modell eindeutig bestimmt werden. 2. Sei nun Ux = lnx die Nutzenfunktion, dann ist V y = lny 1 die dual konjugierte Funktion von U. Um hier die optimale Handelsstrategie zu bestimmen bittet es sich an direkt den Satz 2.6 anzuwenden. Das heißt, man bestimmt zuerst die Funktion vy = E P V y dq. Sei L t N t=1 definiert durch Es gilt also: L t = P L N = n = t 1 {ξi =1} = i=1 t ξ i, dann ist i=1 ist. N p n 1 p N n für n = 0,..., N. n S t = S u Lt 1 + d t Lt für t = 1,..., N. 24

28 Sei Q der äquivalente Martingalmaß mit q = Q{ξ t = 1}, dann gilt q = d u d und dq F N = Nun kann man v berechnen, es gilt: vy = E P V = i=0 y dq N i = lny 1 i=0 p i 1 p N i i=0 LN q p N LN 1 q. 1 p q i N i 1 q lny ln 1 p 1 p q i N i 1 q p 1 p N p i 1 p N i ln i = lny 1 c, q i N mit c = p i 1 p N i ln i p Nun gilt ux = inf y 0 vy + yx. N i 1 q. 1 p Die Lösung dieses Minimierungsproblems für eine strikt konvexe Funktion erhält man mithilfe der ersten Ableitung: vy + yx = 1 y + x = 0 y = 1 x. Es gilt also: ux = v Weiter gilt nach dem Satz 2.6, dass x = lnx c. x x ŷx = u x = 1 x und ˆX N x = V ŷx dq = x dq = x LN p q Auf diese Weise ist also die optimale Auszahlung ˆX N x bestimmt. Da das N- Perioden CRR-Modell vollständig ist, kann man für ˆX N x ein Hedge konstruieren. Dieser entspricht dann der optimalen Handelsstratgie. N LN 1 p. 1 q 25

29 3 Maximierungsproblem in einem unvollständigen Finanzmarktmodell 3.1 Methode zur Lösung des Maximierungsproblems Man betrachtet nun ein arbitragefreies, diskretes, unvollständiges Finanzmarktmodell. Nach dem 2. Fundamentalsatz der Preistheorie ist in diesem Fall das äquivalente Martingalmaß nicht eindeutig, d.h. die Menge der äquivanten Martingalmaße P ist nicht einelementig. Sei P die Menge aller Martingalmaße. Man möchte nun wieder das dynamische Maximierungsproblem 1 in ein statisches für das unvollständige Finanzmarktmodell überführen. Satz 3.1 Das Maximierungsproblem 1 ist äquivalent zu dem Maximierungsproblem sup XT Cx E P UX T mit Cx = {X T L 0 Ω, F, P E Q X T x für alle Q P}. Beweis: Es ist also zu zeigen ux = sup H H EUx + H S T = sup XT Cx EUX T. : Sei X T Cx. X T entspricht einer Auszahlung zum Zeitpunkt T, wobei der arbitragefreie Preis y von X T in der Menge ΠX T = {E Q X T : Q P} liegt. Aus Finanzmathematik 1 ist außerdem bekannt, dass ΠX T ein offenes, nicht leeres Intervall ΠX T = p X T, p + X T mit p X T := sup{z : z + H S T X T mit H H} und p + X T := inf{z : z + H S T X T mit H H} ist. Da X T Cx, ist E Q X T x für alle Q P. Somit liegt x nicht in ΠX T, genauer x p + X T. Das heißt es existiert ein H H mit x + H S T X T. Da U monoton steigend ist, gilt EUX T EUx+H S T sup H H EUx+H S T für alle X T Cx. sup XT Cx EUX T sup H H EUx + H S T. 26

30 : Diese Richtung geht analog zum Satz 2.1. Denn für ein H H ist X T = x + H S T ein Element in Cx, weil E Q X T = E Q x + H S T = x für alle Q P ist. Also gilt: E P Ux + H S T = E P UX T sup XT Cx E P UX T ux sup XT Cx E P UX T. Nun erhält man wieder ein statisches Maximierungsproblem mit der Nebenbedingung X T x Cx. Um diese Nebenbedingung genauer charakterisieren zu können ist die folgende Bemerkung über den Raum P hilfreich. Bemerkung 3.2 Die Menge der Martingalmaße P ist eine kompakte, konvexe Hülle, erzeugt von endlich vielen Q m P für m = 1,..., M. Das heißt für alle P P existieren µ 1,..., µ M R M + mit M i=1 µ i = 1 und P = M i=1 µ iq i. Beweis: Aufgrund der Endlichkeit von Ω ist die Menge aller Wahrscheinlichkeitsmaße Q ein kompakter, konvexer Polygon mit N Ecken in R N. P ist eine konvexe Teilmenge von Q. Man betrachtet nun den Raum G = {H S T : H H} aller Endvermögen der hedgebaren Claims. Dann gilt für P P und Y G mit Y = H S T für ein H H : E P x+h S T = x. Daraus folgt E P H S T = P, Y = 0. Also sind G und P orthogonal zueinander. Sei nun C die zu G orthogonale Hyperebene in R N, dann ist P = C Q. Somit existieren endlich viele Q m P, m = 1,..., M, sodass P die von {Q 1,..., Q M } erzeugte konvexe Hülle ist, da Q ein Polygon ist. In der Abbildung 1 ist der Fall für 2 Basisfinanzgüter und ein dreielementiges Ω abgebildet. 27

31 Außerdem ist P abgeschlossen in Q. Denn sei Q n = q n 1,..., q n N n N eine konvergente Folge in P mit dem Grenzwert Q = q 1,..., q N, dann gilt E Q S l = N q ns l ω n = N lim k q k ns l w n = lim k N qk ns l ω n = lim k S 0 = S 0 für alle l 0. Bei dem dritten Gleichheitszeichen ist zu beachten, dass die Summe endlich ist und somit der Limes aus der Summe rausgezogen werden darf. Und das fünfte Gleichheitszeichen folgt aus der Martingaleigenschaft von S t t 0 bezüglich equivalenter Martingalmaße. Also ist Q P und somit ist P eine abgeschlossene Teilmenge von einer kompakten Menge. Also ist P selbst kompakt. Sei nun Q P. Dann existiert µ 1,..., µ M R M + Q = M i=1 µ iq i. Also ist Cx = {X T L 0 Ω, F, P E Q mx T x für alle m = 1,..., M}. mit M i=1 µ i = 1 und Somit ist das Maximierungsproblem 1 äquivalent zu dem statischen Maximie- 28

32 rungsproblem sup XT Cx E P UX T mit M Nebenbedingungen E Q mx T x für m = 1,..., M. Um dieses zu lösen wählt man nun den Lagrange-Ansatz für mehrere Nebenbedingungen. Die Lagrange-Funktion lautet: Lξ 1,..., ξ N, η 1,..., η M = = p n Uξ n M N η m qn m ξ n x m=1 p n Uξ n M m=1 η m q m n p n für ξ 1,..., ξ N {U > } N und η 1,..., η M R M +. Setzt man jetzt y = η η M und µ m = ηm y y 0, Q := M m=1 µ mq m P und ξ n + M η m x, m=1 für 1 m M, dann ist Lξ 1,..., ξ N, η 1,..., η M = Lξ 1,..., ξ N, y, Q M N = p n Uξ n y µ m qn m ξ n x m=1 = E P UX T y E Q X T x = p n Uξ n yq n ξ n + yx, 15 p n für ξ 1,..., ξ N {U > } N, y > 0 und Q = q 1,..., q N P. Also ist die Lagrange-Funktion im unvollständigen Finanzmarktmodell zusätzlich von einem Martingalmaß Q abhängig, ansonsten entspricht die Formulierung 15 der Formulierung 4 im vollständigen Modell. Man definiert nun: Ψy, Q = sup ξ1,...,ξ N Lξ 1,..., ξ N, y, Q. Sei nun V die dual konjugierte Funktion von U, dann erhält man analog zum vollständigen Fall 29

33 Ψy, Q = N p nv y qn p n + yx für y > 0 und Q P. Die Minimierung von Ψ geschieht nun in zwei Schritten. Für ein festes y > 0 minimiert man zunächst Ψ in Q. Für ein festes y > 0 ist Ψy, Q stetig in Q, da V stetig ist. Da P kompakt und V strikt konvex ist, existiert ein eindeutiger Minimierer ˆQy = ˆq 1,..., ˆq N von Ψ. Es gilt nun folgende Bemerkung für ˆQy. Bemerkung 3.3 ˆQy ist ein äquivalentes Martingalmaß, d.h. ˆQy P. Beweis: Sei ˆQy P der Minimierer von Ψy, Q für ein festes y > 0, also gilt Q Ψy, Qy y, ˆQy = 0. Angenommen ˆQy liegt nicht in P. Dann existiert ein n 0 ˆq n0 = 0. Es gelte o.e.d.a n 0 = 1 und ˆq n > 0 für n {2,..., N}. Dann gilt: Q Ψy, Qy y, ˆQy = yv y ˆq n = yv y ˆq 1 + p n p 1 = yv 0 + n=2 {1,..., N} mit n=2 yv y ˆq n yv y ˆq n p n. p n Es gilt aber V 0 = und yv y ˆqn p n < für n {2,..., N}. Also ist N n=2 yv y ˆqn p n < und somit Q Ψy, Qy y, ˆQy 0. Widerspruch zur Voraussetzung. Sei die Funktion v definiert durch v := inf Q P p n V y q n = p n p n V y ˆq n. p n Nun kann man analog zum vollständigen Fall zeigen, dass Ψy = inf Q P Ψy, Q = N p nv y ˆqn p n + yx einen eindeutigen Minimierer ŷx, definiert durch v ŷx = x, besitzt. Für ˆQy und ŷx kann man dann zeigen, dass ein eindeutiger Maximierer 30

34 ˆξ 1,..., ˆξ N von der Funktion ξ 1,..., ξ N Lξ 1,..., ξ N, ŷx, ˆQy existiert und es ˆξ n = V ŷx ˆqn p n gilt. Somit gilt L ˆξ 1,..., ˆξ N, ŷx, ˆQy = 0. Daraus kann man folgern, dass v die dual konjugierte Funktion von u ist und somit u die Inada Bedingung erfüllt. Folgender Satz dient als Zusammenfassung der Erkenntnisse über das Maximierungsproblem im unvollständigen Finanzmarktmodell. Satz 3.4 Gegeben sei ein diskretes, arbitragefreies und unvollständiges Finanzmarktmodell mit einem abdiskontierten Preisprozess S t 0 t T auf einem endlichen Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P mit einer Filtration F t 0 t T, wobei S t 0 t T adaptiert bezüglich F t 0 t T ist. Sei U eine Nutzenfunktion und erfülle die Inada Bedingung. Ferner sei P die Menge der Martingalmaße und P P die Menge der äquivalenten Martingalmaße, wegen der Arbitragefreiheit gilt P. Seien ux und vy definiert durch Dann gilt: ux = vy = inf Q P sup E P UX T x, x {U > }, 16 X T Cx E P V y dq, y > Die Funktion v ist die dual konjugierte Funktion von u, und u erfüllt die Inada Bedingung. 2. Die Optimierer ˆX T x und ˆQy von 16 und 17 existieren und sind eindeutig. Es gilt ˆQy P und ˆX T x = V y d ˆQy beziehungsweise y d ˆQy = U ˆX T x, 31

35 wobei x {U > }, y > 0 und y = u x bzw. x = v y. 3. Für u und v gilt: u x = E P U ˆX T x, v y = E ˆQy V y d ˆQy xu x = E P ˆX T xu ˆX T x, yv y = E P y d ˆQy V y d ˆQy. Dieser Satz stellt eine Methode zur Lösung des statischen Maximierungsproblems in einem unvollständigen Finanzmarktmodell dar. Man geht zunächst wie in dem vollständigen Fall vor. Wählt man eine Nutzenfunktion U, so kann man die dual Konjugierte V berechnen. Zur Bestimmung der Funktion v muss man aber in diesem Fall zuerst das Minimierungsproblem 17 lösen. Danach kann man wie im vollständigen Finanzmarktmodell fortfahren und die optimale Auszahlung ˆX T x bestimmen. Aufgrund der Unvollständigkeit des Modells entspricht der Superhedge von ˆX T x der optimalen Handelsstrategie. Als Anwendungsbeispiel zur Bestimmung des maximalen erwarteten Nutzens ux in einem unvollständigen Finanzmarktmodell betrachtet man zunächst das Einperioden Trinomialmodell. 3.2 Anwendung in einem Einperioden Trinomialmodell Man betrachtet nun ein arbitragefreies Einperioden Modell mit einem Ergebnisraum Ω = {ω 1, ω 2, ω 3 }. Das heißt der Aktienkurs S 1 kann nach dem Ablauf der Periode drei mögliche 32

36 Werte annehmen. Sei S 0 = 1 der Anfangsaktienpreis, dann ist 1 + u falls ω 1 eintritt, S 1 = 1 + m falls ω 2 eintritt, 1 + d falls ω 3 eintritt, mit 1 + u > 1 + m > 1 + d > 0 eine Zufallsvariable, die den Aktienkurs am Ende der Periode beschreibt. Außerdem setzt man wieder u d um eine Long- Position in der Aktie zu erhalten. Man nehme weiter an, dass der Zinssatz r der festverzinslichen Anleihe gleich 0 ist. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist definiert durch: P {ω 1 } = p 1, P {ω 2 } = p 2 und P {ω 3 } = p 3. Nun betrachtet man wieder die Nutzenfunktionen Ux = lnx und Ux = xα α für α 0, 1. Mithilfe des Satzes 3.4 kann man nun den optimalen erwarteten Nutzen ux, sowie die optimale Auszahlung ˆX 1 x in Abhängigkeit von dem Anfangskapital x ausrechnen. Da das Modell nicht vollständig ist, ist diese Auszahlung nicht unbedingt hedgebar. In solchen Fällen ist es aber möglich ein Superhedge zu konstruieren Beispiel 1 Sei also Ux = lnx die Nutzenfunktion mit der dual konjugierten Funktion V y = lny 1. Das Ziel ist es nun den optimalen erwarteten Nutzen und die optimale Auszahlung in Abhängigkeit von dem Anfangskapital und den Parametern des Modells numerisch zu bestimmen. Im ersten Schritt ist der Optimierer ˆQ = ˆq 1, ˆq 2, ˆq 3 P von 17 zu bestim- 33

37 men, d.h es ist das Minimierungsproblem inf E P V Q P y dq mit den Nebenbedingungen q 1 + q 2 + q 3 = 1 und E Q S 1 = S 0 zu lösen. Unter der Berücksichtigung der ersten Nebenbedingung kann man die zweite Bedingung umformulieren, denn es gilt: E Q S 1 = 1 + uq mq dq 3 = S 0 = 1 uq 1 + mq 2 + dq 3 = 0. Nun kann man wieder den Lagrange-Ansatz wählen, um dieses Minimierungsproblem mit zwei Nebenbedingungen zu lösen, die dazugehörige Lagrange-Funktion ist Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 =E P V y dq λ 1 q 1 + q 2 + q 3 1 λ 2 uq 1 + mq 2 + dq 3 =p 1 ln y q p 2 ln y q p 3 ln y q 3 1 p 1 p 2 p 3 λ 1 q 1 + q 2 + q 3 1 λ 2 uq 1 + mq 2 + dq 3. Für den Optimierer ˆq 1, ˆq 2, ˆq 3, ˆλ 1, ˆλ 2 muss nun Lˆq 1, ˆq 2, ˆq 3, ˆλ 1, ˆλ 2 = 0 gelten. Somit erhält man ein Gleichungssystem aus fünf Gleichungen und Unbekannten: q1 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = p 1 q 1 λ 1 λ 2 u = 0 q2 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = p 2 q 2 λ 1 λ 2 m = 0 q3 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = p 3 q 3 λ 1 λ 2 d = 0 34

38 λ1 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = q 1 + q 2 + q 3 1 = 0 λ2 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = uq 1 mq 2 dq 3 = 0 Man erkennt, dass für diese Nutzenfunktion der Optimierer ˆQ von y unabhängig ist. Nun kann man mit dem Newton-Verfahren die Nullstelle von L numerisch bestimmen. Hierfür bestimmt man die Hesse-Matrix Hess L von L: p u q1 2 p m q2 2 Hess L q 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = p d q u m d 0 0 Wählt man nun die Startwerte z 0 = q 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2, so kann man sich iterativ durch z n = z n 1 Hess L z n 1 1 Lz n 1 einer Nullstelle von L nähern. Hierbei sind die Startwerte so geschickt zu wählen, dass z n gegen die Nullstelle mit 0 < q i < 1 für i {1, 2, 3} konvergiert. Wie die oberen Überlegungen gezeigt haben ist der Optimierer ˆQ eindeutig bestimmt, d.h. es existiert genau eine Nullstelle von L, die diese Eigenschaft erfüllt. Dann kann man die Funktion v bestimmen vy = E P V y d ˆQ = 3 i=1 p i ln y ˆq i 1. p i Nun kann man die Funktion für den optimalen erwarteten Nutzen in Abhängigkeit von dem Anfangskapital bestimmen, es gilt: vy + yx = 3 i=1 ux = inf y 0 vy + yx und p i y + x = 1 y + x = 0 y = 1 x. 35

39 Also ist ux = v 1 x + 1 = 3 i=1 p i ln Weiter ist die optimale Auszahlung ˆX 1 x in Abhängigkeit von x interessant. Nach dem Satz 3.4 gilt ŷx = u x = ˆX 1 x = V ˆq i p i x. 3 1 p i x = 1 x i=1 ŷx d ˆQ und = x d ˆQ. Das Programm 1 enthält die numerische Umsetzung des Newton-Verfahrens und liefert die Ausgabe von dem optimalen äquivalenten Martingalmaß ˆQ und erwarteten Nutzen ux, sowie die optimale Auszahlung ˆX 1 x in Abhängigkeit von dem Anfangskapital x und den Parametern des Trinomial-Modells Beispiel 2 Betrachtet man nun wieder ein Einperioden Trinomialmodell mit der Nutzenfunktion Ux = xα α für α 0, 1, so kann man anolog wie im Beispiel 1 vorgehen. Zuerst ist also E P V y dq unter allen Martingalmaßen zu minimieren. Es gilt: inf E P V y dq Q P = inf Q P 3 i=1 = V y inf Q P 1 α α 3 i=1 p i y q i p i α α qi p i. p i Das heißt der Optimierer ˆQ ist von y unabhängig und man muss nun das Minimierungsproblem inf Q P 3 i=1 α qi p i p i mit den Nebenbedingungen q 1 + q 2 + q 3 = 1 und uq 1 + mq 2 + dq 3 = 0 lösen. 36

40 Die dazugehörige Lagrange-Funktion ist Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = 3 i=1 α qi p i λ1 q 1 + q 2 + q 3 1 λ 2 uq 1 + mq 2 + dq 3 p i Also ist Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = α α α q 1 1 p 1 q 2 1 p 2 λ 1 uλ 2 λ 1 mλ 2 1 q 3 p 3 λ 1 dλ 2 q 1 + q 2 + q 3 1 uq 1 + mq 2 + dq 3 und Hess L q 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = α q 2 α 2 1 p u 1 α q 2 α p2 0 1 m 1 α q 2 α p3 1 d u m d 0 0 Nun kann man wieder für geschickt gewählte Startwerte den Optimierer ˆQ mit dem Newton-Verfahren bestimmen. Dann ist vy = 3 i=1 v y = y 1 1 α α 3 i=1 p i y ˆq i p i α α ˆqi p i p i = y 1 c mit c = 3 i=1 und α ˆqi p i. p i 37

41 Also gilt: v y + x = 0 y = x c. Und somit ux = vy + x y. Das Programm 2 enthält die numerische Umsetzung und liefert die Ausgabe von dem optimalen äquivalenten Martingalmaß ˆQ und optimalen erwarteten Nutzen. Hierbei ist zu beachten, dass die Startwerte mit dem Parameter α zusammenhängen und somit für bestimmte α 0, 1 neu gewählt werden müssen Beispiel 3 Der folgende Spezialfall des Einperioden Trinomialmodells mit m = 0 ist auch interessant zu untersuchen, da man hier, statt Satz 3.4 anzuwenden, die Erkenntisse aus dem CRR-Modell nutzen kann und sogar die optimale Handelsstrategie direkt angeben kann. Man nimmt also an, dass der Aktienkurs folgende Werte nach dem Ablauf der Periode annehmen kann: 1 + u, falls ω 1 eintritt, S 0 = 1, S 1 = 1, falls ω 2 eintritt, 1 + d, falls ω 3 eintritt, und dass der Zinssatz r = 0 ist. Das Wahrscheinlichkeitsmaß P ist besimmt durch: P {ω 2 } = p 2 für ein p 2 0, 1 und P {ω 1 } = 1 p 2 p 1, P {ω 3 } = 1 p 2 p 3 für p 1, p 3 0, 1 mit p 1 + p 3 = 1. Wegen der Arbitragefreiheit gilt weiter 1 + u > 1 > 1 + d > 0. Ferner nimmt man wieder an, dass u d, um eine Long-Position in der Aktie zu erhalten. Nun berechnet man die optimale Handelsstrategie mithilfe des Einperioden CRR-Modells. Falls nötig, kann man dann auch den optimalen äquivalenten Martingalmaß bestimmen. Das Ziel ist es ein ĥtri R zu bestimmen, sodass 38

42 E P Ux + ĥtri S 1 = sup h R E P Ux + h S 1 =: u tri x. Dann gilt: u tri x = sup p 2 Ux h S 1 ω p 2 p 1 Ux h S 1 ω p 2 p 3 Ux h S 1 ω 3 h R = p 2 Ux + 1 p 2 sup p 1 Ux + hu + p 3 Ux + hd h R = p 2 Ux + 1 p 2 u bi x = p 2 Ux + 1 p 2 p 1 Ux + ĥu + p 3Ux + ĥd = p 2 Ux + 1 p 2 c U Ux =: c tri U Ux mit c tri U = p p 2 c U. Bei dem zweiten Gleichheitszeichen ist zu beachten, dass S 1 ω 2 = 0 ist. Und bei dem dritten, dass p 1 Ux+hu+p 3 Ux+hd dem E P Ux+ S 1 im Einperioden CRR-Modell entspricht. Hieraus folgt, dass der Optimierer ĥtri für dieses Einperioden Trinomialmodell mit dem ĥ aus dem Einperioden CRR-Modell überbestimmt. Das heißt ĥ tri = xc 1 V q p 1 β 1 1u 1 für Ux = xα. Dabei ist q durch das eindeutig α bestimmte äquivalente Martingalmaß des Einperioden CRR-Models gegeben. Nun kann man Satz 3.4 anwenden um ˆQ zu berechnen. Es gilt: ŷx = u tri x = c tri U U x d ˆQ ω 2 = U ˆX 1 xω 2 ŷx = U x ŷx = 1 ˆQω 2 = d ˆQ ω 2P {ω 2 } = p 2. c tri ˆQω 1 und ˆQω 3 erhält man durch Lösen des folgenden linearen Gleichungssystems: ˆQω1 + ˆQω 2 + ˆQω 3 = 1 E ˆQS 1 S 0 = 0. U c tri U. ˆQω 1 = p 2 c tri U 1 d u d und ˆQω 3 = 1 p 2 u c tri U. u d Somit ist auf diese Weise die optimale Handelsstrategie und der dazugehörige 39

43 optimale äquivalente Martingalmaß für dieses Einperioden Trinomialmodell eindeutig bestimmt. 3.3 Anwendung in einem N-Perioden Trinomialmodell Man möchte nun das Trinomialmodell auf N Perioden ausweiten. Dafür betrachtet man eine Familie von identisch verteilten, stochastisch unabhängigen Zufallsvariablen ξ t N t=1 auf dem Wahrscheinlichkeitsraum Ω, F, P, sodass P ξ t = 1 = p 1, P ξ t = 0 = p 2 und P ξ t = 1 = p 3 für 1 t N. Ferner sei F t N t=1 die Filtration, der von ξ n t erzeugten σ-algebren. Sei S 0 = 1 der Anfangsaktienkurs. Dann ist der Preis der Aktie zum Zeitpunkt t {1,..., N} rekursiv definiert durch: S t u, falls ξ t = 1 S t = S t m, falls ξ t = 0 S t d, falls ξ t = 1. mit 1 + u > 1 + m > 1 + d > 0. Setzt man jetzt L t = t 1 {ξi =1} und M t = i=1 t i=1 1 {ξi =0}, dann gilt S t = S u Lt 1 + m Mt 1 + d t Lt Mt für 1 t N. Außerdem gilt t t n n m p n 1 p m 2 p t n m 3, falls n + m t P L t = n, M t = m = 0, sonst, t n t t n P L t = n = p n 1 p i 2 p3 t n i, n i i=0 40

44 t n t P M t = n = n i=0 t n i p i 1 p n 2 p t n i 3, für 1 t N und 0 n t. Ferner gilt für ein Martingalmaß Q Beispiel 1 dq F N = q1 p 1 LN MN N LN M N q2 q3. p 2 Man nehme Ux = lnx als Nutzenfunktion. Das Ziel ist den optimalen erwarteten Nutzen ux in Abhängigkeit von einem Startkapital x zu bestimmen. Nun wendet man wieder Satz 3.4 an und verwendet den Lagrange-Ansatz zur Bestimmung des Optimierers ˆQ. Es gilt p 3 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = E P V y dq λ 1 q 1 + q 2 + q 3 1 λ 2 uq 1 + mq 2 + dq 3 mit = E P V N n n=0 m=0 Ferner gilt: y dq N n = N n m N n n=0 m=0 p n 1 p m 2 P L N = n, M N = m V p N n m 3 ln y q1 p 1 y q1 p 1 n m N n m q2 q3 p 2 p 3 n m N n m q2 q3 1. p 2 p 3 q1 E P V y dq = N n n=0 m=0 = 1 N n q 1 n=0 = 1 q 1 N n=0 N n N n m=0 N n m N N n n m p n 1 p m 2 p n 1 p m 2 p N n m 3 n q 1 p N n m 3 np L N = n = 1 q 1 E P L N = N p 1 q 1, 41

45 q2 E P V q3 E P V Es gilt also: y dq = = y dq = N n N N n n m N m N N n n m n=0 m=0 m=0 n=0 = 1 E P M N = N p 2, q 2 q 2 N n N N n n m = = = n=0 m=0 N n n=0 m=0 N k k=0 n=0 k=0 p n 1 p m 2 p n 1 p m 2 p n 1 p m 2 p N n m 3 m q 2 p N n m 3 m q 2 p N n m 3 N n m q 3 P L N = n, M N = m N n m q 3 P L N = n, M N = N k n k q 3 P N L N M N = k k q 3 = 1 q 3 E P N L N M N = N p 3 q 3. Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = N p 1 q 1 λ 1 uλ 2 N p 2 q 2 λ 1 mλ 2 N p 3 q 3 λ 1 dλ 2 q 1 + q 2 + q 3 1 uq 1 + mq 2 + dq 3 42

46 Um die Nullstellen von L zu bestimmen verwendet man erneut das Newton- Verfahren. Die Hesse-Matrix von L ist N p u q1 2 N p m q2 2 Hess L q 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = N p d q u m d 0 0 Wählt man nun ein Startwert z 0 = q 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2, so nähert sich z n = z n 1 Hess 1 L z n 1 Lz n 1 einer Nullstelle von L. Wieder sind die Startwerte so zu wählen, dass die Nullstelle ˆq 1, ˆq 2, ˆq 3, ˆλ 1, ˆλ 2 0 < ˆq i < 1 für i {1, 2, 3} erfüllt. Dann ist der optimale äquivalente Martingalmaß ˆQ gegeben durch ˆq 1, ˆq 2, ˆq 3. Nun ist die Funktion v bestimmt durch vy = Also gilt: v y + x = Daraus folgt N n n=0 m=0 P L N = n, M N = m V N n n=0 m=0 1 ux = infvy + yx = v + 1 y 0 x N n = P L N = n, M N = m n=0 m=0 = lnx N n n=0 m=0 n m N n m ˆq1 ˆq2 ˆq3 y p 1 P L N = n, M N = m 1 y + x = 1 y + x = 0 y = 1 x. n m N n m 1 ˆq1 ˆq2 ˆq3 ln x p 1 p 2 p 3 n m N n m ˆq1 ˆq2 ˆq3 P L N = n, M N = m ln. p 1 p 2 p 2 p 3 p 3 43

47 Das Programm 3 rechnet ˆQ sowie ux in Abhängigkeit von den Parametern des Modells und des Anfangskapitals x aus Beispiel 2 Sei nun Ux = 1 α xα für α 0, 1 die Nutzenfunktion. V y = 1 α α die dual konjugierte Funktion von U, somit gilt: y α ist vy = inf Q P E P V = 1 α α =: 1 α α y dq y α inf Q P N n n=0 m=0 y α inf fq 1, q 2, q 3 mit Q P P L N = n, M N = m n m q1 q2 q3 p 1 p 2 p 3 N n m α fq 1, q 2, q 3 = N n m α N n m N n n=0 m=0 P L q N = n, M N = m 1 q 2 q 3 p 1 p 2 p 3 Somit ist das Minimierungsproblem von y unabhängig. Zur Lösung des Minimierungsproblems inf Q P fq 1, q 2, q 3 wählt man erneut den Lagrange-Ansatz Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = fq 1, q 2, q 3 λ 1 q 1 + q 2 + q 3 1 λ 2 uq 1 + mq 2 + dq 3. Mithilfe des Newton-Verfahrens bestimmt man die Nullstellen von L. Das heißt zuerst sind die partiellen Ableitungen von L bis zur zweiten Ordnung zu berechnen. q1 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = N n n=0 m=0 nα P L N = n, M N = m α 1 q nα 1 n m 1 q2 q3 p 1 p 2 =: c 1 λ 1 uλ 2, p 3 1 N n m α λ 1 uλ 2. q2 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = c 2 λ 1 mλ 2 q3 Lq 1, q 2, q 3, λ 1, λ 2 = c 3 λ 1 dλ 2 und mit 44