Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd

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1 Pädagogische Hochschule Schwäbisch Gmünd Institut für Mathematik und Informatik Albrecht: uebung_0_geo.docx: Die Entfernung zum Horizont 1. In der "sonntag aktuell" vom wurde in einem Bericht die Ozeanüberquerung mit dem Schiff geschildert. "Wie weit ist der Horizont entfernt?" soll eine der am meisten gestellten Fragen sein, wenn Passagiere den Kapitän auf der Brücke besuchen. Überprüfen Sie, ob die im Zeitungsartikel genannte Antwort richtig ist! a) Welches Modell liegt diesem Sachverhalt zugrunde? Skizzieren Sie die Situation. b) Im Kontext ist lediglich die Augenhöhe als Ausgangswert benannt. Welche/n weitere/n Wert/e benötigen Sie außerdem? Woher können Sie diese Angaben erhalten? c) Berechnen Sie konkret die Entfernung zum Horizont! d) Mit ziemlicher Sicherheit haben Sie Ihr Ergebnis in Metern oder Kilometern errechnet. Wie können Sie dieses in Seemeilen umrechnen? Woher kommt das Längenmaß Seemeile und woraus ist es abgeleitet? e) Wie verändert sich die Horizontweite, wenn die Augenhöhe geändert wird? In welchem Zusammenhang stehen Augenhöhe und Horizontweite? 2. Informieren Sie sich darüber, wie Eratosthenes vor etwa 2200 Jahren den Erdumfang bestimmt hat. 3. Rekapitulieren Sie die Strahlensätze. a) Wie viele Strahlensätze kennen Sie? Wie lauten diese? b) Welche beiden geometrischen Konzepte sind mit den Strahlensätzen eng verwandt? 4. Informieren Sie sich über die folgenden geometrischen Sätze: a) Sekantensatz b) Sekanten-Tangentensatz c) Sehnensatz d) Wie lautet der Höhensatz? e) Schaffen Sie es, den Sehnensatz in Beziehung zum Höhensatz zu setzen?

2 5. Wie lautet der Umfangswinkelsatz? Nennen Sie einen Spezialfall des Umfangswinkelsatzes. 6. Euklids Elemente sind eine Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid (3. Jh. v. Chr.), in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasst und systematisiert. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden. Die Elemente wurden 2000 Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur. a) In den Elementen des Euklid wird unter 5 bewiesen, dass die Basiswinkel im gleichschenkligen Dreieck gleich groß sind. b) Geben Sie diesen Beweis in moderner Sprache und Darstellung wieder. c) Analysieren Sie den Beweisgang Euklids. Auf welche anderen Sätze greift er zurück? Worauf gründen sich wiederum diese Sätze? Zeichnen Sie die Abhängigkeiten als Baumdiagramm. Euklids Elemente sind eine Abhandlung des griechischen Mathematikers Euklid (3. Jh. v. Chr.), in der er die Arithmetik und Geometrie seiner Zeit zusammenfasst und systematisiert. Das Werk zeigt erstmals musterhaft den Aufbau einer exakten Wissenschaft, da die meisten Aussagen aus einem begrenzten Vorrat von Definitionen, Postulaten und Axiomen hergeleitet und bewiesen werden. Die Elemente wurden 2000 Jahre lang als akademisches Lehrbuch benutzt und waren bis in die zweite Hälfte des 19. Jahrhunderts das nach der Bibel meistverbreitete Werk der Weltliteratur. Nachfolgend finden Sie die für die obige Aufgabenstellung benötigten Auszüge aus Euklids Elementen, hier in einer Ausgabe von 1781 aus Halle. 1 Es ist durchaus empfehlenswert, die in der Fußnote angegebene Quelle aufzusuchen und dort weitere Seiten zu lesen. Sie bekommen damit einen Einblick in den Geometrieunterricht früherer Zeiten: Bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts bestand der Geometrieunterricht aus dem seitenweisen Durcharbeiten von Euklids Elementen. Die Veröffentlichung hier erfolgt unter der Creative Commons Lizenz CC-BY-SA 4.0 Quelle: SLUB Dresden, (CC-BY-SA 4.0) 1

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