Seminar Algebra II SS Der Satz von Jordan-Hölder. Tanja Busch

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1 Seminar Algebra II SS 2005 Der Satz von Jordan-Hölder Tanja Busch

2 Definition 1: 1. G sei eine Gruppe. Eine Reihe G N 0 N 1 N 2... N r {e} von Untergruppen heißt Kompositionsreihe von G, wenn stets N i+1 Normalteiler in N i ist. 2. Man nennt N i /N i+1 Faktoren der Reihe bzw. Kompositionsfaktoren und r die Kompositionslänge. 3. Eine strikte Kompositionsreihe ist eine Kompositionsreihe, für die stets N i N i+1 gilt. Definition 2: Eine Gruppe G heißt einfach, falls sie nicht-trivial ist und keine normalen Untergruppen besitzt außer {e} und sich selbst: G N 0 N 1 {e}. Definition 3: Eine Jordan-Hölder-Reihe ist eine strikte nicht verfeinerbare Kompositionsreihe. Mit anderen Worten: Eine JH-Reihe ist eine Kompositionsreihe, bei der alle Faktoren einfach sind. Bemerkungen 4: Jede endliche Gruppe besitzt eine JH-Reihe. Die unendliche zyklische Gruppe Z mit der gewöhnlichen Addition besitzt keine JH-Reihe: Z 2Z 4Z... {0}. G S n A n {e} ist JH-Reihe in S n für n 5. Sei Z zyklisch von der Ordnung n und g ein erzeugendes Element. Da zyklische Gruppen abelsch sind, sind alle Untergruppen von Z Normalteiler. Ist d ein Teiler von n, etwa n de, so wird die Untergruppe U der Ordnung d von g e erzeugt. Der Untergruppenverband von Z entspricht gerade dem Verband der Teiler von n. Die endlichen einfachen Abelschen Gruppen sind die zyklischen Gruppen C p von Primzahlordnung p. Definition 5: 1. Eine Kompositionsreihe Σ heißt Verfeinerung von Σ, wenn Σ Teilfolge von Σ ist. 2. Zwei Kompositionsreihen Σ 1 (F i ) 0 i r und Σ 2 (H j ) 0 j s heißen äquivalent, wenn es eine Bijektion σ : {0,..., r} {0,..., s}, i σ(i), gibt mit Insbesondere soll gelten: r s. F i /F i+1 Hσ(i) /H σ(i)+1. 1

3 Bemerkungen 6: Σ entsteht aus Σ durch Hinzufügen von Termen. Eine Teilfolge einer Kompositionsreihe ist im Allgemeinen nicht wieder Kompositionsreihe, denn G i+1 normal in G i, aber nicht notwendig normal in G j für j < i. Satz 7 (Verfeinerungssatz von Schreier): Je zwei Kompositionsreihen einer Gruppe besitzen äquivalente Verfeinerungen. Satz 8 (Jordan-Hölder): Je zwei JH-Reihen einer Gruppe sind äquivalent. Beweis von Satz 8: Nach dem Satz von Schreier haben je zwei solche Reihen äquivalente Verfeinerungen, während sie andererseits (nach Definition) keine echten Verfeinerungen erlauben. Also sind zwei JH-Reihen äquivalent. Bemerkung 9: Ein Spezialfall des Jordan-Hölder-Satzes ist die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung in Z. k Sei n p i eine Primfaktorzerlegung (eventuell mit Wiederholungen) und G zyklisch i1 von der Ordnung n. Dann entspricht jedes Partialprodukt n j p 1...p j einer Untergruppe U j der Ordnung n j. So erhält man eine JH-Reihe, deren Faktoren U j+1 /U j von der Ordnung p j+1 sind. Also sind die Primfaktoren bis auf die Reihenfolge eindeutig bestimmt. Folgendes Beispiel soll der Veranschaulichung dienen: Für n hat man zwei JH-Reihen: Z 6 Z 3 {e} und Z 6 Z 2 {e}: Z 2 Z 6 Z 3 {e} Die Faktoren sind hier Z 2 und Z 3 Z6 /Z 2 bzw. Z 3 und Z 2 Z6 /Z 3 und stimmen somit bis auf die Reihenfolge überein. Beweis von Satz 7: Sei G eine Gruppe und Σ 1 (F i ) 0 i r, Σ 2 (H j ) 0 j s zwei Kompositionsreihen von G. Diese Reihen werden wie folgt verfeinert: Σ 1 wird zu Σ 1 durch Einfügen von F ij F i+1 (H j F i ) i 0,..., r 1, j 0,..., s, wobei F i0 F i+1 (H 0 F i ) F i+1 F i F i und F is F i+1 (H s F i ) F i+1 {e} F i+1. 2

4 Analog verfährt man mit Σ 2, wobei H ji H j+1 (F i H j ) j 0,..., s 1, i 0,..., r und H j0 H j, H jr H j+1 gelten. Man fügt also zwischen F i und F i+1 bzw. H j und H j+1 jeweils folgende Reihe ein: F i F i+1 (H 0 F i ) F i+1 (H 1 F i )... F i+1 (H s F i ) F i+1 bzw. H j H j+1 (F 0 H j ) H j+1 (F 1 H j )... H j+1 (F r H j ) H j+1. Zu zeigen bleibt also: 1. durch Einfügen dieser Untergruppen entstehen wieder Kompositionsreihen, d.h. F i,j+1 F ij und H j,i+1 H ji, 2. die Faktorgruppen sind isomorph, d.h. F ij /F i,j+1 Hji /H j,i+1. Um das beweisen zu können, benutzt man das sogenannte Schmetterlingslemma, wobei dann u F i+1, U F i, v H j+1 und V H j (siehe Lemma 13). Gesetz 10 (Dedekindsches Modulargesetz): Für A, B, C Untergruppen von G mit B C gilt: (AB) C (A C)B. Bemerkung 11: Die Normalteiler einer Gruppe bilden, genau wie die Untergruppen, einen Verband. Für Normalteiler ist AB das Supremum von A und B, A B das Infimum. Satz 12 (Noetherscher Isomorphiesatz): Sei G eine Gruppe, H und N Untergruppen von G, wobei N Normalteiler in G ist. Dann gilt: 1. HN ist Untergruppe von G 2. H N ist Normalteiler in H 3. HN/N H/H N. Zur Veranschaulichung: G HN N H H N 3

5 Lemma 13 (Schmetterlingslemma von Zassenhaus): Sei G eine Gruppe, U, V Untergruppen von G und u U, v V (d.h. normal in U bzw. V ). Dann gilt: 1. u(u v) u(u V ) (u V )v (U V )v 2. u(u V )/u(u v) (U V )v/(u V )v, d.h. die Faktorgruppen sind isomorph. Beweis: Man betrachte im folgenden Diagramm zwei Parallelogramme, die die Flügel des Schmetterlings repräsentieren. Da u und v Normalteiler in U bzw. V sind, folgt, dass alle im Lemma auftretenden Produkte Untergruppen sind. U V u(u V ) (U V )v U V u u(u v) (u V )v (u V )(U v) v u V U v Der Schnittpunkt zweier Liniensegmente, die nach unten gehen, repräsentieren den Schnitt von Gruppen. Zwei Linien, die nach oben gehen, treffen sich in einem Punkt, der das Produkt zweier Gruppen repräsentiert (d.h. die kleinste Untergruppe, welche beide enthält). Es gilt: u(u v)(u V ) u(u V ), da (U v) (U V ) u(u V )(U v) u(u v), da (u V ) u u(u v) (U V ) (u U V )(U v) (u V )(U v) (nach Gesetz 9) Analog für die rechte Seite. Zu 1: Da u U und U v U V U, folgt u(u v) u(u V ) U. Elemente aus U V normalisieren u, v und U, also auch u(u v). Daher gilt: (U V ) N G (u(u v)). 4

6 Offensichtlich ist u u(u v) N G (u(u v)). Also ist auch das Produkt u(u V ) N G (u(u v)), d.h. u(u v) u(u V ). Analog verfährt man, um (u V )v (U V )v zu zeigen. Zu 2: Die vertikale Seite, die die beiden Parallelogramme verbindet, hat U V als Gipfelendpunkt und (u V )(U v) als Fußendpunkt. Da v V, folgt (U V )v V und v (U V )v. Der Isomorphiesatz Punkt 2 liefert, mit H U V und N v, (U V ) v (U v) (U V ). Analog zeigt man (u V ) (U V ). Damit folgt: (u V )(U v) (U V ). Nach Isomorphiesatz Punkt 3 folgt, mit H U V und N (u V )v: (U V )/(u V )(U v) (U V )v/(u V )v. Analog, mit H U V und N u(u v), folgt (durch Symmetrie): (U V )/(u V )(U v) u(u V )/u(u v). Zur Veranschaulichung: u(u V ) (U V )v U V u(u v) (u V )(U v) (u V )v D.h. also, dass die mittlere vertikale Seite des Parallelogramms äquivalent sowohl zur linken vertikalen Seite als auch zur vertikalen Seite von rechts ist. Damit folgt die Behauptung 2 des Lemmas: u(u V )/u(u v) (U V )v/(u V )v. 5

7 Literaturverzeichnis [1] J. Gamst: Vorlesungsunterlagen - Algebra I, 3.B, 1990 [2] S. Lang: Algebra, Kapitel IV 4, Addison-Wesley, 1965 [3] M. Aschbacher: Finite group theory, Cambridge University Press, 1986 [4] R. Kochendörffer: Einführung in die Algebra, VEB Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin, 1974 [5] J. Cigler: Körper - Ringe - Gleichungen, Akademischer Verlag Heidelberg Berlin Oxford, 1995 [6] Helmut Kopka: L A TEX Eine Einführung, Addison-Wesley,