Modellierung von Hydrosystemen

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1 Universität Stuttgart - Institut für Wasserbau Prof. Dr.-Ing. Rainer Helmig Pfaffenwaldring 61, Stuttgart (Vaihingen) Name, Vorname: Matrikelnummer: G-05 Umweltströmungsmechanik (umw) W1 Hydrosystemmodellierung (bau) M6 Hydrosystemmodellierung (bau) Titel: Zeit:, 10:00 Uhr Ort: V Minuten Bearbeitungszeit = 30 Punkte Keine Hilfsmittel zugelassen. Mobiltelefone ausschalten. 3 Prüfungsfragen auf 9 Seiten. Bitte keine roten Stifte verwenden.

2 Seite 2 Frage 1: Kurzfragen: (14 min) Bitte beantworten Sie diese Fragen in Stichworten. a) Zeitdiskretisierung: (i) Welches Kriterium schränkt den Zeitschritt bei einem expliziten Verfahren ein? Schreiben Sie es für eine Grundwassergleichung auf. (ii) Nach wem ist das zentrale Differenzenverfahren bei der Zeitdiskretisierung benannt? (iii) Was ist der Vorteil des zentralen Verfahrens gegenüber einem impliziten Verfahren? (iv) Für welche Kategorie würden Sie sich entscheiden, wenn Sie das zentrale Differenzenverfahren in eine der Kategorien implizit oder explizit einordnen müssten? Begründen Sie ihre Wahl.

3 Seite 3 b) Diskretisierungsverfahren: (i) Was ist der generelle Unterschied bei der Umformung der Differentialgleichung zwischen der Finiten Differenzen Methode (FDM) und der Integralen Finiten Differenzen Methode (IFDM)? (ii) Welche Ordnung haben dabei die Ableitungen, die bei der Laplacegleichung für die jeweiligen Verfahren diskretisiert werden? (iii) Bei welchem Verfahren läßt sich leichter eine Dirichletrandbedingung einbauen, bei welchem Verfahren eine Neumannrandbedingung? Erklären Sie in wenigen Worten, warum das so ist.

4 Seite 4 c) Upwinding - Transport: (i) Erklären Sie die physikalische Motivation des Upwinding Verfahrens. (ii) Wieso ist das Upwinding Verfahren stabil? (iii) Welche Vor- und Nachteile leiten sich daraus gegenüber einem zentralen Verfahren ab? (iv) Benennen Sie die drei Terme einer quellen- und senkenfreien Transportgleichung. (v) Formulieren Sie die Transportgleichung so, dass eine konservative Formulierung sichergestellt ist.

5 Seite 5 d) Konsistenz: (i) Wie kann man die Konsistenz der Diskretisierung einer Differentialgleichung zeigen? (ii) Was bedeuten in diesem Zusammenhang die Begriffe Stabilität und Konvergenz?

6 Seite 6 Frage 2: Diskretisierung von Inhomogenitäten: (9 min) In Abbildung 1 ist eine mit zwei verschiedenen Sanden gefüllte Röhre dargestellt. Die Durchlässigkeiten der Sande sind unterschiedlich, was in den Diskretisierungsverfahren berücksichtigt werden muss. Abbildung 1: Gebiete unterschiedlicher Permeabilität Daraus ergeben sich die folgenden Fragen. a) Benennen Sie für die zwei folgenden Diskretisierungsmethoden die Art der Mittelung bei einem Übergang von Gebieten unterschiedlicher Permeabilität: IFDM, Finite Elemente Methode (FEM). b) Zeichnen Sie in Abbildung 2 (unter diesem Aufgabentext) drei bis vier Kontrollvolumen sowie Knoten für eine Diskretisierung mit einem volumenzentrierten Finiten Volumen Verfahren (FVM) um den Übergang herum ein. Machen Sie deutlich, ob Knoten oder Ränder der Kontrollvolumen auf dem Übergang oder daneben liegen. Das System kann idealisiert als eindimensional angenommen werden. Abbildung 2: Eindimensionale Darstellung des Gebiets

7 Seite 7 c) Leiten Sie aus den Gleichungen der IFDM her, welche Art der Mittelung bei dieser Methode richtig ist. Markieren Sie verwendete Punkte in der Zeichnung und erläutern Sie Ihre Annahmen.

8 Seite 8 Frage 3: Fallbeispiel: (7 min) Der in Abbildung 3 gezeigte Labortank soll für ein physikalisches Experiment richtig ausgelegt werden. Der Versuchsaufbau wird vom Wasser wie folgt durchflossen: Zuerst läuft das Wasser durch ein Rohr vom Vorlagetank (A) in den Vorraum (schraffiert, B). Von dort gelangt es durch einen Filter in den mit Sand gefüllten Labortank, in dem die Kreise potentielle Messstellen anzeigen. Am rechten Rand (C) ist das Experiment komplett verfiltert und das verdrängte Wasser verlässt den Aufbau über ein Rohr zum Überlauftank (D). Es sind drei verschiedene Sande verbaut worden, die die folgenden Bodeneigenschaften haben: Hintergrundmaterial 1: K 1 = 10 6 m/s Linsenmaterial 2: K 2 = 10 9 m/s Linsenmaterial 3: K 3 = 10 5 m/s Hinweise: Sowohl im Überlauftank als auch im Zulauftank wird eine feste Wasserstandshöhe eingestellt. Die Strömungsverluste in den Zu- und Ablaufröhren sowie den verfilterten vor- und nachgeschalteten Räumen kann man vernachlässigen. Das Problem kann in zwei Dimensionen hinreichend beschrieben werden. A B K_3 K_2 K_2 C D Abbildung 3: Schnitt durch den Versuchsbehälter Ihre Aufgabe ist es, ein numerisches Modell zu entwickeln, dabei sollen Sie im Einzelnen die folgenden Punkte bearbeiten.

9 Seite 9 a) Wählen Sie Ihr zu untersuchendes Modellgebiet aus und markieren Sie, wo Sie welche Randbedingungen verwenden wollen. Begründen Sie Ihre Wahl! b) Welches Diskretisierungsverfahren würden Sie wählen? Begründen Sie auch hier Ihre Wahl und skizzieren Sie dazu ein entsprechendes Netz, das die Bodeneigenschaften berücksichtigt. Das Netz darf grob sein, sollte aber, falls es stellenweise nötig ist, verfeinert werden.