Algebraische Geometrie I. Christian Lehn

Transkript

1 Algebraische Geometrie I Christian Lehn

2 Inhaltsverzeichnis Kapitel 1. Affine Varietäten 3 1. Lösungsmengen polynomialer Gleichungen 3 2. Zariski-Topologie 4 3. Hilbertscher Nullstellensatz 6 4. Koordinatenringe, Irreduzibilität, Dimension 7 5. Maximalspektrum 8 6. Dimensionstheorie 12 Anhang A. Kommutative Algebra Lokalisierung Ganze Ringerweiterungen 23 Anhang B. Kategorientheorie Exkurs: Kategorientheorie 29 1

3

4 KAPITEL 1 Affine Varietäten Wir wollen uns dem Begriff der (affinen) Varietät nähern. 1. Lösungsmengen polynomialer Gleichungen Ein erster Erklärungsversuch auf die Frage Was ist algebraische Geometrie? könnte so lauten: Algebraische Geometrie ist das Studium von Lösungsmengen polynomialer Gleichungen. Wenn wir versuchen, dies zu präzisieren, ergeben sich (mindestens) folgende Fragen: Wo suchen wir Lösungen? Es sei etwa f Q [X 1,..., X n ] ein Polynom. Was sind die Lösungen von f = 0 in Q n, R n, C n? Wie beschreibt man die Gesamtheit der Lösungen? Es stellt sich auch die Frage nach der Existenz und nach Invarianten. Gibt es endlich viele oder unendlich viele Lösungen? 1.1. Beispiel. Es sei k ein Körper und R = k[x]. Dann hat f R \ {0} genau d := deg f Nullstellen in k, dem algebraischen Abschluss von k, mit Vielfachheiten gezählt, denn f = λ (x α 1 )... (x α d ), wobei λ k und α 1,..., α d k. Es kann sein, dass f = 0 in bestimmten Körpern keine Lösung hat, z.b. Es sei f = x und k = R. Dann ist {x R f(x) = 0} =. Es sei hingegen f = x und k = F 2 = Z / 2Z. Dann ist {x k f(x) = 0} = {1}. Beachte: x = (x 1) 2 in F 2 [x] Beispiel. Es seien k ein Körper und R = k[x, y]. Dann definiert f R die Menge V (f) := { λ = (λ 1, λ 2 ) k 2 f(λ) = 0 } k 2, die sogenannte Verschwindungsmenge von f. (i) Einfachster Fall: Es sei f R nicht konstant, deg f = 1. Dann ist V (f) ein affiner Unterraum von k 2 der Dimension 1. Insbesondere gilt V (f). (ii) Ebene Kurven: f = x 2 + y 2 1, f k[x, y]. k = R: Dann ist V (f) der Einheitskreis, insbesondere gilt #V (f) =. k = F 2 : V (f) = {(1, 0), (0, 1)} k = F 3 : V (f) = {(1, 0), (2, 0), (0, 1), (0, 2)} Frage: Was ist N p := # { (λ 1, λ 2 ) F 2 p f (λ 1, λ 2 ) = 0 } = #V (f)? 3

5 4 Kapitel 1. Affine Varietäten k = Q: f = x 2 + y 2 1. Es sind (0, 1), (1, 0) V (f). Was ist #V (f)? Ist V (f) endlich oder unendlich? Geometrische Konstruktion zur Lösung dieser Frage: Es sei L die Gerade durch (0, 1) und (t, 0) mit t Q. Behauptung: p V (f) L liegt in Q 2. L ist gegeben durch x = t(1 y). Dann erfüllt p die Gleichung 0 = x 2 + y 2 1 = t 2 (1 y) 2 + y 2 1 = (1 y) ( t 2 (1 y) (1 + y) ). Der erste Faktor liefert uns die Nullstelle (0, 1), also liefert uns der zweite Faktor p. Koordinaten von p: t 2 (1 y) + (1 + y) = 0 ist äquivalent zu Da t Q ist, ist p = (x(t), y(t)) = y = t t 2, x = 2t 1 + t 2. ( t 2 ) t 2, 2t 1 + t 2 Q 2. (iii) Es sei f = x 3 +y 3 1 Q[x, y]. Was ist V (f) Q 2? Ist V (f) endlich oder unendlich? Angenommen, ( a f b d), c = 0 mit a, b, c, d Z. Dann gilt d 3 a 3 +c 3 b 3 = b 3 d 3, also löst (ad, bc, bd) Z 3 die Gleichung x 3 + y 3 = z 3, was ein Widerspruch zu Fermats letztem Satz (bewiesen 1753 von L. Euler) ist. (iv) Es sei k = F 3 und f = x 3 x k[x]. Dann ist f 0 in k[x], aber V (f) = k. (v) Es sei k = R und f = x 2 +y 2 +1 k[x, y]. Dann ist f nicht konstant, aber V (f) = Satz. Es sei k ein Körper und f k [x 1,..., x n ] ein nicht-konstantes Polynom. Dann gilt (i) Ist #k =, so ist V (f) k n. (ii) Ist k = k, so ist V (f). Beachte: k = k impliziert #k = Beispiel (Matrixgruppen). Es sei k ein Körper. Dann sind SL n (k) := {A k n n det A = 1} und O n (k) := { A k n n A T A = 1 n } durch Polynomgleichungen definiert Definition. 2. Zariski-Topologie (i) Es sei k ein Körper, R n = k [x 1,..., x n ] und I R n eine Teilmenge. Dann bezeichne V (I) := {λ k n f(λ) = 0 für alle f I} die Verschwindungsmenge von I.

6 2. Zariski-Topologie 5 (ii) Teilmengen der Form V (I) k n heißen algebraische Mengen Bemerkung. (i) Die Zuordnung V ist inklusionsumkehrend, d.h. für I J R n gilt V (J) V (I). (ii) Für eine Teilmenge I R n bezeichne J R n das von I erzeugte Ideal, d.h. { } k J := f = a i f i a 1,..., a k R n, f 1,..., f k I. i=1 Dann gilt V (I) = V (J). (iii) Für eine beliebige Teilmenge I R n ist stets V (I) = V (f 1,..., f m ) für gewisse Polynome f 1,..., f m R n, denn R n ist noethersch, also ist jedes Ideal endlich erzeugt. Wir werden von nun an stets und ausschließlich Verschwindungsmengen von Idealen betrachten, die vorstehenden Überlegungen zeigen, dass es sich dabei um keine Einschränkung handelt Lemma. (i) Es seien I, J R n Ideale. Dann ist V (I) V (J) = V (I J) = V (I J). (ii) Ist I λ R n, λ Λ eine Familie von Idealen, so gilt: ( ) V (I λ ) = V I λ. Beweis. Übung. λ Λ λ Λ Dank Lemma 2.3 ist die nachfolgende Definition sinnvoll Definition. Die Zariski-Topologie ist diejenige Topologie auf k n, deren abgeschlossene Mengen gerade die algebraischen Mengen sind, d.h. τ Zar = {U k n k n \ U = V (I) für ein I R n }. Wir werden von nun an k n und alle Teilmengen von k n stets mit der Zariski-Topologie (bzw. mit der Teilraumtopologie) versehen Definition. Es seien k ein Körper und V k n eine Teilmenge. Dann bezeichnet das Verschwindungsideal von V. I(V ) := {f k [x 1,..., x n ] f(λ) = 0 für alle λ V } Wir erinnern an den folgenden Begriff aus der Algebra Definition. Es seien R ein Ring und I R ein Ideal. Das Radikal von I ist I = {a R n N : a n I}. Wir nennen I Radikalideal, wenn I = I.

7 6 Kapitel 1. Affine Varietäten 2.7. Bemerkung. (i) I ist inklusionsumkehrend, d.h. für V V k n gilt I(V ) I (V ). (ii) Es sei R n = k [x 1,..., x n ]. Dann ist I(V ) R n ein Ideal, genauer: I(V ) = I(V ) = {f R n Es existiert ein m so, dass f m I(V )} ist ein Radikalideal. Beispiel: Das Ideal, das von x 2 erzeugt wird, ist kein Radikalideal: ( x 2 ) (x) = (x 2 ). (iii) Es sei I R n ein Ideal. Dann gilt: I I (V (I)). Warnung: Es gilt nicht immer Gleichheit, zum Beispiel: k = R, R = k[x], I = ( 1 + X 2), V (I) =, I (V (I)) = R. (iv) Ist V k n, so ist V V (I(V )). Gleichheit gilt nicht immer, sondern nur für algebraische Mengen. Beweis. Ist V = V (I), dann ist I(V ) = I (V (I)) und I I (V (I)). Es folgt: V (I(V )) V (I) = V, also V (I(V )) = V. 3. Hilbertscher Nullstellensatz 3.1. Satz (Hilbertscher Nullstellensatz). Es sei k = k ein algebraisch abgeschlossener Körper und I k [X 1,..., X n ] ein Ideal. Dann gilt: I (V (I)) = I Satz. [Hilbertscher Nullstellensatz, 2. Version] Es sei k ein Körper und k K eine Körpererweiterung so, dass K als k-algebra endlich erzeugt ist. Dann ist k K endlich, insbesondere algebraisch. Beweis. Benutzt die Theorie ganzer Ringerweiterungen. Proposition Satz (Schwacher Hilbertscher Nullstellensatz). Es sei k = k ein algebraisch abgeschlossener Körper, R = k [X 1,..., X n ] und J R ein echtes Ideal. Dann gilt: V (J). Beweis. Es sei m R ein maximales Ideal mit J m und K := R/m. Dann ist k R K eine Körpererweiterung, die als k-algebra endlich erzeugt ist, das heißt, dass k K endlich ist. Da k = k ist, ist k = K. Betrachte nun den Einsetzungshomomorphismus ϕ :R R/m = k x i x i = λ i f f(λ), wobei x i die Restklasse von x i in R/m ist und λ = (λ 1,..., λ n ). Also ist λ V (J).

8 4. Koordinatenringe, Irreduzibilität, Dimension Korollar. Es sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, R = k [X 1,..., X n ] und m R ein maximales Ideal. Dann gibt es ein eindeutig bestimmtes λ = (λ 1,..., λ n ) k n mit m = (X 1 λ 1,..., X n λ n ). 4. Koordinatenringe, Irreduzibilität, Dimension 4.1. Definition. Ist V k n eine algebraische Menge, so bezeichnen wir mit den (affinen) Koordinatenring. k[v ] := k [x 1,..., x n ] / I(V ) 4.2. Satz. Es sei V k n eine algebraische Menge. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent: (i) V ist irreduzibel. (ii) I(V ) ist ein Primideal. (iii) k[v ] ist nullteilerfrei. Beweis. Wir zeigen (i) (ii). : Es seien f, g k [x 1,..., x n ] mit f g I(V ). Dann gilt V V (f) V (g). Also: V = (V V (f)) (V V (g)). V V (f) und V V (g) sind abgeschlossen. Somit ist ohne Einschränkung V V (f), deswegen ist f I(V ), also I(V ) prim. : Wir führen einen Widerspruchsbeweis. Es seien V 1, V 2 V abgeschlossene Teilmengen mit V = V 1 V 2. Wähle f i I (V i ) \ I(V ) für i = 1, 2. Solche f i existieren, da die V i echte Teilmengen von V sind und V (I (V i )) = V i. Also gilt f 1 f 2 I (V 1 ) I (V 2 ) = I(V ). Dies ist ein Widerspruch zu der Annahme, dass I(V ) prim ist, da keines der f i in I(V ) liegt Definition. Es sei X ein topologischer Raum. (i) Dann heißt X reduzibel, wenn abgeschlossene Mengen A, B X existieren mit X = A B. (ii) X heißt irreduzibel, falls X nicht reduzibel ist. (iii) Eine Teilmenge Y X heißt reduzibel bzw. irreduzibel, falls Y versehen mit der Teilraumtopologie reduzibel bzw. irreduzibel ist Definition. (i) Ein topologischer Raum X heißt noethersch, falls jede absteigende Kette von abgeschlossenen Mengen stationär wird, d.h. für abgeschlossene Mengen X n, n N 0, mit X X 0 X 1 X 2... existiert ein N so, dass für alle n N gilt: X n = X N. Zum Beispiel ist X = k n noethersch, da I inklusionsumkehrend ist und R = k [x 1,..., x n ] ein noetherscher Ring. (ii) Die Dimension von X ist definiert als das Supremum über die Länge von Ketten von abgeschlossenen irreduziblen Teilmengen. Für X i abgeschlossen und irreduzibel ist beispielsweise X X 0 X 1 X 2... X n eine Kette der Länge n.

9 8 Kapitel 1. Affine Varietäten (iii) Ist R ein Ring, so ist die Krull-Dimension dim K R als das Supremum über die Längen von Ketten von Primidealen definiert. Für Primideale P i ist R P n P n 1... P 0 eine Kette der Länge n. Konsequenz: Sei V k n eine algebraische Menge. Dann gilt dim top (V ) = dim K k[v ]. Wir unterdrücken den Index K auch gelegentlich in der Notation, wenn es keine Missverständnisse geben kann. Ein zweideutiger Fall ist ein Körper. Wir schreiben daher dim top k = dim k = 1 für die Dimension als topologischer Raum und dim K k = 0 für die Krull-Dimension Beispiel. dim K k[x] = dim top k = 1. Beweis. k V mit V irreduzibel und abgeschlossen. Also gilt V = {p 1 }, denn: V k abgeschlossen impliziert, dass V = {p 1,..., p k } = V ((X p 1 )... (X p k )) (siehe Beispiel). Jede endliche Menge ist abgeschlossen. V ist endlich und irreduzibel, also gilt V = {p 1 }. Somit ist dim k = Satz. Es sei X ein noetherscher topologischer Raum. Dann besitzt jede abgeschlossene Teilmenge Y von X eine Zerlegung k (4.1) Y = i=1 mit Y i abgeschlossen, irreduzibel und Y i Y j, falls i j. Diese Zerlegung ist eindeutig bis auf Reihenfolge. Die Y i heißen irreduzible Komponenten von Y. Beweis. Es sei Σ := {Y X abgeschlossen Y besitzt eine Zerlegung wie in (4.1)}. Ist Σ, so ist nichts zu zeigen. Andernfalls zeigen wir, dass Y ein minimales Element bezüglich der Inklusionsrelation enthält. Ist nämlich Y 0 Σ nicht minimal, so TBC 4.7. Beispiel. V (X Y ) k 2, R = k[x, Y ]. Zerlegung in irreduzible Komponenten: V (X Y ) = V (X) V (Y ). Y i 5. Maximalspektrum 5.1. Definition. Es sei R ein kommutativer Ring mit 1. (i) Dann bezeichne Spm(R) := {m R m maximales Ideal} das Maximalspektrum von R. (ii) Für m Spm(R) bezeichne k(m) den Restklassenkörper R/m. Man beachte: Ist R eine k-algebra, so ist k(m) auf natürliche Weise eine k-algebra vermöge k R k(m).

10 5. Maximalspektrum 9 Mithin ist also k k(m) eine Körpererweiterung Bemerkung. (i) Es sei R = k [X 1,..., X n ] und m λ := (X 1 λ 1,..., X n λ n ) für λ = (λ 1,..., λ n ) k n. Dann ist m : k n Spm(R) λ m λ injektiv, denn wäre m λ = m λ für λ λ, o.e. λ 1 λ 1, so würde gelten: X 1 λ 1 m λ, m λ = m λ und X 1 λ 1 m λ. Dann ist also (X 1 λ 1 ) (X 1 λ 1 ) m λ. Es ist aber (X 1 λ 1 ) (X 1 λ 1 ) = λ 1 λ 1 und λ 1 λ 1 k \ {0}. Dann ist aber 1 m λ, was einen Widerspruch zu der Voraussetzung, dass m λ Spm(R), darstellt. (ii) Ist k = k, so ist m : k n Spm(R) bijektiv nach Korollar 3.4. Wir werden im Falle k = k den k n mit Spm(R) identifizieren. (iii) Es sei λ k n, R = k [X 1,..., X n ] und m = m λ wie in (i). Dann R R / m λ = k f f(λ). Insbesondere ist f(λ) = 0 genau dann, wenn f m λ Definition. Es sei R ein Ring, I R ein Ideal und X := Spm(R). (i) Wir definieren V (I) := {m Für alle f I gilt: f m} = {m I m} X. Mengen der Form V (I) Spm(R) heißen algebraische Mengen. (ii) Die Zariski-Topologie auf X ist diejenige Topologie, deren abgeschlossene Mengen genau die algebraischen Mengen sind Beispiel. R = R[X]. Es sei m ein maximales Ideal, dann ist m = (f). Da f irreduzibel ist, folgt deg f = 1 oder deg f = 2. Fall 1: deg f = 1 Ohne Einschränkung ist f = X λ, λ R. Dann ist R / m = R. Fall 2: deg f = 2 f = x 2 + ax + b irreduzibel genau dann, wenn Es folgt: a 4b < 0 f = (x α)(x α), α C. R / m = C, x α oder x α. Also ist m Spm(R) \ R Definition. Es sei R ein Ring und X := Spm(R). Für V X setzen wir I(V ) := {f R f(m) = 0 für alle m V } = {f R f m für alle m V } = m V m R.

11 10 Kapitel 1. Affine Varietäten Dabei bezeichnen wir für m X mit f(m) die Restklasse f von f in k(m). Also heißt f(m) = 0 nach Definition f = 0 in R / m und somit liegt f m, falls f(m) = 0. Wie vorher können wir feststellen: (i) I I (V (I)) (ii) V V (I(V )) (falls V algebraisch, gilt die Gleichheit) Satz (Hilbertscher Nullstellensatz max). Es sei k ein Körper und R = k [X 1,..., X n ]. Für ein Ideal I R gilt Für den Beweis brauchen wir folgendes I (V (I)) = I Lemma. Es sei R eine endlich erzeugte k-algebra, k ein Körper und ϕ : R k ein k-algebren-homomorphismus so, dass k k R algebraisch ist. Dann ist m ϕ := ker ϕ R ein maximales Ideal. Beweis. Nach dem Homomorphiesatz: R k k R / m ϕ. Also ist R / m ϕ nullteilerfrei. k k ist algebraisch, also ist k R / m ϕ eine ganze Ringerweiterung. Mit Lemma??.2.4 folgt: R / m ϕ ist ein Körper und somit ist m ϕ maximal Beispiel. X = Spm (R[t]), k = R, k = C, X = Spm (C[t]), G = σ, wobei σ die komplexe Konjugation ist. m = (t λ), λ C, σ (m ) = (t λ), wobei λ das komplex Konjugierte von λ bezeichnet. m (t λ), λ R R[t] = (t λ) (t λ) R[t], λ / R Definition. Es sei R ein Ring. Das Nilradikal nil(r) ist als die Menge aller nilpotenten Elemente von R definiert: nil(r) := {x R n N : x n = 0}. Für jeden Ring R definiert man die Reduktion als R red := R/nil(R). Man nennt R reduziert, falls nil(r) = (0) Lemma. Es sei R ein Ring.

12 5. Maximalspektrum 11 (i) Das Nilradikal ist ein Radikalideal. (ii) Es gilt nil(r) = p R:p prim p. Beweis. Übung Lemma. Es seien k ein Körper und R eine endlich erzeugte k-algebra. Dann ist R genau dann reduziert, wenn es n N und ein Radikalideal I R n = k[x 1,..., x n ] mit R = R n /I gibt. Beweis. Der Polynomring R n ist reduziert und der Faktorring eines Ringes nach einem Ideal ist genau dann reduziert, wenn das Ideal ein Radikalideal ist. Ferner lässt sich jede endlich erzeugte k-algebra als R n /I für ein n N und ein I R n schreiben. Wir kommen zur wichtigsten Definition dieses Kapitels. Wir erinnern daran, dass wir je nach Betrachtungsweise für einen Punkt x Spm(R) auch m x schreiben, wenn wir ihn als maximales Ideal m x R auffassen Definition. Es sei k ein Körper. Eine affine k-varietät (oder affine Varietät über k) besteht aus einer reduzierten, endlich erzeugten k-algebra R, dem topologischen Raum X = Spm(R) mit der Zariski-Topologie. Ist X eine affine k-varietät, so nennen wir den Ring R auch den (affinen) Koordinatenring von X und schreiben k[x] := R. Ein Morphismus affiner k-varietäten ist eine stetige Abbildung f : X Y von der Form f(x) = ϕ 1 (m x ) für ein ϕ : k[y ] k[x]. Komposition von Morphismen ist in der offensichtlichen Weise definiert. Ein Isomorphismus affiner k-varietäten ist ein Morphismus, der ein Inverses besitzt Beispiel. (i) Die einfachste aller affinen k-varietäten ist wohl Spm(k). Sie besteht aus einem Punkt (da jeder Körper genau ein maximales Ideal hat). Ferner besitzt jede affine k-varietät X genau einen Morphismus X Spm(k). Dies liegt daran, dass es genau einen k-algebrenhomomorphismus k k[x] gibt. Für Freunde der Kategorientheorie: Spm(k) ist ein terminales Objekt in Aff k, siehe Abschnitt 1. (ii) Die wichtigste aller affinen k-varietäten ist wohl der affine Raum der Dimension n über k. Er wird mit A n k := Spm(k[x 1,..., x n ]) bezeichnet. Es sei X eine affine Varietät. Dann ist ihr Koordinatenring k[x] nach Definition endlich eine erzeugte k-algebra und die Wahl einer Surjektion k[x 1,..., x n ] k[x] für geeignetes n N liefert eine Einbettung X A n k. Eine affine Varietät ist also eine Varietät, die sich als abgeschlossene Untervarietät des affinen Raumes realisieren lässt.

13 12 Kapitel 1. Affine Varietäten 6. Dimensionstheorie In Abschnitt 4 haben wir den Begriff der Dimension für topologische Räume und für Ringe eingeführt und gezeigt, dass für einen Ring R beide übereinstimmen dim K R = dim Spm(R). Wir wenden uns nun der Algebraischen Berechnung dieser Größe zu. Das folgende Resultat ist das Hauptergebnis dieses Kapitels Satz. Es sei R eine endlich erzeugte nullteilerfreie k-algebra und K = Q(R) ihr Quotientenkörper. Dann ist dim R = tr deg k K. Wir erinnern daran, dass der Transzendenzgrad tr deg k K einer Körpererweiterung als die Mächtigkeit einer Transzendenzbasis, d.h. eines maximalen Systems algebraisch unabhängiger Elemente von K über k definiert war. Beweis. Aus Cohen-Seidenberg, Satz A.2.9, folgt, dass für eine ganze Ringerweiterung A B gilt: dim A = dim B (man zeigt, dass Primidealketten gleicher Länge existieren). Es sei nun A = k [x 1,..., x d ] R ein Unterring mit algebraisch unabhängigen x 1,..., x d R so, dass A R ganz ist. Ein solcher Unterring existiert aufgrund von Satz A.2.10 (Noether- Normalisierung). Ganzheit impliziert, dass die Körpererweiterung Q(A) = k (x 1,..., x d ) K algebraisch ist. Insbesondere gilt: trdeg k K = d = trdeg k Q(A). Andererseits gilt wegen obiger Bemerkung auch dim A = dim R, es genügt also, die Aussage für Polynomringe zu beweisen. Also sei o.e. R = k [x 1,..., x d ]. Dann ist trdeg k K = d und dim R d, da (0) (x 1 ) (x 1, x 2 )... (x 1,..., x d ) eine Primidealkette der Länge d ist. Wir gehen induktiv vor, der Fall d = 0 ist trivial. Es sei nun d > 0 und (0) p R ein minimales Primideal. Nach dem Satz von Gauß ist R faktoriell, es gibt also eine eindeutige Primfaktorzerlegung in R. Deswegen ist p = (f) von einem irreduziblen Element erzeugt. Wir zeigen nun, dass trdeg k Q ( R / ) f = d 1 ist. Nach Noethers Normalisierungssatz gibt es algebraisch unabhängige y 1,..., y d R / f so, dass k [y 1,..., y d ] R / f ganz ist und d = trdeg k Q ( R / ) f. Hierbei sind y1,..., y d R Repräsentanten. Wir zeigen als nächstes, dass y 1,..., y d, f algebraisch unabhängig sind: Wäre 0 P = P (T, T 1,..., T d ) = M P m (T 1,..., T d ) T m m=0 ein Polynom mit P (f, y 1,..., y d ) = 0 von minimalem Grad M in T, so ist P 0 (y 1,..., y d ) = 0, also P 0 = 0, da die y i algebraisch unabhängig sind. Folglich ist P = T P und auch P (f, y 1,..., y d ) = 0 im Widerspruch zur Minimalität von M. Also sind f, y 1,..., y d algebraisch unabhängig und somit d + 1 d wegen der Gleichmächtigkeit von Transzendenzbasen. Nach Induktionsannahme gilt also dim R / f = trdeg k Q ( R / f ) d 1. Da p ein beliebiges

14 6. Dimensionstheorie 13 minimales Primideal war und Primideale in R / f den Primidealen in R entsprechen, die p enthalten, ist dim R dim R / f + 1 = d. Es folgt die Behauptung (i). Wir halten folgendes Korollar fest, das aus der Aussage von Satz 6.1 folgt, und das wir im Beweis auch explizit gezeigt haben Korollar. dim A n k = dim k[x 1,..., x n ] = n. Etwas allgemeiner gilt: 6.3. Korollar. Ist R eine endlich erzeugte k-algebra und sind x 1,..., x d R algebraisch unabhängig so, dass k [x 1,..., x d ] R ganz ist, so ist d = dim R. Insbesondere ist dim k[x 1,..., x n ] = n. Beweis. Dies ergibt sich für Integritätsringe sofort aus Satz 6.1, da trdeg k (k(x 1,..., x d )) = d und für jede ganze Ringerweiterung R S von nullteilerfreien k-algebren die Erweiterung Q(R) Q(S) algebraisch ist. Insbesondere ist also trdeg k Q(R) = trdeg k Q(S). Für beliebige endlich erzeugte k-algebren folgt die Behauptung aus dem folgenden Lemma Lemma. Es sei R ein Ring. Dann gilt: (i) dim R = dim R red (ii) Ist R noethersch, so ist dim Spm(R) das Maximum der Dimensionen aller irreduziblen Komponenten. (iii) dim R = sup{dim R p p R prim} = sup{dim R m m R maximal} Beweis. Übung Definition. (i) Die Höhe ht(p) eines Primideales p R eines Ringes R ist das Supremum der Länge von in p enthaltenen Primidealketten: ist 0 p 0 p 1... p n = p eine solche Kette, so ist n ihre Länge. Es ist also ht(p) = dim R p. Man kann zeigen, dass ht(p) = codim SpecR Spec R / p gilt, falls R eine endlich erzeugte k-algebra ist. Wir erinnern an den Begriff des Artin-Ringes: R ist artinsch, falls jede absteigende Idealkette stationär wird Satz. Ein Ring R ist genau dann artinsch, wenn R noethersch ist und alle Primideale von R maximal sind. Als nächstes beweisen wir den sogenannten Krullschen Hauptidealsatz. Doch zunächst ein paar Vorbemerkungen.

15 14 Kapitel 1. Affine Varietäten 6.7. Lemma. Es sei R eine endlich erzeugte k-algebra. Dann gilt für f R: (i) Es ist V (f) = genau dann, wenn f R, wobei R die Gruppe der Einheiten bezeichnet. (ii) Genau dann enthält V (f) eine irreduzible Komponente von Spm(R), wenn f ein Nullteiler ist Satz (Krull). Es sei R eine endlich erzeugte k-algebra und f R. Ist p R ein Primideal, das minimal mit der Eigenschaft f p ist, dann ist ht(p) 1. Beweis. Es sei q p prim, wegen Minimalität von p ist also f / q. Wir werden zeigen, dass dim R q = 0 gilt. Dazu betrachten wir q (n) := {r R Es existiert ein s R \ q mit r s q n }. Es ist q (n) = ι 1 ( q n q ), wobei ι : R Rq. Folglich gilt ( q (n)) q = qn q. Nach Lokalisieren an p können wir annehmen, dass p maximal sei. Dann ist R / f artinsch nach Satz 6.7, die absteigende Kette q (m) + (f) q (m+1) + (f) wird also stationär, sagen wir bei m = n. Somit ist also q (n) q (n+1) + (f), sodass jedes x q (n) sich als x = y f + z mit y R, z q (n+1) schreiben lässt. Es folgt y f q (n), und wegen f / q ist y q (n). Wir erhalten q (n) = (f) q (n) + q (n+1), woraus sich mit Nakayamas Lemma q (n) = q (n+1) ergibt. (Zur Erinnerung: Ist (R, p) ein lokaler noetherscher Ring, I R ein Ideal und M ein endlich erzeugter R-Modul mit M = I M + (f 1,..., f k ), so gilt M = (f 1,..., f k ).) In R q gilt also q n R q = q n+1 R q, woraus sich durch erneute Anwendung von Nakayamas Lemma q n R q = 0 ergibt. Daraus folgt dim R q = Bemerkung. Ist (f) = m eine Primärzerlegung mit Primidealen p i, so folgt mit Satz 6.9, dass ht (p i ) 1 für alle i Satz. Es sei R eine endlich erzeugte k-algebra und f R \ {0} weder Nullteiler noch Einheit. Dann ist dim R/f = dim R 1. Beweis. Irreduzible Komponenten von X entsprechen minimalen Primidealen p R, d.h. ht ( p) = 0. Es sei p R minimal mit der Eigenschaft, dass f p ist (so ein p existiert, da f keine Einheit ist). Dann ist ht(p) 1 nach Satz 6.9. Da f kein Nullteiler ist, enthält V (f) keine irreduziblen Komponenten von X, also f / p für jedes p R mit ht ( p) = 0. Also ist ht(p) = 1. Primideale p wie oben entsprechen bijektiv den irreduziblen Komponenten von V (f). i=1 p i

16 6. Dimensionstheorie Korollar. Ist X = SpecR ein Schema von endlichem Typ über k und äquidimensional und sind f 1,..., f r so, dass (f 1,..., f r ) R; dann gilt: codim X V (f 1,..., f r ) r. Beweis. Folgt induktiv aus Satz Definition. In der Situation von Korollar 6.12 nennen wir V (f 1,..., f r ) einen vollständigen Durchschnitt, falls codim X V (f 1,..., f r ) = r ist.

17

18 ANHANG A Kommutative Algebra 1. Lokalisierung In diesem Abschnitt wiederholen wir ein für die Algebraische Geometrie wichtiges Kapitel der kommutativen Algebra: Lokalisierungen oder auch Bruchringe. Die Namensgebung kann man im geometrischen Kontext verstehen. Die Konstruktion der rationalen Zahlen aus den ganzen Zahlen ist das Urbeispiel eines Lokalisierungsprozesses Beispiel. Es ist { a Q = b } a, b Z, b 0, Z Q. Formal konstruiert man Q wie folgt: Wir setzen S := Z \ {0} und schreiben Q als Q = Z S / naiv, [(a, b)] = a b. Für (a, b), (c, d) Z S haben wir hierbei eine Äquivalenzrelation so erklärt, dass genau dann (a, b) naiv (c, d) gelte, wenn da = bc. Wir erklären Multiplikation und Addition vermöge: (a, b) (c, d) = (a c, b d), (a, b) + (c, d) = (ad + bc, bd). Dmit wird Q zu einem Ring (wie wir wissen ja sogar zu einem Körper) mit Eins 1 = 1 1 und Null, 0 = Definition. Es sei R ein Ring. Eine Teilmenge S R heißt multiplikatives System oder multiplikativ, falls (i) 1 S (ii) Für s 1, s 2 S ist s 1 s 2 S Beispiel. Im Allgemeinen ist naiv keine Äquivalenzrelation, wie das folgende Beispiel zeigt. Es seien (r, s), (r, s ), (r, s ) R S mit (r, s) naiv (r, s ), (r, s ) naiv (r, s ). Dann ist rs = r s und r s = r s und es gilt rs s = s r s = r s s. Daraus folgt aber im Allgemeinen nicht rs = r s. Dies gilt nur, wenn s kein Nullteiler ist. Zum Beispiel sei R = k[x, y] / x y und S = { 1, x, x 2, x 3,... }. Dann gilt (y, 1) naiv (0, x) und (0, x) naiv (0, 1), aber (y, 1) naiv (0, 1). 17

19 18 Kapitel A. Kommutative Algebra 1.4. Definition (Lokalisierung eines Rings). Es seien R ein Ring und S R multiplikativ. Wir betrachten auf R S die durch (a, s) (b, t) : u S : u(ta sb) = 0 R definierte Äquivalenzrelation. Wir setzen S 1 R := R S / und schreiben [(a, s)] =: a s, für die Nebenklassen. Wir versehen S 1 R mit Addition und Multiplikation wie folgt: a s + b t ta + sb :=, st a t b ab := s st. Damit wird S 1 R zu einem Ring, man spricht vom Bruchring oder der Lokalisierung von R an S. Ferner erhalten wir eine natürliche Abbildung ι : R S 1 R, a a Beispiel. Es sei S = { 1, f, f 2,... } für ein f R. Dann ist S 1 R = R [ f 1] Definition (Lokalisierung eines Moduls). Es sei R ein Ring, S R multiplikativ und M ein R-Modul. Wir betrachten auf M S die durch (m, s) (m, t) : u S : u(tm sn) = 0 M definierte Äquivalenzrelation. Wir setzen S 1 M := M S / und schreiben [(m, s)] =: m s, für die Nebenklassen. Wir versehen S 1 M mit Addition und Skalarmultiplikation wie folgt: m s + n t tm + sn :=, st r t m s := rm st. Damit wird S 1 M zu einem S 1 R-Modul, man spricht vom Modul der Brüche oder der Lokalisierung von M an S. Ferner erhalten wir eine natürliche Abbildung ι : M S 1 M, m m 1. Für jeden Morphismus von R-Moduln ψ : M N erhalten wir einen Morphismus von S 1 R- Moduln: S 1 ψ : S 1 M S 1 m ψ(m) N,. s s Mit anderen Worten: Lokalisierung ist ein Funktor Mod R Mod S 1 R, M S 1 M Lemma (Universelle Eigenschaft der Lokalisierung). Es seien R ein Ring, S R multiplikativ und ι : R S 1 R die kanonische Abbildung. Dann gilt: (i) (a) Für alle s S ist ι(s) eine Einheit. (b) Für alle a R gilt ι(a) = 0 genau dann, wenn ein s S mit sa = 0 existiert.

20 1. Lokalisierung 19 (c) Jedes Element in S 1 R ist von der Form ι(a)ι(s) 1, a R, s S. (ii) ι : R S 1 R hat folgende universelle Eigenschaft: Für alle Ringhomomorphismen ϕ : R R mit der Eigenschaft, dass ϕ(s) für alle s S eine Einheit ist, existiert genau ein ϕ : S 1 R R so, dass das Diagramm (1.1) S 1 R ϕ R R ι kommutativ ist. (iii) Ist ϕ : R R ein Morphismus mit (a), (b), (c) aus (i), so gibt es einen eindeutigen Isomorphismus ϕ : S 1 R R mit ϕ = ϕ ι. Beweis. Aussage (i) folgt direkt aus der Konstruktion. Wir beweisen nun (ii). Es sei ϕ : R R gegeben. Wir zeigen die Existenz und die Eindeutigkeit von ϕ: Eindeutigkeit: Es sei ein Diagramm wie (1.1) gegeben. Dann gilt Andererseits ist ( ϕ ι(s) a ) s ϕ ( a ) = ϕ(s) ϕ. s ( a ) ( ϕ(s) ϕ = ϕ ι(s) a ) s s = ϕ(a) was wegen Invertierbarkeit von ϕ(s) die Abbildung ϕ eindeutig durch festlegt. Existenz: Aus ( a ) ϕ = ϕ(a) s ϕ(s) a s = b t folgt, dass es ein u S mit uta = usb gibt. Dann ist ϕ(u)ϕ(t)ϕ(a) = ϕ(u)ϕ(s)ϕ(b). Dann erhalten wir durch Multiplikation mit ϕ(u) 1 also ϕ(t)ϕ(a) = ϕ(s)ϕ(b), d.h. ϕ(a) ( a ) ( ) b ϕ(s) = ϕ = ϕ = ϕ(b) s t ϕ(t). Es folgt die Behauptung (ii).

21 20 Kapitel A. Kommutative Algebra Zum Beweis von (iii): Mit (a) und (ii) folgt, dass genau ein ϕ : S 1 R R mit ϕ R R ι S 1 R existiert. Es bleibt zu zeigen, dass ϕ ein Isomorphismus ist. Injektivität folgt aus (a) und (c) liefert die Surjektivität Korollar. (i) S 1 R ist genau dann der Nullring, wenn 0 S ist. (ii) ι : R S 1 R ist genau dann injektiv, wenn S nullteilerfrei ist Beispiel. Es seien R ein Ring und f R. Dann ist S := { 1, f, f 2, f 3,... } multiplikativ und { } a S 1 R = f n a R, n N 0 = R[T ] / 1 T f. Wir werden diesen Ring fortan mit R f bezeichnen. Beweis. Wir zeigen, dass der Morphismus ϕ : R R[T ] / 1 T f die Bedingungen (a), (b), (c) aus Lemma 1.7 (i) erfüllt. (a) Das Element ϕ (f n ) = f n ist invertierbar: f n T n = 1 in R[T ]/(1 T f). (c) Es sei k g = a i T i R[T ] / 1 T f, a i R. Mit der Bezeichnung i=0 ist f k g = r, d.h. g = r (f) 1. (b) Es sei ϕ(a) R[T ] / 1 T f. r := ϕ k a i f k i i=0 Zu zeigen: Wenn ϕ(a) = 0, dann existiert ein n so, dass f n a = 0 in R. Es gilt ϕ(a) = 0 genau dann, wenn ein b R[T ] mit a = b(1 T f) existiert. Schreiben wir l b = b i T i, b i R mit b l 0, so ist i=0 ( l ) a = b 0 + (b i fb i 1 ) T i + b l ft l+1. i=1

22 1. Lokalisierung 21 Daraus ergibt sich durch Koeffizientenvergleich a = b 0, b i = f b i 1, für alle i = 1,..., l, und b l f = 0. Also ist b i = f i a für alle i = 1,..., l und damit b l f = f l+1 a = 0, was zu zeigen war. Man beachte aufgrund des gerade Diskutierten: Ist R eine endlich erzeugte k-algebra und S = { 1, f, f 2,... }, dann ist auch eine endlich erzeugte k-algebra. S 1 R = R f = R[T ] / 1 T f Beispiel. Es sei R ein Ring und p R ein Primideal. Dann ist S := R \ p ein multiplikatives System. Genauer gilt, dass R \ I für ein Ideal I R genau dann multiplikativ ist, wenn I prim ist. Wir verwenden folgende Notation: R p := S 1 R = Lemma. Es sei R ein Ring und { a f } a R, f / p. d 1 d 2 ( ) M M M eine exakte Sequenz von R-Moduln und S R multiplikativ. Dann ist auch exakt. Beweis. Zeige Im S 1 d 1 = ker S 1 d 2. S 1 d 1 S 1 d 2 S 1 M S 1 M S 1 M : Die Eindeutigkeit von ( ) impliziert d 2 d 1 = 0, also 0 = S 1 (d 2 d 1 ) = S 1 d 2 S 1 d 1, d.h. Im S 1 d 1 ker S 1 d 2. : Es sei m s ker S 1 d 2. Also ist ( m ) S 1 d 2 = d 2(m) = 0. s s Dies gilt genau dann, wenn, es ein t S gibt so, dass t d 2 (m) = d 2 (t m) = 0. Also ist t m ker d 2 = Im d 1. Folglich existiert ein m M mit der Eigenschaft, dass d 1 (m ) = t m und damit m s = t m t s = d 1 (m ( ) ) m = S 1 d 1. s t ts

23 22 Kapitel A. Kommutative Algebra Korollar. (i) Ist M M, so gilt S 1 M S 1 M. (ii) Ist M M, so gilt S 1 M S 1 M Lemma. Es seien R ein Ring, S R multiplikativ und M ein R-Modul. Dann ist M R S 1 R S 1 M m a s a m s ein Isomorphismus von S 1 R-Moduln. Beweis. Wir zeigen separat Surjektivität und Injektivität. Surjektivität: Es gilt Injektivität: Es sei m 1 s m s S 1 M. Dann ist Wegen i=0 η = k i=0 m i a i s i M S 1 R. ( k ) 1 η = m i a i s 1... ŝ i... s k. s 1... s k k m i a i s 1... ŝ i... s k M i=0 ist jedes η M R S 1 R von der Form m 1 sη. Nun angenommen, n m s = 0. Dies ist äquivalent zu der Existenz eines t S, für das tm = 0 in M ist. Also ist η = m t t s = tm 1 ts = Satz. Es seien R ein Ring und S R ein multiplikatives System. Die Abbildung {p R Primideal S p = } { Primideale von S 1 R } p S 1 p ist eine Bijektion. Dabei ist S 1 p = ι(p) S 1 R. Beweis. Wir betrachten die exakte Sequenz

24 2. Ganze Ringerweiterungen 23 0 p R R/p 0 Durch Lokalisierung erhalten wir die ebenfalls exakte Sequenz 0 S 1 p S ( ) 1 R S 1 ( R / ) p wobei S 1 ( R / ) 1 ( / p = S R p) für π : R R / p, S := bild (π S ) und S R, S R / p. 0, Es gibt zwei Möglichkeiten: S 1 ( ) R /p = Q ( R / p), falls 0 / S 0, falls 0 S, d.h. S 1 ( /p) R ist entweder 0, in welchem Fall mit ( ) folgt, dass S 1 p = S 1 R, oder nullteilerfrei, in welchem Fall mit ( ) folgt, dass S 1 p ein Primideal ist Korollar. Es seien R ein Ring und f R bzw. p R ein Primideal. Dann gilt: (1.2) {q R p Primideal} 1:1 { q R Primideal mit q p}, und (1.3) {p R f Primideal} 1:1 { p R Primideal, f / p}. Man vergleiche (1.2) mit der Situation bei Faktorringen: { q R / p Primideal } 1:1 { q R Primideal mit p q} 2. Ganze Ringerweiterungen Wir erinnern daran, dass eine Ringerweiterung aus einer Inklusion R S von Ringen besteht. Allgemeiner sprechen wir von einer Ringerweiterung bereits dann, wenn ein injektiver Ringhomomorphismus ι : R S vorliegt Definition. Es sei R S eine Ringerweiterung. Ein Element x S heißt ganz über R, wenn es a 1,..., a n R mit (2.1) x n + a 1 x n a n = 0 gibt. Die Gleichung (2.1) wird auch als Ganzheitsgleichung von x über R bezeichnet. Der ganze Abschluss von R in S ist definiert als die Menge all derjenigen Elemente aus S, die ganz über R sind. Man nennt R ganz abgeschlossen in S, wenn R gleich seinem ganzen Abschluss in S ist. Wenn R nullteilerfrei und S = Q(R) der Quotientenkörper ist, so spricht man auch einfach vom ganzen Abschluss beziehungsweise gegebenenfalls davon, dass R ganz abgeschlossen ist.

25 24 Kapitel A. Kommutative Algebra Der ganze Abschluss eines Ringes ist ganz abgeschlossen. Wir erinnern daran, dass faktorielle Ringe nach Definition Integritätsringe sind Lemma. Es sei R ein faktorieller Ring. Dann ist R ganz abgeschlossen Proposition. Es seien A R eine ganze Erweiterung und S A ein multiplikatives System. (i) Die Erweiterung S 1 A S 1 R ist ganz. (ii) Sind A B Integritätsringe, R der ganze Abschluss von A in B, dann ist S 1 R der ganze Abschluss von S 1 A in S 1 B. Beweis. Wir zeigen zunächst, dass S 1 A S 1 R ganz ist. Dazu sei x s S 1 R mit x R und s S. Da A R ganz ist, gibt es a 1,..., a n mit x n + a 1 x n a n = 0. Durch Multiplikation mit 1 s erhalten wir eine Ganzheitsgleichung für x n s über S 1 A. Für die zweite Aussage bleibt nach der ersten Aussage noch zu zeigen, dass jedes Element aus S 1 B, welches ganz über S 1 A ist, bereits in S 1 R liegt. Hierzu sei x s S 1 B mit x B und s S ganz über A. Dann gibt es eine Ganzheitsgleichung ( x ) n a ( 1 x ) n 1 a n = 0 s s 1 s s n mit a i A und s i S. Setzen wir t := s 1... s n und multiplizieren die Ganzheitsgleichung von x s mit tn s n, so erhalten wir eine Ganzheitsgleichung für t x B über A. Damit ist tx R und wegen t S gilt also x s S 1 R. Dies beschließt den Beweis Lemma. Es sei R S eine ganze Ringerweiterung nullteilerfreier Ringe. Dann ist R genau dann ein Körper, wenn S ein Körper ist. Beweis. Angenommen, R sei ein Körper. Es sei 0 x S und x n + a 1 x n a n = 0, a 1,..., a n R, eine Ganzheitsgleichung für x über R. Da S nullteilerfrei ist, können wir a n 0 annehmen. Dann ist 1 x = 1 ( x n 1 + a 1 x n 2 ) a n 1 S a n und daher x invertierbar in S. Also ist S ein Körper. Ist S ein Körper und x R, x 0, so ist y := 1 x S. Da R S ganz ist, existiert eine Ganzheitsgleichung y n + a 1 y n a n = 0, a 1,..., a n R, für y über R. Da S nullteilerfrei ist, können wir a n 0 annehmen. Dann ist y = x n 1 ( a 1 y n a n ) = ( a1 + a 2 x a n x n 1) R,

26 2. Ganze Ringerweiterungen 25 also R ein Körper Definition. Ein Morphismus ϕ : R S von Ringen heißt ganz, wenn die Ringerweiterung ϕ(r) S ganz ist Korollar. Es seien ϕ : R S eine ganzer Ringerhomomorphismus und m S ein maximales Ideal. Dann ist auch n := ϕ 1 (m) R maximal. Beweis. Die Aussage ist wahr, wenn ϕ surjektiv ist. Indem wir ϕ über sein Bild faktorisieren, können wir daher annehmen, dass R S eine ganze Ringerweiterung ist. Wir betrachten das kommutative Diagramm R R/n ϕ S S/m Dann ist ϕ injektiv, K := S/m ein Körper und R/n K eine ganze Ringerweiterung. Nach Lemma 2.4 ist R/n also ein Körper und damit n ein maximales Ideal Proposition. Es seien k ein Körper und φ : R S ein k-algebrenhomomorphismus zwischen endlich erzeugten k-algebren. Dann ist für jedes maximale Ideal m S das Ideal n := φ 1 (m) R maximal. Beweis. Wir betrachten das kommutative Diagramm k R S R/n ϕ S/m Dann ist ϕ injektiv, K := S/m ein Körper und die Komposition k R/n K eine Körpererweiterung. Nach dem Hilbertschen Nullstellensatz 3.2 ist k K endlich, somit R/n K eine ganze Ringerweiterung. Nach Lemma 2.4 ist R/n also ein Körper und damit n ein maximales Ideal. Wir erinnern an das folgende elementare Resultat aus der kommutativen Algebra Lemma. Es sei ϕ : R S ein Ringhomomorphismus und p S ein Primideal. Dann ist ϕ 1 (p) R prim Satz (Going-up, Cohen-Seidenberg). Es seien R S eine ganze Ringerweiterung und p R ein Primideal. Dann gibt es ein Primideal q S so, dass q R = p.

27 26 Kapitel A. Kommutative Algebra Beweis. Wir betrachten das Diagramm R S ι R p ϕ S p Aufgrund von Korollar 1.12 ist ϕ wieder injektiv und nach Lemma 2.3 wieder ganz. Wir wählen ein maximales Ideal m S p, welches p R p enthält. Dann ist m R p nach Korollar 2.6 ein maximales Ideal, welches das maximale Ideal pr p enthält. Daher sind die beiden gleich und wegen ι 1 (pr p ) = p, Kommutativität des Diagramms und Lemma 2.8 ist q := ι 1 (m) ein Primideal mit den gesuchten Eigenschaften Satz (Noether-Normalisierung). Es sei R eine endlich erzeugte k-algebra. Dann gibt es d N und y 1,..., y d R so, dass y 1,..., y d algebraisch unabhängig sind und k [x 1,..., x d ] R eine ganze Ringerweiterung ist. Beweis. Wir werden der Einfachheit halber annehmen, dass k ein unendlicher Körper sei. Für endliche Körper ist die Aussage nach wie vor richtig, es bedarf aber eines anderen Beweises. Es seien y 1,..., y n R Algebra Erzeuger. Wir beweisen die Behauptung durch Induktion nach n. Der Fall n = 0 ist trivial. Wir nehmen also an, dass die Aussage für n 1 Erzeuger bewiesen sei. Nach Umordnen können wir annehmen, dass y 1,..., y d algebraisch unabhängig und y d+1,..., y n algebraisch über dem Unterring k[y 1,..., y d ] sind. Der Fall d = n ist trivial, weswegen wir d < n annehmen dürfen. Da y n algebraisch über A = k[y 1,..., y n 1 ] ist, gibt es ein nichtverschwindendes Polynom f k[x 1,..., x n ] in n Variablen so, dass f(y n ) = 0 ist. Ist f vom Totalgrad l, so bezeichne f l den homogenen Anteil von f vom Grad l. Wir machen den Ansatz z i := y i λ i y n für i = 1,..., n 1 mit noch zu bestimmenden λ i k. Damit ist 0 = f(y 1,..., y n ) = f(z 1 + λ 1 y n,..., z n 1 + λ n 1 y n, y n ) = f l (λ 1,..., λ n 1, 1)y l n + ι l f i (z 1,..., z n 1 )yn i für gewisse Polynome f i k[x 1,..., x n 1 ] für i = 0,..., l 1. Gälte für jedes α = (α 1,..., α n ) k n mit α n 0, dass f l (α) = 0, so wäre also für jedes α = (α 1,..., α n 1 ) k n 1 das Polynom F α := f l (α 1,..., α n 1, T ) k[t ] Null auf k \{0} und daher wegen k = auch F α = 0. Dies implizierte aber f l (α) = 0 für alle α k n, was erneut wegen k = im Widerspruch zu f l 0 stünde. Mithin gibt es ein α = (α 1,..., α n ) k n mit α n 0 und f l (α) 0 und wegen Homogenität gilt für ein solches α auch i=0 0 1 ( α1 αn l f l (α) = f l,..., α n 1, 1 α n α n ).

28 2. Ganze Ringerweiterungen 27 Wir können daher λ 1,..., λ n 1 k so wählen, dass c := f l (λ 1,..., λ n 1, 1) 0 ist. Nach Multiplizieren mit 1 c erhalten wir eine Ganzheitsgleichung von y n über A. Damit ist die Erweiterung A A [y n ] = R ganz und nach Induktionsannahme gibt es algebraisch unabhängige Elemente w 1,..., w d A so, dass k[w 1,..., w d ] A eine ganze Erweiterung ist. Dann ist auch k[w 1,..., w d ] R ganz, was zu zeigen war. Man kann zeigen, dass in der Notation des Beweises d = d gilt. Dies ist aber nicht essentiell, weswegen wir darauf verzichten.

29

30 ANHANG B Kategorientheorie 1. Exkurs: Kategorientheorie Wir benötigen die Grundbegriffe der Kategorientheorie. Für uns handelt es sich dabei lediglich um eine Sprache, um kategorientheoretische Inhalte wird es nicht gehen. Die Kategorientheorie hat ihren Ursprung in der algebraischen Topologie, heute ist sie jedoch ein eigenständiges Gebiet, das viele Anwendungen innerhalb und jenseits der algebraischen Topologie hat Definition. Eine Kategorie C besteht aus einer Klasse Ob C, der Klasse der Objekte, und einer Klasse Mor C, der Klasse der Morphismen von C, sowie Zuordnungen 1 s, z : Mor C Ob C und einer Komposition, die die folgenden Eigenschaften haben: (i) Für A, B Ob C bezeichnen wir mit Mor C (A, B) (oder auch Mor(A, B), wenn die Kategorie sich aus dem Kontext ergibt) diejenigen Morphismen f in Mor C, die s(f) = A und z(f) = B erfüllen. Für je drei Objekte A, B, C ist die Komposition eine Zuordnung Mor(A, B) Mor(B, C) Mor(A, C), (f, g) g f, die im naheliegenden Sinne assoziativ ist. (ii) Für jedes A Ob C existiert ein Morphismus id A so, dass für alle Morphismen f Mor C gilt: z(f) = A id A f = f s(f) = a f id A = f. Wir werden meist implizit voraussetzen, dass für je zwei Objekte A und B einer Kategorie C die Morphismen Mor C (A, B) eine Menge (nicht nur eine Klasse) bilden Beispiel. Wir begegnen Kategorien andauernd in unserem mathematischen Alltag: (i) Die Kategorie der Mengen Set hat Mengen als Objekte und Abbildungen als Morphismen. (ii) Es sei k ein Körper. Die Kategorie der k-vektorräume Vekt k hat k-vektorräume als Objekte und k-lineare Abbildungen als Morphismen. 1 Hierbei steht s für Start und z für Ziel. 29

31 30 Kapitel B. Kategorientheorie (iii) Analog betrachtet man die Kategorien R Mod der R-(Links-)Moduln für einen Ring R, Grp der Gruppen, Ab der abelschen Gruppen, Top der topologischen Räume (mit stetigen Abbildungen). (iv) Morphismen in Kategorien müssen nicht notwendig Abbildungen sein. Gegeben eine Kategorie C, so definieren wir die zu C duale Kategorie C op als diejenige Kategorie mit Objekten Ob C op = Ob C und Für je zwei Objekte A, B Ob C sei Mor C op(a, B) := Mor C (B, A). Entsprechend definiert man Identitäten und Kompositionen. Was Abbildungen für Mengen sind, das sind Funktoren für Kategorien Definition (Funktor). Es seien C und D Kategorien. Ein Funktor F : C D besteht aus den folgenden Daten, welche den untenstehenden Bedingungen genügen sollen: Es gelte: (i) Eine Zuordnung F : Ob(C ) Ob(D). (ii) Abbildungen F : Mor C (X, Y ) Mor D (F (X), F (Y )) für je zwei Objekte X, Y von C. (i) Sie sind kompatibel mit Verknüpfungen, d. h. F (f g) = F (f) F (g). (ii) Sie erhalten Identitätsmorphismen: F (id X ) = id F (X). Ein kontravarianter Funktor von C nach D ist ein Funktor F : C op D. Zur besseren Unterscheidung zu kontravarianten Funktoren bezeichnet man Funktoren in diesem Kontext auch als kovariante Funktoren. Ein Endofunktor ist ein Funktor F : C C. Für Funktoren F : C D und G : D E definiert man eine Komposition in dem offensichtlichen Sinne Beispiel. Bei gewissen Funktoren gibt man häufig nur an, was sie auf Objekten machen. Ihre Definition auf Morphismen ergibt sich dann (hoffentlich) aus dem Kontext. (i) Es sei k ein Körper. Jeden k-vektorraum kann man als Menge auffassen, indem man die Vektorraumstruktur vergisst. Analog ist jede k-lineare Abbildung insbesondere eine Abbildung. Die Zusatzstruktur zu vergessen ist ein funktorieller Vorgang. Dementsprechend ist V : Vekt k Set, V (X) = X für X Ob Vekt k ein Funktor, der sogenannte Vergißfunktor. Analog haben wir weitere Vergissfunktoren V : Top Set, V : Ring Set, etc. (ii) Ist V ein k-vektorraum, so betrachten wir den k-vektorraum V k V. Ist f : V W eine k-lineare Abbildung, so ist f f : V V W W eine lineare Abbildung. Wir erhalten daher einen Endofunktor T : Vekt k Vekt k, V V V. Anders als bei Mengen und Abbildungen gibt es bei Kategorien und Funktoren auch natürliche Transformationen Abbildungen zwischen Abbildungen.

32 1. Exkurs: Kategorientheorie Definition. Es seien F, G : C D Funktoren. Eine natürliche Transformation η : F G ist eine Zuordnung η : Ob C Mor D so, dass η(a) für jedes A Mor C ein Morphismus F (A) G(A) ist und dass für jedes f : A B Mor C das folgende Diagramm kommutiert: F (A) η(a) G(A) F (f) G(f) F (B) η(b) G(B) 1.6. Beispiel. Natürliche Transformationen kommen ebenfalls ständig in unserem mathematischen Alltag vor. (i) Wir betrachten einen k-vektorraum V und die Funktoren F : Vekt Vekt, W W W sowie G : Vekt Vekt, W W V. Dann ist η : G F F G, η W : (W W ) V (W V ) (W V ), (v 1, v 2 ) w (v 1 w, v 2 W ) ein natürlicher Isomorphismus. Der Begriff der Isomorphie von Kategorien existiert, ist aber zu restriktiv, um in der Praxis von Bedeutung zu sein. Stattdessen betrachtet man die folgende Eigenschaft Definition. Es sei F : C D ein Funktor. Man nennt F voll, wenn für jedes X, Y Ob C die Abbildung F : Mor C (X, Y ) Mor D (F (X), F (Y )) surjektiv ist. treu, wenn für jedes X, Y Ob C die Abbildung F : Mor C (X, Y ) Mor D (F (X), F (Y )) injektiv ist. volltreu, wenn für jedes X, Y Ob C die Abbildung F : Mor C (X, Y ) Mor D (F (X), F (Y )) bijektiv ist. Ein Funktor F : C D heißt wesentlich surjektiv, wenn für jedes Y D ein X D mit F (X) = Y existiert. Eine Äquivalenz von Kategorien ist ein volltreuer Funktor F : C D, der wesentlich surjektiv ist.