Das»Ob«und das»wie«des Akzeptierens des Begründens ist SUBJEKTIV.

Transkript

1 Das»Ob«und das»wie«des Akzeptierens des Begründens ist SUBJEKTIV.

2 Wie gelangt man zu einer Einsicht? Betrachtet man den Begründungshergang als Dialog zwischen einem Fürsprecher (Proponent) und einem Gegensprecher (Opponent), so benötigt man eine»gewinnstrategie«für den Dialog.

3 Die Sicht als Dialog zeigt sofort das Problem, und zwar die Gefahr des Aneinandervorbeiredens.

4 Argumentationsbasis»Eine Menge von Aussagen, die als richtig angesehen werden, soll zusammen mit den Schlussweisen, die als zuverlässig anerkannt werden, als Argumentationsbasis bezeichnet werden.«h. Bürger (1979): Beweisen im Mathematikunterricht - Möglichkeiten der Gestaltung in der Sekundarstufe I und II. In: Dörfler, W.; Fischer, R.: Beweisen im Mathematikunterricht. S Wien - Stuttgart 1979

5 Die Argumentationsbasis B L des Lehrers ist ungleich der Argumentationsbasis B S des Schülers, wobei im Allgemeinen gilt: B S < B L. Das Ziel: lim B S (t) = B L, t wobei zu jedem Zeitpunkt gelten sollte (muss): B S B L und B S < B L.

6 Aufgabe Zeige die Gültigkeit des folgenden SATZes. In jedem gleichschenkligen Trapez sind die beiden Diagonalen gleich lang. Begründungsversuche 1. Messen am konkreten Trapez 2. Enaktiv unter Einbeziehung einer Vorstellung vom Kongruenzbegriff 3. Auf Grundlage der Achsensymmetrie 4. Mittels kongruenter Teildreiecke 5. Mittels ähnlicher Dreiecke bzw. der Strahlensätze?

7 Wodurch lässt sich die Argumentationsbasis verändern und ausbauen? Präzisierung undefinierter Begriffe und benutzter Aussagen Hinzufügung von Definitionen und Sätzen Falsifizierung von fälschlicherweise als richtig angenommenen Aussagen Bewusstmachen unzulänglicher Schlussweisen Erarbeitung typischer Schlussweisen

8 Wie lässt sich das Beweisverständnis mittels Argumentationsbasis vertiefen? Bewusstmachung der Argumentationsbasis. z.b. in dem Argumente, Sätze und Definitionen ausformuliert werden oder Voraussetzungen für die Richtigkeit der Argumente der Basis untersucht werden Arbeit mit vorgegebener Argumentationsbasis Wechsel der Argumentationsbasis für einen Sachverhalt bzw. in einem Stoffgebiet

9 Die Argumentationsbasis bestimmt die Schrittweite des Beweises, d.h. wie ausführlich wird der Beweis aufgeschrieben.

10 Die Argumentationsbasis bestimmt die Schrittweite des Beweises, d.h. wie ausführlich wird der Beweis aufgeschrieben. Argumentationsbasis und Schrittweite hängen von der kognitiven Struktur der Schüler ab.

11 Das Ziel ist nicht diese Beweisdarstellung f ( β α) (α β) 1. α (Voraussetzung) 2. α ( β α) (Axiom 1) 3. β α (Modus Ponens 1., 2.) 4. β α (Voraussetzung) 5. ( β α) (( β α) β) (Axiom 3) 6. ( β α) β (Modus Ponens 4., 5.) 7. β (Modus Ponens 3., 6.) D.h. { β α; α} f β. Nach Deduktionstheorem folgt: { β α} f α β. Nach Deduktionstheorem folgt: f ( β α) (α β).

12 Schluss»parolen«1. Nicht Beweise sind, sondern das Beweisen ist zu lehren. 2. Präzisierung»Das Beweisen wird nicht gelehrt, sondern gelernt, und zwar durch Selbständigkeit.«H. Freudenthal (1979): Konstruieren, Reflektieren, Beweisen in phänomenologischer Sicht In: Dörfler, W.; Fischer, R.: Beweisen im Mathematikunterricht. S Wien - Stuttgart Daraus folgt ein»nacherleben«der Beweisfindung durch die Schüler - wofür die Zeit fehlt, oder? 4. Das bedeutet den Abschied von der fertigen, auf-alles-antwort-habenden Mathematik. 5. Der Beweis sollte eine Antwort auf das»warum«des Sachverhalts geben.