Mathe f. Info 2 (1152) HK07 der FernUni Hagen (auf der Basis von Notizen)

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Willi Bäcker
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1 Mathe f. Info 2 (1152) HK07 der FernUni Hagen (auf der Basis von Notizen) 1) (1) Die Folge a n ist konvergent. (2) Die Folge a n ist beschränkt. (3) Die Folge a n ist monoton und beschränkt. a) Welche der folgenden Implikationen ist richtig, welche falsch? (1) (2) (2) (1) (1) (3) (3) (1) b) Begründe (2) (1) und (1) (3) n+ 2 c) Ist die Reihe n n= 1 2 2) Sei f:]-1, [ R eine Abbildung mit f ( ) = ln(1+ ). 1+ konvergent? a) Bilde f (). b) Gib alle mit f ()<0 und alle mit f ()>0 an. Gib möglichst große Intervalle an, in denen f monoton ist. c) Gib das Minimum auf dem Intervall ]-1, [ an und folgere daraus ln( d) Wie lautet die Substitutionsregel? b e) Löse das Integral e d mittels Substitutionsregel und partieller Integration. 3) richtig oder falsch? a) Der relative Fehler δ st definiert als a ~ = ~. b) Der absolute Fehler der Addition lautet: η=ε 1 +ε 2, wobei ε 1 (ε 2 ) den absoluten Fehler von 1 ( 2 ) darstellt. c) Bei t-stelliger normalisierter Gleitkommazahl zur Basis β wird die Größe ½ β 1+t Maschinengenauigkeit genannt. d) Sei p 3 ():= gegeben. i) Zeige mittels Horner-Algorithmus das p 3 bei =9 eine Nullstelle hat. ii) Bilde mittels Newton-Verfahren 1 und 2 ( 0 =3).

2 4) a) richtig oder falsch? - Es eistiert genau ein Polynom pєπ 3 p(-1)= -1, p(0)=0, p(1)=1 - Das Tschebyschow-Polynom T 3 () lautet T 3 ()= b) Sei φ:[- 1/2,1/2] R eine Abbildung mit φ()=³. Zeige, dass φ() eine Kontraktion auf [- 1/2,1/2] ist. c) Es sind folgende Punkte vorgegeben: i i y i Bilde das Interpolationspolynom mit Hilfe der dividierten Differenzen 5) Ω:=N 6, gleichverteilt Ω :={1,2,3} ω X(ω) a) Ergänze: P X ({i})= b) X -1 ({1})= X -1 ({2})= X -1 ({3})= c) P X ({1})= P X ({2})= P X ({3})= 6) ω P(ω) ½ ¼ 1/8 1/8 X(ω)=3- ω a) E(X)= E(X²)= b) Wie lautet der Verschiebungssatz? Bilde V(X) aus a)

3 Klausur 1152 am (Abschrift am Ende der Klausur ohne Gewähr) Analysis 1a) (1) a n konvergent (2) a n beschränkt (3) a n monoton und beschränkt (1) => (2) (2) => (1) (1) => (3) (3) => (1) Richtig Falsch Pro richtiger Antwort ½ Punkt, bei falscher Antwort 0 Punkte 1b) Begründen Sie (2) => (1) (1) => (3) 1c) Ist die Reihe n=1 n 2 2 n konvergent? 2) Gegeben ist f : ] -1, [ R f :=ln 1 1 a) Wie lautet f ' ()? b) Bestimmen Sie alle ] -1, [ mit f ' () < 0 und alle ] -1, [ mit f ' () > 0 sowie möglichst große Intervalle, in denen f monoton ist. c) Bestimmen Sie das Minimum von f auf ] -1, [. Folgern Sie daraus die Ungleichung ln 1 1 für alle ] -1, [. d) Formulieren Sie die Substitutionsregel für die Integration. e) Berechnen Sie mit Substitution und partieller Integration: b a e d für alle a,b 0

4 Numerik 3a) i (i = 1,2) sind Näherungswerte für eakte Daten 1 und 2. Sind folgende Aussagen richtig oder falsch? i) Der relative Fehler δ ist = ii) Der absolute Fehler der Addition von 1 und 2 ist = 1 2, wobei 1 und 2 die absoluten Fehler von 1 und 2 sind. b) Richtig oder falsch? Bei t-stelliger normalisierter Gleitkomma-Rundung zur Basis β wird die Größe Maschinengenauigkeit genannt t c) Sei das Polynom p 3 :R R gegen durch p 3 = i) Bestätigen Sie mit Hilfe des Horner-Schemas, dass 0 = 9 eine Nullstelle ist. ii) Wenden Sie auf p 3 die Newton-Iteration an und bestimmen Sie die beiden Iterierten 1 und 2. Startwert ist 0 := 3. 4a) Richtig oder falsch? i) Es eistiert genau ein Polynom p 3 mit den Eigenschaften p(-1) = -1, p(0) = 0 und p(1) = 1. ii) Das Čebisev- Polynom T 3 hat die Darstellung T 3 () = b) Zeigen Sie, dass die Funktion :[ 1 2, 1 2 ] R mit φ() := 3 eine Kontraktion auf [ 1 2, 1 2 ] ist. c) i Stützstellen i Daten y i Bestimmen Sie das Interpolationspolynom p in Monomdarstellung mit der Eigenschaft p i = y i, 0 i 3 mit dem Schema der dividierten Differenzen.

5 Stochastik 5) =N, P die Gleichverteilung auf Ω P A = A ( A P(Ω)) Sei Ω' {1,2,3} und X:Ω Ω' gegeben durch ω X(ω) Ziel ist die Bestimmung von P X. Dies wird zweckmäßigerweise durch die Angabe von P X ({i}), i = 1,2,3 geschehen. a) Ergänzen Sie: P X ({i}) = i ' b) Bestimmen Sie: X -1 ({1}) = X -1 ({2}) = X -1 ({3}) = c) Bestimmen Sie: P X ({1}) = P X ({2}) = P X ({3}) =

6 6) Ω := {0, 1, 2, 3} Das W-Maß P auf Ω ist festgelegt durch ω P({ω}) 1/2 1/4 1/8 1/8 Die Zufallsvariable X: Ω R ist definiert durch X(ω) := 3 ω a) E(X) = = E(X 2 ) = = b) Ergänzen Sie: Wegen des Verschiebungssatzes für die Varianz ist V(X) = Es folgt aus Teil (a) der Aufgabe V(X) = =

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