Satellitennavigation in der Schule. Integration moderner Technik in den Physikunterricht

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1 Johannes Gutenberg - Universität Mainz Institut für Physik Satellitennavigation in der Schule Integration moderner Technik in den Physikunterricht Wissenschaftliche Prüfungsarbeit für die Erste Staatsprüfung für das Lehramt an Gymnasien Eingereicht von Kathrin Korb Gutachter: Prof. Dr. Klaus Wendt Dr. Frank Fiedler Mainz, den 22. Februar 2008

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3 Inhaltsverzeichnis Abbildungsverzeichnis iii 1 Einleitung 1 2 Grundlagen der Satellitennavigation Historische Entwicklung der Navigation Satellitennavigation Positionsbestimmung bei GPS über Trilateration Entwicklung des GPS GPS-Systembeschreibung Fehlerquellen und Grenzen bei GPS Satellitenfehler Empfängerfehler Atmosphärische Effekte Satellitengeometrie Abschattung des Signals Mehrwegeeffekte Gezielte Systembeeinflussung Anwendungen der Satellitennavigation Alternative Satellitennavigationssysteme GLONASS Galileo Beiträge der Relativistik Spezielle Relativitätstheorie Der Weg von der klassischen Physik zur Relativitätstheorie Einsteins Postulate Relativität der Gleichzeitigkeit Lorentz-Transformation Zeitdilatation Längenkontraktion Weitere Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie Allgemeine Relativitätstheorie Äquivalenzprinzip Gekrümmte Raumzeit und Uhreneffekt i

4 Inhaltsverzeichnis Periheldrehung des Merkurs Lichtablenkung im Gravitationsfeld Schwarze Löcher Relativistische Korrekturen bei GPS Didaktische Grundlagen zur Unterrichtsreihe Motivation für die Unterrichtsreihe Satellitennavigation im Physikunterricht Satellitennavigation als fächerübergreifendes und fächerverbindendes Projekt Integration technischer Bezüge in den Physikunterricht Bezug zum Lehrplan Schülervorstellungen zur Satellitennavigation Schülervorstellungen und ihre Bedeutung für den Unterricht Mögliche Schülervorstellungen zur Satellitennavigation Satellitennavigation in der Schule Konzept der Unterrichtsreihe Voraussetzungen Aufbau der Unterrichtsreihe Thematische Ergänzungsmöglichkeiten Reflexion der Unterrichtsreihe Zusammenfassung und Ausblick 91 Literaturverzeichnis 93 A Anhang 99 A.1 Arbeitsblätter A.2 Bewertung der Unterrichtsreihe A.3 Aktuelle GPS-Konstellation A.4 Beschreibung und Vergleich der GPS-Empfänger B Danksagung 119 C Erklärung 121 ii

5 Abbildungsverzeichnis 2.1 Kompass Breitengradbestimmung über die Mittagsmethode Winkelmessgeräte Verwendung eines Jakobsstabs Aufbau und Funktionsweise eines Sextanten Dreidimensionale Positionsbestimmung bei GPS über Trilateration Earth Centered Earth Fixed Coordinate System (ECEF) Zweidimensionale Trilateration mit drei Satelliten und Korrektur des Uhrenfehlers Logo des NAVSTAR-GPS Segmente von GPS Raumsegment von GPS GPS-Satelliten verschiedener Baureihen Verteilung der Kontrollstationen des Bodensegments Ablenkung des GPS-Signals in der Atmosphäre Einfluss der Satellitengeometrie auf die Güte der Positionsbestimmung Satellitenkonstellationen über dem Nutzer Abdeckungsbereich eines Satelliten Minimaler Erhebungswinkel bei der Horizontabschattung Mehrwegeeffekt durch Reflexion des GPS-Signals Vergleich der GPS-Genauigkeit mit und ohne Selective Availability Logo von GLONASS Logo von Galileo Albert Einstein im Jahr Teilgebiete der Physik um 1900 und ihre Schnittstellen Koordinatensystem der Galilei-Transformation Herleitung der Zeitdilatation Längenkontraktion bei bewegten Objekten Äquivalenzprinzip Periheldrehung des Merkurs Ablenkung des Sternenlichts durch die Sonnenmasse Gravitationslinse Frequenzänderung im Gravitationsfeld iii

6 Abbildungsverzeichnis 4.1 Vorausgesetzte Bausteine des Leistungsfaches Relevante Bausteine des Leistungsfaches Kompetenzbereiche und zugehörige Anforderungsbereiche der Bildungsstandards Zeitlicher Ablauf der Unterrichtsreihe GPS-Empfänger Einstiegscartoon der Unterrichtsreihe Schüler beim Umgang mit Sextanten Folienmodell zur Trilateration in der Ebene Schüler mit GPS-Empfängern Schüler bei der GPS-Rallye Schüler beim Experiment zur Trilateration Ergänzende Bausteine des Leistungsfaches Schüleräußerung zum Mehrwegeeffekt Ausleihkoffer GPS iv

7 1 Einleitung Sich in seiner Umgebung zurecht zu finden und sicher von einem Ort zum anderen zu gelangen, ist für alle sich fortbewegenden Lebewesen gerade auch für den Menschen in seiner heutigen, hochtechnologisierten Umwelt seit jeher ein zentraler Punkt. Zu Beginn ihres Daseins waren für die Menschheit die Nahrungssuche und die anschließende Rückkehr in ihre Behausung nur durch Orientierung an lokalen Landschaftsmerkmalen möglich. Im Laufe der Zeit erweiterte der Mensch seine Territorien immer mehr zunächst nur an Land, dann auch im Wasser und in der Luft und die größeren Entfernungen machten neue Methoden und Hilfsmittel für die Navigation notwendig. Dazu zählte zum Beispiel die Nutzung des Kompasses, aber auch Sonne, Sterne und andere astronomische Objekte dienten diesem Zweck. Zusätzlich wurden künstliche Navigationshilfen wie Leuchtfeuer und Bojen entwickelt und eingesetzt. Die fortschreitende Technik im zwanzigsten Jahrhundert erlaubte dann die Navigation über Funktechnik. Dieser Prozess ermöglichte eine stetig steigende Genauigkeit der Positionsbestimmung und eine immer größer werdende Reichweite der Navigation, die ihren aktuellen Höhepunkt in der Entwicklung und öffentlichen Bereitstellung der Satellitennavigation in den siebziger Jahren erreichte. Diese hat sich in wenigen Jahren als fester Bestandteil unseres Lebens etabliert. Heute ist die Satellitennavigation allgegenwärtig und vereinfacht unser Leben in vielen Bereichen des Alltags. Die bekannteste Anwendung findet sich in den weit verbreiteten Fahrzeug-Navigationssystemen. Weitaus höhere Bedeutung haben die Verfahren aber für die Orientierung auf See und im Luftverkehr. Darüber hinaus vereinfachen sie Messungen in der Geodäsie, Arbeitsvorgänge in der Land- und Forstwirtschaft oder nützen Wissenschaftlern bei seismologischen und anderen geologischen und geographischen Untersuchungen. In den letzten Jahren hat sich zudem der Einsatz der Satellitennavigation bei vielen Freizeitaktivitäten etabliert und unterstützt private und gewerbliche Nutzer als Orientierungshilfe im Outdoorbereich, etwa bei Exkursionen und beim Segeln. In diesem Feld bildete sie auch die Grundlage für die Entwicklung des populären Geocachings, einer modernen Form der Schatzsuche. Trotz der weit verbreiteten Nutzung dieser Technik ist den wenigsten Anwendern ihr Funktionsprinzip vertraut. Doch gerade in unserer von Technik dominierten Welt ist es im Hinblick auf eine moderne Form der Allgemeinbildung wünschenswert, sich über die Hintergründe der Technologien zu informieren und ihre Funktionsweisen zu verstehen. Die Konzeption und Verwirklichung der Satellitennavigation wäre zum Beispiel ohne die Raumfahrt, ohne moderne Mikrotechnik und vor allem ohne das umfassende 1

8 1 Einleitung Verständnis der zugrundeliegenden physikalischen Gesetzmäßigkeiten und deren mathematischer Formulierung nicht denkbar gewesen. Nur die Berücksichtigung der von Albert Einstein postulierten speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie und der darin vorhergesagten relativistischen Effekte erlaubt eine so hochpräzise Positionierung, wie sie für die sinnvolle Nutzung der Satellitennavigation Voraussetzung ist und heute auch erreicht wird. Die Relevanz der Physik für moderne Technologien und gerade für die Satellitennavigation bietet einen guten Ansatzpunkt für einen zeitgemäßen und interessanten Physikunterricht, der das natürliche Interesse der Jugend an Natur und Technik aufgreifen kann. Die Behandlung aktueller Technik kann die Begeisterung für das Fach Physik wecken und eine zusätzliche Lernmotivation bewirken. Nach dem rheinland-pfälzischen Lehrplan für das Fach Physik in der Oberstufe soll sich der Unterricht an der Lebenswelt der Schülerinnen und Schüler orientieren [FL + 08]. Diesem Anspruch wird die Satellitennavigation durch ihren Alltagsbezug ebenso gerecht wie dem allgemeinbildenden Argument, dass naturwissenschaftliche Bildung dem Individuum eine aktive Teilhabe an gesellschaftlicher Kommunikation und Meinungsbildung über technische Entwicklung und naturwissenschaftliche Forschung [Kul08a] ermöglichen soll. Im Rahmen dieser Examensarbeit wurde eine Unterrichtsreihe zum Thema Satellitennavigation für den Physikunterricht der gymnasialen Oberstufe entwickelt. Dabei stehen nicht nur die Vermittlung der Funktionsweise und der physikalischen Hintergründe dieser Technologie im Vordergrund, sondern auch eine kritische Auseinandersetzung der Schüler mit diesem Thema. Ein handlungsorientierter Zugang und der spielerische Umgang mit GPS-Empfängern sollen die Schüler für die Thematik motivieren und das Verständnis für das Funktionsprinzip der Satellitennavigation fördern. Außerdem werden eine Einführung in die Konzepte der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie nach Albert Einstein gegeben und deren Einfluss auf die Satellitennavigation diskutiert. Die abschließende Vorstellung verschiedener Satellitennavigationssysteme bietet eine gute Grundlage für eine interdisziplinäre Diskussionsrunde, in der weiterführend physikalische, politische und ökonomische Aspekte besprochen werden. Die vorliegende Arbeit gliedert sich in sechs Teile. Nach dieser Einleitung bietet das zweite Kapitel zunächst einen kurzen historischen Überblick über die Navigation und stellt die Grundlagen der Satellitennavigation vor. Dabei werden das zugrundeliegende Funktionsprinzip der Positionsbestimmung, die Entwicklung der Technologie und mögliche Fehlerquellen behandelt sowie Anwendungen und einige Satellitennavigationssysteme vorgestellt. Im nächsten Kapitel werden eine Einführung in die spezielle und die allgemeine Relativitätstheorie gegeben und ihr Zusammenhang mit der Satellitennavigation sowohl quantitativ als auch qualitativ erörtert. Kapitel 4 beinhaltet didaktische Überlegungen zu der im fünften Kapitel vorgestellten Unterrichtsreihe über Satellitennavigation. Dort wird auf ihre Durchführung in einem Physik-Leistungskurs 2

9 der Jahrgangsstufe 13 an der Gutenbergschule in Wiesbaden eingegangen und einige Erweiterungsmöglichkeiten dieser Thematik aufgezeigt, die noch nicht in die erste Umsetzung dieser Unterrichtsreihe aufgenommen werden konnten. Die Arbeit endet mit einer reflektierten Zusammenfassung und einem Ausblick im sechsten Kapitel. 3

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11 2 Grundlagen der Satellitennavigation An dieser Stelle sei zunächst ein kurzer Überblick über die historische Entwicklung der Navigation gegeben, bevor am Beispiel des amerikanischen Satellitennavigationssystems NAVSTAR-GPS auf die Historie der Satellitennavigation und deren Grundlagen eingegangen wird. Des Weiteren werden die Fehlereinflüsse bei GPS erläutert und die zahlreichen Anwendungen dieser Technik diskutiert. Zuletzt werden das russische Satellitennavigationssystem GLONASS und das noch im Aufbau befindliche europäische System Galileo vorgestellt. 2.1 Historische Entwicklung der Navigation Die Möglichkeit, sich in seiner Umgebung zurechtzufinden und letztlich an einen bestimmten Ort zu gelangen oder zu ihm zurückzukehren, beschäftigt die Menschen seit Urzeiten und ist auch heute noch ein bedeutsames Thema. Dabei geht es in erster Linie um die Ortung, also die Bestimmung der eigenen, aktuellen Position auf der Erdkugel. Erst im nächsten Schritt kann der günstigste Kurs zu Land oder zu Wasser ermittelt und entsprechend umgesetzt werden. Hierzu entwickelte man im Laufe der Zeit fortwährend neue Ideen, Methoden und Werkzeuge, die dem Menschen die Navigation ermöglichen und vereinfachen sollten. Terrestrische Navigation Die ursprünglichste Form der Navigation ist die terrestrische Navigation, bei der sich an natürlichen und später auch an künstlichen Landschaftsmerkmalen, etwa speziell gekennzeichneten Bäumen oder aufgetürmten Steinpyramiden, orientiert wird. Diese Methode stößt jedoch an Grenzen, wenn durch Nebel oder Dunkelheit die Sicht beeinträchtigt ist, aber auch auf dem offenen Meer, wo jegliche markante Merkmale zur Orientierung fehlen. Deswegen suchte man mit dem Aufkommen der Seefahrt nach anderen Hilfsmitteln, um seine aktuelle Position zu bestimmen. Neben dem Nutzen der Sterne entdeckte man die Möglichkeit einer Bestimmung der Himmelsrichtungen über naturgegebene Eigenschaften der Erde und entwickelte den Kompass. Bereits vor über 2000 Jahren verwendeten chinesische Seefahrer das Erdmagnet- Abbildung 2.1: Kompass zur Bestimmung der Himmelsrichtungen [MHMH05] 5

12 2 Grundlagen der Satellitennavigation feld und konstruierten die erste Form eines Kompasses, indem sie magnetisches Gestein leicht drehbar an Pferdehaaren aufhängten oder mit im Wasser schwimmenden magnetischen Eisenfischen die Südrichtung bestimmten. Im Abendland wurde der Kompass als Navigationsmittel erstmals um 1190 erwähnt und fand dort im dreizehnten Jahrhundert Verbreitung, als die größer werdenden Schiffe mit zuverlässiger Steuerung Reisen über den Ozean möglich machten [HB90]. Ein solcher Kompass ist in Abb. 2.1 dargestellt. Astronomische Navigation Bei der astronomischen Navigation kann aus der Beobachtung von Gestirnen, also Sonne, Mond, Planeten und Fixsternen, auf die Position und auf Himmelsrichtungen geschlossen werden. Schon in der Antike orientierten sich Seefahrer auf ihren Reisen von Norden nach Süden am Polarstern, konnten damit allerdings nur die Veränderung ihrer geographischen Breite erkennen. Um 900 n. Chr. nutzten die Wikinger dann den Schattenwurf von Sonnenuhren, um die geographische Breite ihres Standortes zu bestimmen [Deu05]. Eine weitere Möglichkeit, seinen Breitengrad zu bestimmen, wurde bald mit der sogenannten Mittagsmethode entwickelt. Hier misst man den Winkel φ zwischen Sonne und Horizont zum Kulminationszeitpunkt der Sonne, also gerade dann, wenn sie ihre maximale Höhe erreicht hat. Kennt man für den Messzeitpunkt die Abbildung 2.2: Bestimmung des Breitengrads Θ der aktuellen Position mit der Mittagsmethode: Der Kulminationswinkel φ der Sonne wird gemessen und ihr derzeitiger Abstand δ vom Himmelsäquator entsprechenden Tabellen entnommen. 6

13 2.1 Historische Entwicklung der Navigation Deklination δ der Sonne, also den Winkelabstand vom Himmelsäquator 1, so kann aus dem gemessenen Winkel der Breitengrad über Θ = 90 (φ δ) (2.1) berechnet werden [Hün00]. Eine Darstellung der entsprechenden Winkel ist in Abb. 2.2 zu sehen. Abbildung 2.3: Winkelmessgeräte: Astrolabium [MHMH05], Jakobsstab [MHMH05] und Sextant Um nun eine höhere Genauigkeit bei der Positionsbestimmung zu erreichen, mussten einerseits die Tafeln für Mond- und Sonnenbewegung und andererseits die Winkelmessgeräte (siehe Abb. 2.3) verbessert werden. Schon 1391 verfasste Geoffrey Caucers eine Abhandlung über die Konstruktion des Astrolabiums und seine Verwendung zur Positionsbestimmung von Sternen. Im sechzehnten Jahrhundert war der Jakobsstab das verbreitetste nautische Instrument zur Messung des Winkels zwischen Horizont und Sonne. Wie in Abb. 2.3 zu erkennen ist, besteht der Jakobsstab aus einem Längsstab, auf dem ein oder mehrere senkrecht Abbildung 2.4: Verwendung eines Jakobsstabs stehende und verschiebbare Querstäbe angebracht sind. Der Längsstab wird, wie in Abb. 2.4 dargestellt, unter dem Auge angesetzt und der Querstab so lange verschoben, bis das angepeilte Objekt und der Horizont von den beiden Enden bedeckt werden. An Hand einer Einteilung auf dem Stab kann der Stand des Querstabs abgelesen werden, von dem auf den gesuchten Winkel geschlossen werden kann erfanden der englische Astronom John Hadley und der in einer britischen Kolonie in Amerika tätige Optiker und Erfinder Thomas Godfrey unabhängig voneinander den Oktanten. Ein Gerät, das es über zweifache Spieglung ermöglicht, Winkel bis zu 90 zwischen 1 Diese Werte können in entsprechenden Jahrestabellen nachgelesen werden. 7

14 2 Grundlagen der Satellitennavigation zwei Objekten zu bestimmen. Das Grundprinzip der Winkelmessung über zweifache Spiegelung geht auf eine Idee Isaac Newtons zurück. Dies betreffende Unterlagen mit Newtons Handschrift wurden in Hadleys Nachlass gefunden, der seine Konstruktion im Jahre 1731 der Royal Astronomical Society, einer britischen Wissenschaftsakademie, vorlegte [Dir84]. John Campbell erweiterte den Bogen des bei der Navigation genutzten Oktanten, so dass Winkel bis zu 120 gemessen werden konnten, und bezeichnete das Instrument erstmals als Sextanten [Deu05, WW03]. (a) Bestandteile eines Sextanten (b) Strahlengang bei einem Sextanten (nach [SWR08]) Abbildung 2.5: Funktionsweise eines Sextanten Die Winkelmessung zwischen zwei Objekten mit Hilfe eines Sextanten erfolgt, indem man durch das Fernrohr eines der Objekte anpeilt und das zweifach gespiegelte Bild des anderen damit zur Deckung bringt. Wie in Abb. 2.5(a) dargestellt, besteht der Sextant aus zwei Spiegeln, wobei der große Spiegel über dem Drehpunkt des Zeigerarms, der sogenannten Alhidade, sitzt und der kleine halbdurchlässige Spiegel fest montiert ist. Die Alhidade kann über einem Gradbogen von 60 bewegt werden. Der Strahlengang des von den beobachteten Objekten ausgehenden Lichts ist in Abb. 2.5(b) für die Winkelmessung zwischen Sonne und Horizont zu sehen. Zunächst wird die Horizontlinie durch das Fernrohr und den kleinen Spiegel angepeilt. Dann wird die Alhidade gedreht, bis das Bild der Sonne über Reflexion am großen und am kleinen Spiegel ebenfalls durch das Fernrohr ins Auge trifft und sich dort die beiden Bilder überlagern. Geometrisch lässt sich leicht zeigen [Dir84], dass der Winkel zwischen den beiden Objekten gerade dem Doppelten des Winkels entspricht, der von den beiden Spiegeln eingeschlossen wird. Dieser Winkel kann am Gradbogen abgelesen werden, wobei meist doppelte Winkelwerte aufgetragen sind, um dem Nutzer die Umrechnung zu ersparen [Hün00]. 8

15 2.1 Historische Entwicklung der Navigation Mit Hilfe der astronomischen Navigation kann lediglich die geographische Breite, ohne zusätzliche Hilfsmittel jedoch nicht die geographische Länge eines Standorts bestimmt werden. Zur Ermittlung des Längengrads ist darüber hinaus eine hinreichend präzise Zeitmessung notwendig, wie die folgenden Überlegungen zeigen. Da die Erde sich bis auf geringe Abweichungen in 24 h einmal um sich selbst dreht, also gerade um 360, gibt es auf jedem Punkt der Erde einen exakten Zeitpunkt, an dem die Sonne den höchsten Himmelsstand erreicht. Umgekehrt kann man also aus der Kenntnis dieses Zeitpunkts auf den aktuellen Längengrad seiner Position schließen. Hierzu muss bei einer Schiffsreise lediglich die Uhrzeit des Heimathafens mitgeführt werden. Angenommen die Sonne erreicht im Heimathafen um 12 Uhr mittags ihren Höchststand und der Seefahrer misst an seiner unbekannten Position den höchsten Punkt der Sonne um 15 Uhr. Dann befindet er sich 45 westlich seines Heimathafens, da die Erde sich in einer Stunde gerade um 15 dreht. Auf hoher See führten die bis zum fünfzehnten Jahrhundert verwendeten Pendeluhren jedoch zu so großen Ungenauigkeiten, dass eine Längengradbestimmung nicht möglich war und damit auf See nur nach der geographischen Breite navigiert werden konnte erließ die britische Regierung nach mehreren Schiffsunglücken den British Longitude Act und versprach ein hohes Preisgeld für die Erfindung einer Möglichkeit zur Längengradbestimmung. Den darauf folgenden Ideenwettbewerb gewann John Harrison mit der Erfindung des Chronometers, der ersten Uhr mit hoher Ganggenauigkeit und Robustheit. Diese Uhr erwies sich auch bei starkem Seegang als sehr zuverlässig und zeigte kaum Beeinflussung durch Hitze oder Nässe [Deu05, KW08]. Funknavigation Bei der astronomischen Navigation benötigte man entsprechende Hilfsmittel und war auf klare Sicht zum Himmel angewiesen. Erst Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts gab es nach der Erforschung elektromagnetischer Wellen durch Heinrich Hertz eine erneute Weiterentwicklung der Navigation. Mit auf Radiowellen basierenden Funknavigationssystemen konnte somit wetterunabhängig navigiert werden. Die Funknavigation beruht auf dem Prinzip der Peilung von Rundfunksendern mit Richtantennen und kam um 1920 zum ersten Mal zum Einsatz. Bei Peilung zu mehreren Sendern und Kenntnis der Position jedes Senders kann durch Eintragen der Standlinien auf einer Landkarte der eigene Standort ermittelt werden. Allerdings haben diese bodengestützten Systeme den entscheidenden Nachteil, dass ein Kompromiss zwischen Reichweite und Genauigkeit erfolgen muss abhängig von der verwendeten Wellenlänge der elektromagnetischen Strahlen. Dennoch sind Funknavigationssysteme auch heute noch für verschiedenste Anwendungen und vor allem in der Luftfahrt im Gebrauch. Für eine genauere Beschreibung der Funkortung sei auf [Sch94] verwiesen. Im allgemeinen Sinn kann die Satellitennavigation als direkte Weiterentwicklung der Funknavigation angesehen werden. 9

16 2 Grundlagen der Satellitennavigation 2.2 Satellitennavigation Die Entwicklung der Funknavigation wurde vor und während des Zweiten Weltkriegs für militärische Zwecke intensiv vorangetrieben, erreichte aber bald ihre Grenzen. Eine Ortung war auf Grund der begrenzten Reichweite des Signals höchstens bis zu einer Entfernung von 1000 km von den Sendern möglich [Sch94]. So entstand der Wunsch nach einem Navigationssystem, das einerseits die Vorteile der bisherigen Systeme beibehält, sie andererseits aber auch ergänzt und verbessert. Es wurde als wünschenswert angesehen, dass dieses neue System eine sehr hohe Genauigkeit analog oder sogar besser als die der Funknavigationssysteme erzielt und weitgehend wetterunabhängig einsetzbar ist. Weiterhin sollte es zu jeder Zeit sowie an jedem Ort der Welt verfügbar sein. Nach dem Start des weltweit ersten Satelliten Sputnik am 4. Oktober 1957 entstand sehr schnell das Konzept, Satelliten für Kommunikation, Ortung und Navigation einzusetzen. Aus dieser Idee und den oben genannten Anforderungen entwickelte sich das Satellitennavigationssystem, dessen prinzipieller Aufbau und Funktionsweise in diesem Abschnitt beispielhaft am amerikanischen NAVSTAR-GPS (Navigation System using Time and Ranging Global Positioning System) erklärt werden sollen [Man04a]. Im Folgenden wird das System, wie im alltäglichen Sprachgebrauch üblich, mit der gängigen Abkürzung GPS bezeichnet Positionsbestimmung bei GPS über Trilateration 1973 gab das US-Verteidigungsministerium den Auftrag, ein satellitengestütztes System zu entwickeln, das die Bestimmung von [dreidimensionaler] Position und Geschwindigkeit von beliebigen ruhenden und sich bewegenden Objekten ermöglichte, um damit eine weltweite Navigation mit hoher Genauigkeit zu gewährleisten [Man04b]. Hinzu kamen die Forderungen, dass das System eine Echtzeitpositionierung und eine genaue Zeitreferenz ermöglichen sollte. Um eine beliebige Zahl an Nutzern zuzulassen und eine Lokalisierung dieser Nutzer durch andere zu unterbinden, sollte die Ortung passiv sein. Der Empfänger darf die Satellitensignale demnach nur empfangen und nicht aktiv mit dem Satelliten kommunizieren. Da das System primär für eine militärische Nutzung geplant war, war zudem eine Absicherung gegen zufällige und gewollte Störungen von großem Interesse. Um eine solche Positionierung zu ermöglichen, wurde auf das Prinzip der Laufzeitmessung und der Trilateration zurückgegriffen. Die Idee, die Entfernungsmessung auf eine Laufzeitmessung zurückzuführen, wurde 1943 erstmals bei den Funknavigationssystemen eingesetzt. Kennt man die Ausbreitungsgeschwindigkeit v eines Signals und die benötigte Laufzeit t vom Sender zum Empfänger, so kann man über r = v t auf die Entfernung des Empfängers zum Sender schließen. Bei GPS geschieht diese Laufzeitmessung zwischen Satellit im Weltall und Empfänger auf oder zumindest in der Nähe der Erdoberfläche. Hierzu sendet der Satellit ständig ein Datenpaket aus, das 10

17 2.2 Satellitennavigation unter anderem den genauen Sendezeitpunkt t S und die gegenwärtige Position x(t S ) des Satelliten enthält. Geht man davon aus, dass die Empfängeruhr mit der Satellitenuhr synchronisiert ist und eine Sichtverbindung zwischen Empfänger und Satelliten besteht 2, so kann der Empfänger aus dem Empfangszeitpunkt t E des Signals über r = v (t E t S ) (2.2) seine Entfernung zum Satelliten berechnen. Da der Satellit elektromagnetische Signale aussendet und diese sich im Vakuum mit der Lichtgeschwindigkeit von c m s ausbreiten, entspricht in diesem Fall die Ausbreitungsgeschwindigkeit v gerade dem Wert c. Aus der Kenntnis der Entfernung r kann der Empfänger nun schließen, dass er sich auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius r und dem Satellitenstandort x(t S ) als Mittelpunkt befindet. Diese Fläche 3 möglicher Standpunkte des Empfängers wird Standfläche genannt [Sch94]. Abbildung 2.6: Bestimmung der Position des Empfängers über den Schnittpunkt von drei Kugeln um die Satelliten. Deren Radien ergeben sich über Laufzeitmessungen und einer der Schnittpunkte kann als mögliche Position meist ausgeschlossen werden. Jedes empfangene Signal definiert nach obigen Überlegungen eine Kugel um den jeweiligen Satelliten. Für den Empfänger muss gelten, dass er sich auf jeder dieser Kugeln 2 Für den besten Empfang ist bei elektromagnetischer Strahlung im Wellenlängenbereich der GPS- Signale eine direkte Sichtverbindung des Empfängers zum Satelliten nötig. 3 Im dreidimensionalen Fall handelt es sich hierbei um eine Kugeloberfläche. Für die Trilateration in zwei Dimensionen ergeben sich Kreislinien. 11

18 2 Grundlagen der Satellitennavigation befindet. Der Schnitt zweier Kugeln ergibt eine Kreislinie, woraus sich bei erneutem Schneiden mit der dritten Kugel zwei mögliche Standorte für den Empfänger ergeben. Hiervon befindet sich in den meisten Fällen nur einer auf oder nahe der Erdoberfläche, so dass der andere Schnittpunkt als Position ausgeschlossen werden kann. Durch den Empfang der Signale von drei Satelliten kann der Standort auf der Erde also eindeutig festgelegt werden, wie in Abb. 2.6 veranschaulicht ist. Dieses Verfahren der Ortsbestimmung über Entfernungs- bzw. Laufzeitmessungen nennt sich Trilateration im Gegensatz zur Triangulation, bei der sich auf Winkel bezogen wird [Bre02]. Der Schnitt dreier Kugeln, wie er bei der Trilateration von GPS ermittelt werden muss, ist eine Aufgabe der sphärischen Geometrie. Algebraisch korrespondiert dieses Problem mit dem Lösen eines Gleichungssystems aus drei Kugelgleichungen nach den drei unbekannten Ortskoordinaten des Empfängers: (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 + (z z 1 ) 2 = r 2 1 = (c t 1 ) 2 (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2 = r 2 2 = (c t 2 ) 2 (x x 3 ) 2 + (y y 3 ) 2 + (z z 3 ) 2 = r 2 3 = (c t 3 ) 2. (2.3) Hierbei sind (x i, y i, z i ) die Koordinaten des Satelliten zum Sendezeitpunkt, r i die aus der Laufzeit t i bestimmte Entfernung des Empfängers zum Satelliten und (x, y, z) die Koordinaten der gesuchten Position des Empfängers. Dabei beziehen sich alle Koordinaten auf das sogenannte Earth Centered Earth Fixed Coordinate System (ECEF), das in Abb. 2.7 dargestellt ist. Der Ursprung dieses kartesischen Koordinatensystems befindet sich im Massenmittelpunkt der Erde, die z-achse entspricht der Rotationsachse der Erde in Richtung Norden und die x-achse liegt in der Äquatorebene und zeigt zum Nullmeridian. Die y-achse liegt ebenfalls in der Äquatorebene und zeigt nach Osten, so dass das ECEF zu einem Rechtssystem vervollständigt wird. Somit erhält man ein erdfestes Koordinatensystem. Von Vorteil ist, dass sich im Gegensatz zu einem raumfesten Koordinatensystem die Koordinaten der Punkte nicht ständig durch die Erdrotation ändern [Man04a, Abe01]. Ein solches quadratisches Gleichungssystem aus drei Gleichungen und drei Unbekannten hat maximal zwei Lösungen. Der theoretisch mögliche Fall, dass die drei Kugeln bei festen Radien r i keinen gemeinsamen Schnittpunkt haben, kann in der Realität nicht vorkommen, da sich die Kugelradien proportional zur Zeit vergrößern und damit jeder Raumpunkt zu irgendeinem Zeitpunkt erreicht wird. Falls eine Kugel den Schnittkreis der beiden anderen gerade berührt, ergibt sich aus dem Gleichungssystem ein eindeutiger Schnittpunkt, der dem gesuchten Standort des Empfängers entspricht. Für den allgemeinen Fall zweier möglicher Lösungen des Gleichungssystems kann nach den obigen Plausibilitätsüberlegungen meist ein Punkt als mögliche Position ausgeschlossen werden. 12

19 2.2 Satellitennavigation Abbildung 2.7: Erdzentriertes, erdfestes Koordinatensystem (Earth Centered Earth Fixed Coordinate System), auf das sich die GPS-Koordinaten beziehen. Diese Betrachtungen basieren auf der Annahme, dass die Empfängeruhr mit der Satellitenuhr synchronisiert ist. Die erforderliche, unabhängige Synchronisation zwischen jedem der zur Trilateration genutzten Satelliten und der Empfängeruhr stellt jedoch aus mehreren Gründen, wie zum Beispiel der großen Distanz zwischen den Uhren, eine technische Herausforderung dar. Eine Möglichkeit bestände in der Nutzung identischer hochpräziser Frequenznormale im Satelliten und im Empfänger. Dies wäre etwa ein extrem frequenzstabiler Oszillator, aus dem weitere hochgenaue Frequenzen abgeleitet werden können. In der Praxis wird die erforderliche Genauigkeit mit Hilfe von Atomuhren erreicht, deren Oszillator ein Übergang in einem atomaren Spektrum ausnutzt. An Bord jedes GPS-Satelliten befinden sich mehrere solcher Atomuhren, meist sogenannte Rubidium- und Cäsiumuhren. Der Einbau einer Atomuhr in den GPS-Empfänger ist hingegen aus Kosten-, Gewichts- und Transportabilitätsgründen nicht durchführbar. Deshalb beschränkt man sich hier auf Quarzoszillatoren, die aber im Vergleich zu den Atomuhren eine wesentlich höhere Ungenauigkeit im Bereich von einigen 10 6 aufweisen. Schwierigkeiten und Limitierungen auf Grund der eingeschränkten Genauigkeit der Uhr im Empfänger können durch eine weitere Laufzeitmessung gelöst werden. Der Empfänger benötigt demnach Kontakt zu mindestens vier GPS-Satelliten. Die Frequenznormale der Atomuhren in den Satelliten werden von Kontrollstationen auf der Erde ständig überprüft und gegebenenfalls korrigiert (vgl. Kapitel 2.2.3), so dass von einem synchronen Gang der Satellitenuhren ausgegangen werden kann. Demnach ist der Gangunterschied der Empfängeruhr zu allen Satellitenuhren gleich, nämlich ge- 13

20 2 Grundlagen der Satellitennavigation rade t, und führt nach Multiplikation mit der Ausbreitungsgeschwindigkeit zu einem systematischen Fehler r = c t der Entfernung für alle bestimmten Kugeln. Damit Abbildung 2.8: Zweidimensionale Trilateration mit drei Satelliten und Korrektur des Uhrenfehlers: Bei fehlender Synchronisation von Sender und Empfänger ergibt die Zeitmessung zunächst nur Pseudoentfernungen (r i ) und es ist keine eindeutige Positionsbestimmung möglich (blau). Alle Entfernungen sind mit dem gleichen Fehler r behaftet, der durch eine zusätzliche Messung bestimmt werden kann. Erst danach kann ein eindeutiger Schnittpunkt aller Standflächen ermittelt werden (rot). ergibt sich folgendes, in Bezug auf (2.3) leicht verändertes Gleichungssystem für die Navigationsgleichungen, mit dem neben den unbekannten Koordinaten der Empfängerposition auch der unbekannte Gangunterschied t berechnet werden kann: (x x 1 ) 2 + (y y 1 ) 2 + (z z 1 ) 2 = (r 1 + r) 2 = c 2 (t 1 + t) 2 (x x 2 ) 2 + (y y 2 ) 2 + (z z 2 ) 2 = (r 2 + r) 2 = c 2 (t 2 + t) 2 (x x 3 ) 2 + (y y 3 ) 2 + (z z 3 ) 2 = (r 3 + r) 2 = c 2 (t 3 + t) 2 (x x 4 ) 2 + (y y 4 ) 2 + (z z 4 ) 2 = (r 4 + r) 2 = c 2 (t 4 + t) 2. (2.4) Die Bezeichnungen sind dabei analog zum Gleichungssystem (2.3) gewählt. Die ohne Berücksichtigung des systematischen Uhrenfehlers gemessenen Größen r i und t i werden pseudo ranges genannt. Bei drei Entfernungsmessungen würden sich die Kugeln zwar immer noch in maximal zwei Punkten schneiden, diese Punkte würden aber nicht auf der durch die vierte Entfernungsmessung ermittelten Standfläche liegen. Diese Problematik ist in Abb. 2.8 zur Vereinfachung mit drei Standkreisen in der Ebene veranschaulicht. Je zwei Kreise schneiden sich in einem Punkt, der allerdings nicht auf dem jeweils 14

21 2.2 Satellitennavigation dritten Kreis liegt. Erst wenn die Pseudoentfernungen um den entsprechenden Wert r korrigiert sind, erhält man wieder einen eindeutigen Schnittpunkte aller Standflächen. Das nichtlineare Gleichungssystem (2.4) der Navigationsgleichungen ist nur mit einem erheblichen Rechenaufwand lösbar. Hierfür entwickelten Bancroft im Jahr 1985 und Kleusberg im Jahr 1994 zwei Algorithmen, die in [RF08] vorgestellt werden Entwicklung des GPS Nachdem die Sowjetunion während des Kalten Krieges den ersten künstlichen Erdsatelliten Sputnik ins Weltall geschossen hatte, waren die Amerikaner sehr an den hochgeheimen Bahndaten interessiert. Diese berechneten Wissenschaftler an der Johns Hopkins University in Baltimore, indem sie von drei Bodenstationen bekannter Position die Doppler-Frequenzverschiebung der Satellitensignale ausmaßen. Die vom Satelliten ausgesendete Frequenz ist gemäß dem Dopplereffekt für elektromagnetische Signale gegenüber der am Boden empfangenen verschoben, wenn sich Sender und Empfänger relativ zueinander bewegen. Nähern sich Empfänger und Quelle an, erhöht sich die vom Empfänger wahrgenommene Frequenz; entfernen sie sich voneinander, nimmt der Empfänger eine geringere Frequenz wahr [GK98, Dem06]. Die stärkste Änderung der Frequenz ist charakteristisch für den kürzesten Abstand von Sender und Empfänger, so dass aus der Aufnahme des Frequenzverlaufs und dem Wert der stärksten Änderung auf die Entfernung geschlossen werden kann. Trilateration auf Grundlage von Bodenstationen mit genauer Positionskenntnis lieferte also die exakte Position und Bahn von Sputnik. Für eine Ortung auf Satellitenbasis lag nun die Umkehrung des bei Sputnik genutzten Verfahrens nahe, also die eigene unbekannte Position auf der Erde aus drei bekannten Satellitenpositionen zu ermitteln. Auf diesem Prinzip basierte dann tatsächlich das erste Satellitennavigationssystem Navy Navigation Satellite System (NNSS), das 1958 für die Navigation der US-Marine konzipiert und 1964 unter dem Namen TRANSIT auch für die zivile Nutzung freigegeben wurde. Mit diesem System stand erstmals ein Ortungssystem zur Verfügung, das eine erdumfassende Nutzung zur Navigation in der Seefahrt mit hoher Genauigkeit ermöglichte [Man04c]. Allerdings war eine Nutzung außerhalb der Seefahrt fast unmöglich, da auf Grund der geringen Anzahl von nur sechs Satelliten 4 eine kontinuierliche Ortung kaum realisierbar war und durchaus ein zeitlicher Abstand von zwei Stunden zwischen zwei Ortungen entstehen konnte. Zudem war deshalb nur eine zweidimensionale Positionierung möglich. Ferner hatte das System einen Ortungsfehler von bis zu 100 m für einen ruhenden Beobachter, der auf Grund der Geschwindigkeitsabhängigkeit des Dopplereffekts für bewegte Empfänger noch viel größer wurde [Man04a]. 4 Für Information über die heutige Abdeckung siehe Kapitel

22 2 Grundlagen der Satellitennavigation Um diese Nachteile zu beseitigen, wurde am 17. April 1973 vom amerikanischen Verteidigungsministerium, dem Department of Defense (DoD), der Auftrag erteilt, ein aufgerüstetes Satellitennavigationssystem zu entwickeln. Nach den Vorstellungen seiner Gründungsväter sollte das Global Positioning System ein Funknavigationsdienst werden, der nur von den amerikanischen Streitkräften und beschränkt von ihren Verbündeten genutzt wird; mit dem in Real Time eine präzise dreidimensionale Ortung unter Funkfrequenzstörbedingungen möglich wird; der zu jeder Zeit und bei jeder Wetterlage überall auf der Welt, bis zu mäßigen Breitengraden zur Verfügung steht. [DH04a] Hierzu wurden die Projekte der Navy und der Air Force, die bisher an jeweils eigenen Programmen zur Satellitennavigation forschten, gebündelt. Die mit TRANSIT mögliche Genauigkeit reichte der US-Marine nicht aus, um mit ihren Mittel- und Langstreckenwaffen ausreichend genau das Ziel anzupeilen. Daher versuchten sie mit dem Projekt TIMA- TION die zweidimensionale Ortung zu verbessern. Zeitgleich bemühte sich die amerikanische Luftwaffe mit dem Programm System 621 eine dreidimensionale Ortung zu realisieren [Bau97a]. Das neue Unternehmen wurde unter der Bezeichnung NAVSTAR-GPS dem Joint Programm Office des Space and Missile Systems Center, Air Force Space Command, Los Angeles übertragen [Aff08]. Dem Start des ersten Satelliten im Juni 1977 folgten drei weitere im selben Jahr und dienten dazu, die Funktionsfähigkeit des Systems nachzuweisen. Nach jahrelangem Ausbau des Systems Abbildung 2.9: Logo des NAVSTAR-GPS, betrieben vom 50th Space Wing s 2nd Space Operations Squadron [Nil08] wurde am 8. Dezember 1993 die Initial Operational Capability, also die vorläufige Betriebsbereitschaft verkündet. Keine zwei Jahre später, am 17. Juli 1995, teilte die Luftwaffe der USA die volle Betriebsbereitschaft mit:...that today the Global Positioning System satellite constellation has met all requirements for Full Operational Capability [Bau97b]. Heute wird das NAVSTAR-GPS vom 50th Space Wing s 2nd Space Operations Squadron in Colorado betrieben und kontrolliert [Aff08]. Zunächst als rein militärisches Projekt geplant, wurden die Signale des GPS Anfang der achtziger Jahre auf Anweisung des US-Präsidenten Ronald Reagan auch der Öffentlichkeit zugänglich gemacht. Anlass hierfür war der Abschuss eines zivilen Flugzeugs der Korean Airline 007 über sowjetischem Gebiet im September 1983, nachdem es sich in fremden Luftraum verirrt hatte. Bei diesem Unglück starben 269 Passagiere. Da eine 16

23 2.2 Satellitennavigation alternative Quelle für Navigationsdaten dem Piloten gegebenenfalls ermöglicht hätte, dem fremden Hoheitsgebiet fernzubleiben, ließ der US-Präsident die GPS-Signale der öffentlichen Nutzung zur Verfügung stellen [Eas07]. Die größtmögliche Genauigkeit blieb aus Gründen der Sicherheit dennoch dem amerikanischen Militär in einem verschlüsselten Signal vorbehalten, während das für jeden empfangbare zivile Signal durch eine künstliche Verschlechterung beeinflusst wurde. Dieses Verfahren nannte sich Selective Availability (SA) und wird in Kapitel ausführlich behandelt. Durch das absichtliche Senden von falschen Zeiten und ungenauen Bahndaten entstand ein Fehler von bis zu 100 m in der Positionsbestimmung. Im Jahre 2000 beschlossen die USA diese künstliche Manipulation des Signals aufzuheben. Zu diesem Zeitpunkt hatte GPS 1,5 Millionen Nutzer und der wirtschaftliche Wert betrug 6,2 Milliarden Dollar. Schätzungen gehen davon aus, dass es 2010 mehrere zehn Millionen Nutzer sein werden und der Wert 55 Milliarden Dollar übersteigen wird [Eas07]. Grund für dieses ungeheure Wachstum sind die weit gefächerten Anwendungsgebiete von GPS, die nach der Abschaltung der Selective Availability entstanden und im Kapitel 2.4 vorgestellt werden. Zum gegenwärtigen Zeitpunkt stellt GPS das weltweit leistungsfähigste System für Ortung und Navigation dar. Der Aufbau bzw. Wiederaufbau von möglichen Alternativen, die in Kapitel 2.5 dargestellt werden, ist geplant GPS-Systembeschreibung Das GPS-System lässt sich in drei Segmente unterteilen, die in diesem Kapitel näher besprochen werden sollen: Das Raumsegment, das Kontrollsegment und das Nutzersegment. Eine Übersicht über das Zusammenwirken der drei Segmente und den Datenaustausch zwischen ihnen ist in Abb dargestellt. Die Informationen dieses Abschnitts sind, falls nicht gesondert gekennzeichnet, der Fachliteratur wie [DH04b, Man04a, Sch94, Bau97a] entnommen. Raumsegment Das Raumsegment von GPS besteht aus den derzeit 31 auf Erdumlaufbahnen stationierten aktiven Satelliten. Sie senden die für die Positionierung nötigen Daten. Dabei ist eine Mindestanzahl von 21 Satelliten zuzüglich dreier Ersatzsatelliten notwendig, um überall und zu jedem Zeitpunkt die für eine dreidimensionale Positionsbestimmung nötige direkte Sichtverbindung zu vier Satelliten zu garantieren (siehe Kapitel 2.2.1). Um eine optimale Abdeckung der Erdoberfläche zu erhalten, entschieden sich die Entwickler für die sogenannte Walker-Konstellation. Die Satelliten bewegen sich alle auf gleicher Höhe und mit identischer Inklination auf kreisförmigen Bahnen um die Erde, so dass eine vollständige und kontinuierliche Abdeckung der Erdkugel durch Bodenspuren 17

24 2 Grundlagen der Satellitennavigation Abbildung 2.10: Darstellung von Raum-, Boden- und Nutzersegment bei GPS, wobei die Pfeile das Senden bzw. den Empfang von Signalen symbolisieren. gegeben ist. Die Bodenspur ist dabei die Bahn des Satelliten projiziert auf die Erde. Eine solche Satelliten-Konstellation wird durch die Inklination I der Satellitenbahnen, die Gesamtzahl T der Satelliten, die Anzahl P der Bahnebenen und den relativen Abstand F benachbarter Satelliten beschrieben (I:T /P /F ). Die Walker-Konstellation bei GPS ist 55 :24/6/4, also 21 Satelliten zuzüglich dreier Ersatzsatelliten, welche die Erde auf fast kreisförmigen Bahnen in einer Höhe von ungefähr km umrunden. Nach dem dritten Keplerschen Gesetz entspricht dies ungefähr einer Umlaufzeit von 12 Stunden (genauer: 11 h 56 min 10, 8 s 5 ). Die GPS-Satelliten sind demnach nicht geostationär. Es befinden sich planmäßig vier Satelliten auf je einer von sechs unterschiedlichen Bahnebenen, die jeweils um 55 zur Äquatorebene geneigt und gegeneinander um 60 versetzt sind. Eine ausführliche Beschreibung der Überlegungen und Gründe, die zu der in den Abb dargestellten Walker-Konstellation geführt haben, findet sich in [DH04b]. 5 Das dritte Keplersche Gesetzt besagt, dass sich die Quadrate der Umlaufzeiten T 1 und T 2 zweier Trabanten um den gleichen Zentralkörper wie die dritten Potenzen der großen Halbachsen a 1 und a 2 verhalten, also T1 2 T2 2 = a3 1 a 3 2 [BO02]. Betrachtet man beispielsweise als Vergleichstrabanten den Mond, so ergibt sich mit a Mond = km, a Satellit = km und T Mond = 27, 322 d eine Umlaufdauer des Satelliten von a 3 Satellit T Satellit = a 3 TMond 2 = 11 h 56, 18 min. Mond 18

25 2.2 Satellitennavigation (a) Maßstabsgetreue Darstellung des Raumsegments von GPS (Satelliten sind vergrößert dargestellt) [KW08]. (b) Verteilung der 24 GPS-Satelliten auf den sechs Bahnebenen nach der Walker-Konstellation. Je vier Satelliten (1 4) befinden sich auf einer der mit A bis F bezeichneten Bahnebenen [Man04a]. Abbildung 2.11: Zwei Darstellungen des Raumsegments von GPS. Die Satelliten bewegen sich ungefähr in km Höhe auf sechs, jeweils um 55 zum Äquator geneigten Bahnebenen. 19

26 2 Grundlagen der Satellitennavigation Seit dem Beginn der Entwicklung von GPS in den siebziger Jahren gab es fünf verschiedene Satellitenmodelle, die stetig weiterentwickelt und verbessert wurden. Zunächst wurden für die Testphase des Systems elf Block I-Satelliten von 1978 bis 1985 in ihre Umlaufbahnen befördert, die jeweils eine Cäsium- und zwei Rubidiumuhren an Bord hatten. Nachdem diese Prototypen ihre erwartete Lebensdauer von 5 Jahren weit überschritten hatten, begann nach ihrem erfolgreichen Einsatz 1989 die Entwicklung der Betriebssatelliten vom Block II (siehe Abb. 2.12). Vier verschiedene Modelle dieser Baureihe wurden ab 1989 ins Weltall geschossen und der bisher letzte Satellit startete am 20. Dezember 2007 [Uni08a]. Eine Aufstellung der aktuellen GPS- Satellitenkonstellation kann [Uni08b] entnommen werden und befindet sich für die Konstellation vom 01. Februar 2008 im Anhang. (a) Block IIA-Satellit [KW08] (b) Block IIR-Satellit [Aff08] Abbildung 2.12: Zeichnungen von GPS-Satelliten der Baureihe Block II; diese wurde stetig weiterentwickelt. Jeder Satellit sendet seine Navigationsmitteilung auf zwei Frequenzen: Der zivilen, für jeden empfangbaren L1-Frequenz (1575, 42 MHz) und der L2-Frequenz (1227, 60 MHz), auf der ein verschlüsseltes Signal übermittelt wird, das nur vom amerikanischen Militär und dessen Verbündeten mittels entsprechender Empfänger gelesen werden kann. Geplant ist eine weitere Frequenzausstrahlung (L5-Frequenz; 1176, 45 MHz), die voraussichtlich 2010 fertig gestellt wird und die Robustheit des Empfangs verbessern soll. Sie dient vor allem dem erhöhten Genauigkeitsbedarf in der Luftfahrt und bei sogenannten Safety-of-Life-Anwendungen (siehe Kapitel 2.5.2). Die Wahl eines geeigneten Frequenzbereichs für ein Satellitennavigationssystem unterliegt mehreren Kriterien. Er sollte unterhalb von 2 GHz liegen, um einen Empfang des Signals auf der Erde ohne Richtantennen zu ermöglichen. Die Frequenz darf andererseits 20

27 2.2 Satellitennavigation auch nicht zu klein gewählt werden, da die Abweichung der Ausbreitungsgeschwindigkeit elektromagnetischer Wellen in der Atmosphäre von der Vakuumlichtgeschwindigkeit umso größer ist, je tiefer die Frequenz ist. Zudem ergeben sich für Frequenzen unter 100 MHz große ionosphärische Verzögerungen und für solche über 10 GHz eine enorme Dämpfung des Signals in der Troposphäre, so dass die Fehler in der Entfernungsbestimmung über Laufzeitmessung in beiden Fällen eine inakzeptable Größenordnung erreichen. Eine genauere Diskussion der ionosphärischen und troposphärischen Effekte findet sich in Kapitel 2.3. Zusätzlich muss eine ausreichend große Bandbreite für die Modulation des Signals zur Verfügung stehen und der entsprechende Frequenzbereich muss von der Internationalen Fernmeldeunion (International Telecommunications Union, ITU) genehmigt werden. Diese 1836 zu Beginn der Funktechnik gegründete Organisation ist für die internationale Zuweisung von Frequenzen an Dienste, Betreiber und Nutzer verantwortlich. Als Kompromiss aus diesen Überlegungen ergab sich die Wahl der oben aufgeführten Frequenzen im L-Band, das von 1000 bis 2000 MHz reicht und somit im Mikrowellenbereich liegt [KW08]. GPS sendet auf diesen Frequenzen jedoch nur als Zweitnutzer, da die entsprechenden Frequenzen bereits von dem terrestrischen Richtfunk belegt waren. Daher ist Abstrahlleistung der GPS-Signale nach oben begrenzt, um den Funkbetrieb des Erstnutzers nicht zu beeinträchtigen. Realisiert wird die Datenübertragung mit Hilfe der aus dem Frequenznormal der Atomuhr abgeleiteten Grundfrequenz von exakt f 0 = 10, 23 MHz. Durch Multiplikation und Division werden alle benötigten Frequenzen, also die Trägerfrequenzen L1 und L2, die Codefrequenzen C/A und P sowie die Frequenz des Datensignals abgeleitet. Der C/A- Code dient der Identifikation des Satelliten und wird auf der L1-Frequenz gesendet. Der P-Code wird verschlüsselt auf der L2-Frequenz gesendet. Zusätzlich zum C/A-Code wird auf der L1-Frequenz eine 1500 Bits lange Navigationsmitteilung mit einer Datenrate von 50 Bit/s ausgesendet. Diese enthält neben den Uhren- und Bahndaten auch den Almanach der Satelliten und allgemeine Meldungen wie spezielle Betriebsnachrichten oder Korrekturparameter. Die Bahnen, auch Ephemeriden genannt, sind durch Kepler-Parameter wie die große Halbachse und die Exzentrizität der Satellitenbahnellipsen sowie die Bahninklination relativ zu einer festen Ebene definiert. Der Almanach enthält Beschreibungen der übrigen Satellitenbahnen, so dass ein schnelleres Auffinden dieser für den Empfänger ermöglicht wird. Zu einer detaillierten Behandlung der technischen Details der Signalverarbeitung wird auf Fachliteratur wie [Sch94, Man04a] verwiesen. Bodensegment Die Aufgabe des Bodensegments ist die Kontrolle des gesamten GPS-Systems. Hierzu gehören die Aufrechterhaltung der Funktionsfähigkeit von GPS, die Beobachtung und Vorausberechnung der Satellitenbewegungen sowie die Kontrolle der Satellitenuhren. Die Hauptkontrollstation befindet sich auf der Schriever Air Force Base bei Colorado 21

28 2 Grundlagen der Satellitennavigation Springs (Colorado, USA). Gemeinsam mit fünf Monitorstationen, die sich in Colorado, Hawaii, Ascension Islands im südlichen Atlantik, Diego Garcia im Indischen Ozean und Kwajalein im Pazifischen Ozean befinden, übernimmt sie die Kontrollaufgaben. Zusätzlich gibt es noch drei Bodensendestationen an den Orten Ascension Island, Diego Garcia und Kwajalein. Eine Übersicht über diese Stationen ist in Abb dargestellt. Abbildung 2.13: Hauptkontrollstation und Monitor- sowie Bodensendestationen des Bodensegments von GPS. Sie beobachten die Bahnbewegungen der Satelliten und errechnen daraus ständig die Korrekturparameter der Satelliten (nach [Ada08]). Die Monitorstationen sind mit hochgenauen Frequenznormalen ausgestattete GPS- Empfangsanlagen, die die Signale aller sichtbaren Satelliten nutzen, um die jeweilige Entfernung zum Satelliten zu berechnen. Aus den Daten einer Woche wird eine Referenzumlaufbahn berechnet, welche durch zusätzliche, periodisch erfolgende Messungen stündlich ergänzt wird. Zusätzlich besitzen die Stationen Sensoren zur Ermittlung meteorologischer Daten, die sie gemeinsam mit den Ergebnissen der Entfernungsmessung an die Hauptkontrollstation senden. Dort wird dann mit Hilfe der Korrekturdaten für Bahn und Zeit des Satelliten die Navigationsmitteilung ermittelt, welche über die Bodensendestationen an die Satelliten weitergegeben wird. Diese aktualisieren nach dem Empfang ihre gespeicherte Navigationsmitteilung und senden sie an den Empfänger. Um eine größtmögliche Effektivität und Genauigkeit zu erreichen, sind die Monitorstationen so angeordnet, dass jeder Satellit mindestens einmal pro Tag Sichtkontakt zu vier Stationen gleichzeitig hat. So ist es möglich, das Ortungsverfahren umzukehren 22

29 2.3 Fehlerquellen und Grenzen bei GPS und über die sehr genaue Kenntnis der Monitorstandorte die Satellitenposition sowie dessen Uhrengenauigkeit zu überprüfen. Nutzersegment Zum Nutzersegment zählen alle Anwender von GPS, die entsprechende Empfänger einsetzen, um Ortungs-, Navigations- oder Zeitdaten zu erhalten. Nach der Freigabe der GPS-Signale für zivile Empfänger Anfang der achtziger Jahre setzte eine schnelle Entwicklung des zivilen Nutzermarkts ein, der im Jahr 2000 nochmals einen Aufschwung erhielt, als der US-Präsident die Abschaltung von SA verkündet hatte. Das weit gefächerte Gebiet der Anwendungen von Satellitennavigation und insbesondere GPS wird in Kapitel 2.4 vorgestellt. 2.3 Fehlerquellen und Grenzen bei GPS Wie in den vorangegangenen Kapiteln bereits verdeutlicht wurde, ist für eine präzise Ortung über Laufzeitmessung eine extrem hohe Genauigkeit der zugrunde liegenden Daten nötig. Die Betrachtung von möglichen Fehlereinflüssen und deren Ausgleich ist in Hinblick auf eine verwendbare Ortungsinformation unerlässlich Satellitenfehler Wie jede physikalische Messgröße sind auch die in der Navigationsmitteilung ausgesendeten Werte für die Bahndaten und die Satellitenuhrzeit fehlerbehaftet. Nach den Navigationsgleichungen (2.4) gehen beide Größen direkt in die Entfernungsbestimmung ein und haben somit eine Auswirkung auf die ermittelte Position. Die Koordinaten des Satelliten errechnet der Empfänger aus den in der Navigationsmitteilung gesendeten Bahndaten. Diese werden, wie in Kapitel beschrieben, kontinuierlich durch das GPS-Bodensegment kontrolliert und korrigiert. Es wird eine Genauigkeit der momentanen Koordinaten des Satelliten bis auf wenige Meter erreicht [Man04a]. Dennoch ist diese Präzision für einige Anwendungen, wie zum Beispiel die Beobachtung der Plattentektonik, noch immer nicht ausreichend. Obwohl es prinzipiell möglich wäre, noch genauere Bahndaten zu bestimmen und diese den Nutzern in Echtzeit zur Verfügung zu stellen, verhindert die USA diese Möglichkeit auf Grund von Sicherheitsbedenken. Da es für die genannten wissenschaftlichen Fragestellungen jedoch ausreichend ist, die präzisen Bahndaten nachträglich zu erhalten, und dieses Postprocessing die Sicherheitsinteressenten der USA nicht verletzt, haben sich verschiedene zivile Stellen auf die Bestimmung der präzisen Daten im Postprocessing spezialisiert. Seit dem 1. Januar 1994 errechnet und veröffentlicht der International GPS Service IGS mit Hilfe von über 100 weltweit verteilten GPS-Stationen hochpräzise Bahndaten 23

30 2 Grundlagen der Satellitennavigation aller GPS-Satelliten, die zwei Wochen nach der Beobachtung mit einer Genauigkeit im Zentimeterbereich über das Internet frei zur Verfügung stehen [Bau97a]. Eine Möglichkeit, die Satellitenfehler auszugleichen, besteht in einer relativen Positionierung. Das ist das Prinzip des weit verbreiteten Differential-GPS (DGPS). Die ortsfesten Referenzstationen empfangen ebenfalls die GPS-Signale und vergleichen das Ergebnis der errechneten Position mit der sehr genau bekannten Position dieser Station. So können die Satellitenfehler und auch weitere Fehler wie Atmosphäreneffekte ermittelt und an den Nutzer weitergegeben werden, der mit diesen Werten seine eigenen Berechnungen präzisieren kann. Diese Vorgehensweise ist jedoch lediglich im Umkreis der Referenzstation sinnvoll, da die berechneten Korrekturwerte nur für den Ort der Referenzstation gelten [Gei07]. Die durch die Atomfrequenznormale in den Satelliten bestimmte Uhrzeit weist über mehrere Stunden eine Stabilität in der Größenordnung von bis auf. Diese Genauigkeit ist so groß, dass Effekte der Relativistik berücksichtigt werden müssen [Man04a]. Hierfür sei auf Kapitel 3.3 verwiesen Empfängerfehler Wie bereits in Kapitel erläutert, wäre der Einbau von hochgenauen Frequenznormalen in der Empfängereinheit nicht praktikabel. Deswegen beschränkt man sich auf Quarzoszillatoren, deren Ungenauigkeit im Vergleich zu Atomuhren großteils durch die Hinzunahme der vierten Gleichung zu den Navigationsgleichungen (2.4) ausgeglichen werden kann. Zudem lässt sich die Ungenauigkeit der Empfängeruhr für hohe Genauigkeitsanforderungen, wie sie bei Vermessungsaufgaben oder speziellen wissenschaftlichen Fragestellungen nötig ist, durch den Einbau von speziell ausgewählten Präzisionsoszillatoren in das entsprechende Empfangsgerät weiter minimieren. Zusätzliche Zeitfehler können durch Nichtbeachtung der Signallaufzeit innerhalb des Empfängers und bei Mehrkanalempfängern auch durch Signallaufzeitunterschiede zwischen den einzelnen Empfangskanälen entstehen. Eine weitere Fehlerursache in der Empfangsanlage ist das Messrauschen, welches das Auflösungsvermögen des Empfängers bestimmt [Man04a] Atmosphärische Effekte Ein weiterer wichtiger Fehlerbeitrag ergibt sich durch die Variation des Brechungsindex in der Atmosphäre. Neben der dadurch bedingten Absorption, Reflexion, Brechung und Streuung des elektromagnetischen Signals ändert sich auch seine Ausbreitungsgeschwindigkeit. Der Herleitung der Navigationsgleichungen (2.4) liegt die Annahme zu Grunde, dass sich das vom Satelliten ausgesandte Signal mit der Vakuumlichtgeschwin- 24

31 2.3 Fehlerquellen und Grenzen bei GPS digkeit c m ausbreitet. Tritt das Signal in die Atmosphäre ein, verringert sich s die Ausbreitungsgeschwindigkeit v. Über den Zusammenhang n = c v = Geschwindigkeit des Signals im Vakuum Geschwindigkeit des Signals im Medium (2.5) ist dies mit der Änderung des Brechungsindex korreliert. Beim Durchlaufen der Atmosphäre durchquert das Signal Gebiete mit unterschiedlichen Brechungsindizes, die stark von der Zusammensetzung der entsprechenden Luftschicht, von der aktuellen Wetterlage und von der Frequenz des Signals abhängen. Dieses Phänomen wird als atmosphärische Refraktion bezeichnet und erschwert die Bestimmung der exakten Raumkurve des Signals vom Satelliten zum Empfänger. Abbildung 2.14: Absorption, Reflexion, Brechung und Streuung der GPS-Signale in der Atmosphäre, wobei die Ausbreitung nicht mehr mit Vakuumlichtgeschwindigkeit erfolgt. Die Einteilung der verschiedenen Schichten der Atmosphäre kann nach zahlreichen Aspekten wie Temperatur, Ionisation oder Gaszusammensetzung erfolgen. Für eine genaue Behandlung des atmosphärischen Aufbaus sei auf [Bau97a] verwiesen. Um das Verhalten elektromagnetischer Signale in diesen Bereichen zu untersuchen, genügt es, auf ein sehr einfaches Modell zurückzugreifen. Hierbei wird zwischen der Troposphäre und der Ionosphäre unterschieden, wobei sich die Troposphäre von der Erdoberfläche bis zu einer Höhe von ungefähr 50 km erstreckt und die daran angrenzende Ionosphäre bis zu einer Höhe von 1000 km reicht. Die Brechung des GPS-Signals in diesen Schichten ist schematisch in Abb dargestellt. 25

32 2 Grundlagen der Satellitennavigation Ionosphäre Die Atome und Moleküle der Ionosphäre sind auf Grund der ultravioletten Strahlung der Sonne zu einem Großteil ionisiert. Entsprechend ihrer charakteristischen Ionisationsenergie können die unterschiedlichen Gase jeweils durch elektromagnetische Strahlung ausreichender Energie ionisiert werden. Die Energie E der Strahlung hängt über E = h c λ (2.6) mit der Wellenlänge λ zusammen, wobei h das Plancksche Wirkungsquantum und c die Vakuumlichtgeschwindigkeit ist. Gemeinsam mit der Dissoziation von Gasmolekülen, d. h. der Zerstörung der neutralen Molekülstruktur in mehrere geladene Einzelbestandteile, führt die Ionisation zu einem schichtartigen Aufbau der Ionosphäre, wobei in den einzelnen Schichten jeweils positive oder negative Ionen bestimmter Gase überwiegen. Die Schichten werden durch die Elektronendichte N E, also die Anzahl der Elektronen pro Kubikmeter, charakterisiert. Diese Größe hängt wiederum stark von der Sonnenaktivität ab, die einerseits im Verlaufe eines Tages, andererseits aber auf Grund Phasen verstärkter Sonneneruptionen zusätzlich in einem elfjährigen Sonnenzyklus schwankt. Generell gilt die Aussage: Satellitensignale werden in der Ionosphäre in komplizierter Weise durch die freigesetzten Elektronen, das Magnetfeld der Erde und die Kollision der freien Elektronen mit anderen Partikeln beeinflusst [Bau97c]. Daraus resultiert neben einer Änderung der Ausbreitungsgeschwindigkeit des Signals eine Krümmung des Signalwegs. Da die Ionosphäre ein dispersives Medium ist, ist die Geschwindigkeitsänderung frequenzabhängig und die Phasengeschwindigkeit v P h = ω k (2.7) weicht von der Gruppengeschwindigkeit v Gr = dω dk (2.8) ab. Dabei bezeichnet ω die Kreisfrequenz der Welle und k die Wellenzahl. Auf Grund dieser Dispersion ist eine Unterscheidung zwischen Phasen- und Gruppenbrechungsindex nötig und nach [See93] ergibt sich: n P h = 1 K f 2 N E n Gr = 1 + K f 2 N E (2.9) Hierbei bezeichnet f die Signalfrequenz, N E die Elektronendichte und K eine Konstante, die sich aus empirischen Studien zu K = 40, 3 m3 ergibt [Bau97a]. Aus den s 2 26

33 2.3 Fehlerquellen und Grenzen bei GPS Gleichungen (2.9) lässt sich erkennen, dass der Brechungsindex umgekehrt proportional zum Quadrat der Frequenz ist und von der Elektronendichte entlang des Ausbreitungsweges abhängt. Mit Gleichung (2.5) und den Taylorentwicklungen von (1+ɛ) 1 1 ɛ und (1 ɛ) ɛ für kleine ɛ folgt für die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit: v P h = c v Gr = c (1 + (1 40, 3 m3 s 2 f 2 40, 3 m3 s 2 f 2 N E N E ) ). (2.10) Der Einfluss der Ionosphäre auf die Phasen- und Gruppengeschwindigkeit ist also betragsmäßig gleich, unterscheidet sich aber im Vorzeichen. Nach Gleichung (2.10) ergibt sich für die Phasengeschwindigkeit des hochfrequenten Mischsignals ein Wert, der größer als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist. Dies ist jedoch kein Widerspruch zu der fundamentalen Aussage der Physik, dass die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum die größte auftretende Geschwindigkeit ist. Diese Aussage bezieht sich auf die Ausbreitung einzelner Felder, während es sich im betrachteten Fall um die Überlagerung aus mehreren Einzelfeldern unterschiedlicher Ausbreitungsgeschwindigkeiten handelt. Daher kommt es zu Phasenlagen der Mischfrequenzen, die eine Phasengeschwindigkeit repräsentieren, die größer als die Lichtgeschwindigkeit ist [Bau97c]. Für den Transport der Energie einer Welle ist hingegen die Gruppengeschwindigkeit entscheidend [BO02]. Bei Vernachlässigung von Verlusten entspricht die Gruppengeschwindigkeit also gerade der Signalgeschwindigkeit und ist laut Gleichung (2.10) kleiner als die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Dies ist der entscheidende Effekt, der die Entfernungsmessung beeinflusst. Durch die ionosphärischen Effekte entstehen Fehler bei der Positionierung in der Größenordnung von 1, 2 m im Präzisionsbereich sowie von bis zu 8, 0 m im Standardbetrieb. Zur Korrektur dieser Fehler gibt es mehrere Möglichkeiten. Durch das Differential-GPS DPGS können Vergleichswerte erhalten werden, so dass die Verzögerung aus der Pseudolaufzeit herausgerechnet werden kann. Eine andere Möglichkeit besteht in der Zweifrequenzmessung, die auf dem Vergleich der unterschiedlichen ionosphärischen Einflüsse auf die beiden verschiedenen GPS-Frequenzen L1 und L2 beruht. Dabei wurden die Signalfrequenzen mit einem Frequenzabstand von mehr als 20% gewählt, um diesen Ausgleich zu ermöglichen. Des Weiteren sind in der Navigationsmitteilung Informationen enthalten, die eine Berechnung der ionosphärischen Laufzeitverzögerung ermöglichen. Die Daten basieren dabei auf einem von Klobuchar entwickelten Modell für die Verzögerungen in der Ionosphäre in Abhängigkeit von der geomagnetischen Breite und der Ortszeit. Dieses Modell und die Zweifrequenzmessung werden in [Bau97a, HWLW08] ausführlich behandelt. 27

34 2 Grundlagen der Satellitennavigation Troposphäre Die durch die Troposphäre verursachten Laufzeitverzögerungen sind wesentlich geringer als die durch die Ionosphäre verursachten. Die daraus entstehenden Fehler in der Entfernungsmessung liegen generell im Bereich von maximal 2 m [Man04a]. Anders als die Ionosphäre ist die Troposphäre für Frequenzen unter 30 GHz auch kein dispersives Medium und enthält kaum freie Elektronen und Ionen. Der Brechungsindex variiert mit der Dichte der Gasmoleküle, dem Druck, der Temperatur und dem Anteil von Wasser. Zum Ausgleich der troposphärischen Laufzeitverzögerungen existieren zahlreiche Modelle, von denen in [Bau97a] das Hopfield-Modell und das Saastamoinen-Modell vorgestellt werden. Auf Grund der Frequenzunabhängigkeit des troposphärischen Einflusses kann die Fehlerminimierung durch solche Modelle, nicht jedoch durch DGPS oder Zweifrequenzmessung erfolgen Satellitengeometrie Einen entscheidenden Einfluss auf die Güte der ermittelten Position hat die geometrische Stellung der zur Trilateration genutzten Satelliten im Raum. Zur besseren Veranschaulichung wird das Problem hier zunächst im Zweidimensionalen und ohne Beachtung von Pseudoentfernungen erläutert. Bei einer Ortung in der Ebene vereinfacht sich das Prinzip der Positionsbestimmung auf die Ermittlung des Schnittpunktes zweier kreisförmiger Standlinien. Durch die zuvor beschriebenen Fehlerquellen sind die ermittelte Laufzeit und somit auch die daraus berechnete Entfernung des Empfängers vom Satelliten stets fehlerbehaftet. So ergeben sich keine kreisförmigen Standlinien, sondern Standflächen, die Ringen entsprechen. Diese Situation ist in Abb an Hand der violetten Flächen um die schwarzen Standkreise dargestellt. Die tatsächliche Position entspricht dem Schnittpunkt der Standkreise, jedoch können durch die Unsicherheiten der Entfernungsbestimmung auch Positionen in dem dunkel markierten Bereich ermittelt werden. Je nach Stellung der Satelliten zueinander ergeben sich für diese rautenähnlichen Flächen, die auch Positionsfehlerflächen genannt werden, unterschiedliche Flächeninhalte. Die Unsicherheit der Ortung wird entsprechend durch die Positionsfehlerfläche angegeben. Der Positionsfehler ist am geringsten, falls die Satelliten gerade einen Winkel von 90 einschließen. Dies ist im linken Bild der Abb veranschaulicht. Je größer die Abweichung des Satellitenwinkels von 90 ist, desto größer wird die Positionsfehlerfläche und desto schlechter die Güte der ermittelten Position, wie im rechten Bild der Abb zu erkennen ist. Ein Maß für die Verringerung der Genauigkeit durch die Satellitengeometrie im Raum liefert der DOP-Wert (Dilution of Precision), wobei größere Werte eine geringere Güte der Positionsbestimmung implizieren. Die GPS-Empfänger berücksichtigen die Position 28

35 2.3 Fehlerquellen und Grenzen bei GPS Abbildung 2.15: Einfluss der Satellitengeometrie auf die Güte der Positionsbestimmung. Die violetten Bereiche kennzeichnen dabei die Laufzeitkreise, die durch Messungenauigkeiten entstehen, der dunkle Bereich definiert die mögliche Position. Die geometrisch ungünstige Anordnung der Satelliten im rechten Bild lässt eine wesentlich größere Ungenauigkeit der Positionsbestimmung zu. der empfangenen Satelliten und errechnen daraus die Verschlechterung der Genauigkeit. Eine Möglichkeit hierfür besteht in der Volumenbestimmung der Pyramide, deren Grundfläche durch die zur dreidimensionalen Positionsbestimmung nötigen Satelliten gebildet wird und deren Spitze der Nutzer darstellt. Verschiedene Varianten dieser Pyramide sind in Abb dargestellt. Die größte Genauigkeit wird gerade dann erreicht, wenn das Volumen der Pyramide maximal ist, also wenn die Strahlen von den Satelliten zum Nutzer sich orthogonal schneiden. Um eine allgemeine Angabe zu ermöglichen, wird der DOP-Faktor üblicherweise auf die Standardabweichung, also eine Wahrscheinlichkeit von 68, 3% bezogen. Es gilt nach [Man04a]: DOP = Standardabweichung des Positionsfehlers σ p Standardabweichung des Entfernungsfehlers σ r (2.11) Eine besondere Bedeutung hat der Einfluss der Satellitengeometrie in engen Häuserschluchten, wenn alle verfügbaren Satelliten auf einer Linie liegen. Im Extremfall ist keine Positionsbestimmung mehr möglich, da die Satelliten eine entartete Pyramide bilden, deren Volumen Null ist. Dieser Fall ist in Abb b) dargestellt. Auch beliebig viele weitere Satelliten bringen in diesem Fall keine Erhöhung der Genauigkeit, da sie ebenfalls zwischen den Häuserzeilen liegen. In solchen Fällen sollte man versuchen seine Position in Bezug auf umliegende Gebäude und Bäume so zu wählen, dass möglichst viele Satelliten aus allen Himmelsrichtungen zu empfangen sind. 29

36 2 Grundlagen der Satellitennavigation Abbildung 2.16: Güte der Positionsbestimmung definiert über das Volumen der Pyramide, die durch die Satelliten und den Empfänger gebildet wird. Sie ist umso besser, je größer das Pyramidenvolumen ist [DH04b]: a) Die Satelliten sind eng benachbart die Pyramide entartet zu einer Linie b) Die Satelliten stehen in einer Reihe die Pyramide entartet zu einer (senkrechten) Fläche c) Die Satelliten fliegen tief über dem Horizont die Pyramide entartet zu einer (waagrechten) Fläche d) Die Satelliten schließen einen Winkel von 90 ein die Pyramide hat maximales Volumen Abschattung des Signals Die Abschattung der Signale hat für die Satellitengeometrie eine entscheidende Rolle, vor allem im Hinblick auf die beschränkte Abstrahlleistung der GPS-Signale, die in der Zweitnutzung der Frequenz begründet liegt (vgl. Kapitel 2.2.3). Die effektiv von den Satelliten auf der L1-Frequenz abgestrahlte Leistung von ungefähr 50 W kann leicht durch Gebirge, Gebäude und Bäume abgeschattet werden. Dies beeinträchtigt wiederum die Satellitengeometrie und somit auch die Güte der Positionsbestimmung. Besondere Relevanz hat die Abschattung des Signals durch den Horizont. Hierzu wird zunächst der Abdeckungsbereich eines Satelliten betrachtet, der auf Grund der Notwendigkeit einer Sichtverbindung von Sender und Empfänger bei den verwendeten Frequenzbereichen nur in einem bestimmten Gebiet auf der Erdoberfläche gegeben ist. 30

37 2.3 Fehlerquellen und Grenzen bei GPS Abbildung 2.17: Durch den Sichtbarkeitswinkel α definierter Abdeckungsbereich eines Satelliten. In diesem Bereich, der nur von der Höhe der Satellitenbahn h = km und dem Erdradius R = 6378 km abhängt, besteht eine Sicht zwischen Satellit und Empfänger. Dieser Bereich ist durch den in Abb eingezeichneten Sichtbarkeitswinkel α definiert, der aus dem Erdradius R = 6378 km und der Satellitenhöhe h abgeschätzt werden kann. Der Satellitenwinkel γ ergibt sich nach der Definition des Sinus aus ( γ ) sin = R 2 R + h. (2.12) α kann über die Winkelsumme von 360 im Viereck Erdmittelpunkt, Berührpunkte mit der Erde und Satellit nach α = γ = 180 R 2 arcsin R + h (2.13) berechnet werden. Bei GPS ergibt sich mit einer Satellitenhöhe von h = km ein auf den geometrischen Horizont bezogener Sichtbarkeitswinkel von α = 152. Zusätzlich muss noch die Abschattung durch die topographischen Gegebenheiten berücksichtigt werden, die die Sicht zwischen Satellit und Empfänger in der Praxis beeinträchtigen kann. Daher wird ein minimaler Erhebungswinkel Ψ min definiert, den jeder Satellit innerhalb seines Sichtbarkeitsbereichs über dem Horizont erreichen muss, um für die Positionierung beachtet zu werden (siehe Abb. 2.18). Dieses Vorgehen geschieht auch im Hinblick auf die Tatsache, dass ein flach einfallendes Signal einen sehr langen Weg durch die Atmosphäre zurückzulegen hat und somit großen Laufzeitverzögerungen auf Grund ionosphärischer und troposphärischer Effekte ausgesetzt ist. Der Erhebungswinkel beträgt in der Praxis meist Ψ min = 10. Somit ergibt sich für GPS ein nutzbarer 31

38 2 Grundlagen der Satellitennavigation Abbildung 2.18: Beeinträchtigung des Abdeckungsbereichs eines Satelliten durch topographische Gegebenheiten wie Berge und Häuser. Es wird ein minimaler Erhebungswinkel Ψ min bezogen auf den Horizont definiert, den ein Satellit mindestens erreicht haben muss, um zur Positionierung herangezogen zu werden [Man04a]. Sichtbarkeitswinkel von α = α 2 Ψ min = = 132, (2.14) wobei α durch Gleichung (2.13) definiert ist. Ein Satellit kann somit innerhalb eines Winkelbereichs von ±α /2 auf beiden Seiten der Satellitenspur für eine Positionsbestimmung genutzt werden [Man04a] Mehrwegeeffekte Mehrwegeeffekte, auch Multipath Effects genannt, treten auf, wenn das Satellitensignal in der Nähe des Empfängers an einer geeigneten Oberfläche wie beispielsweise Haus- oder Bergwände reflektiert und danach vom Empfänger empfangen wird (siehe Abb. 2.19). Durch den Empfang dieser Signale, die den Empfänger auf mehreren Wegen erreichen, ergeben sich ebenfalls Positionsfehler bei der Signalauswertung. Als Folge des längeren Weges berechnet der Empfänger eine längere Laufzeit des Signals, die dann eine zu große Entfernung des Satelliten vom Empfänger liefert. Zudem kann es zu einer Auslöschung des direkten Signals kommen, wenn das reflektierte Signal eine um 180 zum Direktsignal verschobene Phase und gleiche Amplitude hat. Es existieren zwar einige Algorithmen zur Abschwächung dieses Mehrwegeeffekts, eine völlige Kompensierung ist jedoch nicht möglich. Ein weiterer Ansatz zur Problemlösung besteht in der Verwendung von Richtanten- Abbildung 2.19: Mehrwegeeffekt: Wird das Signal in der Nähe des Empfängers an einer geeigneten Oberfläche reflektiert und erreicht anschließend den Empfänger, so findet eine falsche Entfernungsmessung statt. 32

39 2.3 Fehlerquellen und Grenzen bei GPS nen, die nur das aus einer bestimmten Richtung kommende Signal empfangen. Gebräuchlich ist auch eine Polarisation des Signals und die Abstimmung der Empfängerantenne auf den optimalen Empfang dieser Polarisationsrichtung [DH04b] Gezielte Systembeeinflussung In diesem Kapitel wird die bewusste Systembeeinflussung von NAVSTAR-GPS (vgl. Kapitel 2.2.2) durch das amerikanische Militär beschrieben. Dieses behält sich auf Grund militärischer Sicherheitsüberlegungen vor, das Signal jederzeit künstlich zu verschlechtern. Das amerikanische Satellitennavigationssystem ist jedoch das einzige, bei dem ein solches Vorgehen vorgesehen und auch durchgeführt wurde. Selective Availability (SA) Da NAVSTAR-GPS als Navigationssystem für die amerikanischen Streitkräfte konzipiert wurde, entscheidet auch allein die amerikanische Regierung darüber, ob und in welchem Umfang es allgemein zugänglich gemacht wird. Wie bereits beschrieben, war zunächst keine Freigabe der Signale für die Öffentlichkeit vorgesehen. Auch nach der Öffnung des Systems für zivile Anwendungen als Konsequenz aus dem Abschuss des koreanischen Flugzeugs im Jahr 1983, hatte das Department of Defense darauf hingewiesen, dass aus Gründen der Sicherheit der USA die im System verfügbare hohe Genauigkeit der Positionsbestimmung nur einem autorisierten Kreis von Nutzern (in erster Linie aus dem militärischen Bereich) zur Verfügung steht [Man04d]. Deshalb werden zwei verschiedene Genauigkeitsstufen angeboten. Zum einen der Standard Positioning Service (SPS), der jedem weltweit und kostenlos, aber mit eingeschränkter Genauigkeit zur Verfügung steht, und zum anderen der Precise Positioning Service (PPS), der die mögliche Genauigkeit des NAVSTAR-GPS uneingeschränkt ausnutzt, aber nur von dem autorisierten Kreis von Nutzern empfangen werden kann. Die eingeschränkte Genauigkeit für den SPS wird durch eine absichtliche Fälschung der Satellitenbahndaten und der Uhrzeit sowie ein künstliches Verrauschen der Trägersignale erreicht, wodurch ein Fehler in der Positionsbestimmung von ungefähr 100 m entsteht. Dieses Vorgehen wird Selective Availability (SA) genannt. Jedoch waren die USA von 1990 bis 1991 während des Golfkriegs darauf angewiesen, die SA zeitweise abzuschalten, da nicht genügend militärische Empfänger zur Verfügung standen und die amerikanischen Soldaten somit auf das zivile Signal angewiesen waren. Am 2. Mai 2000 wurde die SA auf Grund eines Beschlusses des US-Präsidenten mit der folgenden Begründung endgültig abgeschaltet [WB99, KW08]: Die Entscheidung, SA abzuschalten, [...] wird durch Bedrohungsanalysen gestützt, aus denen hervorgeht, dass die Abschaltung von SA zur Zeit minimale Auswirkungen auf die nationale Sicherheit hat. Außerdem haben wir gezeigt, dass wir GPS-Signale im Falle einer Bedrohung der nationalen Sicherheit in ausgewählten Gebieten abschalten können. [Pol08]. Allerdings behält sich die amerikanische Regierung weiterhin vor, das Signal bei Bedarf jederzeit wieder zu 33

40 2 Grundlagen der Satellitennavigation (a) SA eingeschaltet am 1. Mai 2000 (b) SA ausgeschaltet am 2. Mai 2000 Abbildung 2.20: Vergleich der GPS-Genauigkeit mit und ohne Selective Availability. Jeder Plot zeigt die Streuung in der Position während einer Messung von 6, 5 Stunden in Hartsville, Tennessee (nach [Sna08]). verschlechtern, was für sicherheitsrelevante Anwendungsgebiete wie die Luftfahrt das System inakzeptabel macht [Bau97a, Man04a]. In Abb ist eine Vergleichsmessung zu der Positionsgenauigkeit von GPS mit und ohne SA zu sehen. Anti-Spoofing (AS) Eine weitere Befürchtung der USA ergibt sich aus der Gefahr, dass militärische oder politische Gegner einen falschen P-Code auf der L2-Frequenz senden könnten und der Empfänger durch dieses Signal eine falsche Position errechnen würde. Dieses Vorgehen wird im Englischen mit spoofing bezeichnet, zu deutsch beschwindeln. Die vom Betreiber des NAVSTAR-GPS eingeführte Gegenmaßnahme wird daher mit Anti- Spoofing bezeichnet. Eine solche Störung des Systems soll durch eine Verschlüsselung des P-Codes verhindert werden, der somit zum geheimen P(Y)-Code wird. 34

41 2.4 Anwendungen der Satellitennavigation 2.4 Anwendungen der Satellitennavigation In diesem Kapitel sollen nun exemplarisch einige der zahlreichen zivilen Anwendungsgebiete vorgestellt werden. GPS im Straßenverkehr Der zunehmende Verkehrsfluss auf den Straßen macht eine Navigation mit optimalen technischen Hilfsmitteln wünschenswert, um einen reibungsfreien Ablauf des Straßenverkehrs zu gewährleisten. Auch ökonomische Aspekte sprechen für den Einsatz von Navigationssystemen zeigte eine Studie in den USA, dass etwa 7% aller mit Kraftfahrzeugen zurückgelegten Strecken wegen fehlender Navigationsinformationen vergeblich gefahren wurden. Der dadurch entstehende Kraftstoffmehrverbrauch betrug 14%, was zusätzlichen jährlichen Kosten von 14 Millionen Dollar entspricht [Man04a]. Ähnliche Zahlen gelten sicherlich auch für europäische Länder und angesichts der aktuellen Klima- und Umweltdiskussionen besteht hier ein erhebliches Einsparungspotential. Das Problem, ein Fahrzeug von einem Startpunkt zu einem gewählten Zielpunkt zu führen, wird von einem Zielführungssystem gelöst, das auf einer kontinuierlichen Positionsbestimmung und dem Abgleich mit einer gespeicherten digitalen Straßenkarte basiert. Dieses Prinzip ist heute in den weit verbreiteten Navigationssystemen für Autos umgesetzt. Die Positionsbestimmung wird dabei von einem bordautonomen System realisiert, das eine Ortung mit Hilfe der GPS-Signale vornimmt. Zusätzlich wird bei fest eingebauten Navigationssystemen mit Drehzahlsensoren an den Rädern die zurückgelegte Strecke bestimmt und ein Kompass oder eine Magnetfeldsonde zur Richtungsmessung genutzt, um auch in Tunneln oder engen Straßenschluchten eine Positionierung zu ermöglichen. Eine wichtige Rolle spielen in diesem Zusammenhang auch die DGPS- Signale von Referenzstationen zur Erhöhung der Genauigkeit. GPS ist weiterhin auch die Grundlage von Verkehrsleitsystemen, die zum Beispiel die Leitung und Überwachung des öffentlichen Personenverkehrs in Großstädten übernehmen. Ausgangspunkt ist meist ein rechnergestütztes Betriebsleitsystem (RBL), mit dem einerseits die Kommunikation zwischen den Fahrzeugen und ihrer Leitstelle gewährleistet wird, andererseits aber auch die Fahrgastinformation in Zügen, Bussen und an Haltestellen gesteuert wird. Das GPS-Signal ist Grundlage der Ortung jedes Fahrzeugs im vermessenen Streckennetz. Ein weiteres Anwendungsgebiet der Satellitennavigation besteht in der Kontrolle des Fahrweges durch das Management eines Transportunternehmens, einhergehend mit einer kontinuierlichen Bestimmung des aktuellen Standortes. Für dieses Prinzip der Spurverfolgung von Containern, LKWs, Eisenbahnwagen und Flugzeugen werden Positionsmeldesysteme eingesetzt. Die dabei auftretenden Vorgänge werden mit Tracking 35

42 2 Grundlagen der Satellitennavigation und Tracing bezeichnet, wobei Tracking die Aufnahme der Identifizierungs- und Positionsdaten eines mobilen Objekts sowie das Weiterleiten dieser Daten an die Leitzentrale bezeichnet. Von dort können sie dann aufgerufen werden und der letzte Standort des Objekts sowie zusätzlich auch sein Reiseverlauf festgestellt werden. Dieser Vorgang wird durch den Begriff Tracing beschrieben [Man04a]. Auch das 2005 eingeführte System zur LKW-Mauterhebung auf deutschen Autobahnen basiert auf der GPS-Technologie. Zusätzlich zu den GPS-Empfangseinheiten in den LKWs, die die gefahrenen Kilometer auf mautpflichtigen Straßen errechnen, sind Mobilfunk-Sendeeinheiten vorhanden. Diese übertragen die Daten über das Mobilfunknetz an eine Zentrale, bei der die entsprechenden Gebühren berechnet werden [DH04b]. GPS in der Seefahrt In der Seefahrt wird GPS seit einigen Jahren als primäres Navigationssystem genutzt. Das liegt vor allem in der hohen Navigationsgenauigkeit begründet, die im Prinzip unabhängig von Ort und Zeit ist. Allerdings ist eine Navigation in Binnengewässern, Kanälen oder engen Hafenbereichen nur möglich, wenn im Einsatzgebiet DGPS- Referenzstationen zur Verfügung stehen und somit dem erhöhten Genauigkeitsbedarf Rechnung getragen werden kann. Für die Sportschifffahrt und Freizeitsegler sind die verhältnismäßig günstigen GPS-Empfänger eine optimale Grundlage für erfolgreiches Navigieren. Für die Such- und Rettungsaufgaben auf See hat GPS durch die schnelle und genaue Beschreibung eines Unfallorts einen entscheidenden Vorteil gebracht. Eine erneute Verbesserung der Rettungsaufgaben ist durch die Einbeziehung der zusätzlichen Funktionen von Galileo zu erwarten, die in Kapitel genauer erläutert werden [Man04a]. GPS in der Luftfahrt Die Navigation in der zivilen Luftfahrt beruht hauptsächlich auf den seit vielen Jahren international standardisierten kooperativen Funkortungssystemen. Diese sind auf Grund der beschriebenen Unsicherheiten von GPS gerade für Präzisionsanflüge unverzichtbar. Bei der Langstrecken- und Anflugnavigation wird hingegen vorrangig GPS eingesetzt. Die Einführung eines Satellitennavigationssystems als primäres System ist auf Grund des hohen Genauigkeitsbedarfs im dicht beflogenen Luftraum noch nicht möglich. Einerseits liefert GPS nicht immer eine ausreichende Genauigkeit gerade im vertikalen Bereich und andererseits ergibt sich zeitweise eine zu geringe Verfügbarkeit. Vor allem fehlen aber Informationen zur Integrität des Systems, also eine ausreichend zeitige Warnung des Nutzers, falls die Richtigkeit der Positionierung auf Grund der empfangenen Daten im Rahmen einer spezifizierten Genauigkeit nicht mehr gewähr- 36

43 2.4 Anwendungen der Satellitennavigation leistet ist. Da das geplante europäische System Galileo eine solche Gewährleistung auf die Integrität vorsieht, könnte sich in naher Zukunft die Satellitennavigation möglicherweise auch in der Luftfahrt durchsetzen [Man04a]. GPS im Vermessungswesen Die Geodäsie ist die Wissenschaft von der Vermessung und Abbildung der Erdoberfläche. Vor der Technologisierung des Vermessungswesens wurden Methoden wie die terrestrische Triangulation verwendet, die mit hohem Personal- und Zeitaufwand verbunden waren oder Verfahren wie das Satellite Laser Ranging (SLR) und die Very Long Baseline Interferometry (VLBI). Das SLR dient der Bestimmung der Distanz einer Beobachtungsstation von einem Satelliten bis auf wenige Millimeter. Ein vom Laser erzeugter kurzer Lichtimpuls wird von einem astronomischen Teleskop ausgesandt und läuft zum Satelliten, wo er durch spezielle Reflektoren zur Station zurückreflektiert wird. Aus der Laufzeit des Laserpuls für Hin- und Rückweg kann auf die Entfernung geschlossen werden. Das VLBI ist hingegen das einzige geodätische Raumverfahren, das nicht auf Satelliten beruht. Hier zeichnen mehrere Stationen simultan die Signale von Quasaren am Rande des Universums auf und korrelieren die Signale. Aus den Laufzeitunterschieden zu den verschiedenen Stationen kann auf Grund der ständigen Drehung der Erde auf die Relativpositionen der Stationen geschlossen werden [Rot07]. Bereits die ersten Satellitennavigationssysteme wie TRANSIT fanden im Vermessungswesen schnell Gebrauch. Durch den Einsatz von GPS wurden die erzielbare Genauigkeit dabei deutlich erhöht und Personalaufwand sowie Kosten verringert. Die wesentlichen Aufgabenbereiche bestehen in der Erd- und Landesvermessung und der Geodynamik im Rahmen der Messung der Erdkrustenbewegung und der Gezeitenbeobachtung. Außerdem ergibt sich eine Erleichterung in der praktischen Geodäsie bei der Katasterund Flächenvermessung, der Hydrografie und der Kartenherstellung. Interessant ist GPS auch für ingenieurtechnische Vermessungen wie der Bauwerksüberwachung und Trassen- und Objektsvermessungen [Man04a]. GPS in Wirtschaft und Industrie Neben dem bereits genannten Einsatz von GPS beim Containertransport und der Verkehrslogistik wird GPS auch für Erschließungsarbeiten im Berg- und Tagebau, bei der Positionierung von Bohrplattformen und der Trassenführung für Eisenbahn, Straßen, Wasserkanäle, Erdöl- und Erdgasleitungen eingesetzt. Eine Erleichterung entsteht zusätzlich bei der Einsatzlenkung von Transportfahrzeugen und Arbeitsgeräten auf Großbaustellen und der großflächigen Lagerhaltung. Eingeschränkt wird der Einsatz lediglich durch die Tatsache, dass die GPS-Signale nicht durch dichtes Material wie zum Beispiel Beton dringen können und eine Navigation innerhalb von Lagerhallen somit unmöglich ist. Für diesen Bereich gibt es aber auch wesentlich geeignetere Navigati- 37

44 2 Grundlagen der Satellitennavigation onsmittel wie beispielsweise funkgestützte Straßenschilder und elektronische Hausnummern in der Lagerhalle [DH04b, Man04a]. GPS in Wissenschaft und Forschung Die Anwendung der Satellitennavigation in Wissenschaft und Forschung hat große Bedeutung erlangt. So ist GPS ein wichtiges Hilfsmittel der Seismologie und auch für die Beobachtung von Gletscherbewegungen oder Strömungsmessungen in Gewässern sehr nützlich. Außerdem bietet das System eine sehr genaue Synchronisierung und Stabilisierung von Zeit- und Frequenznormalen [Man04a]. GPS in der Land- und Forstwirtschaft Eine wichtige Anwendungsmöglichkeit in der Landwirtschaft besteht im Precision Farming, also der teilflächenspezifischen Bearbeitung von Äckern. Bei dieser Methode werden zum einen Bodenproben genommen, um Bewässerung und Düngung in Bezug auf die Bodengegebenheiten und das Saatgut zu optimieren. Nach der Ernte findet dann eine flächenspezifische Ertragsmessung statt, um Möglichkeiten der besseren Bewirtschaftung für das folgende Jahr festzustellen. Hier wird GPS genutzt, um den Ort der Probenentnahme zu dokumentieren. Zum anderen ist es durch DGPS und zusätzliche Hilfsmittel möglich, die Ackerbearbeitungsvorgänge zu automatisieren und die Maschine selbstständig einen programmierten Kurs einhalten zu lassen. Somit wird gewährleistet, dass ein Stück Erde weder ausgelassen noch doppelt bearbeitet wird. In der Forstwirtschaft ist zum Beispiel auf Grund von GPS ein gezieltes Anwenden von Schädlingsbekämpfungsmitteln und die Transportlenkung beim Holzeinschlag möglich [Man04a]. GPS in der Raumfahrt Jeder Satellit ist auf seiner Umlaufbahn um die Erde ständig den Anziehungskräften der anderen Planeten ausgesetzt, so dass eine ununterbrochene Kontrolle der Satellitenbahnen und gegebenenfalls eine Korrektur nötig ist. Bei tieffliegenden und geostationären Satelliten wird diese Bahnüberwachung mit GPS realisiert. Geplant ist dabei, Nachrichten- und Fernsehsatelliten zukünftig so auszurüsten und zu programmieren, dass sie die nötigen Manöver zur Bahnkorrektur mit Hilfe der GPS-Daten selbstständig ausführen können [DH04b]. GPS in der Freizeit Großen Marktanteil hat der Verkauf von GPS-Empfängern an private Nutzer, die das Gerät zum Wandern, Radfahren, Angeln oder für sonstige Freizeitaktivitäten einsetzen. Für diesen Anwenderbereich gibt es eigene Outdoor-Handgeräte, bei denen Wegpunkte eingespeichert werden können und mit einer sogenannten BackTrack-Funktion der 38

45 2.5 Alternative Satellitennavigationssysteme zuvor gelaufene Weg wieder zurückverfolgt werden kann. Weite Verbreitung hat auch das Geocaching gefunden, eine moderne Form der Schatzsuche. Hierzu werden an beliebigen Stellen Caches mit kleinen Überraschungen und einem Notizbuch versteckt. Die GPS-Koordinaten des Verstecks werden im Internet bekannt gegeben, wo sie jeder abrufen und sich mit seinem GPS-Empfänger auf die Suche machen kann. Das Notizbuch dient dabei als Logbuch, wo sich jeder erfolgreiche Schatzsucher eintragen kann. 2.5 Alternative Satellitennavigationssysteme Nach der Beschreibung des zum momentanen Zeitpunkt weltweit leistungsfähigsten Satellitennavigationssystems NAVSTAR-GPS im Abschnitt 2.2 soll in diesem Kapitel auf die anderen bedeutenden und zukunftsträchtigen Systeme eingegangen werden. Es gibt in zahlreichen Ländern Bemühungen, eigenständige Systeme oder Ergänzungen aufzubauen. Zum Beispiel nahm China Ende 2000 das Satellitenortungssystem BNS (Beidou Navigation System) in Betrieb, das aus zwei geostationären Satelliten besteht und im chinesischen Raum dreidimensionale Positions- und Zeitbestimmung ermöglicht [Man04a]. An dieser Stelle werden aber nur das russischen System GLONASS und das im Aufbau befindliche europäische System Galileo beschrieben GLONASS Abbildung 2.21: Logo des vom russischen Militär betriebenen GLONASS [Ans08] Nachdem die Marine der ehemaligen Sowjetunion in den sechziger Jahren das satellitengestützte Doppler- Navigationssystem CIKADA entwickelt hatte, begann 1972 die sowjetische Luftwaffe mit der Konstruktion des Satellitennavigationssystems GLONASS (Globalnaya Navigatsionnaya Sputnikovaya Sistema). Die Bemühungen zum Aufbau eines eigenständigen russischen Systems mit einer wesentlich höheren Genauigkeit und Verfügbarkeit als bei CIKADA fanden annähernd zeitgleich zu den amerikanischen statt. Da GLONASS ebenso wie NAVSTAR-GPS ursprünglich als rein militärisches Projekt geplant war, wurden systemspezifische Informationen zunächst aus Sicherheitsgründen geheim gehalten änderte die Regierung ihre Informationspolitik anlässlich eines Treffens des Spezialkomitees der Internationalen Zivilluftfahrt-Organisation (ICAO), eine Sonderorganisation der Vereinten Nationen. Bei diesem Treffen sollte eine bessere Ausnutzung des Luftraums erreicht werden und die Sowjetunion veröffentlichte zum ersten Mal technische Details ihres Systems, so dass seither auch zivile Empfänger weltweit für den Empfang der Signale ausgelegt werden können. 39

46 2 Grundlagen der Satellitennavigation Systembeschreibung Der erste GLONASS-Satellit wurde am 12. Oktober 1982 in seine Umlaufbahn geschossen. Die vollständige Konstellation stand erstmals am 18. Januar 1996 zur Verfügung. Da die Entwicklung des russischen Systems den Zeiten des Kalten Kriegs entsprechend stark an dem amerikanischen NAVSTAR-GPS orientiert war, entsprechen sich die Grundlagen im Wesentlichen und sollen hier nur kurz angesprochen werden. Auch GLONASS ist analog zu Kapitel in drei Segmente aufgeteilt. Das Raumsegment besteht planmäßig aus 24 Satelliten, die in einer Höhe von km die Erde auf elliptischen Bahnen umrunden. Sie sind dabei auf drei Bahnebenen aufgeteilt, die um 64, 8 zur Äquatorebene geneigt und zueinander um 120 versetzt sind. Im Gegensatz zu GPS erfolgt die Identifizierung der Satelliten nicht über die im Code mitgesendeten Kennungsnummer, sondern jedem Satelliten wird ein eindeutiges Frequenzpaar zugeordnet. Dieser Frequenzvielfachzugriff wird über die Frequenzen f 1 = ( k 0, 5625) MHz (2.15) f 2 = ( k 0, 4375) MHz (2.16) realisiert, wobei jedem Satelliten ein k {1,..., 24} zugeordnet ist. Allerdings ergaben sich mit diesen Frequenzen in der Praxis teilweise Interferenzen mit den Funkdiensten der Radioastronomie, so dass mittlerweile nur noch zwölf Zahlenwerte zur Verfügung stehen. Dabei wurden jeweils entgegengesetzt liegenden Satelliten dieselben Frequenzen zugewiesen, so dass die Doppelbelegung für den Nutzer nicht zu Selektionsschwierigkeiten führt. Die überwiegend auf russischem Boden gelegenen Bodenstationen berechnen, korrigieren und übermitteln die Bahndaten, die dann von den Empfängern des Nutzersegments empfangen werden [Bau97a, DH04b]. Probleme von GLONASS Im Gegensatz zu der verhältnismäßig langen Lebensdauer der GPS-Satelliten von zehn oder mehr Jahren, ist die Nutzungsdauer der GLONASS-Satelliten auf zwei bis drei Jahre beschränkt. Bei der für ein Satellitennavigationssystem nötigen Mindestanzahl von 24 Satelliten bedeutet das den jährlichen Austausch von mindestens acht Satelliten, um die Betriebsfähigkeit aufrechtzuerhalten. Die finanziellen Mittel hierfür konnten von Russland nicht aufgebracht werden, so dass bereits 1998 nur noch 14 Satelliten betriebsfähig waren und Anfang 2003 von der russischen Regierung mitgeteilt wurde, dass nur noch sieben der im Orbit laufenden Satelliten zur Ortung genutzt werden können [Man04a]. Der Wiederaufbau des Systems mit modernisierten Satelliten ist von der russischen Regierung bis 2010 geplant und aktuell (am ) stehen 15 Satelliten zur Verfügung. Die Konstellation sowie die momentane Abdeckung der Erdoberfläche mit GLONASS-Satelliten kann unter [Rus08] betrachtet werden. 40

47 2.5 Alternative Satellitennavigationssysteme Galileo Die Idee, ein eigenes europäisches Satellitennavigationssystem zu entwickeln, entstand bereits Anfang der neunziger Jahre, als sowohl die USA als auch Russland die Testphasen ihrer militärischen Systeme NAVSTAR-GPS und GLONASS fast abgeschlossen hatten. Ungefähr zu diesem Zeitpunkt begann die kommerzielle Nutzung der Navigation und damit kam auch ein ungeheures Marktpotential auf. Dieses wurde zusätzlich durch den Fortschritt der Mikroelektronik unterstützt, der immer kleinere und kostengünstigere GPS-Empfänger ermöglichte. So erreichte der Markt für Produkte und Dienstleistungen, die im Zusammenhang mit der Satellitennavigation stehen, 2005 die Größenordnung von 60 Milliarden Euro und die jährliche Wachstumsrate lag in den letzten fünf Jahren bei 25%. Schätzungen gehen von 300 Milliarden Euro im Jahr 2020 aus [Kom08b]. Bisher wahrt die amerikanische Wirtschaft mit dem Satellitennavigationssystem NAVSTAR-GPS eine Monopolstellung in diesem Sektor und bestimmt alleine das Navigationsgeschäft. Dieses Privileg der USA ist aber nicht nur aus wirtschaftlicher Sichtweise für Europa und andere Länder bedenklich, sondern vor allem aus sicherheitspolitischen Gründen. Durch die militärische Konzeption des Systems besteht für zivile Anwender ein großes Risiko in Bezug auf die Verfügbarkeit und Zuverlässigkeit der Signale. Gerade in Regionen hohen Breitengrads ist eine ausreichende Abdeckung nicht immer gegeben, obwohl zahlreiche Flugrouten über diesen Bereich führen. In Krisenfällen muss ständig mit einem plötzlichen und unerwarteten Ausfall des Systems gerechnet werden. Diese Unterbrechungen können katastrophale Folgen haben, gerade wenn sie unangekündigt und ohne Benachrichtigung des Nutzers erfolgen [Eur08c]. Diese Überlegungen, gemeinsam mit dem Fehlen einer Garantie oder Haftungsübernahme, führten zu der Forderung nach einem globalen und zivilen Satellitennavigationssystem, das nicht der Abbildung 2.22: Logo des im Aufbau befindlichen europäischen Satellitennavigationssystems Galileo [Eur08a] Kontrolle des Militärs oder eines einzigen Landes unterliegt beschloss die Europäische Kommission in einer Grundsatzerklärung die Entwicklung eines eigenständigen, zivilen Satellitennavigationssystems. Dessen Ortungssignale sollten weltweit und für alle Verkehrsarten nutzbar sein. Das System sollte außerdem kompatibel mit GPS sein, aber auch unabhängig von den USA betrieben werden können. Der Anspruch der Kompatibilität verspricht eine bessere Abdeckung der Erdoberfläche und eine höhere Signalverfügbarkeit, da alle im Weltall befindlichen Navigationssatelliten gemeinsam genutzt werden können. Die Unabhängigkeit von den USA ist aber unabdingbar im Hinblick auf die zeitweise Forderung der USA, das Galileo-Signal jederzeit stören und 41

48 2 Grundlagen der Satellitennavigation nutzlos machen zu dürfen, ohne sich hierfür mit den Europäern absprechen zu müssen [DH04b] hatten alle Organe der Europäischen Gemeinschaft dem Projekt Galileo Beteiligung Europas an einer neuen Generation von Satellitennavigationsdiensten [Eur08b] zugestimmt. Damit startete das erste gemeinsame Projekt der Europäischen Union (EU) und der European Space Agency (ESA). Ebenso wie bei GPS und GLONASS soll über eine Entfernungsmessung zu Satelliten und anschließende Trilateration jederzeit und überall auf der Welt eine Positionsbestimmung möglich sein. Zusätzlich ist aber auch eine erhöhte Verfügbarkeit und Verlässlichkeit vorgesehen. Die Bereiche, die einen entscheidenden Einfluss auf die Sicherheit des Lebens haben, werden als besonders bedeutend eingestuft. Hierfür enthalten die Navigationsnachrichten der Satelliten zusätzliche Informationen über die Integrität des Systems, also über den Betriebszustand einzelner Satelliten und die Fehlerfreiheit der Satellitensignale [Man04a]. Die Finanzierung des Projekts wird erstmals durch eine sogenannte Public Private Partnership (PPP) gelöst werden. Begründet liegt diese Entscheidung zum einen in der Finanznot der öffentlichen Hand (Public) und zum anderen in der Idee, dass durch das Anbieten von Navigationsdiensten ein enormer Gewinn erreicht werden kann. Die Entwicklungskosten und die Kosten für den Aufbau des Galileo-Systems werden zwischen EU und ESA aufgeteilt, der nachfolgende Betrieb des Galileo-Funkdienstes wird von einem Konzessionär (privatwirtschaftlicher Investor) getragen. Dieser wird im Rahmen einer Ausschreibung ermittelt und erhält auf Grund gesetzlicher Regelungen die Befugnis, von bestimmten Nutzern des Systems Nutzungsgebühren zu verlangen. Aus diesen Einnahmen sollen auch Rückzahlungen an die öffentliche Hand erfolgen. Allerdings ergeben sich aktuell einige Schwierigkeiten, so dass die Finanzierung des Projekts noch fraglich ist [DH04b]. Die privaten Investoren scheuten das finanzielle Risiko, deswegen beschlossen die europäischen Finanzminister im November 2007, 3, 4 Milliarden Euro des Haushalts der EU für das Projekt Galileo zu reservieren. Obwohl Experten mit Mehrkosten rechnen, kann nun die Auftragsvergabe für den Bau der Satelliten beginnen [Höf07]. Systembeschreibung Galileo soll planmäßig aus 30 Satelliten bestehen, die in einer Höhe von km auf drei Bahnebenen die Erde umrunden. Dabei haben die Bahnen eine Inklination von 56 zur Äquatorebene und sind zueinander um 120 versetzt. Die Satelliten senden ihre Navigationsnachricht auf fünf verschiedenen Frequenzen im L-Band, die in [HWLW08] nachgelesen werden können. Der erste Satellit GIOVE A wurde am 18. Dezember 2005 in die Umlaufbahn geschossen. Mit der vollständigen Betriebsfähigkeit des Systems ist aber erst 2013 zu rechnen [Kom08a]. Ebenso wie bei NAVSTAR-GPS werden die Satellitenbahnen von Bodenstationen aus beobachtet und gegebenenfalls korrigiert. 42

49 2.5 Alternative Satellitennavigationssysteme Dienste Das Galileo-System wurde serviceorientiert konzipiert und sieht daher eine größere Vielfalt an Diensten als bei den bisherigen Satellitennavigationssystemen vor [DH04b, HWLW08]. Der Basisdienst (Open Service, OS) ist über ein unverschlüsseltes Signal für alle Nutzer zu erhalten. Der gebührenfreie Empfang von Positions- und Zeitsignalen erlaubt dem Empfänger, seine Position auf unter 100 m und teilweise sogar bis zu 4 m genau zu bestimmen. Dieser Dienst richtet sich in erster Linie an private Nutzer und erreicht eine Verfügbarkeit von 99,5%, was vor allem eine verbesserte Abdeckung der Polregionen zur Folge hat [Gei07]. Der kommerzielle Dienst (Commercial Service, CS) bietet gegen eine Gebühr den Empfang eines chiffrierten Signals, das eine Positionsbestimmung bis auf wenige Meter ermöglicht. Allerdings ist auch hier die Ortung in Häuserschluchten oder in Gebäuden nur beschränkt möglich. Dieser Dienst ist vor allem für professionelle Nutzergruppen wie beispielsweise das Vermessungswesen vorgesehen und soll die Finanzierung des Projektes sichern. Der sicherheitskritische Dienst (Safety-of-Life Service, SoL) steht solchen Nutzern des Basisdienstes und des kommerziellen Dienstes unentgeldlich zur Verfügung, bei denen Fehlfunktionen des Systems lebensgefährliche Konsequenzen nach sich ziehen würden. Dabei wird im Rahmen der Integritätsprüfung Alarm gegeben, wenn gewisse Anforderungen der Genauigkeit nicht mehr erfüllt sind. Der öffentlich regulierte Dienst (Public Regulated Service, PRS) wird staatlichen Einrichtungen wie der Polizei, dem Zivil- und Grenzschutz, dem Zoll, dem Militär und den Nachrichtendiensten zur Verfügung gestellt. Er dient hoheitlichen Aufgaben der EU-Staaten, wird verschlüsselt gesendet und gegen Störer geschützt. Der kostenlose Such- und Rettungsdienst (Search-and-Rescue Service, SAR) garantiert die Übermittlung von weltweiten Notsignalen an den Rettungsdienst mit den genauen Koordinaten des Hilfesuchenden. Diese Übertragung wird in nahezu Echtzeit realisiert, so dass eine schnelle Benachrichtigung der Helfer gewährleistet ist. Außerdem besitzt das System einen Rückmeldekanal; es ist eine Benachrichtigung des Sendenden möglich, dass seine Signale beim Rettungsdienst eingegangen sind. 43

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51 3 Beiträge der Relativistik In diesem Kapitel werden die Einflüsse der Relativitätstheorie auf die Atomuhren im Weltall und damit auch auf die Satellitenbewegung diskutiert. Kapitel 3.1 gibt zunächst einen Überblick über die spezielle Relativitätstheorie. Sie beschreibt physikalische Gesetze aus der Sicht verschiedener Bezugssysteme, die sich relativ zueinander mit konstanter Geschwindigkeit bewegen. Kapitel 3.2 behandelt dann die allgemeine Relativitätstheorie, die sich mit beschleunigten Bezugssystemen und der Gravitation beschäftigt. Beide Konzepte haben sich inzwischen als mathematisch korrekte und hochpräzis überprüfte Beschreibungen physikalischer Grundprinzipien etabliert. Ihre Einflüsse beeinträchtigen den Gang der Uhren in den Satelliten und müssen auf Grund der für die Ortung nötigen Zeitgenauigkeit berücksichtigt werden. Der Einfluss der Relativistik wird in Kapitel 3.3 explizit berechnet und die Berücksichtigung der Korrekturen in der Praxis vorgestellt. Abbildung 3.1: Albert Einstein in seinem Annus mirabilis 1905 [TL03a] An der Entwicklung der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie war der 1879 geborene Albert Einstein maßgeblich beteiligt. Ihm wird bis heute eine einzigartige Stellung in der Reihe der Gelehrten und Naturwissenschaftler des zwanzigsten Jahr- 45

52 3 Beiträge der Relativistik hunderts eingeräumt [vm90]. Nach seinem Studium an der Eidgenössischen Polytechnischen Hochschule Zürich in der Schweiz von 1896 bis 1901, das er mit dem Diplom eines Fachlehrers für Mathematik und Physik abschloss, suchte er eine Anstellung als Lehrender an der Universität. Nachdem diese Bemühungen zunächst erfolglos geblieben waren, akzeptierte er einen Posten als technischer Experte dritter Klasse am Berner Patentamt [Nob67]. Nebenbei beschäftigte sich Einstein mit physikalischen und mathematischen Problemen, die sich im damals gerade abspielenden Übergang der klassischen zur modernen Physik auftaten. Die klassische Physik lag Ende des neunzehnten Jahrhunderts in drei abgeschlossenen Bereichen vor - der auf den Newtonschen Gesetzen basierenden klassischen Mechanik, der Elektrodynamik, die mit den Maxwellschen Gleichungen eine vollständige Beschreibung von elektrischen und magnetischen Feldern im Raum ermöglicht, und der Thermodynamik, die den Zusammenhang zwischen Energie und Wärme beschreibt. Viele Wissenschaftler der damaligen Zeit waren überzeugt, dass die Beschreibung des Universums somit abgeschlossen sei. Albert A. Michelson stellte in einem Gespräch unter Wissenschaftlern fest: Die großen fundamentalen Prinzipien sind fest etabliert;... die zukünftigen Erkenntnisse der Physik müssen in der sechsten Dezimalstelle nach dem Komma gesucht werden. [TL03b] Diese Behauptung stellte sich bald als falsch heraus. Vor allem an den Schnittstellen dieser drei voneinander getrennten Teilgebiete der Physik lieferte die Theorie oftmals keine oder falsche Aussagen. So konnte das Strahlungsspektrum eines idealen schwarzen Körpers 1, das nicht den Vorhersagen der Thermodynamik entsprach, nicht erklärt werden. Aus dem Michelson-Morley-Experiment folgte 1887 die Konstanz der Lichtgeschwindigkeit. Sie stand im Widerspruch zur Newtonschen Relativität, nach der sich Geschwindigkeiten für relativ zueinander bewegte Körper addieren und subtrahieren [TL03a]. Mit diesen und ähnlichen, damals hochaktuellen Fragestellungen beschäftigte sich Einstein und kam zu Schlüssen, die das Weltbild der Physik revolutionierten (siehe Abb. 3.2). Im Jahr 1905, dem Annus mirabilis genannten Wunderjahr Einsteins, veröffentlichte er vier berühmte wissenschaftliche Abhandlungen in den Annalen der Physik, einer der bedeutendsten Fachzeitschriften der damaligen Zeit, und zusätzlich noch seine Dissertationsarbeit. Auf diese Schriften soll an dieser Stelle jedoch nicht eingegangen werden. Eine Zusammenfassung der Inhalte findet sich in [Küh06], die Originalarbeiten sind unter [Eck08] nachzulesen. Im Rahmen der Veröffentlichung Zur Elektrodynamik bewegter Körper [Ein05] beschäftigte sich Einstein mit den klassischen physikalischen Begriffen Zeit und Länge. Er entwickelte eine neue Kinematik, in der der Begriff der absoluten Zeit nicht mehr haltbar war und die Galilei-Transformationen durch ab- 1 Ein schwarzer Körper absorbiert die gesamte auftreffende Strahlung. Gleichzeitig emittiert er als thermische Strahlungsquelle elektromagnetische Strahlung, die unabhängig vom Material ist und nach dem Stefan-Boltzmann-Gesetz nur von der Temperatur des schwarzen Körpers abhängt. 46

53 Abbildung 3.2: Die drei Teilgebiete der klassischen Physik um 1900: Die klassische Mechanik, die Elektrodynamik und die Thermodynamik. Einstein befasste sich mit den Problemen an den Schnittstellen dieser Teilgebiete und revolutionierte die Physik. gewandelte Transformationen der Raum- und Zeitkoordinaten ersetzt wurden. Diese Grundlagen der speziellen Relativitätstheorie werden in Kapitel 3.1 genauer behandelt. Im September 1913 berichtete Einstein vor 350 Zuhörern in Wien über erste Fortschritte auf der Suche nach einer allgemeinen Relativitätstheorie. Zwei Jahre später trug er die vollendete Arbeit der Königlich-Preußischen Akademie der Wissenschaften vor, einer Gelehrtengesellschaft zur Förderung von wissenschaftlicher Forschung, und veröffentlichte sie 1916 in den Annalen der Physik [vm90, Küh06]. Die Theorie der allgemeinen Relativitätstheorie wird in Kapitel 3.2 vorgestellt. Die Schriften aus dem Jahr 1905 rückten Albert Einstein in den Mittelpunkt des wissenschaftlichen Lebens der damaligen Zeit. Internationalen Ruhm erlangte er aber erst nach der Verallgemeinerung der speziellen Relativitätstheorie 1915 und der Bestätigung dieser erweiterten Theorie während einer Sonnenfinsternis Mittlerweile bilden die Relativitätstheorie und die Quantentheorie die Basis der im zwanzigsten Jahrhundert entwickelten modernen Physik. Die klassische Physik wird von ihr als Spezialfall eingeschlossen [GK98]. 47

54 3 Beiträge der Relativistik 3.1 Spezielle Relativitätstheorie Grundlagen der wichtigsten Ideen der speziellen Relativitätstheorie nach Albert Einstein finden sich in den Werken [GK98, TL03a, HRW03]. Zu Gunsten einer besseren Anschauung wird an dieser Stelle auf die Einführung des Vierervektors (x, y, z, ct) verzichtet, die in den üblichen theoretischen Universitätslehrbüchern zu finden ist Der Weg von der klassischen Physik zur Relativitätstheorie Bereits Galileo Galilei und Isaac Newton interessierten sich für das Wesen von Zeit und Raum. Das Galileische Relativitätsprinzip besagt, dass die gleichförmige Bewegung eines Körpers nie absolut, sondern immer nur relativ zu einem anderen Körper festgestellt werden kann. Newton spricht vom absoluten Raum und von der absoluten Zeit, die unabhängig vom Beobachter und ohne Beziehung auf einen äußeren Gegenstand immer gleich sind. In diesem Zusammenhang taucht der Begriff des Inertialsystems auf, ein Bezugssystem, in dem das Newtonsche Trägheitsgesetz F = m a gilt. Das sind Systeme, die sich mit einer konstanten Geschwindigkeit bewegen und nicht beschleunigt werden [GK98]. Das Newtonsche Trägheitsprinzip besagt, dass alle Inertialsysteme äquivalent sind und keine absoluten Geschwindigkeiten gemessen werden können. Solche Inertialsysteme können über die Galilei-Transformation miteinander verknüpft werden. Die einfachste Form der Galilei-Transformation bezieht sich auf ein Inertialsystem S, das sich relativ zu dem System S mit der Geschwindigkeit v in x-richtung bewegt. Die beiden Koordinatenursprünge fallen zum Zeitpunkt t = 0 zusammen (siehe Abb. 3.3). Dann gilt für die gemessenen Geschwindigkeiten im System S und S folgender Zusam- Abbildung 3.3: Die einfachste Form der Galilei-Transformation (3.2) bezieht sich auf ein ruhendes Koordinatensystem S und ein mit v entlang der x-achse bewegtes Koordinatensystem S. 48

55 3.1 Spezielle Relativitätstheorie menhang: u x = u x v, u y = u y, u z = u z. (3.1) Integration der Gleichung (3.1) liefert die Galilei-Transformation der Koordinaten, wobei u x = dx/dt, usw. ist: x = x v t, y = y, z = z t = t (3.2) Wendet man diese Überlegungen nun auf die Ausbreitung des Lichts an, so müsste die Lichtgeschwindigkeit in verschiedenen Inertialsystemen unterschiedlich sein und sich in einem Nicht-Inertialsystem, wie es die rotierende Erde darstellt, zeitlich ändern. Hierzu im Widerspruch stehen allerdings die vier um 1860 von James Clerk Maxwell gefundenen und nach ihm benannten Maxwell-Gleichungen, die die Existenz einer elektromagnetischen Welle voraussagen, die sich mit konstanter Geschwindigkeit c = 1 µ0 ɛ m s (3.3) unabhängig von anderen Parametern ausbreitet. Dieser Wert entsprach erstaunlich gut den zum damaligen Zeitpunkt ermittelten Werten für die Lichtgeschwindigkeit, was die Wissenschaftler des neunzehnten Jahrhunderts zur Schlussfolgerung veranlasste, dass Licht eine elektromagnetische Welle sei. Ebenso wie alle zum damaligen Zeitpunkt bekannten Wellen, benötigt demnach auch das Licht ein geeignetes Trägermedium zur Ausbreitung. Hierfür wurde die Existenz eines Äthers postuliert, der das gesamte Universum und das Innere der Materie ausfüllt. Der Nachweis eines solchen Äthers konnte jedoch nicht erbracht werden und selbst die Relativbewegung der Erde im Äther konnte nicht gemessen werden, da ihr Einfluss auf die Messergebnisse zu klein gewesen wäre. Albert Abraham Michelson und Edward Morley versuchten deshalb 1887 in dem heute nach ihnen benannten Michelson-Morley-Experiment die Existenz eines Äthers durch eine indirekte Messung mit Hilfe eines Interferometers nachzuweisen. Der Aufbau des Experiments und die entsprechende Theorie können in allen gängigen Physikbüchern der gymnasialen Oberstufe wie [GK98, BO02] nachgelesen werden. Selbst in diesem Versuch konnte keine Relativbewegung der Erde zu dem postulierten Äther nachgewiesen werden und die Äthertheorie war nicht länger haltbar. Damit ergab sich die Schlussfolgerung, dass die Maxwellschen Gleichungen und die Invarianz der Geschwindigkeit der elektromagnetischen Strahlung in allen Inertialsystemen gültig sein mussten, unabhängig von der relativen Bewegung von Quelle und Beobachter. Es muss also ein Relativitätsprinzip geben, das sowohl für die Mechanik als auch für den Elektromagnetismus gilt. Ein solches fand Einstein im Rahmen der speziellen Relativitätstheorie. 49

56 3 Beiträge der Relativistik Einsteins Postulate Die 1905 von Einstein veröffentlichte spezielle Relativitätstheorie basiert auf zwei Postulaten. 1. Postulat: Die Gesetze der Physik sind invariant in allen Inertialsystemen. 2. Postulat: Die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum ist gleich dem Wert c = m s, unabhängig von der Bewegung der Lichtquelle. Das erste Postulat entspricht einer Verallgemeinerung des Newtonschen Relativitätsprinzips auf alle physikalischen Messungen, also nicht nur auf mechanische. Kein Inertialsystem ist gegenüber einem anderen ausgezeichnet und die Ermittlung von absoluten Geschwindigkeiten ist unmöglich. Das zweite Postulat ermöglicht die Behandlung der Lichtwellen als Phänomen analog zu den bereits bekannten Wellen, obwohl scheinbar kein Ausbreitungsmedium für das Licht existiert. Aus diesen beiden Postulaten ergibt sich der Schluss, dass jeder Beobachter, unabhängig von der relativen Bewegung von Quelle und Beobachter, denselben Wert für die Lichtgeschwindigkeit misst. Unsere Vorstellungen von relativen Geschwindigkeiten sind demnach nur Näherungen, die für kleine Geschwindigkeiten Gültigkeit besitzen. Diese Feststellungen widersprechen unserer Intuition Relativität der Gleichzeitigkeit Eine weitere entscheidende Folgerung aus diesen Postulaten findet sich in der 1905 in den Annalen der Physik veröffentlichten Abhandlung Zur Elektrodynamik bewegter Körper von Albert Einstein. Dort stellt er fest, daß wir dem Begriffe der Gleichzeitigkeit keine absolute Bedeutung beimessen dürfen, sondern daß zwei Ereignisse, welche, von einem Koordinatensystem aus betrachtet, gleichzeitig sind, von einem relativ zu diesem System bewegten System aus betrachtet, nicht mehr als gleichzeitige Ereignisse aufzufassen sind [Ein05]. Dabei ist ein Ereignis gerade dadurch charakterisiert, dass es an einem bestimmten Punkt im Raum und zu einem bestimmten Zeitpunkt stattfindet. Diese Behauptung erläutert Einstein in vielen Werken wie [Ein69] mit dem Beispiel eines Beobachters auf dem Bahnsteig, der seine Messungen mit einem weiteren Beobachter im vorbeifahrenden Zug vergleicht. Die Problematik besteht darin, zwischen diesen beiden Beobachtern eine Gleichzeitigkeit zu definieren Lorentz-Transformation Die Galilei-Transformation der Geschwindigkeiten (3.1) entspricht zwar unserer Erfahrung, kann aber mit den von Einstein aufgestellten Postulaten nicht in Einklang gebracht werden. Das wird ersichtlich, wenn man Licht im System S betrachtet, das sich mit der Geschwindigkeit c in x-richtung ausbreitet. Nach Gleichung (3.1) ergibt 50

57 3.1 Spezielle Relativitätstheorie sich für die Geschwindigkeit in S u x = c v, was dem zweiten Postulat widerspricht, dass sich Licht im Vakuum immer mit der Geschwindigkeit c ausbreitet. In der speziellen Relativitätstheorie wird also eine neue Koordinatentransformation benötigt, die konsistent mit den Einsteinschen Postulaten ist und für Geschwindigkeiten sehr viel kleiner als c mit unserer Erfahrung übereinstimmt, also in die Galilei-Transformation übergeht. Die von Hendrik Antoon Lorentz stammende Koordinatentransformation stellt eine allgemeine Beziehung zwischen den Raumzeit-Koordinaten (x, y, z, t) eines Ereignisses im Bezugssystem S zu den Raumzeit-Koordinaten (x, y, z, t ) desselben Ereignisses im Bezugssystem S her. Dabei soll an dieser Stelle wieder der Fall betrachtet werden, dass sich das System S relativ zu S mit der Geschwindigkeit v entlang der x-achse bewegt. Entsprechende Koordinatenachsen der Systeme sind parallel und die Koordinatenursprünge fallen zum Zeitpunkt t = 0 zusammen. Da nach obiger Forderung die Lorentz-Transformation für kleine Geschwindigkeiten in die Galilei-Transformation übergehen soll, wird entsprechend Gleichung (3.2) der Ansatz x = γ (x vt) (3.4) gemacht, wobei der Parameter γ nur von c und v abhängen soll, jedoch nicht von den Koordinaten. Für v << c muss der Faktor γ gegen 1 gehen. Auf Grund der gewählten Anordnung der Koordinatenachsen ergibt sich keine relative Bewegung der Bezugssysteme in der y- und z-achse. Deshalb gilt für die Koordinaten in diesem Spezialfall y = y und z = z. Nach einigen Rechnungen, die in [TL03a] zu finden sind, ergibt sich γ = 1 1 v2 /c = 1, (3.5) 2 1 β 2 wobei β = v/c. Somit erfüllt γ auch die Bedingung γ = 1 für v = 0 und für Geschwindigkeiten nahe der Lichtgeschwindigkeit, also v c, gilt γ. Im Rahmen dieser Herleitung zeigt sich, dass nicht nur die Koordinate x, sondern auch die Zeit t transformiert werden muss [TL03a]. Die vollständige Lorentz-Transformation lautet somit: x = γ (x v t), y = y, z = z ( t = γ t β x ) c (3.6) mit γ aus Gleichung (3.5). Differenzieren dieser Gleichungen zeigt, dass sich unter der Lorentz-Transformation im Gegensatz zur Galilei-Transformation die Geschwindigkeitskomponenten aller Richtungen ändern, obwohl lediglich eine relative Bewegung in x-richtung betrachtet wird. Eine ausführliche Berechnung der Geschwindigkeitstransformation findet sich ebenfalls in [TL03a]. 51

58 3 Beiträge der Relativistik Zeitdilatation Aus der Lorentz-Transformation (3.6), und insbesondere aus der dort gegebenen Zeit- Transformation, folgt direkt, dass keine absolute Zeit existieren kann. Dies soll im Folgenden durch ein Gedankenexperiment veranschaulicht werden, das in Abb. 3.4 schematisch dargestellt ist. Es wird ein mit der Geschwindigkeit v fahrender Zug (System S ) betrachtet. Ein Lichtpuls wird von der Quelle Q erzeugt, läuft senkrecht nach Abbildung 3.4: Herleitung der Zeitdilatation: Durch ein Gedankenexperiment wird verdeutlicht, dass keine absolute Zeit existieren kann. Hierzu wird die Laufzeit des Lichtstrahls zunächst im Ruhesystem des Experiments bestimmt und danach mit den Beobachtungen eines außenstehenden Beobachters verglichen, relativ zu dem sich das Experiment mit der Geschwindigkeit v bewegt. oben zum Spiegel, wird von diesem reflektiert und nach einer Zeit t am Ort der Quelle wieder registriert. Da sich der Lichtpuls mit Lichtgeschwindigkeit c ausbreitet und der Abstand von Quelle und Spiegel gerade D beträgt, vergeht für den Beobachter im Zug zwischen diesen beiden Ereignissen gerade die Zeit t 0 = 2D c. (3.7) Nun werden beide Ereignisse, das Aussenden und das Ankommen des Lichtpulses, von dem Bahnsteig aus betrachtet, also einem System S, bezüglich dessen sich der Zug mit der Geschwindigkeit v nach rechts bewegt. Da sich die Anordnung des Experiments mit dem Zug um die Strecke v t bewegt, sieht ein Beobachter in S den Weg des Lichtes wie in der Abbildung dargestellt. Nach dem zweiten Einsteinschen Postulat breitet sich das Licht sowohl im System S als auch im System S mit der Geschwindigkeit c aus. Demnach bestimmt der Beobachter in S das Zeitintervall zwischen den Ereignissen zu t = 2L c, (3.8) 52

59 3.1 Spezielle Relativitätstheorie wobei L nach Pythagoras gerade durch (1 ) 2 L = 2 v t + D 2 (3.9) bzw. mit Gleichung (3.7) durch (1 ) 2 L = 2 v t + ( ) c t 0 (3.10) gegeben ist. Einsetzen in Gleichung (3.8) und Auflösen nach dem Zeitintervall t liefert t = t 0 1 v2 /c 2 = γ t 0. (3.11) Gleichung (3.11) beschreibt die Zeitdilatation und t 0 wird als Eigenzeit bezeichnet. Da γ 1 ist, misst der Beobachter im System S immer ein längeres Zeitintervall zwischen zwei Ereignissen als die Eigenzeit im System S. Je schneller sich das System S relativ zu dem System S bewegt, desto größer ist die Zeitdilatation Längenkontraktion Die Relativität der Zeitmessung hat die Relativität der Längenmessung direkt zur Folge, da eine Messung der einen Größe die andere Größe impliziert. Zeitdilatation und Längenkontraktion sind also nur zwei Sichtweisen desselben relativistischen Effekts. Die im Ruhesystem des Objekts gemessene Länge wird als Eigenlänge bezeichnet. Wird die Länge desselben Objekts von einem Bezugssystem aus ermittelt, das sich relativ zum Ruhesystem und in Richtung der Längsausdehnung des Objekts bewegt, so ist der gemessene Wert immer kleiner als die Eigenlänge. Diese Schlussfolgerung ergibt sich direkt aus den Lorentz-Gleichungen (3.6). Hierzu wird ein im System S ruhender Stab der Länge x S = x 2 x 1 betrachtet. Dieser bewegt sich mit S relativ zum Bezugssystem S mit einer Geschwindigkeit v in Richtung der x-achse. Die Stablänge wird von S aus zum Zeitpunkt t 1 = t 2 gemessen, woraus sich auf Grund der Lorentz- Transformation x S = x 2 x 1 = γ (x 2 v t 2 ) γ (x 1 v t 1 ) = γ (x 2 x 1 ) (3.12) ergibt, da t 2 t 1 = 0 ist. Die Längenkontraktion entspricht also x = 1 γ x 0, (3.13) 53

60 3 Beiträge der Relativistik wobei γ wiederum durch Gleichung (3.5) gegeben ist. Schnell bewegte Objekte werden also von einem ruhenden Beobachter ohne Bebachtung der Lichtlaufzeit um den Faktor 1 verkürzt gesehen. Beobachtet man jedoch einen Stab, γ der sich mit großer Geschwindigkeit in Richtung seiner Längsachse auf den Beobachter zubewegt, so erscheint er sogar länger als die Eigenlänge des Stabs. Das Bild, das der Beobachter wahrnimmt, entsteht aus den Lichtstrahlen, die gleichzeitig ins Auge treffen. Der Lichtstrahl vom weiter entfernten Ende des Stabs ist aber zu einem früheren Zeitpunkt gestartet als der Strahl vom näheren Ende. In dieser Zeit hat sich der Stab bereits weiterbewegt und das vom Beobachter wahrgenommene Abbild erscheint länger als die Ruhelänge des Stabs, wie in Abb. 3.5 veranschaulicht ist. Dieses vieldiskutierte Paradoxon wird ebenso wie die Tatsache, dass sich ein vom Beobachter wegbewegter Stab kürzer als die Eigenlänge erscheint, in [NR05] ausführlich erläutert. Abbildung 3.5: Längenkontraktion bei bewegten Objekten: Auf Grund der endlichen Ausbreitungsgeschwindigkeit des Lichts, nimmt ein Beobachter den auf sich zukommenden Stab länger wahr als seine im Ruhesystem gemessene Eigenlänge ist Weitere Konsequenzen der speziellen Relativitätstheorie Die Ideen Einsteins haben aber nicht nur auf die kinematischen Größen der Bewegung wie Zeit und Ort Einfluss, sondern ebenso auf die Dynamik. So ergeben sich für Impuls, Energie und Masse relativistische Größen, die für kleine Geschwindigkeiten mit der Newtonschen Mechanik übereinstimmen. Auf diese soll an dieser Stelle jedoch nicht 54

61 3.2 Allgemeine Relativitätstheorie näher eingegangen werden. Eine ausführliche Behandlung ist in jeder Fachliteratur wie [TL03a, HRW03] zu finden. Die berühmteste Formel der speziellen Relativitätstheorie bezieht sich auf die Äquivalenz von Energie und Masse. Die Ruheenergie E 0 eines Teilchens lässt sich aus der Ruhemasse m 0 über E 0 = m 0 c 2 (3.14) berechnen. Die Gesamtenergie E ist mit der Ruhemasse eines bewegten Teilchens über verknüpft. E = γ m 0 c 2 (3.15) 3.2 Allgemeine Relativitätstheorie Nach der Veröffentlichung seiner speziellen Relativitätstheorie erklärte Einstein die Notwendigkeit einer Erweiterung derselben, denn die Gesetze der Physik müssen so beschaffen sein, daß sie in bezug auf beliebig bewegte Bezugssysteme gelten [Ein16]. Die spezielle Relativitätstheorie beschränkt sich allerdings auf die Behandlung von Inertialsystemen, also gleichförmig bewegten Systemen, und ist somit in beschleunigten Bezugssystemen nicht gültig. Daher entwickelte Einstein die allgemeine Relativitätstheorie, die sich mit beschleunigten Bezugssystemen beschäftigt und deren vollständige Behandlung Tensoranalysis auf hohem Niveau voraussetzt [TL03a]. Aus diesem Grund beschränkt sich dieses Kapitel auf eine qualitative Betrachtung und stellt auf Basis von [TL03a, GK98, Pös08] einige interessante Phänomene der allgemeinen Relativitätstheorie vor. Deren Auswahl orientiert sich an den behandelten Themen der Unterrichtsreihe Äquivalenzprinzip Die Schlüsselidee der allgemeinen Relativitätstheorie ist das Äquivalenzprinzip, welches besagt, dass ein homogenes Gravitationsfeld einem gleichmäßig beschleunigten Bezugssystem äquivalent ist. Dieses Prinzip ist bereits in der Newtonschen Mechanik bei der Identität von schwerer und träger Masse zu finden, wo es jedoch keinerlei Erklärung findet. Es erfährt von Einstein eine Verallgemeinerung auf alle physikalischen Experimente. Er postuliert, dass es kein Experiment geben kann, das die Unterscheidung zwischen einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung und der Wirkung eines homogenen Gravitationsfeld ermöglicht. Dieses Äquivalenzprinzip ist in Abb. 3.6 veranschaulicht. In einer Rakete ohne Fenster und ohne Verbindung zur Außenwelt ist es unmöglich, zu unterscheiden, ob die Rakete auf einem Planeten mit Fallbeschleunigung g steht 55

62 3 Beiträge der Relativistik Abbildung 3.6: Äquivalenzprinzip: Ein homogenes Gravitationsfeld und ein gleichmäßig beschleunigtes Bezugssystem können prinzipiell durch kein Experiment unterschieden werden [GK98]. oder ob die Rakete weit weg von anderen Massen mit g beschleunigt wird. Aus diesen Erwägungen sieht man, daß die Durchführung der allgemeinen Relativitätstheorie zugleich zu einer Theorie der Gravitation führen muss. [Ein16] Auf Grund dieses Äquivalenzprinzips ist die Existenz eines perfekten Inertialsystems, wie es die spezielle Relativitätstheorie fordert, unmöglich, da die Gravitationskraft trotz ihrer Abnahme mit 1 eine unendliche Reichweite hat und somit jedes beliebige r 2 Bezugssystem einer gleichmäßig beschleunigten Bewegung ausgesetzt ist. Das Äquivalenzprinzip erlaubt eine Erweiterung des ersten Postulats Einsteins (vgl. Kapitel 3.1.2) auf alle Bezugssysteme, also inertiale ebenso wie nichtinertiale. Eine Folgerung ist, dass Beschleunigung, ebenso wie Geschwindigkeit, ein relativer Begriff ist und nie absolut gemessen werden kann Gekrümmte Raumzeit und Uhreneffekt Einstein gibt die Annahme der Gravitation als Kraft auf und betrachtet sie als Eigenschaft der Geometrie von Raum und Zeit. Diese vierdimensionale gekrümmte Raumzeit ist laut Einstein dynamisch, sie unterliegt Verzerrungen durch die in ihr enthaltene Materie und beeinflusst ihrerseits wiederum die Bewegung der Materie. Da dieses Phänomen unsere Vorstellungskraft übersteigt, soll an dieser Stelle nicht weiter darauf eingegangen werden. Es sei lediglich auf [Pös08] und [KZ08] verwiesen, die die Analogie einer Krümmung der zweidimensionalen Ebene nutzen, um das Phänomen verständlich zu machen. Die Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie können experimentell bestätigt 56

63 3.2 Allgemeine Relativitätstheorie werden. So gehen Uhren unter Einwirkung der Schwerkraft langsamer und Körper in einem hohen Gravitationspotential schrumpfen. Der Effekt der Zeitbeeinflussung wurde 1973 an der Universität Maryland getestet und bestätigt. Hierzu kreiste ein Flugzeug mit mehreren Atomuhren an Bord 15 Stunden lang über eine Uhrengruppe am Boden. Tatsächlich konnten bei diesem Experiment sowohl die Effekte der speziellen als auch die der allgemeinen Relativitätstheorie nachgewiesen werden Periheldrehung des Merkurs Der erste große Erfolg der allgemeinen Relativitätstheorie war die Erklärung der bis dahin rätselhaften Periheldrehung des Merkurs. Nach den Keplerschen Gesetzen bewegt sich ein einzelner Planet bei seinem Umlauf um die Sonne auf einer elliptischen Bahn, deren einer Brennpunkt durch die Sonne gegeben ist. In unserem Sonnensystem bewegen sich viele Planeten um die Sonne und beeinflussen sich gegenseitig. Dadurch wird es möglich, dass sich ein Planet nicht mehr auf einer geschlossenen Ellipsenbahn, sondern auf einer sogenannten Rosettenbahn bewegt. Bei dieser bewegen sich Perihel und Aphel, also sonnennächster und sonnenfernster Punkt, bei jedem Umlauf ein wenig weiter, wie es in Abb. 3.7 übertrieben dargestellt ist. Beim Merkur beobachteten Abbildung 3.7: Erklärung der vorher rätselhaften Periheldrehung des Merkurs durch die allgemeine Relativitätstheorie [Pös08]. die Wissenschaftler jedoch eine größere Drehung als bei Berücksichtigung aller bekannter Planeten hätte auftreten dürfen. Eine Rechnung auf Grundlage der allgemeinen Relativitätstheorie hingegen erklärt diesen Effekt ohne weitere Zusatzannahmen. Die nötige relativistische Korrektur ist beim sonnennahen, schnellen Merkur am größten und wurde deshalb auch an diesem als erstes entdeckt. Inzwischen wurde die relativistische Periheldrehung auch bei Venus, Erde und Mars nachgewiesen. 57

64 3 Beiträge der Relativistik Lichtablenkung im Gravitationsfeld Durch die Krümmung der Raumzeit in der Nähe einer Masse wird von der allgemeinen Relativitätstheorie eine Ablenkung des Lichts vorhergesagt. Betrachtet man das Abbildung 3.8: Lichtablenkung: Der vom entfernten Stern ausgehende Lichtstrahl wird im Gravitationsfeld der Sonne um den Winkel α abgelenkt und erscheint für einen Beobachter auf der Erde an einer anderen Position. Licht eines weit entfernten Sterns, das nahe dem Sonnenrand vorbeiläuft, so wird der Lichtstrahl laut Einstein auf Grund der Sonnenmasse abgelenkt, wie es in Abb. 3.8 dargestellt ist. Dabei lässt sich der Ablenkungswinkel α über α = 2GM c 2 R (3.16) 11 m3 berechnen. Dabei ist G = 6, die Gravitationskonstante, c die Lichtgeschwindigkeit, M die Masse und R die geringste Entfernung zum Massenmittelpunkt kg s 2 des Himmelskörpers in diesem Fall der Sonne. Da die Helligkeit der Sonne eine solche Messung üblicherweise verhindert, wurde sie 1919 von britischen Astronomen während einer totalen Sonnenfinsternis durchgeführt. Die experimentell ermittelten Werte stimmten sehr genau mit dem theoretisch erwarteten Ablenkungswinkel überein. Dieser beträgt für die Sonnenmasse M = 1, kg und den Sonnenradius R = 6, m gerade α = 1, 75 Bogensekunden. Da die Lichtablenkung durch große Massen der Brechung von Licht durch Glaslinsen ähnelt, werden Galaxien und Sterne oftmals als Gravitationslinsen bezeichnet. Diese dienen in der modernen Astronomie der Untersuchung von fernen Objekten. Durch die Lichtablenkung ist es möglich, dass der Beobachter auf der Erde eine hinter der Gravitationslinse liegende Lichtquelle oder sogar mehrere Bilder von ihr sieht. Abbildung 3.9 zeigt das durch diesen Effekt erzeugte Doppelbild des Quasars QSO

65 3.3 Relativistische Korrekturen bei GPS Abbildung 3.9: Galaxienhaufen Abell 2218 als Gravitationslinse: Das Licht von dahinter gelegenen Galaxien wird durch die große Masse abgelenkt, so dass die eigentlich verdeckten Galaxien als Bogenstücke zu sehen sind [GK98] Schwarze Löcher Eine spektakuläre Vorhersage der allgemeinen Relativitätstheorie betrifft Singularitäten der gekrümmten Raumzeit, die schwarzen Löcher. Hierbei handelt es sich um Objekte sehr hoher Masse, die eine Region der Raumzeit erzeugen, aus der nichts nicht einmal Licht oder andere elektromagnetische Strahlung entkommen kann. Deshalb ist es unmöglich auf die Vorgänge innerhalb eines schwarzen Lochs zu schließen. Schwarze Löcher befinden sich in großer Anzahl in unserem Universum, beispielsweise im Zentrum der Milchstraße. Eine ausführliche Behandlung dieses Phänomens ist Gegenstand der Astrophysik und Kosmologie. 3.3 Relativistische Korrekturen bei GPS Die Zeitmessung bei GPS ist sowohl Effekten der speziellen als auch der allgemeinen Relativitätstheorie unterworfen. Nach der speziellen Relativitätstheorie gehen die Uhren im bewegten System des Satelliten, vom ruhenden Beobachter auf der Erde aus betrachtet, langsamer als für einen mitbewegten Beobachter auf dem Satelliten. Die allgemeine Relativitätstheorie bewirkt zusätzlich, dass die Uhren im Satelliten schneller gehen als die des Empfängers auf der Erde, da der Satellit sich in einem geringeren Gravitationspotential befindet. Obwohl beide relativistischen Effekte sehr klein sind und sich teilweise kompensieren, muss ihr Einfluss auf die Zeitmessung wegen des hohen Genauigkeitsbedarfs bei der Ortung mit GPS berücksichtigt werden. In diesem Kapitel soll eine Abschätzung dieser Effekte auf Grundlage von [Emb08, DH04b] erfolgen. 59

66 3 Beiträge der Relativistik Spezielle Relativitätstheorie Um den Einfluss der speziellen Relativitätstheorie quantitativ ermitteln zu können, werden zunächst Zeitabläufe von Ereignissen betrachtet, die im Satellitensystem ortsfest stattfinden. Man vergleicht die Eigenzeit t 0 zwischen zwei Ereignissen im Satelliten mit der Zeit t zwischen diesen Ereignissen, die ein Beobachter auf der Erde messen würde. Nach Gleichung (3.11) besteht zwischen der Eigenzeit t 0 im Satelliten und der vom Beobachter gemessenen Zeit t der Zusammenhang t = γ t 0 mit γ = 1 1 v2 /c 2. (3.17) Dabei entspricht v gerade der Geschwindigkeit, die der Satellit relativ zur Erde hat. Diese ergibt sich durch Gleichsetzen der Gravitationskraft F G mit der Zentrifugalkraft F Z. Es gilt für einen Satelliten der Masse m, der sich auf einer Kreisbahn mit Radius r um die Erde bewegt, m v 2 r F Z = F G. = G M m r 2, (3.18) wobei G = 6, m3 die Gravitationskonstante und M = 5, kg die kg s 2 Erdmasse ist. Der Radius r der Kreisbahn ergibt sich durch Addition des Erdradius R = 6378 km zu der Satellitenhöhe h = km. Somit errechnet sich die Geschwindigkeit des Satelliten relativ zur Erde zu v = GM r = 3873 m s und nach Gleichung (3.17) folgt mit c = m s für den Lorentzfaktor (3.19) γ =. 1 1, v2 /c2 = 1 + 0, (3.20) Für das Verhältnis von Eigenzeit t 0 im Satellitensystem zu gemessener Zeit t im Erdsystem gilt demnach nach Gleichung (3.17) t t 0 = γ 1 + 0, (3.21) Bei einer Messung im Ruhesystem der Erde würden die Zeitabläufe im Satelliten folglich um 0, überschätzt werden und der Beobachter auf der Erde nimmt sie um diesen Wert verlangsamt wahr. 60

67 3.3 Relativistische Korrekturen bei GPS Werden die Zeitintervalle t 0 und t als Perioden einer elektromagnetischen Welle aufgefasst, so gilt für die zugehörigen Frequenzen t 0 = 1 f 0 und t = 1 f (3.22) und die ausgesendete Frequenz f 0 hängt mit der am Boden gemessenen Frequenz f über f = f 0 1 v 2 /c 2 (3.23) zusammen. Für die Sendefrequenzen der GPS-Satelliten ergibt sich also das Verhältnis f f 0 = 1 v 2 /c 2 1 0, (3.24) Diese werden also nach der speziellen Relativitätstheorie von der Erde aus gesehen um 0, unterschätzt. Allgemeine Relativitätstheorie Wie in Kapitel beschrieben, beeinflusst das Gravitationspotential den Gang einer Uhr. Die Borduhr des Satelliten befindet sich in einem geringeren Gravitationspotential als die Empfängeruhr auf der Erde und die Zeit verläuft somit im Orbit des Satelliten langsamer. Dieser Effekt soll im Folgenden quantitativ berechnet werden. Als Uhr wird ein Atom betrachtet, das Photonen einer charakteristischen Frequenz emittiert. Der betrachtete Effekt gilt selbstverständlich für jede Art von Uhr, unabhängig von der technischen Realisation. Abbildung 3.10: Veranschaulichung der Frequenzänderung eines Photons im Gravitationsfeld an Hand von Energiebetrachtungen an einem Atom. Ein Atom im angeregten Zustand E 2 werde zunächst, wie in Abb veranschaulicht, in einem Gravitationspotential von der Höhe r E auf die Höhe r S gebracht. Im radial- 61

68 3 Beiträge der Relativistik symmetrischen Gravitationsfeld der Erde muss hierzu gerade die Potentialdifferenz Φ = Φ(r S ) Φ(r E ) ( 1 = GM 1 ) r E r S (3.25) überwunden werden, wobei G die Gravitationskonstante und M die Erdmasse ist. Mit der relativistischen Äquivalenz von Masse und Energie des angeregten Atoms (Gleichung (3.15)) entspricht das dem Aufbringen einer Energie von E hoch = E 2 Φ. (3.26) c2 Auf der Höhe r S emittiere das Atom ein Photon und gehe in den Zustand der Energie E 1 über, wobei die Energie E oben = h f 0 = E 2 E 1 (3.27) frei wird. Danach werde das im Zustand E 1 befindliche Atom zurück auf die Höhe r E transportiert. Hierbei wird die Energie E runter = E 1 Φ (3.28) c2 frei. Schließlich kehre das Atom auf der Höhe r E unter Absorption eines Photons zurück in den Ausgangszustand E 2, wofür die Energie E unten = h f (3.29) aufgebracht werden muss. Da bei diesem Prozess in den Ausgangszustand eines abgeschlossenen Systems zurückgekehrt wird, muss der Energieerhaltungssatz gelten. Folglich ist Durch Umformen dieser Gleichung E unten E oben = E hoch E runter. h f h f 0 = E 2 c Φ E 1 Φ. (3.30) 2 c2 h f = E 2 E 1 c 2 Φ + h f 0 = h f 0 c 2 Φ + h f 0 (3.31) wird ersichtlich, dass sich die Frequenzen der Photonen und damit der Gang jeder Uhr auf den Höhen r E und r S unterscheiden müssen. Für den Zusammenhang zwischen 62

69 3.3 Relativistische Korrekturen bei GPS der vom Satelliten gesendeten Frequenz f 0 und der auf der Erde empfangenen Frequenz f folgt also ( f = f Φ ) ( = f c GM ( 1 1 )). (3.32) c 2 r E r S Dies entspricht jedoch nur einer Näherung, die für Φ c 2 << 1, also sehr schwache Gravitationsfelder wie das der Erde, Gültigkeit hat. Bezogen auf die GPS-Satelliten mit r S = ( ) km = km und r E = 6378 km sowie die Erdmasse M = 5, kg, die Gravitationskonstante G = 6, m3 10 und die Lichtgeschwindigkeit c = m ergibt sich aus Gleichung kg s 2 s (3.32) das Verhältnis f f 0 1, = 1 + 5, (3.33) Von der Erde aus gesehen werden die Frequenzen im Satelliten auf Grund der allgemeinen Relativitätstheorie also um 5, überschätzt. Fazit und Berücksichtigung in der Praxis Aus den vorherigen Rechnungen wird deutlich, dass sich die Effekte der speziellen und der allgemeinen Relativitätstheorie bei den GPS-Satelliten gerade entgegengesetzt auswirken und teilweise kompensieren. Für den Bahnradius der GPS-Satelliten überwiegt der Einfluss der allgemeinen Relativitätstheorie, so dass die Satellitenfrequenzen vom Erdboden aus gesehen um ungefähr 5, , = 4, (3.34) überschätzt werden. Von daher müssten die vom GPS-Empfänger auf der Erde empfangenen Frequenzen etwa um den Faktor 1 4, verkleinert werden, um die benötigte Genauigkeit bei der Positionierung über Laufzeitmessung zu erreichen. Um diesen Korrekturfaktor bei der Datenanalyse zu umgehen, werden die Atomfrequenznormale der Satelliten vor dem Start auf einen entsprechend kleineren Wert geeicht. Die Grundfrequenz der Satelliten wird von 10, 23 MHz auf 10, MHz herabgesetzt um die relativistischen Effekte auszugleichen [Man04a]. Dies entspricht einer Korrektur der Frequenz um 4, Die Abweichung zum berechneten Wert liegt zum einen in Diskrepanzen der eingesetzten Größen wie Erdradius und Bahnradius der Satelliten und zum anderen in den nur näherungsweise gültigen Annahmen, etwa einer kreisförmigen Satellitenbahn und konstanter Satellitengeschwindigkeit, begründet. In der Literatur finden sich wenig Werte für die herabgesetzte Frequenz. Da 63

70 3 Beiträge der Relativistik diese sich auch noch untereinander unterscheiden, soll der hier angegebene Wert nur als Richtwert dienen. Bei Vernachlässigung der relativistischen Effekte und ohne regelmäßige Kalibrierung der Uhren ergibt sich bei einer Messdauer T ein Zeitfehler von 4, T und dementsprechend ein Fehler in der Entfernungsmessung von ca. 4, ct. Während jeder Sekunde zwischen zwei Messungen würde die Empfängeruhr immer mehr von der Satellitenuhr abweichen und jeweils ein Fehler von ungefähr 13 cm in der Positionsbestimmung entstehen. In einer Stunde summiert sich dies zu einer Unsicherheit von fast 500 m auf. Diese Überlegungen belegen die Notwendigkeit der Berücksichtigung der Effekte der Relativitätstheorie. In den siebziger Jahren, als die GPS-Technologie entwickelt wurde, gab es trotz zahlreicher Bestätigungen der Einsteinschen Relativitätstheorien, wie zum Beispiel durch die Sonnenfinsternis 1919 oder die Flugzeugmessung in Maryland 1973 noch immer gewisse Zweifel an der Gültigkeit der Theorie. Deswegen entschlossen sich die Ingenieure beim Start des ersten Satelliten im Jahr 1977 die Möglichkeit einer Überprüfung der relativistischen Aussagen zu integrieren. Der Satellit enthielt neben den korrigierten Atomuhren auch eine, die nicht auf die niedrigere Frequenz herabgesetzt wurde. Es ergab sich damit, dass die Berücksichtigung relativistischer Effekte für eine hinreichend präzise Ortung zwingend notwendig ist [Sch94]. 64

71 4 Didaktische Grundlagen zur Unterrichtsreihe Dieses Kapitel stellt die didaktischen Aspekte vor, die als Grundlage für die Unterrichtsreihe zur Satellitennavigation in dieser Arbeit ausgewählt wurden. Zunächst wird das Potential der Satellitennavigation für den Physikunterricht der Mittel- und Oberstufe sowie für den fächerübergreifenden und fächerverbindenden Unterricht aufgezeigt. Danach werden die Einbindung von technischen Anwendungen in den Physikunterricht sowie dessen Orientierung an Alltagserfahrungen der Schüler 1 motiviert. In Kapitel 4.2 werden der Bezug der Unterrichtsreihe zum gültigen Lehrplan der Oberstufe sowie Möglichkeiten zur Förderung der in den Bildungsstandards geforderten Kompetenzen vorgestellt. Abschließend gibt Kapitel 4.3 eine allgemeine Übersicht über die Bedeutung von Schülervorstellungen für den naturwissenschaftlichen Unterricht, bevor speziell auf diesbezügliche Erfahrungen bei der Satellitennavigation eingegangen wird. 4.1 Motivation für die Unterrichtsreihe Satellitennavigation im Physikunterricht Die Behandlung der Satellitennavigation bietet die Möglichkeit, für viele Altersstufen einen interessanten und von den Schülern als attraktiv empfundenen Physikunterricht zu gestalten. In der Mittelstufe steht hierbei besonders der Motivationsaspekt für Naturwissenschaft und Technik im Vordergrund, den die Behandlung moderner und alltagsrelevanter Anwendungen der Physik für die Schüler hat. Ein Schwerpunkt sollte hier sicherlich auf der Vermittlung der Funktionsweise der Satellitennavigation liegen. In der gymnasialen Oberstufe wird dieses Thema darüber hinaus dem allgemeinbildenden Auftrag der Schule gerecht, da es eine Einführung in die Prinzipien und Bedeutung der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie Einsteins ermöglicht. Gleichzeitig wird die Notwendigkeit der Berücksichtigung der Theorien für eine alltagsrelevante Anwendung aufzeigt. Im Mittelpunkt steht hier also die Behandlung der physikalischen Hintergründe der Technologie. Durch die starke Ausprägung des Anwendungsbezugs der Physik und den hohen Vernetzungsgrad mit anderen Fächern entspricht die Satellitennavigation laut Lehrplan [FL + 08] den Anforderungen eines Grundfaches. Im Rahmen dieser Examensarbeit wurde eine Unterrichtsreihe speziell für den Physikunterricht im Leistungsfach konzipiert, so dass von einem tiefergehenden Grundwissen und darauf aufbauenden Verständnis der physikalischen Sachverhalte ausgegangen werden kann. Auf die Lehrplanbezüge wird in Kapitel 4.2 explizit eingegangen. 1 Zu Gunsten einer besseren Leserlichkeit werden in dieser Examensarbeit Schülerinnen und Schüler unter dem Begriff Schüler zusammengefasst. 65

72 4 Didaktische Grundlagen zur Unterrichtsreihe Eine mögliche Umsetzung der Satellitennavigation im Unterricht ist in [Tob07] mit der Realisation eines didaktischen Modellexperiments zur akustischen Demonstration des Funktionsprinzip von GPS beschrieben. Dabei steht jedoch die Entwicklung des Modells und weniger die konkrete Umsetzung im Schulunterricht im Vordergrund. Diese wird an Hand von zwei Stundenentwürfen für die Mittel- und Oberstufe aufgezeigt. Im Gegensatz hierzu soll die vorliegende Examensarbeit an Hand der konzipierten Unterrichtsreihe die vielfältigen Ansatzpunkte zur Behandlung der Satellitennavigation und zur Integration in den Unterricht darlegen. Dabei wird besonderer Wert auf das Potential der Satellitennavigation für den Unterricht gelegt, das einerseits durch die fächervernetzenden Aspekte gegeben ist und andererseits in den vielen Möglichkeiten zur Förderung der Kompetenzen der Schüler besteht. Auf beide Punkte wird im Verlauf der nächsten Kapitel noch näher eingegangen Satellitennavigation als fächerübergreifendes und fächerverbindendes Projekt Eine Durchlässigkeit in der Fächerstruktur ist für die Erfüllung der Bildungsaufgaben der Schule förderlich. Der Unterricht soll die Schüler zu Entscheidungs- und Handlungskompetenz führen und zur Übernahme von Verantwortung befähigen [FL + 08]. Komplexe Problemstellungen der Realität lassen sich aber meist nur durch Einbringen unterschiedlicher fachspezifischer Aspekte lösen. Fächerübergreifender und fächerverbindender Unterricht fördert die Handlungsfähigkeit der Lernenden, also eine Kombination aus Sach-, Sozial-, Moral- und Methodenkompetenz. Fächerübergreifender Unterricht wird dabei innerhalb eines Fachs realisiert. Ausgehend von den im Mittelpunkt stehenden fachlichen Aspekten werden überfachliche Blickweisen auf das zu erarbeitende Thema eröffnet. Den Schwerpunkt des fächerverbindenden Unterrichts hingegen bildet ein mehrperspektivisches Thema, das von einzelnen Fächern nur bedingt erfasst werden kann und daher zeitgleich in allen kooperierenden Fächern behandelt wird. Dabei trägt jedes Fach seine spezifischen Komponenten zur Erarbeitung des Themas bei [Pet00]. Die Bedeutung dieser überfachlichen Komponenten wird durch die Forderung des rheinland-pfälzischen Lehrplans unterstrichen, dass jeder Schüler der Oberstufe zumindest an einem fächerverbindenden Projekt teilgenommen haben soll. Fächerübergreifender Unterricht sollte in jedem Fach und auch mehrmals im Verlauf der Oberstufe stattfinden [FL + 08]. Die Satellitennavigation besitzt für den fächerübergreifenden und fächerverbindenden Unterricht ein großes Potential. Ihr enger Bezug zur Mathematik und zur Geographie wurde schon in den vorherigen Kapiteln deutlich. Weitere Möglichkeiten zur Vernetzung mit anderen Fächern wie Informatik, Politik oder Gesellschaftslehre sollen in Kapitel 5.2 vorgestellt werden. 66

73 4.1 Motivation für die Unterrichtsreihe Integration technischer Bezüge in den Physikunterricht Der derzeitige Lebensstandard in den Industrieländern ist zu einem großen Teil dem Fortschritt der Technik zu verdanken. Jedes Industrieland ist auf einen ausreichend physikalisch gebildeten Nachwuchs für Forschung und Wissenschaft angewiesen, um diesen Standard halten zu können. In aktuellen internationalen Vergleichsstudien zu Lernerfolgen von Schülern im naturwissenschaftlichen Bereich schneidet Deutschland jedoch eher mittelmäßig ab [Bun08]. Dieser Umstand ist im Hinblick auf die Abhängigkeit Deutschlands von technischer Leistungsfähigkeit sehr bedenklich und sollte daher dringend verbessert werden. Die Überarbeitung der schulischen Ausbildungsziele und -wege ist hierfür ein möglicher und sinnvoller Ansatzpunkt. Gerade das Unterrichtsfach Physik ist für Schüler wenig attraktiv, wie sowohl die Abwahlquoten beim Eintritt in die gymnasiale Oberstufe als auch die immer noch geringen Studierendenzahlen der Physik zeigen. Physik wird meist als schweres Fach eingestuft, was unter anderem der nötigen mathematischen Vorbildung zuzusprechen ist. Oft zeigt sich aber auch ein großes Desinteresse an der Physik, da es dem Physikunterricht nicht gelingt, die Bedeutung des Fachs für die moderne Gesellschaft überzeugend zu vermitteln. Es muss also einerseits eine Motivationsänderung in der gesamten Schulzeit erreicht werden und andererseits müssen die Lernziele des Physikunterrichts kontinuierlich überprüft werden, um eine angemessene physikalische Ausbildung der Schüler zu erreichen. Hinsichtlich dieser Überlegungen werden seit den siebziger Jahren technische Bezüge in die Lehrpläne des Fachs Physik integriert. Ein wichtiger Bestandteil des Physikunterrichts besteht seitdem darin, den Schülern eine Grundlage zur Lebensorientierung in der zunehmend von Technik dominierten Umwelt bereitzustellen. Der Physikunterricht soll nicht mehr nur der Vermittlung fachspezifischer Naturerkenntnisse dienen, sondern in besonderem Maße auch die Anwendungen und die Bedeutung der Technik generell sowie ihre Schnittstellen zu anderen Bereichen verdeutlichen. Heute betonen die Lehrpläne für das Fach Physik in allen Bundesländern die Bedeutung der Wechselwirkung von Physik und Technik und ihrer Einbindung in den Unterricht. Eine detaillierte Untersuchung der Lehrpläne von 1999 auf Bezüge zu technischen Aspekten sowie eine allgemeine Betrachtung des Technikbezugs im Physikunterricht findet sich in [Spi99]. Auch in [B + 99] wird die Relevanz der Technik für die physikalische Ausbildung hervorgehoben. Ein wesentliches Legitimationsargument des Physikunterrichts liegt in dem ökonomischen Bedarf begründet: Betrieb und Entwicklung technischer Systeme setzen oftmals physikalisches und technisches Wissen voraus. Es bedarf demnach einer ausreichenden Anzahl von hinreichend ausgebildeten Experten mit einer fundierten naturwissenschaftlichen Kompetenz, die das notwendige Verständnis für die physikalischtechnische Lebenswelt aufbringen. Damit dient die physikalische Grundbildung in vielen Bereichen einer Verbesserung der Chancen beim Berufseintritt und der beruflichen Karriere. Hierfür reicht ein streng fachsystematischer Unterricht im Allgemeinen jedoch 67

74 4 Didaktische Grundlagen zur Unterrichtsreihe nicht aus, sondern es müssen unter anderem auch technische Bereiche berücksichtigt werden, die in engem Zusammenhang mit der Umwelt stehen. Einen weiteren Punkt stellt das anthropologische Bedürfnisargument dar, welches das Bedürfnis des Einzelnen nach Sicherheit und Erklärung umsetzt. Hierzu sind auch Kenntnisse von Physik und Technik unerlässlich. Die Behandlung und Vermittlung der Satellitennavigation erfüllt alle diese Anforderungen und eignet sich daher als Thema einer Unterrichtsreihe im Fach Physik. Wie in Kapitel 2.4 bereits deutlich wurde, hat diese Technologie mit mehreren Millionen Nutzern eine enorme Bedeutung für unsere Gesellschaft und auch für fast jeden Einzelnen erlangt. Durch ihre vielfältigen Anwendungsmöglichkeiten ist sie heute bereits fester Bestandteil des Alltags vieler Jugendlicher, so dass der geforderte Bezug zur Lebenswelt der Schüler erfüllt ist. Zudem ist in ihr eine aktuelle Anwendung physikalischer Forschung und Erkenntnis zu sehen. 4.2 Bezug zum Lehrplan In diesem Kapitel wird der Bezug der Unterrichtsreihe zum aktuellen rheinland-pfälzischen Lehrplan für den Physikunterricht in der Oberstufe [FL + 08] beschrieben. Für die anderen Bundesländer gelten ähnliche Anforderungen, die an dieser Stelle jedoch nicht näher ausgeführt werden sollen. Abbildung 4.1: Wahlpflichtbausteine für den Leistungskurs nach dem rheinland-pfälzischen Lehrplan mit engem Bezug zur Satellitennavigation [FL + 08]. 68

75 4.2 Bezug zum Lehrplan Die Satellitennavigation steht in engem Bezug mit den Wahlpflichtbausteinen Gravitation und Elektromagnetische Wellen, die in Abb. 4.1 dargestellt sind. Sowohl eine Einbindung der Thematik in diese Bausteine als auch eine Wiederholung und Vertiefung dieser Gebiete im Rahmen des Projekts Satellitennavigation wäre möglich und sinnvoll. Den Mittelpunkt der konzipierten Unterrichtsreihe bilden die spezielle und allgemeine Relativitätstheorie. Während die allgemeine Relativitätstheorie im Lehrplan nicht fest verankert ist, ermöglichen drei Wahlpflichtbausteine der Qualifikationsphase des Leistungsfaches die Behandlung der speziellen Relativitätstheorie. Die Bausteine Relativistische Kinematik I, Relativistische Kinematik II und Relativistische Dynamik sind in Abb. 4.2 dargestellt. Auch eine anschauliche Einführung in die Ideen Abbildung 4.2: Wahlpflichtbausteine für den Leistungskurs nach dem rheinland-pfälzischen Lehrplan, die die spezielle Relativitätstheorie betreffen [FL + 08]. der allgemeinen Relativitätstheorie ist im Hinblick auf den allgemeinbildenden Auftrag der Schule gerechtfertigt. Die grundlegende Revolution unserer Vorstellungen von 69

76 4 Didaktische Grundlagen zur Unterrichtsreihe Raum und Zeit, die mit der allgemeinen Relativitätstheorie einhergeht, ist physikhistorisch von höchster Relevanz und ermöglicht den Schülern, einen Zugang zu aktuellen Themen wie dem Urknall oder schwarzen Löcher zu entwickeln. Abbildung 4.3: Übersicht über die in den Bildungsstandards für das Fach Physik geforderten Kompetenzbereiche mit zugehörigen Anforderungsbereichen [Sch07a]. Neben den inhaltlichen Komponenten bietet die Unterrichtsreihe auch Möglichkeiten, die von der Kultusministerkonferenz entwickelten Bildungsstandards für das Fach Physik [Kul08a] zu fördern. Im Hinblick auf eine bessere Vergleichbarkeit der schulischen Abschlüsse und eine erhöhte Durchlässigkeit des Bildungssystems gelten die Bildungsstandards für alle Bundesländer und alle Schularten. Sie liefern eine verbindliche Richtlinie über die fachlichen, sozialen und methodischen Kompetenzen, die von den Schülern am Ende einer Jahrgangsstufe erreicht werden sollen. Diese gliedern sich in vier Kompetenzbereiche: Fachwissen, Erkenntnisgewinnung, Kommunikation und Bewertung. Zu 70

77 4.3 Schülervorstellungen zur Satellitennavigation jedem Kompetenzbereich werden in Anlehnung an die Einheitlichen Prüfungsanforderungen in der Abiturprüfung Physik (EPA) [Kul08b] drei Anforderungsbereiche formuliert. Diese entsprechen unterschiedlichen qualitativen Ausprägungen der Kompetenzen in einem Kompetenzbereich. Eine Übersicht der Kompetenzen mit zugehörigen Anforderungsbereichen findet sich in Abb Obwohl die Bildungsstandards für das Fach Physik sich auf die Jahrgangsstufe 10 beziehen, haben die darin enthaltenen Forderungen als Schlüsselqualifikationen für das Leben und den späteren Beruf der Schüler durchaus auch für die Oberstufe Gültigkeit. Dennoch werden die Kompetenzen dort nur selten so gezielt gefördert, wie es in den Bildungsstandards vorgesehen ist. Unter anderem aus diesem Grund wurde die Unterrichtsreihe so konzipiert, dass sich an einigen Stellen die Vertiefung der Fertigkeiten und Fähigkeiten in den Kompetenzbereichen integrieren lässt. Dabei wird besonderen Wert auf die Kommunikation und die Bewertung gelegt, da gerade diese Bereiche im herkömmlichen Physikunterricht oftmals vernachlässigt werden. Bei der Kommunikation geht es in erster Linie um die Erschließung und Zusammenstellung von Informationen sowie den adressaten- und sachbezogenen Austausch über physikalische Fragen. Während sich in den Bildungsstandards die Bewertung fast ausschließlich auf innerfachliche Aspekte beschränkt, fordert [Sch07a] auch das Beurteilen von Chancen und Grenzen physikalischer Sachverhalte bei innerund außerfachlichen Kontexten. Technische Lösungen sollen unter Berücksichtigung physikalischer, ökonomischer, sozialer und ökologischer Faktoren bewertet werden. Gerade in diesem Punkt bietet die Unterrichtsreihe in der Behandlung des facettenreichen Themas Satellitennavigation mit offenen Diskussionsrunden gute Anknüpfungsmöglichkeiten [Sch07a]. 4.3 Schülervorstellungen zur Satellitennavigation Schülervorstellungen und ihre Bedeutung für den Unterricht Den vorunterrichtlichen Schülervorstellungen und ihrer Berücksichtigung im Unterricht wird in der didaktischen Forschung große Bedeutung beigemessen. In den letzten Jahrzehnten hat sich ein eigenes physikdidaktisches Forschungsgebiet entwickelt, das sich mit pupils alternative conceptions beschäftigt. Unter diesem Schlagwort sind Vorstellungen von Schülern über natürliche und technische Phänomene zusammengefasst, die sie aus ihrer bisherigen Erfahrungswelt mit in den Unterricht bringen. In der Literatur werden diese Vorstellungen oftmals auch Alltagsvorstellungen genannt. Dies veranschaulicht, dass sie aus vielfältigen Alltagserfahrungen stammen und durchaus auch unter Studierenden und Erwachsenen zu finden sind. Grundlage für dieses Kapitel sind die didaktischen Werke [B + 99] und [KS02]. Schon der Pädagoge Friedrich A. W. Diesterweg erkannte 1835: Ohne die Kenntnisse des Standpunktes des Schülers ist keine ordentliche Belehrung desselben möglich [KS02]. Diese Behauptung wurde von zahlreichen Lernstudien bestätigt, die fehlendes 71

78 4 Didaktische Grundlagen zur Unterrichtsreihe fachspezifisches Vorwissen als einen zentralen Punkt für Lernschwierigkeiten herausstellen. Nur bei Berücksichtigung der vorunterrichtlichen Schülervorstellungen kann auf diesen aufbauend ein erfolgreiches Lernkonzept entwickelt werden. Der Psychologe Jean Piaget beschreibt Lernen als Wechselspiel von Assimilation und Akkomodation. Im Falle der Assimilation versucht der Lernende die neuen Erfahrungen in bereits vorhandene Strukturen und Vorstellungen einzuordnen. Gelingt ihm dies nicht, müssen die Strukturen modifiziert oder sogar neue Schemata entwickelt werden. Das entspricht der Akkomodation. Dieser Prozess erweist sich gerade für die Physik als sehr schwierig, da das vorhandene Wissen über Phänomene meist nicht mit der zu lernenden physikalischen Sichtweise übereinstimmt. Die Schüler halten jedoch an ihren Alltagsvorstellungen fest, da diese sich schon jahrelang bewährt haben und so fest verankert sind, dass aus ihrer Sicht keinerlei Anlass für eine Änderung besteht. Dieses Phänomen findet sich auch mehrmals in der Geschichte der Naturwissenschaften. Experimente, die offensichtlich im Widerspruch mit den gültigen Gesetzen zu stehen scheinen, werden eher als falsch eingestuft, als dass die eigenen Ansichten revidiert werden. Ein weiteres Problem besteht in diesem Zusammenhang in der subjektiven Wahrnehmung einer Information. Da die Wahrnehmungsfähigkeit eines Menschen beschränkt ist, muss jede Sinneswahrnehmung zunächst gefiltert werden. Kriterium für die Filterung der Information stellen die bereits vorhandenen Vorstellungen dar. Jeder interpretiert eine Information im Rahmen seiner existierenden Konzepte und Vorstellungen. Eine Botschaft kann also durchaus unterschiedlich aufgefasst werden, sie hat zunächst keine ihr innewohnende absolute Bedeutung. Daraus entsteht folgendes Dilemma für den Unterricht: Der Lehrer sendet ein Signal an den Schüler, zum Beispiel einen Satz in einem Gespräch, der im Rahmen seiner Vorstellung einer ganz bestimmten Bedeutung unterliegt. Der Lernende hört den Satz, interpretiert ihn aber auf Grund seiner eigenen Vorstellungen. Diese unterscheiden sich insbesondere bei Technologien, mit deren Alltagsanwendung die Schüler vertrauter sind als der Lehrer von denen des Lehrers, so dass dem Gesagten möglicherweise eine andere Bedeutung beigemessen wird. Dieselbe Uminterpretation wird es bei der Antwort des Lernenden an den Lehrer geben. Dieser Umstand, der in der Pädagogik als hermeneutischer Zirkel bezeichnet wird, ist nicht nur im Unterricht, sondern in jeder Kommunikations- und Gesprächssituation zu beobachten. Auch diese Tatsache macht die Kenntnis von Schülervorstellungen wichtig, um dem Lehrer eine bessere Einschätzung des Bedeutungswandels beim Schüler zu ermöglichen. Eine der Hauptaufgaben eines guten Physikunterrichts besteht nun darin, dort wo die Notwendigkeit besteht, einen Konzeptwechsel bei den Schülern herbeizuführen. Um einen dauerhaften Erfolg zu erreichen, muss dies allerdings so geschehen, dass der Schüler auch den Bedarf für diesen Wechsel erkennt. Denn Lernen ist im Gegensatz zu der häufigen Annahme von Lehrern und Schülern kein passiver Prozess, bei dem das Wissen lediglich übernommen und gespeichert wird. Es handelt sich um einen aktiven Vorgang, bei dem neues Wissen und neue Fähigkeiten auf der Grundlage von 72

79 4.3 Schülervorstellungen zur Satellitennavigation bereits bekanntem Wissen konstruiert und in die eigenen Vorstellungen eingebaut werden müssen. Es wird nur solches Wissen konstruiert, das auch fruchtbar ist und sich in Anwendungen bewährt. Der Lehrer darf also kein reiner Wissensübermittler sein, sondern sollte dem Lernenden gezielte Anstöße und Unterstützungen bei der Konstruktion seines Wissens bieten. Dazu gibt es drei Ansatzpunkte für den Umgang mit bestehenden Schülervorstellungen. Die Konfrontationstaktik basiert darauf, Schüler in einen kognitiven Konflikt zu bringen, um sie von der wissenschaftlichen Sichtweise zu überzeugen. Dies geschieht beispielsweise durch ein Experiment, dessen Ergebnis sich nicht mit den Schülervorstellungen vereinbaren lässt. Problematisch ist bei dieser Vorgehensweise, dass für die Schüler oftmals kein kognitiver Konflikt ersichtlich wird und sie ihre Vorstellungen durch Zusatzannahmen untermauern. Zudem soll diese Vorgehensweise zu einer völligen Aufgabe der bisherigen Vorstellungen führen, was im Hinblick auf ihren Nutzen für den alltäglichen Gebrauch nicht unbedingt sinnvoll erscheint. Wünschenswert wäre eine Koexistenz der Alltagsvorstellungen mit den wissenschaftlichen Vorstellungen, die durch die Anknüpfungstaktik erreicht werden kann. Sie basiert auf Erfahrungen, die möglichst wenig mit den wissenschaftlichen kollidieren, so dass schrittweise eine separate wissenschaftliche Vorstellungswelt aufgebaut werden kann. Beim Umdeuten soll ein kontinuierlicher Übergang von vorunterrichtlichen zu physikalisch korrekten Vorstellungen erreicht werden. Hierfür werden bereits vorhandene Alltagsbegriffe umgedeutet. Bisher existiert dazu noch keine abgeschlossene und allgemein akzeptierte physikdidaktische Lerntheorie. Am sinnvollsten erscheint daher eine individuelle Auswahl der Vorgehensweise je nach Themengebiet, Unterrichtssituation und Lerngruppe Mögliche Schülervorstellungen zur Satellitennavigation An dieser Stelle werden lediglich Schülervorstellungen zur Satellitennavigation beschrieben. Auf eine Darstellung der existierenden Konzepte zu anderen Themenbereichen der Unterrichtsreihe wie der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie wird an dieser Stelle verzichtet. Wie in Kapitel verdeutlicht wurde, handelt es sich bei der Satellitennavigation um eine Eigenortung des Nutzers. Das Navigationsgerät empfängt die Signale, die von den Satelliten bekannter Position ausgesendet werden, um die unbekannten Koordinaten seines eigenen Standpunktes zu bestimmen. Entgegen der Vorstellung einiger Schüler entspricht dies einem passiven Vorgang, und ein handelsüblicher GPS-Empfänger sendet keine Daten an den Satelliten, so dass eine Ermittlung seiner momentanen Position für andere nicht möglich ist. Die fälschliche Alltagsvorstellung einer aktiven Ortung beruht sicherlich auf dem verbreiteten Gebrauch von Handys, die aktiv Daten senden und somit eine Ortung des Mobiltelefons ermöglichen. 73

80 4 Didaktische Grundlagen zur Unterrichtsreihe Eine weitere Schülervorstellung zeigt sich im Zusammenhang mit den in Kapitel 2.4 beschriebenen Auto-Navigationssystemen. So weisen Äußerungen auf die Vorstellung hin, dass nicht nur die Ortung, sondern auch die Zielführung durch die Satelliten geleistet wird. Entgegen dieser Aussagen dient das Satellitensignal aber nur der Errechnung der aktuellen Position. Die Bestimmung der Route basiert auf der Auswertung von digitalem Kartenmaterial mit Hilfe einer entsprechenden Software. Bisher ist noch keine Untersuchung über Alltagsvorstellungen der Schüler in Bezug auf die Satellitennavigation bekannt geworden. Die beschriebenen Vorstellungen werden aber durch eigene Erfahrungen im Verlauf der Unterrichtsreihe und durch Berichte über weitere Schülerprojekte wie in [Tob07] zur Satellitennavigation bestätigt. Das DLR_School_Lab in Oberpfaffenhofen bietet seit Jahren ein Experiment mit dem Titel Satellitennavigation Orientierung leicht gemacht für Schüler an, in dem zunächst eine Einführung in die Satellitennavigation gegeben wird. Anschließend können die Schüler selbst mit GPS-Empfängern experimentieren [Sch07b]. Im Rahmen einer physikalischen Examensarbeit an der Universität Augsburg wurde ein Modellexperiment zur Veranschaulichung des Funktionsprinzips bei der Satellitennavigation entwickelt und im Unterricht einer Mittel- und einer Oberstufe getestet [Tob07]. Diese Schülerprojekte zeigen, dass im Bereich der Satellitennavigation die beschriebenen Schülerkonzepte existieren und deren Beachtung und Berichtigung bei einem Schülerprojekt zur Satellitennavigation für eine erfolgreiche Vermittlung des Funktionsprinzips sehr wichtig ist. Aus diesem Grund wird diesen häufig vertretenen Schülervorstellungen im Verlauf der Unterrichtsreihe ein besonderer Stellenwert zugeschrieben. 74

81 5 Satellitennavigation in der Schule In diesem Kapitel werden die konzipierte Unterrichtsreihe sowie deren Durchführung in einem Leistungskurs Physik der Wiesbadener Gutenbergschule vorgestellt. Kapitel 5.1 beschreibt das allgemeine Konzept der Unterrichtsreihe, wozu die nötigen Voraussetzungen der Schüler, der zeitliche Rahmen des Projekts und der Aufbau der Unterrichtsreihe gehören. Da auf Grund der Themenvielfalt, die die Satellitennavigation bietet, nicht alle Aspekte und Ideen in der ersten Umsetzung der Unterrichtsreihe behandelt werden konnten, werden in Kapitel 5.2 mögliche Ergänzungsmöglichkeiten aufgezeigt. Abschließend soll eine Reflexion erste Praxiserfahrungen bei der Durchführung der Unterrichtsreihe an der Gutenbergschule sowie die Eindrücke der Schüler und eigene Einschätzungen zusammenfassen. 5.1 Konzept der Unterrichtsreihe Voraussetzungen Das Thema Satellitennavigation ist weitgefächert, wie an Hand von Kapitel 2 ersichtlich wird, und lässt sich in viele Themengebiete der Physik einordnen, von denen einige in Kapitel 5.2 aufgezeigt werden. Daher ist es sowohl als Grundlage für eine physikalische Unterrichtsreihe als auch für ein fächervernetzendes Vorhaben im Rahmen einer Projektwoche geeignet. In dieser Examensarbeit wurde der Zugang über eine Unterrichtsreihe gewählt. In diesem Fall ist man nicht auf die enge Zusammenarbeit mit anderen Fachlehrern angewiesen und die Unterrichtsreihe kann jederzeit nach Belieben des Fachlehrers durchgeführt werden. Dennoch muss auch eine Unterrichtsreihe in den Schulalltag eingegliedert werden und es gilt einige Gegebenheiten bei der Planung zu berücksichtigen. Hierzu gehört der festgesetzte zeitliche Rahmen, der für das Projekt zur Verfügung steht, und die damit verbundene Stundenverteilung, die durch den Stundenplan des Kurses vorgegeben ist. Zudem sind für die Unterrichtsreihe gewisse physikalische Vorkenntnisse der Schüler nötig, deren Behandlung im vorangegangenen Unterricht nötig ist. So sind grundlegende Kenntnisse über elektromagnetischen Wellen für das Verständnis der Satellitennavigation unerlässlich, weshalb für die Durchführung des Projekts ein Oberstufenkurs der 12. oder 13. Jahrgangsstufe am besten geeignet ist. Je nach Schwerpunktsetzung kann es sich dabei um einen Grund- oder Leistungskurs handeln. Der rheinland-pfälzische Lehrplan [FL + 08] fordert für das Grundfach Physik einen wesentlich stärker ausgeprägten Anwendungs- und Lebensbezug als im Leistungsfach. Deshalb sollte hier bei der Behandlung der Satellitennavigation weniger Wert auf den Formalismus der Relativitätstheorie gelegt werden und vor allem die Anwendungen 75

82 5 Satellitennavigation in der Schule der Satellitennavigation im Vordergrund stehen. Gerade für einen Grundkurs ist die Motivation für physikalische Phänomene und Ansätze ein zentraler Aspekt des Unterrichts und die Auswahl von geeigneten Themen sollte sich stets daran orientieren. Für das Leistungsfach stellt hingegen die Relativitätstheorie den Mittelpunkt der Unterrichtsreihe dar. Im Hinblick auf die geforderte Studierfähigkeit der Schüler ist auch eine Behandlung der allgemeinen Relativitätstheorie möglich. Reduziert man die Anforderungen an die Unterrichtsreihe, ist sogar eine Durchführung in der Mittelstufe denkbar, wie der Stundenentwurf in [Tob07] zeigt. Abbildung 5.1: Zeitlicher Ablauf der Unterrichtsreihe über Satellitennavigation Der für diese Unterrichtsreihe zur Verfügung stehende zeitliche Rahmen umfasst sechs Unterrichtsstunden. Dabei ist die Positionsbestimmung bei der Satellitennavigation über Laufzeitmessung und Trilateration in den ersten drei Unterrichtsstunden das zentrale Thema. Um das Verständnis für das Funktionsprinzip zu vertiefen, wird ein handlungsaktiver Zugang gewählt, bei dem die Schüler mit Hilfe eines GPS-Empfängers selbst Satellitensignal spielen. In den nächsten beiden Stunden soll einerseits eine Diskussion über die Fehler bei der Positionsbestimmung mit GPS erfolgen und andererseits der Einfluss der Relativitätstheorien nach Einstein besprochen und berechnet werden. Um den Schülern eine kritische Auseinandersetzung mit der Thematik zu ermöglichen, werden in Schülervorträgen die verschiedenen Satellitennavigationssysteme vorgestellt und verglichen. Eine Darstellung der zentralen Themen der Unterrichtsreihe findet sich in Abb

83 5.1 Konzept der Unterrichtsreihe Für die konzipierte Unterrichtsreihe werden die Grundlagen der Gravitation und Satellitenbewegung sowie der elektromagnetische Strahlung entsprechend den in Abb. 4.1 dargestellten Bausteinen Gravitation und Elektromagnetische Wellen vorausgesetzt. Auf Grund des zur Verfügung stehenden Zeitrahmens von maximal sechs Unterrichtsstunden ist eine Behandlung der speziellen Relativitätstheorie in dieser Unterrichtsreihe nicht möglich. Deshalb sollten ihre Grundzüge, besonders die Lorentz-Transformation aus Gleichung (3.6) und die damit verbundene Zeitdilatation, schon im Vorfeld durchgenommen worden sein. Des Weiteren sind für den experimentellen Teil der Unterrichtsreihe einige GPS-Empfänger nötig. Die Anzahl richtet sich nach der Größe des beteiligten Kurses, wobei sinnvollerweise maximal drei Schüler an einem Gerät arbeiten sollten. Für die hier beschriebene Unterrichtsreihe standen drei Empfänger verschiedener Ausführung zur Verfügung. Die Auswahl mehrerer Modelle sollte einen Vergleich im Hinblick auf ihre Zweckmäßigkeit für das geplante Experiment ermöglichen, stellte sich jedoch beim Einsatz im Unterricht als eher unpraktisch heraus. Eine Vorstellung und ein Vergleich der GPS-Empfänger befinden sich im Anhang. Abbildung 5.2: Für die Unterrichtsreihe zur Verfügung stehende GPS-Empfänger: Geko 201 von Garmin, etrex Vista HCx von Garmin und explorist 100 von Magellan Aufbau der Unterrichtsreihe In diesem Kapitel wird der in Abb. 5.1 dargestellte zeitliche Ablaufplan der Unterrichtsreihe ausführlich beschrieben. Die dabei verwendeten Materialien und Arbeitsblätter finden sich als Kopiervorlage im Anhang. Erarbeitung der Grundlagen Um einen Überblick über das Vorwissen der Schüler zur Satellitennavigation zu erhalten, wird ein offener Unterrichtseinstieg gewählt. Der in Abb. 5.3 dargestellte Cartoon 77

84 5 Satellitennavigation in der Schule Abbildung 5.3: Cartoon zum Einstieg in die Unterrichtsreihe. Die Schüler sollen sich ihrem Vorwissen über GPS bewusst werden und Ideen entwickeln, was GPS mit dem Physikunterricht zu tun haben könnte. dient hierzu als Diskussionsgrundlage. Die Schüler sollen schon an dieser Stelle möglichst frei untereinander ihre Überlegungen und Meinungen austauschen. Zunächst wird sicherlich auf die überspitzte Aussage des Cartoons eingegangen, dass man sich beim Autofahren blind auf sein Navigationsgerät verlässt, ohne auf umliegende Verkehrsschilder zu achten. Des Weiteren ist es sinnvoll möglichst schnell zu klären, dass der Begriff GPS für Global Positioning System steht und die Technologie eine Hilfe beim Orten und bei der Navigation darstellt. So wird gesichert, dass jeder, unabhängig seines spezifischen Vorwissens, Assoziationen zu dem neuen Thema knüpfen kann. Um den Schülern schon zu Beginn der Unterrichtsreihe die Bedeutung von GPS für ihren Alltag aufzuzeigen und so die Motivation für die nächsten Unterrichtsstunden zu erhalten, könnte eine erste Diskussion über mögliche Anwendungen von GPS folgen. Denkbar wäre auch eine direkte Frage nach Vorkenntnissen zu GPS. Der Übergang zur Unterrichtsreihe kann durch die Frage Was hat GPS mit Physik zu tun? realisiert werden, die das Interesse der Schüler für diesen Zusammenhang weckt. 78

85 5.1 Konzept der Unterrichtsreihe Im nächsten Schritt soll hervorgehoben werden, dass zum Navigieren zunächst die eigene Position bestimmt werden muss, bevor eine Entscheidung über die beste Route getroffen werden kann. Die Vorteile von GPS für dieses Vorgehen werden am besten deutlich, wenn man die historische Entwicklung der Navigation betrachtet. Hierzu bearbeiten die Schüler das Arbeitsblatt Navigation (vgl. Anhang), das sich an Kapitel 2.1 orientiert, und führen in diesem Zusammenhang einige praktische Übungen mit den zur Verfügung stehenden Kompassen und Sextanten durch. [Hün00] stellt eine günstige Möglichkeit für einen Bastelsextanten Abbildung 5.4: Die Schüler versuchen Winkel im Klassenraum mit Sextanten zu vermessen. dar, der selbst zusammengebaut werden kann und danach funktionstüchtig ist. Zusätzlich beinhaltet das Arbeitsblatt eine Aufgabe zur Funktionsweise der Laufzeitmessung, deren Prinzip besprochen wird. Dabei sollte deutlich werden, dass aus Kenntnis der Signallaufzeit und der Ausbreitungsgeschwindigkeit dieses Signals der eigene Standort relativ zu der bekannten Position des Senders festgestellt werden kann. Ein alltägliches Beispiel für diese Vorgehensweise ist die Ermittlung der Distanz des eigenen Standpunkts von einem Gewitter über die Laufzeit des Donners. Danach werden das Prinzip der Laufzeitmessung auf die Positionsbestimmung bei GPS übertragen und der Vorgang der Trilateration erklärt. Zur Veranschaulichung in der zweidimensionalen Ebene dient ein für diesen Zweck entwickeltes Folienmodell, das aus drei farbig markierten Kreisscheiben besteht, die sich mit Hilfe eines Saugnapfes auf dem Tageslichtprojektor befestigen lassen (vgl. Abb. 5.5). Die Saugnäpfe entsprechen den Satelliten und die eingezeichneten Kreise den möglichen Standlinien eines Empfängers. Wie in Kapitel beschrieben, kann die Position des Empfängers durch den Signalempfang von mehreren Satelliten eindeutig bestimmt werden. An dieser Stelle sollte die Verallgemeinerung auf die Positionsbestimmung im Raum erfolgen. Eine maßstabsgetreue Grafik wie in Abb. 2.6 kann verdeutlichen, dass in diesem Fall drei Satellitensignale ausreichen, da einer der Schnittpunkte meist nicht im erdnahen Raum liegt. Zudem muss den Schülern bewusst werden, dass dieses Vorgehen nur bei synchronisierter Satellitenund Empfängeruhr möglich ist. Als vorbereitende Hausaufgabe sollen die Schüler in Kleingruppen Kurzvorträge zu den Themen NAVSTAR-GPS, GLONASS, Galileo und Anwendungen für die letzte Unterrichtsstunde vorbereiten. Als Orientierungshilfe wird ihnen eine einseitige Zusammenfassung des Themas ausgeteilt, eigene Literaturrecherchen sind jedoch ausdrücklich erwünscht. 79

86 5 Satellitennavigation in der Schule Abbildung 5.5: Dieses Folienmodell wurde für ein besseres Verständnis der Trilateration in der Ebene entwickelt. Handlungsorientierte Vertiefung der Grundlagen Da für diesen Teil der Unterrichtsreihe eine kleine Exkursion mit anschließendem Experimentieren vorgesehen ist, sollte eine Doppelstunde eingeplant werden. So bleibt ausreichend Zeit für das Experiment und die nachfolgende Diskussion. Der Kurs wird in drei Gruppen eingeteilt, um eine GPS-Rallye durchzuführen. Hierzu erhält jede Gruppe einen GPS-Empfänger, dessen Bedienung zunächst erklärt werden muss, und einen Begleitzettel. Ein solcher findet sich exemplarisch im Anhang. Die Schüler sollen nun an Hand von den im Empfänger gespeicherten Wegpunkten zu einem vorher bekannt gegebenen Platz finden, an dem die restliche Unterrichtsstunde stattfinden wird. Auf dem Begleitzettel finden sich hierfür Fragen zu den in der letzten Stunde behandelten historischen Aspekten der Navigation oder zum aktuellen Wegpunkt. Es stehen mehrere Antwortmöglichkeiten zur Verfügung und die richtige liefert Abbildung 5.6: Schüler beim Umgang mit den GPS-Empfängern den nächsten Wegpunkt. Dieser spielerische Zugang soll die Schüler im Umgang mit den GPS-Empfängern vertraut machen. 80

87 5.1 Konzept der Unterrichtsreihe Abbildung 5.7: Schüler bei der GPS-Rallye Der zweite Teil der Unterrichtsstunde findet auf einem Feld ausreichender Größe 1 statt und orientiert sich an einer Idee des DLR_School_Labs [Sch07b]. Es werden Fünfergruppen gebildet und jedem Schüler eine Rolle zugewiesen. Man benötigt einen Empfänger mit einer sekundengenauen Armbanduhr, einen Protokollanten, der gleichzeitig auch als Organisator fungiert und drei Schüler als Satellitensignale, die mit GPS- Empfängern ausgestattet sind, die sowohl sekundengenaue Zeit als auch Geschwindigkeit anzeigen können. Die Satellitensignale stellen sich jeweils in eine Ecke des Fußballfeldes, der Empfänger gemeinsam mit dem Protokollanten an eine beliebige Stelle auf dem Platz. Ziel des Experiments ist es, mit Hilfe einer Laufzeitmessung die Position des Empfängers zu bestimmen. Hierzu geben Protokollant und Empfänger zunächst einem Satellitensignal das Zeichen zum Loslaufen. Dieses setzt sich zu einer bestimmten Zeit in Bewegung, merkt sich den auf dem GPS-Empfänger angezeigten Startzeitpunkt und geht mit möglichst gleichförmiger Geschwindigkeit auf direktem Weg zum Empfänger. Die sekundengenaue Ankunftszeit liest der Empfänger auf seiner Armbanduhr ab und teilt sie dem Protokollanten mit. Anschließend teilt das Satellitensignal die Uhrzeit des Loslaufens (ebenfalls auf die Sekunde genau) sowie seine, vom GPS-Empfänger abgelesene, Geschwindigkeit mit und diese Daten werden ebenfalls aufgenommen. Nachdem Startzeit, Ankunftszeit und Geschwindigkeit des ersten Satellitensignals aufgenommen sind, wird analog mit den beiden anderen Satellitensignalen verfahren. Zur Auswertung dient eine vorgefertigte Skizze des Fußballplatzes. Nach der Bestimmung des Maßstabs werden die Geschwindigkeiten aller drei Satellitensignale von km/h in m/s umgerechnet, die Laufzeit (in Sekunden) über Empfangszeit minus Startzeit berechnet und daraus die Entfernung bestimmt, die das jeweilige Signal vom Satelliten zum Empfänger zurückgelegt hat. Danach kann über Trilateration der Standort des 1 Ideal ist ein Fußballplatz der Größe 60 m auf 100 m mit freier Sicht auf den Himmel. 81

88 5 Satellitennavigation in der Schule Abbildung 5.8: Die Schüler vollziehen an einem handlungsorientierten Experiment das Funktionsprinzip des GPS nach. Empfängers ermittelt werden, indem man mit einem Zirkel die entsprechenden Entfernungen als Kreise um die jeweiligen Satellitenstandorte aufträgt. Der Schnittpunkt der Kreise entspricht dem Standort des Empfängers. Bei dieser Vorgehensweise stellen die Schüler schnell fest, dass die Kreise zunächst keinen eindeutigen Schnittpunkt liefern. Eine Diskussion über mögliche Ursachen liefert unter anderem die fehlende Synchronisation der Empfängeruhr mit den Satellitenuhren als Grund. An dieser Stelle sollte betont werden, dass dieses Problem auch beim realen GPS existiert. Es ergibt sich also ein Zeitfehler t, den die Empfängeruhr gegenüber allen Satellitenuhren besitzt und die sich in einem Entfernungsfehler r bemerkbar macht. Nach Einführung der Begriffe Pseudolaufzeiten und Pseudoentfernungen wird die Lösung des Problems über eine zusätzliche Laufzeitmessung diskutiert. Um auch auf dem Fußballplatz eine eindeutige Position zu erhalten, wird die Armbanduhr mit den GPS-Empfängern abgeglichen und, nach anschließender Korrektur der Laufzeit, die Skizze erneut gezeichnet. Die benötigten Materialien für dieses Experiment wie Wertetabelle und Konstruktionsskizze finden sich im Anhang. Nach Abschluss dieses Experiments sollen die Schüler noch eine Genauigkeitsabschätzung der Positionsbestimmung in der Horizontalen und Vertikalen vornehmen. Hierzu werden die von den GPS-Empfängern angezeigten Werte beim Hin- und Herlaufen bzw. bei Änderung der Höhe beobachtet. In diesem Zusammenhang ergibt sich eine hohe Genauigkeit in der Horizontalen, während die Höhenwerte stark schwanken. Die Hausaufgabe besteht nun darin, sich analog zu Kapitel 2.3 die Fehlerquellen und Grenzen bei GPS bewusst zu machen. 82

89 5.1 Konzept der Unterrichtsreihe Behandlung physikalischer Aspekte In Anknüpfung an die Genauigkeitsüberlegungen der letzten Stunde wird eine Diskussion über Fehlerquellen und Grenzen bei GPS geführt. Den Schülern wird an dieser Stelle verdeutlicht, dass das Erkennen und Einschätzen von Messunsicherheiten eine wichtige Aufgabe des Physikers darstellt. Dieser Aspekt wird im Physikunterricht der Oberstufe jedoch oftmals vernachlässigt, und aus diesem Grund kommt ihm in dieser Unterrichtsreihe besondere Bedeutung zu. Die Erläuterungen der Schüler können dabei durch anschauliche Bilder, wie sie in Kapitel 2.3 zu finden sind, unterstützt werden. Im Anschluss wird auf die Bedeutung der Relativitätstheorie für GPS eingegangen. Da die Schüler bisher nur Kenntnisse über die spezielle Relativitätstheorie besitzen, muss zunächst eine Einführung in die allgemeine Relativitätstheorie erfolgen. Hierzu wird der didaktische Film Albert Einsteins allgemeine Relativitätstheorie gewählt, der von dem staatlichen Medieninstitut FWU (Institut für Film und Bild in Wissenschaft und Unterricht) produziert wurde und in vielen Medienzentren ausgeliehen werden kann 2. Im Rahmen der allgemeinen Relativitätstheorie bietet sich ein Film besonders an, da ihre Grundlagen konträr zu jeder Alltagserfahrung sind und eine Vermittlung ihrer Ideen am besten durch anschauliche Simulationen zu erreichen ist. Diese bietet der Film, eingebettet in eine didaktisch gut aufbereitete Darstellung der Theorie. Er beginnt mit einer Wiederholung der Aussagen der speziellen Relativitätstheorie und geht dabei insbesondere auf den Begriff des Inertialsystems ein. Im Folgenden wird dann an Hand eines die Erde umkreisenden Shuttles erklärt, warum es kein perfektes Inertialsystem geben kann und damit die Verallgemeinerung der speziellen Relativitätstheorie motiviert. Durch Aufnahmen von einem Parabelflug und Beobachtungen in einem beschleunigten Raumschiff werden das Äquivalenzprinzip abgeleitet und die gravitationsbedingte Zeitdilatation vorgestellt, deren Bedeutung für GPS erläutert wird. Anschließend wird aus der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit gefolgert, dass beim Auftreten dieser Zeitdilatation die Laufstrecke des Lichts entsprechend verkürzt werden muss und dies anschaulich an Längenmaßstäben in der Nähe unserer Erde gezeigt. Die Krümmung des Raumes unter dem Einfluss der Erdmasse wird durch die Ausbeulung einer zweidimensionalen Ebene veranschaulicht und eine Animation stellt die Satellitenbahn in diesem gekrümmten Raum dar. Ausgehend von diesem Phänomen stellt der Film die Periheldrehung des Merkurs, die Lichtablenkung durch die Sonne und schwarze Löcher als Konsequenzen der allgemeinen Relativitätstheorie vor. Damit die Schüler dem Film aktiv folgen und die wichtigsten Ideen schriftlich festhalten, wird ihnen ein anleitendes Arbeitsblatt zur Hand gegeben (vgl. Anhang), das Fragen zu den wesentlichen Filmaussagen beinhaltet. Anschließend wird die Bedeutung 2 Der Film ist zum Beispiel im Kreismedienzentrum Mainz-Bingen in Mainz oder im Medienzentrum in Wiesbaden vorhanden. Die Videokassette trägt die Identifizierungsnummer VHS und die entsprechende DVD ist unter zu finden. 83

90 5 Satellitennavigation in der Schule der allgemeinen Relativitätstheorie für GPS diskutiert. Der Einfluss der Gravitation auf die Frequenz der Atomuhren wird analog zu Kapitel 3.3 quantitativ hergeleitet und nach Gleichung (3.32) explizit für die GPS-Satelliten berechnet. Die Schüler sollen selbstständig den Einfluss der speziellen Relativitätstheorie auf die Frequenz der Atomuhren ermitteln. Ein Vergleich der beiden Ergebnisse führt zu dem Resultat aus Kapitel 3.3, dass die Satellitenfrequenzen vom Erdboden aus gesehen um ungefähr 4, überschätzt werden. An dieser Stelle soll die Berücksichtigung dieser Erkenntnisse durch eine Frequenzänderung erwähnt werden. Interessant könnte für die Schüler zudem die Existenz gewisser Zweifel an der Relativitätstheorie beim Start des ersten Satelliten und ihrer erneuten, hochpräzisen Bestätigung durch die Frequenzänderung der Atomuhren sein. Im Anschluss an diese Diskussion sollen die Auswirkungen einer Vernachlässigung der relativistischen Effekte berechnet werden. Auch diese Überlegungen sind analog zu denen in Kapitel 3.3. Bewertung inner- und außerfachlicher Sachverhalte Die letzte Unterrichtsstunde dient der Vorstellung verschiedener Satellitennavigationssysteme sowie von Anwendungen und einer abschließenden Diskussion über GPS und die Unterrichtsreihe. Dabei werden vor allem die Kompetenzbereiche Kommunikation und Bewertung gefördert. An Hand der einseitigen Zusammenfassung zur jeweiligen Thematik musste von den Schülern zunächst ein grober Überblick erlangt werden, und die nachfolgende, eigenständige Recherche zu zusätzlichen Informationen verlangte von ihnen ein kompetentes Filtern der Datenflut. Anschließend sollten sie selbstständig eine angemessene Darstellungsform ihrer Präsentation wählen, was ebenfalls ein wichtiges Kompetenzkriterium darstellt. Die abschließende Diskussion über die Satellitennavigation, die Anwendungen und die verschiedenen Systeme verlangt von den Schülern eine reflektierte Bewertung des Erlernten unter Berücksichtigung physikalischer, politischer und ökonomischer Aspekte. Hierzu sind sowohl die physikalischen Grundlagen als auch eine schlüssige Argumentation über die eigene Meinung bezüglich der Satellitennavigation und den verschiedenen Systemen nötig. 5.2 Thematische Ergänzungsmöglichkeiten Das Thema Satellitennavigation ist sehr vielfältig und damit sowohl für einen Exkurs im Physikunterricht als auch für ein fächerverbindendes Vorhaben während einer Projektwoche geeignet. In beiden Fällen erfordert der vorgegebene zeitliche Rahmen eine Schwerpunktsetzung der Inhalte, so dass es unmöglich ist, alle Teilaspekte des Gebiets zu behandeln. Deshalb sollen in diesem Kapitel einige Alternativen aufgezeigt werden, die eine Ergänzung der Unterrichtsreihe oder eine andere Schwerpunktsetzung ermöglichen. 84

91 5.2 Thematische Ergänzungsmöglichkeiten Wie Kapitel 4.1 verdeutlicht, ist die Bedeutung des fächerübergreifenden und fächerverbindenden Unterrichts in der Schule unumstritten. Die Satellitennavigation bietet sich als ein solch übergreifendes Thema an, um zahlreiche Teilgebiete zu vernetzen. Die Bedeutung der Physik wurde in den letzten Kapiteln mehrmals verdeutlicht. Beim Aufstellen und Lösen der Navigationsgleichung werden mathematische und numerische Fertigkeiten benötigt. Zudem stellt die Schnittbildung von Kugeln einen zentralen Punkt der analytischen Geometrie in der Oberstufe dar. Die Umsetzung der entwickelten Algorithmen, die Signalverarbeitung und die Nutzung der aufgenommenen GPS- Daten am Computer sind Themen der Informatik. Im Rahmen der Geographie können die Erdvermessung und der Aufbau der Erdatmosphäre behandelt werden, die Navigationsproblematik stellt einen engen Bezug zur Geschichte dar. Politisch-wirtschaftliche Aspekte bestehen im Aufbau verschiedener Systeme und den aktuellen Bemühungen der EU, ein eigenes Satellitennavigationssystem zu realisieren. Letztlich ist sogar die Einbindung von Fremdsprachen möglich, indem Originaltexte der Betreibergesellschaften oder Galileo betreffende Beschlüsse der EU gelesen werden. Abbildung 5.9: Wahlpflichtbausteine für den Leistungskurs nach dem rheinland-pfälzischen Lehrplan, in deren Rahmen eine Erweiterung der Unterrichtsreihe möglich ist [FL + 08]. Auch innerhalb der Physik bietet die Satellitennavigation außer der speziellen und allgemeinen Relativitätstheorie viele weitere Anknüpfungspunkte. An Hand der Satellitenbewegung können Elemente der Mechanik wie der Geschwindigkeitsbegriff, die Kreisbewegung und die Keplerschen Gesetze wiederholt werden. Für das Verständnis der Signalsausbreitung sind Kenntnisse über elektromagnetische Schwingungen und Wel- 85

92 5 Satellitennavigation in der Schule len nötig. Im Rahmen der Mehrwegeeffekte kann die Polarisation thematisiert werden, wie sie in Kapitel behandelt wird. Kapitel zeigt die Bedeutung der Doppler- Frequenzverschiebung für den Beginn der Technologie. Der rheinland-pfälzische Lehrplan für das Leistungsfach bietet zudem die Möglichkeit die in Abb. 5.9 dargestellten Wahlpflichtbausteine Elektronik und Physik der Atmosphäre / Geophysik zu behandeln. Zum ersten Bereich gehören der elektronische Aufbau und die Funktionsweise eines GPS-Empfängers, deren Behandlung im Verlauf der Unterrichtsreihe von einigen Schülern gewünscht wurde. Die Betrachtung der atmosphärischen Effekte bei GPS und der Aufbau der Atmosphäre kann unter dem Aspekt Physik der Atmosphäre erfolgen. 5.3 Reflexion der Unterrichtsreihe Die in Kapitel beschriebene Unterrichtsreihe wurde in einem Physik-Leistungskurs der Jahrgangsstufe 13 an der Wiesbadener Gutenbergschule durchgeführt. Bei dem Kurs handelte es sich um eine reine Jungengruppe von elf Schülern. In den Stunden vor der Unterrichtsreihe wurde vom Fachlehrer die spezielle Relativitätstheorie durchgenommen, so dass deren Grundlagen als bekannt vorausgesetzt werden konnten. An dieser Stelle sollen Erfahrungen bei der Durchführung der Unterrichtsreihe und sich daraus ergebende Verbesserungsmöglichkeiten beschrieben werden. Zudem werden die eigenen Eindrücke und die Eindrücke der Schüler zusammengefasst. Zu diesem Zweck wurde im Anschluss an das Projekt ein Bewertungsbogen ausgeteilt, in dem die Schüler das Thema Satellitennavigation und den Aufbau der Unterrichtsreihe bewerten sollten sowie gegebenenfalls Verbesserungsvorschläge anbringen konnten. Der Bewertungsbogen und die Auswertung sind im Anhang zu finden. Zudem folgte eine Diskussionsrunde, in der die Schüler Gelegenheit hatten, ihren Gesamteindruck zu äußern, aber auch themenspezifische Aspekte besprochen wurden. Schon zu Beginn der Unterrichtsreihe zeigte sich bei der Besprechung des Cartoons das große Vorwissen vieler Schüler zum Thema GPS. Sie nannten den Einsatz bei der Ortung und bei der Navigation, gingen auf den Zusammenhang mit Satelliten ein und erkannten auch den physikalischen Bezug über die Frequenz der Signale und die Ausbreitung mit Lichtgeschwindigkeit. Zudem wurde schnell klar, dass viele Satelliten gleichzeitig beobachtbar sein müssen, um seine Position bestimmen zu können, und dass die spezielle Relativitätstheorie einen Einfluss auf die Satellitenuhren hat. Die letzte Erkenntnis lag wohl vor allem darin begründet, dass die Behandlung der speziellen Relativitätstheorie nur einige Tage zuvor geschehen war und die Schüler so schnell einen Bezug herstellten. Gleichzeitig gab es schon in dieser ersten Gesprächsphase Hinweise auf die inkorrekte Schülervorstellung, dass ein GPS-Empfänger aktiv Signale sendet. So könnte die Bemerkung Ein GPS-Empfänger hat Kontakt zu Satelliten eines Schülers in diese Richtung interpretiert werden. Bei der Bearbeitung des Arbeitsblatts stellte sich heraus, dass zwei funktionstüchtige Sextanten für elf Teilnehmer prinzipiell nicht 86

93 5.3 Reflexion der Unterrichtsreihe ausreichen. Die praktischen Übungen mit den Sextanten zogen sich sehr in die Länge, und für den einzelnen Schüler blieb wenig Zeit zur ausgiebigen Beschäftigung mit dem Gerät. Zudem war die Reihenfolge der Aufgaben ungünstig, da die theoretische Aufgabe zur Laufzeitmessung nach dem Experimentieren mit den Sextanten unterging. Die GPS-Rallye rief große Begeisterung bei dem Kurs hervor. Bei der Durchführung des Trilateration-Experiments ergaben sich einige Schwierigkeiten, so dass eine sinnvolle Auswertung letztlich nicht möglich war. Die Schüler mit der Rolle Satellitensignal rannten teilweise viel zu schnell über den Platz und der GPS-Empfänger konnte auf Grund seiner Trägheit keine Geschwindigkeit messen. Somit war auch die Entfernungsbestimmung nicht möglich und der Arbeitsschritt der Trilateration konnte nicht durchgeführt werden. Obwohl eine Auswertung des Experiments nicht möglich war, konnte das Ergebnis gesichert werden. Einer der Schüler erkannte schon sehr früh die Problematik der fehlenden Synchronisation zwischen GPS-Empfänger und Armbanduhr und thematisierte sie nochmals vor allen Schülern am Ende der Stunde. Wichtig ist bei diesem Experiment also, dass sich die Satellitensignale möglichst langsam und gleichförmig zu Empfänger und Protokollant auf dem Platz bewegen. Denkbar wäre eine feste Geschwindigkeit vorzugeben, mit der sich die Satellitensignale zum Empfänger bewegen sollen. Dies hätte zudem den Vorteil, dass eine noch bessere Analogiebildung zum realen GPS möglich wäre, bei dem sich die Signale auch mit einer annähernd konstanten Geschwindigkeit ausbreiten. Die Schüler beteiligten sich rege an der Diskussion über Fehlerquellen und Grenzen bei GPS. In diesem Teil der Unterrichtsreihe wurde großen Wert auf die Förderung der Kompetenzbereiche Fachwissen und Kommunikation gelegt die Schüler mussten ihr physikalisches Wissen auf die Fehlerbetrachtung bei der Satellitennavigation anwenden und ihre Erkenntnisse dem Kurs anschließend verständlich und überzeugend vermitteln. Hierzu mussten die Argumente strukturiert dargestellt und logisch begründet werden. Im Rahmen dieser Fehlerdiskussion zeigten sich in manchen Fällen auch die inkorrekten Schülervorstellungen, denen an dieser Stelle besondere Bedeutung beigemessen wurde. Charakteristisch ist die Aussage eines Schülers bei der Erklärung des Mehrwegeeffekts an Hand der Abbildung 5.10: Die Schüleräußerung Der Satellit denkt, das Auto wäre woanders. zeigt eine der in Kapitel 4.3 beschriebenen Alltagsvorstellungen. Grafik in Abb. 5.10: Der Satellit denkt, das Auto wäre woanders. Diese Bemerkung zeigt offensichtlich die Schülervorstellung, dass der Satellit den GPS-Empfänger aktiv 87