2 Arbeiten mit dem TI-84 Plus

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1 2 Arbeiten mit dem TI-84 Plus Lernziele Du erfährst in diesem Abschnitt, wie du mit dem TI-84 Plus Funktionen in Bezug auf interessante Punkte untersuchst; numerische Ableitungen durchführst und Wahrscheinlichkeitsverteilungen ermittelst. 2.1 Untersuchung von Funktionsgraphen Anzeige und Verlauf eines Graphen im Graphikfenster Die Funktion f(x) = x³ 3x² + 2 soll im Graphikfenster auf Nullstellen, Extrempunkte und Wendepunkte untersucht werden. Nach der Eingabe der Funktion im!-editor und der Einstellung des Graphikfensters w wird der Funktionsgraph nach dem Drücken der Taste % angezeigt (vgl. Abbildungen 2.1 bis 2.3). Mit der Taste > wird der frei bewegliche Graphikcursor aufgerufen. Die x- und y-koordinatenwerte der Position des Graphikcursors werden in der untersten Zeile angezeigt. Mit den Tasten>, ;, : und < kann der Cursor frei bewegt und z. B. auf das sichtbare Minimum der Funktion gesetzt werden (vgl. Abbildungen 2.4 und 2.5). Abbildung 2.1 Abbildung 2.2 Abbildung 2.3 Abbildung 2.4 Abbildung 2.5 Durch Drücken der $-Taste wird der Verlaufscursor direkt auf dem Funktionsgraphen positioniert. Der zugehörige Funktionsterm wird in der linken oberen Ecke angezeigt (vgl. Abbildung 2.6). Mit den Tasten > und < wird der Verlauf punktweise entlang Y1 verfolgt und so Y1 für jedes X ausgewertet. Es kann aber auch ein Schätzwert von X für das Minimum von Y1 eingegeben werden. Wenn im $-Modus eine Zifferntaste gedrückt wird, erscheint in der linken unteren Ecke die Eingabeaufforderung X= (vgl. Abbildung 2.7, nach Eingabe der Ziffer 2). Nach Bestätigung mit e springt der Verlaufscursor auf den Punkt auf der Y1-Funktion, der für den eingegebenen X-Wert berechnet wurde (vgl. Abbildung 2.8).Mit den Tasten > und < kann der Cursor bei Bedarf noch so lange verschoben werden, bis er auf dem minimalen Y-Wert steht. Analog lässt sich mit dieser Methode auch der Hochpunkt der Funktion näherungsweise bestimmen (vgl. Abbildungen 2.9 und 2.10). Abbildung 2.6 Abbildung 2.7 Abbildung 2.8 Abbildung 2.9 Abbildung

2 1 Arbeiten mit dem TI-84 Plus Ermittlung der berechneten Extrempunkte Mit `$ wird das CALCULATE-Menü aufgerufen. Durch Drücken von 3 wird 3:minimum aufgerufen (vgl. Abbildung 2.11). Der Graph wird mit der Abfrage LeftBound? angezeigt (vgl. Abbildung 2.12). Durch Navigieren mit den Cursortasten > und < wird der Cursor links vom Minimum gesetzt und dann e gedrückt. Ein å oben am Bildschirm kennzeichnet die ausgewählte Grenze und die Abfrage RightBound? wird angezeigt (vgl. Abbildung 2.13). Alternativ kann auch über die Tastatur ein Zahlenwert eingetippt werden. Mit den Cursortasten > und < wird nun der Cursor rechts vom Minimum gesetzt und dann e gedrückt. Ein Ï oben am Bildschirm kennzeichnet die ausgewählte Grenze und die Abfrage RightBound? wird angezeigt (vgl. Abbildung 2.14). Durch Bewegen des Cursors auf einen Punkt nahe dem Minimum oder der Eingabe eines Schätzwertes und der anschließenden Betätigung der e-taste springt der Cursor an die berechnete Stelle. Abbildung 2.11 Abbildung 2.12 Abbildung 2.13 Abbildung Numerische Ableitungen Obwohl man mit dem TI-84 Plus nicht symbolisch rechnen kann, erlaubt die Funktion nderiv(f(x),x,wert[, ]) dennoch die numerische Ableitung eines Ausdrucks f(x) bezüglich einer Variablen x, wobei der Wert Wert, mit dem die Ableitung berechnet wird, und (wenn nicht anders angegeben, gilt die Voreinstellung 0,001) gegeben sind. nderiv() verwendet die Methode des symmetrischen Differenzenquotienten, bei der der Wert der numerischen Ableitung als die Steigung der Sekante durch diese Punkte genähert wird. f(x ε) f(x ε) f(x). Je kleiner wird, umso genauer wird gewöhnlich die Näherung (vgl. Abbildung 2.15). 2ε Abbildung 2.15 Für die Funktion Y1 = x³ 3x² + 2 soll die Ableitung für einzelne Punkte numerisch berechnet und als Funktion Y2 gespeichert und graphisch angezeigt werden. Über das m-menü rufen wir mit 8: nderiv( die entsprechende Funktion zur Ermittlung der numerischen Ableitung (siehe oben) auf (vgl. Abbildung 2.16). Die Funktion Y1 geben wir mit v>1e ein (vgl. Abbildungen 2.17 und 2.18). Wir definieren Y2=nDeriv(Y1,X,X) und lassen für den vorgegebenen Standardwert von 0,001 (vgl. Abbildung 2.19). Den Funktionsgraphen von Y2 kann man zusammen mit dem Graphen der Ausgangsfunktion angeben. Zur besseren Unterscheidung kann man einen unterschiedlichen Stil (hier punktiert) wählen (vgl. Abbildung 2.20). Abbildung 2.16 Abbildung 2.17 Abbildung 2.18 Abbildung 2.19 Abbildung Wahrscheinlichkeitsverteilungen binompdf(n,p[,k]) berechnet die Wahrscheinlichkeit P(X = k) für die Binominalverteilung mit n Versuchen (n muss eine positive Zahl sein) und der Eintrittswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch. Der Wert k kann eine Zahl oder eine Liste von ganzen Zahlen sein. Die Angabe von k ist optional; wenn kein k angegeben wird, erhält man eine Liste mit Wahrscheinlichkeiten für k = 0 bis n (vgl. Abbildungen 2.21 und 2.22). binomcdf(n,p[,k]) berechnet die Summenwahrscheinlichkeit für die Binominalverteilung mit n Versuchenund der Eintrittswahrscheinlichkeit p für jeden Versuch (vgl. Abbildung 2.21). Abbildung 2.21 Abbildung

3 3 Arbeiten mit Excel Lernziele Du erfährst in diesem Abschnitt, wie du mit der Tabellenkalkulation Excel Parameterstudien im Zusammenhang mit Funktionsuntersuchungen durchführst; verschiedene Wahrscheinlichkeitsfunktionen anwendest und untersuchst; Ableitungen einer Funktion numerisch ermittelst; und Simulationen zum Galtonbrett machst. 3.1 Untersuchung von Funktionsgraphen Wie schon in klar_mathematik 5 und 6 dargestellt, eignet sich die Tabellenkalkulation Excel sehr gut für die tabellarische und graphische Darstellung von Funktionen. In Abbildung 3.1 ist eine Polynomfunktion dritten Grades dargestellt. Du weißt schon, wie du Werteteabellen, Schieberegler und Funktionsgraphen erstellst. Excel bietet zwar nicht so viele komfortable Möglichkeiten zur Untersuchung von Funktionen wie z. B. der TI-Nspire TM, GeoGebra, oder der TI-84 Plus, kann aber auch gut eingesetzt werden, um grundsätzliche Eigenschaften von Funktionen abzubilden. So kannst du z. B. der Frage nachgehen, ob eine Polynomfunktion dritten Grades immer drei Nullstellen hat, oder welche Bedingungen die Parameter a, b, c und d erfüllen müssen, damit der Funktionsgraph symmetrisch zur y- Achse oder symmetrisch zum Ursprung ist. Ebenso kannst du einen ersten Eindruck bekommen, wo die interessanten Punkte (Hoch- und Tiefpunkt, Wendepunkt) der Funktion für vorgegebene Parameter liegen. Abbildung 3.1 Betrachte Abbildung 3.2: Du siehst in den Spalten A und B ab Zeile 5 eine Wertetabelle der Funktion f(x) = x³ 3x² + 2. In der Spalte C stehen die zu den so definierten Punkten des Funktionsgraphen näherungsweise berechneten Steigungen der Tangenten. Für diese näherungsweise numerische Berechnung der ersten Ableitung wurde die Formel verwendet. Die Genauigkeit kann über den Wert für gesteuert werden; je kleiner gewählt wird, umso genauer stimmt der Näherungswert mit dem symbolisch ermittelten Wert überein. Die graphische Darstellung der Zahlenpaare (x f (x)) (in Abbildung 3.2 in grün) zeigt eine quadratische Funktion, die an den Stellen, wo die Funktion f(x) ihre Extrempunkte hat, ihre Nullstellen hat. Abbildung Untersuchung von Wahrscheinlichkeitsfunktionen In Excel stehen Funktionen zur Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) einer binomialverteilten und einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable zur Verfügung (vgl. Abbildungen 3.3 bis 3.5). Die Variable Kumuliert ist eine Boolesche Variable. Wenn diese Variable auf WAHR gesetzt, wird die Summenwahrscheinlichkeit P(X k) berechnet. Abbildung 3.3 Abbildung 3.4 Abbildung 3.5 3

4 1 Arbeiten mit dem Excel Im Tabellenblatt in Abbildung 3.6 werden in den Zellen B7 bis B27 die Werte für Wahrscheinlichkeitsfunktion P(X = k) für die binomialverteilte Zufallsvariable X für n = 20, p = 0,61 und k = 0 bis n berechnet. In den Zellen G3 und G4 werden der Erwartungswert und die Standardabweichung ausgegeben. Für die Veränderung der Wahrscheinlichkeit p ist ein Schieberegler vorgesehen. Die Funktionswerte werden anschließend in einem Säulendiagramm dargestellt (vgl. Abbildung 3.7). Die graphische Darstellung der Daten reagiert dynamisch auf die Veränderung von p mit Hilfe des Schiebereglers. Ebenso verändern sich der Erwartungswert und die Standardabweichung Abbildung 3.6 So kannst du die Abhängigkeit der Verteilungsfunktion sowie der Kenngrößen und von der gewählten Wahrscheinlichkeit, aber auch von n analysieren. Wie oben schon beschrieben, stellt Excel auch eine Funktion für die Berechnung der Wahrscheinlichkeitsfunktion einer hypergeometrisch verteilten Zufallsvariable zur Verfügung (vgl. dazu auch die Projektaufgabe 2 im Technologienanhang zu Kapitel 6). Abbildung 3.7 Im Tabellenblatt in Abbildung 3.8 ist die Wahrscheinlichkeit P(X = k), beim Ziehen von 10 Kugeln aus einer Urne mit 12 schwarzen und 8 weißen Kugeln k schwarze Kugeln zu erhalten, berechnet. Im Diagramm sind in blau die auf Basis einer Binomialverteilung ermittelten Funktionswerte P(X = k) dargestellt und in rot jene, die mit der hypergeometrischen Verteilung berechnet wurden. Abbildung Simulationen zur Binomialverteilung In einer Anordnung von übereinander stehenden Behältern fallen Kugeln ausgehend vom obersten Behälter durch die Behälter der darunter liegenden Schichten bis zum Boden, wo die Kugeln aufgefangen werden (vgl. Abbildung 3.9). Von jedem Behälter aus fällt der Bruchteil p der dort ankommenden Kugeln in den links darunter stehenden Behälter (blauer Zweig). Der Rest (also der Bruchteil q = p 1) fällt in den rechts darunter stehenden Behälter (roter Zweig). Im obersten Behälter sind n Kugeln. Davon fallen n. p Kugeln in den linken Behälter der nächsten Schicht. Abbildung 3.9 Von den Kugeln, die in diesem Behälter ankommen, fällt wieder der Bruchteil p weiter in den linken Behälter der nächsten Schicht, usw. Die Anzahl der Kugeln, die durch die einzelnen Behälter fallen bzw. in den Auffangbehälter unter der untersten Reihe ankommen, lässt sich schrittweise berechnen. Mit Hilfe der Simulation lässt sich untersuchen, wie die Verteilung der Kugeln auf die fünf Auffangbehälter von der Wahrscheinlichkeit p abhängt. Die Wahrscheinlichkeit p kann mit Hilfe eines Schiebereglers variiert werden. Die Abbildungen unten zeigen die Verteilung für fünf ausgewählte Werte von p. p = 0,25 p = 0,3 p = 0,5 p = 0,6 p = 0,75 4

5 4 Arbeiten mit GeoGebra Lernziele Du erfährst in diesem Abschnitt, wie du das Werkzeug Tabelle in GeoGebra verwendest; wie du mit GeoGebradie Wahrscheinlichkeitsfunktion der Binomialverteilung untersuchst; wie du in GeoGebra dynamische Baumdiagramme und andere Lernobjekte erstellst. 4.1 Das Werkzeug Tabelle in GeoGebra GeoGebra bietet ab Version 3.2 nun auch das Werkzeug Tabelle, das heißt, in der graphischen Benutzeroberfläche ist nun auch eine Tabellenkalkulation integriert. Tabellenkalkulationsprogramme ermöglichen mathematische Berechnungen mit Hilfe von Zahlenwerten, die in den einzelnen Zellen des Tabellenblatts stehen. Nach dem Start von GeoGebra sind zunächst nur das das Algebra- und das Geometriefenster sichtbar. Anzeigen des Tabellenfensters Um in GeoGebra Tabellenkalkulationen durchführen zu können, muss man die Tabelle über das Menü (Ansicht Tabellen-Ansicht) zuschalten. Rechts neben dem Geometriefenster wird nun wie in Abbildung 4.1 eine leere Tabelle angezeigt. Im Tabellenblatt sind die Zellen in einem Raster aus Zeilen und Spalten angeordnet. Die Position einer Zelle ist durch die Kombination einer Zeile und einer Spalte bestimmt. Dabei sind die Spalten mit Buchstaben A, B, C,... und die Zeilen mit Zahlen 1,2,3,4,5,... bezeichnet. Jede Zelle der Tabelle ist daher durch den Namen der Spalte und die Nummer der Zeile eindeutig adressiert. Abbildung 4.1 Werte in der Tabelle eintragen Alle Eingaben werden von GeoGebra als Zahlen oder Texte interpretiert. Eingaben in eine Zelle werden durch Klicken mit der Maus in eine bestimmte Zelle im Tabellenblatt und direkte Eingabe, mit Hilfe des Zellennamens über die Eingabezeile oder durch Übernahme von Daten aus dem Geometriefenster getätigt. Du wirst nun erfahren, wie du mit dem Werkzeug Werte in Tabelle eintragen z. B. die Koordinaten x und y eines Punktes P einer gegebenen Funktion f(x) automatisch in die Tabelle übernehmen kannst. Im Tabellenblatt kannst du dann weitgehend so wie z. B. in Excel weitere Berechnungen durchführen. Abbildung 4.2 Wir definieren eine Funktion f (x) =. x² und einen Punkt P (a f(a)). Den Wert für a legen wir mit Hilfe eines Schiebereglers fest, das heißt, der Punkt P (a f(a)) kann dann später mit dem Schieberegler auf dem Funktionsgraph bewegt werden. Für den Schieberegler wählen wir das Intervall [ 3; 3] und die Schrittweite 0,5 (vgl. Abbildung 4.2). Setze dann den Schieberegler auf 3 und klicke auf das Symbol für Werte in Tabelle eintragen. Du findest dieses Symbol im Pulldown-Menü des ersten Symbols der Symbolleiste (vgl. Abbildung 4.3). Bewege nun den Schieberegler langsam nach rechts bis du die rechte Grenze des Intervalls erreichst. Abbildung 4.3 Wähle dann, ohne vorher etwas Anderes anzuklicken, das Symbol ( Bewege ) aus und klicke auf einen freien Platz im Geometriefenster, um die Aufnahme zu stoppen. Nach diesem letzten Schritt sieht dann das Tabellenfenster wie in Abbildung 4.4 aus. Abbildung 4.4 5

6 1 Arbeiten mit dem GeoGebra Im Tabellenblatt selbst stehen dir nun verschiedene Möglichkeiten einerseits für die weitere formale Gestaltung, aber auch für weiterführende Berechnungen zur Verfügung. So kannst du z. B. nachträglich Zeilen oder Spalten einfügen (vgl. Abbildung 4.5) oder auch Zellen formatieren. Zum Formatieren einer einzelnen Zelle oder eines Bereiches wählst du aus dem Kontextmenü über die rechte Maustaste die Option Eigenschaften. Abbildung 4.5 Ebenso wie andere Tabellenkalkulationsprogrammen unterstützt auch GeoGebra die Drag & Drop -Methode, welche einfaches Verschieben ermöglicht. Wenn die Inhalte der jeweiligen Zellen beim Verschieben und Kopieren von Zellen und Zellbereichen verschoben bzw. kopiert werden, nehmen sie den Bezugsnamen der neuen Zielzelle an. Hierbei ist es wichtig mit Zellbezügen zu arbeiten, damit eine bereits definierte Formel nicht immer wieder geändert werden muss. Auch Auto-Ausfüllen und Kopieren erledigst du so wie in Excel. So kannst du durch Berechnungen im Tabellenblatt untersuchen, wie sich die y-koordinaten der Punkte ändern und dann noch weiter die Änderung dieser Unterschiede analysieren. Die dazu erforderlichen Schritte kannst du mit Hilfe der Abbildungen4.6 bis 4.8 nachvollziehen: In Zelle C3 berechnen wir mit =B2-B3 die Differenz der y-koordinaten der beiden Punkte P 1 ( 3 4,5) und P 2 ( 2,5 3,125); es ergibt sich 1,375. Diese Formel kopieren wir nach unten. Analog ermitteln wir in D4 die Differenz C3 C4 und kopieren diese zweite Formel ebenfalls nach unten. Wir erhalten einen konstanten Wert. Abbildung 4.6 Welche Erklärung hast du dafür? Abbildung 4.7 Abbildung Untersuchung der Binomialverteilung mit GeoGebra Betrachte Abbildung 4.9. Dort ist das Histogramm für eine Wahrscheinlichkeitsfunktion B(n; p; k) einer binomialverteilten Zufallsvariablen X visualisiert. Auf der y-achse sind die Funktionswerte der Funktion B(n; p; k) aufgetragen. Es gilt P(X = k) = B(n; p; k) = ( ). Da die blauen Balken im Histogramm die Breite 1 haben, gibt die Fläche eines Balkens bei x i direkt die Wahrscheinlichkeit P(X = x i ) an. Zusätzlich sind noch die berechneten Werte für den Erwartungswert und die Standardabweichung ausgegeben. Mit den grünen Schiebereglern kannst du die Werte für die Parameter n und p verändern und so in der graphischen Repräsentation der binomialverteilten Zufallsvariable beobachten, wie die das Aussehen der Verteilung mit n und p zusammenhängt. Abbildung 4.9 Wie du selbst ein solches Beispiel erstellen kannst, erfährst du jetzt. Beginne mit einem neuen GeoGebra-Dokument. Dabei siehst du standardmäßig das Algebra- und das Geometriefenster. Erstelle einen Schieberegler für n von 1 bis 100 (Schrittweite 1) und einen Schieberegler für p von 0,01 bis 0,99 mit einer Schrittweite von 0,01. Gib dann in der Eingabezeile die Funktion B(x) in folgender Weise ein: B(x) = n!/(floor(x+0.5)!*(n-floor(x+0.5))!) * p^floor(x+0.5) * (1-p)^(n-floor(x+0.5)). Mit der Funktion floor(z) ermittelst du die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich z ist, in Bezug auf die Zahl z. Das heißt, in deinem Beispiel entspricht floor(x+0.5) dem jeweiligen Wert für k. Im nächsten Schritt erstellst du mit Histogramm=Untersumme[B, -0.5, n + 0.5, n + 1] in der Eingabezeile die graphische Darstellung. Nachdem du mit und berechnest hast, gibst du die beiden Zahlenwerte in einem Textfeld aus. 6

7 Verändere nun die Werte für n und p und beobachte, wie sich die Wahrscheinlichkeitsverteilung ändert. 4.3 Baumdiagramme mit GeoGebra Mit GeoGebra kannst du selbst dynamische Baumdiagramme mit mehreren Stufen erzeugen. Im Beispiel in Abbildung 4.10 ist ein Modell für Ziehen mit Zurücklegen dargestellt. Die Erfolgswahrscheinlichkeit ist über einen Schieberegler einstellbar und durch die roten Pfade symbolisiert. Mit Hilfe des Koordinatengitters kannst du die Knotenpunkte entsprechend setzen und mit Verbindungsstrecken das gewünschte Baumdiagramm erstellen. Es lassen sich so auch Modelle für Ziehen ohne Zurücklegen erzeugen. Nun werden die Wahrscheinlichkeitswerte an den entsprechenden Knotenpunkten mit Hilfe der Variable p berechnet und neben dem jeweiligen Punkt als Text ausgegeben. So erhältst du z. B. den Wert des dritten Punktes von links auf Stufe 3 mit Abbildung 4.10 (1) (2) [Eingabe von ""+p*p*(1-p)] 4.4 Weitere dynamische Lernobjekte selbst erstellen Mit GeoGebra kannst du z. B. auch im Themenbereich Funktionen/Differenzialrechnung selbstständig eigene digitale Lernobjekte erzeugen. In Abbildung 4.11 ist ein solches Beispiel dargestellt: Bei der Kurve in rot handelt es sich um den Graphen der Funktion f(x) = x³ 3x² + 2. Definiere f(x) und erzeuge einen Schieberegler mit dem Namen a im Intervall [ 2; 4]. Lege dann einen Punkt P mitp(a f(a)) fest. Der Punkt P liegt daher auf dem Funktionsgraphen. Lege dann in P die Tangente t an den Graphen von f(x) und bestimme die Steigung von t. Die Steigung wird standardmäßig in der Variable m abgespeichert. Definiere dann einen Punkt P 1 (a m); dieser ist in Abbildung 4.11grün markiert. Definiere nun die Ortslinie des Punktes P 1 in Bezug auf den Punkt P, der sich auf dem Graphen bewegt, wenn du den Schieberegler betätigst. Im Kontextmenü aktivierst du Spur ein und siehst, dass sich der Punkt P 1 auf einer Parabel bewegt. Durch Ändern des Funktionsterms f(x) kannst du diesen Zusammenhang auch für weitere Funktionsterme untersuchen. Abbildung