Variationen über ein geometrisches Problem

Transkript

1 Variationen über ein geometrisches Problem Emese Vargyas Johannes Gutenberg-Universität Mainz

2 Problem Problem-Variation Seien ABC ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge s und P ein beliebiger Punkt im Inneren oder auf den Seiten des Dreiecks. d a, d b, d c seien die Abstände des Punktes P von den Dreiecksseiten. Man berechne die Summe S = d a + d b + d c.

3 Problem Problem-Variation Seien ABC ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge s und P ein beliebiger Punkt im Inneren oder auf den Seiten des Dreiecks. d a, d b, d c seien die Abstände des Punktes P von den Dreiecksseiten. Man berechne die Summe S = d a + d b + d c.

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10 1. Lösung: Betrachte Spezialfälle

11 1. Lösung: Betrachte Spezialfälle

12 1. Lösung: Betrachte Spezialfälle

13 1. Lösung: Betrachte Spezialfälle Weitere Spezialisierung

14 1. Lösung: Betrachte Spezialfälle 1 Weitere Spezialisierung Superpositionsverfahren

15 2. Lösung: Vergleich zweier verschiedener Punkte (Umformulierung der Aufgabe: d a + d b + d c = konst.) 2

16 3. Lösung: Kannst Du es auf den ersten Blick sehen?

17 3. Lösung: Kannst Du es auf den ersten Blick sehen? 3 F ABC = F PBC + F PCA + F PAB s h 2 = s d a + s d b s d c 2 d a + d b + d c = h = s (d a + d b + d c ) 2

18 4. Lösung: Abbildungsbeweise

19 4. Lösung: Abbildungsbeweise

20 4. Lösung: Abbildungsbeweise

21 4. Lösung: Abbildungsbeweise

22 5. Lösung: Kannst Du es auf den ersten Blick sehen? d a + d b + d c = h

23 Kannst Du das Resultat für eine andere Aufgabe gebrauchen? Eine Strecke der Länge L wird mittels zweier Punkte in drei Teile geteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit W dafür, dass man aus den entstandenen Strecken ein Dreieck konstruieren kann?

24 Kannst Du das Resultat für eine andere Aufgabe gebrauchen? Eine Strecke der Länge L wird mittels zweier Punkte beliebig aufgeteilt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit W dafür, dass man aus den entstandenen Strecken ein Dreieck konstruieren kann?

25 Kannst Du das Resultat für eine andere Aufgabe gebrauchen? 1 Aus dem unteren Dreiecksgitter sollen k Gitterpunkte ausgewählt werden, so dass keine Verbindungstrecke der ausgewählten Punkte parallel zu irgendeiner Seite des Dreiecks ABC ist. Bestimmen Sie dafür die größte Zahl k.

26 Kannst Du das Resultat für eine andere Aufgabe gebrauchen? 1 Aus dem unteren Dreiecksgitter sollen k Gitterpunkte ausgewählt werden, so dass keine Verbindungstrecke der ausgewählten Punkte parallel zu irgendeiner Seite des Dreiecks ABC ist. Bestimmen Sie dafür die größte Zahl k. 2 Von den (x 1, x 2, x 3 ) N 0 N 0 N 0 der Gleichung x 1 + x 2 + x 3 = n, n N sollen k ausgewählt werden, s. d. alle Komponenten je zweier unterschiedlich sind. Welche ist die größte solche Zahl?

27 Kannst Du das Resultat für eine andere Aufgabe gebrauchen?

28 Kannst Du das Resultat für eine andere Aufgabe gebrauchen?

29 Kannst Du das Resultat für eine andere Aufgabe gebrauchen? In drei Eimern (ohne Skalierung) mit 8, 7 und 6 Litern Fassungsvermögen sind insgesamt 10 Liter Wasser. Am Anfang ist ein Eimer voll, ein anderer leer. Welche Mengen von Wasser kann man durch Umgießen mit diesen Eimern abmessen?

30 Kannst Du das Resultat für eine andere Aufgabe gebrauchen? In drei Eimern (ohne Skalierung) mit 8, 7 und 6 Litern Fassungsvermögen sind insgesamt 10 Liter Wasser. Am Anfang ist ein Eimer voll, ein anderer leer. Welche Mengen von Wasser kann man durch Umgießen mit diesen Eimern abmessen?

31 Variation der

32 Umformulierung der Aufgabenstellung 1 [...] Man berechne die Summe S = d a + d b + d c. 2 [...] Man zeige, dass die Summe S = d a + d b + d c konstant ist. 3 [...] Man bestimme die Lage des Punktes P, für welche die Summe S = d a + d b + d c maximal ist.

33 Kannst Du die Methode für eine andere Aufgabe gebrauchen? (Superposition) z

34 Kannst Du die Methode für eine andere Aufgabe gebrauchen?

35 Kannst Du die Methode für eine andere Aufgabe gebrauchen?

36 Kannst Du die Methode für eine andere Aufgabe gebrauchen? z

37 Kannst Du die Methode für eine andere Aufgabe gebrauchen? Analogie: gleichseitiges Dreieck regelmäßiges Tetraeder V ABCD = V PABC + V PBCD + V PACD + V PABD F ABC h 3 = F ABC h 1 3 F ABC h 3 + F BCD h F ACD h 3 3 = F ABC (h 1 + h 2 + h 3 + h 4 ) 3 + F ABD h 4 3 z

38 Problem-Variation 1 H. Banea, Probleme de matematică traduse din revista sovietică Kvant, Vol. I, Editura didactică şi pedagogică, Bucureşti, H. S. M. Coxeter, S. L. Greitzer, Geometry Revisited, The Mathematical Association of America, Washington D. C., G. Pólya, Schule des Denkens, A. Francke Verlag Tübingen und Basel, 1949.