3.0 VU Formale Modellierung

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1 3.0 VU Formale Modellierung Gernot Salzer

2 Was Sie letztes Mal hörten 4. Endliche Automaten 4.8. Beispiel: Flussüberquerung 5. Reguläre Sprachen 5.1. Operationen auf formalen Sprachen 5.2. Definition regulärer Sprachen 5.3. Reguläre Ausdrücke 5.4. Eigenschaften regulärer Sprachen 5.5. Vom regulären Ausdruck zum Automaten 5.6. Vom Automaten zum regulären Ausdruck 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 2

3 Reguläre Sprachen Seien L, L Σ zwei Sprachen. L L = { w w L oder w L } L L = { w w w L, w L } Vereinigung Verkettung L = n 0 L n Kleene-Stern Regulären Sprachen über einem Alphabet Die Menge der regulären Sprachen über Σ, L reg (Σ), ist die kleinste Menge, sodass gilt: {}, {ε} und {s} sind reguläre Sprachen (für alle s Σ). Wenn L und L reguläre Sprachen sind, dann auch L L, L L und L. 3

4 Was Sie letztes Mal hörten 4. Endliche Automaten 4.8. Beispiel: Flussüberquerung 5. Reguläre Sprachen 5.1. Operationen auf formalen Sprachen 5.2. Definition regulärer Sprachen 5.3. Reguläre Ausdrücke 5.4. Eigenschaften regulärer Sprachen 5.5. Vom regulären Ausdruck zum Automaten 5.6. Vom Automaten zum regulären Ausdruck 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 4

5 Reg. Sprache Algebra Ebnf Syntaxdiagramm A A A A Abkürzung {} Leersprache {ε} ε Leerwortsprache {s} s "s" s Terminalsymbol X Y XY XY X Y Aufeinanderfolge X Y X + Y X Y X Y Alternativen {ε} X ε + X [X] X Option X X {X} X Wiederholung 0 X + XX X{X} X Wiederholung 1 (X) (X) (X) Gruppierung 5

6 Posix Extended Regular Expressions (Ere) regexp trifft zu auf Reg. Sprache \s Zeichen s {s} s s, falls kein Sonderzeichen {s}. alle Zeichen Σ ˆ Zeilenanfang $ Zeilenende [s 1 s n ] eines der Zeichen s i {s 1,..., s n } [ˆs 1 s n ] alle Zeichen außer s 1,..., s n Σ {s 1,..., s n } (X) X X XY X gefolgt von Y X Y X Y X oder Y X Y X* 0 Mal X X X+ 1 Mal X X + X? 1 Mal X X {ε} X{i} i Mal X X i X{i,} i Mal X X i X X{i,j} i bis j Mal X X i X i+1 X j 6

7 Reelle Numerale... sind eine reguläre Sprache über {0,..., 9,., E, +, -} real = digit digit {.} digit ({ε} scale) scale = {E} {+, -, ε} digit digit digit = {0,..., 9} = {0} {9}... dargestellt als regulärer Ausdruck in algebraischer Notation R = DD.D (ε + S) S = E( ε)dd D = dargestellt als regulärer Ausdruck in Ebnf-Notation R = D { D } "." { D } [ S ] S = "E" [ "+" "-" ] D { D } D = "0" "1" "2" "9" 7

8 Reelle Numerale... dargestellt als Syntaxdiagramm real = scale = digit = digit digit. scale + E digit dargestellt als Posix Extended Regular Expression ^[0-9]+\.[0-9]*(E[+-]?[0-9]+)?$ 8

9 Was Sie letztes Mal hörten 4. Endliche Automaten 4.8. Beispiel: Flussüberquerung 5. Reguläre Sprachen 5.1. Operationen auf formalen Sprachen 5.2. Definition regulärer Sprachen 5.3. Reguläre Ausdrücke 5.4. Eigenschaften regulärer Sprachen 5.5. Vom regulären Ausdruck zum Automaten 5.6. Vom Automaten zum regulären Ausdruck 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 9

10 Vom regulären Ausdruck zum Automaten Automat für : i f Automat für s Σ {ε}: s i f Automat für r 1 r 2 : Automat für r 1 + r 2 : i Automat für r 1 ε i 1 f 1 Automat für r 2 ε i 2 f 2 Automat für r 1 Automat für r 2 ε ε ε i i 1 f 1 i 2 f 2 ε ε f f Automat für r 1 : ε i ε Automat für r1 i 1 f 1 ε f ε 10

11 Was Sie letztes Mal hörten 4. Endliche Automaten 4.8. Beispiel: Flussüberquerung 5. Reguläre Sprachen 5.1. Operationen auf formalen Sprachen 5.2. Definition regulärer Sprachen 5.3. Reguläre Ausdrücke 5.4. Eigenschaften regulärer Sprachen 5.5. Vom regulären Ausdruck zum Automaten 5.6. Vom Automaten zum regulären Ausdruck 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 11

12 Vom verallgemeinerten Automaten zum regulären Ausdruck Gegeben: Verallgemeinerter Automat A = Q, Σ, δ, i, f Für jeden Zustand q Q {i, f } führe folgende Schritte durch: 1 Füge zwischen allen Nachbarn p, p von q neue Übergänge hinzu: y y p x q z p = p x q z p (x, y und z bezeichnen reguläre Ausdrücke.) xy z 2 Entferne q und alle Kanten von und nach q aus dem Automaten. r Restautomat: i f Ergebnis: r ist ein regulärer Ausdruck mit L(r) = L(A). 12

13 Was Sie letztes Mal hörten 4. Endliche Automaten 4.8. Beispiel: Flussüberquerung 5. Reguläre Sprachen 5.1. Operationen auf formalen Sprachen 5.2. Definition regulärer Sprachen 5.3. Reguläre Ausdrücke 5.4. Eigenschaften regulärer Sprachen 5.5. Vom regulären Ausdruck zum Automaten 5.6. Vom Automaten zum regulären Ausdruck 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 13

14 Kontextfreie Grammatiken... werden beschrieben durch ein 4-Tupel G = V, T, P, S, wobei V... Menge der Nonterminalsymbole (Variablen) T... Menge der Terminalsymbole (V T = {}) P V (V T )... Produktionen S V... Startsymbol Schreibweise: A w statt (A, w) P A w 1 w n statt A w 1,..., A w n Ableitbarkeit v ist in einem Schritt aus u ableitbar, geschrieben u v, falls es Worte x, y (V T ) und eine Produktion A w P gibt, sodass u = xay und v = xwy. v ist in mehreren Schritten aus u ableitbar, geschrieben u v, falls u = v, oder u u und u v für ein Wort u (V T ). 14

15 Von Grammatik G generierte kontextfreie Sprache L(G) = { w T S w } Grammatiken G 1 und G 2 heißen äquivalent, wenn L(G 1 ) = L(G 2 ) gilt. G = {S}, {a, b}, {S ε a S b}, S S aabb, weil S a S b aa S bb aa ε bb aabb L(G) = { a n b n n 0 } = {ε, ab aabb aaabbb,... } Linksableitbarkeit: xay L xwy falls A w P und x T Rechtsableitbarkeit: xay R xwy falls A w P und y T Parallelableitbarkeit: x 0 A 1 x 1 A n x n P x 0 w 1 x 1 w n x n falls A 1 w 1,..., A n w n P und x 0,..., x n T L(G) = { w T S w } = { w T S L w } = { w T S R w } = { w T S P w } 15

16 Was Sie letztes Mal hörten 4. Endliche Automaten 4.8. Beispiel: Flussüberquerung 5. Reguläre Sprachen 5.1. Operationen auf formalen Sprachen 5.2. Definition regulärer Sprachen 5.3. Reguläre Ausdrücke 5.4. Eigenschaften regulärer Sprachen 5.5. Vom regulären Ausdruck zum Automaten 5.6. Vom Automaten zum regulären Ausdruck 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 16

17 Wohlgeformte Klammerausdrücke WKA ist die kleinste Menge, sodass ε WKA (w) WKA, wenn w WKA w 1 w 2 WKA, wenn w 1, w 2 WKA G = {W }, {(, )}, {W ε ( W ) W W }, W Beispiel einer Ableitung: W P W W P (W )(W ) P ()(W W ) P ()((W )(W )) P ()(()()) L(G) = {ε, (), (()), ()(), ((())), (())(), ()(()), ()()(),... } = WKA 17

18 Induktive Definition vs. kontextfreie Grammatik Induktive Definition für M kontextfreie Grammatik für M Mengen M, M 0, A 1, B 1,... Var. M, M 0, A 1, B 1,... M ist die kleinste Menge, sodass: M 0 M M M 0 M = L(..., P, M ), wobei P folgende Produktionen sind: f (x 1,..., x m ) M, M f ( A 1,..., A m ) falls x 1 A 1,..., x m A m g(x 1,..., x n ) M, M g( B 1,..., B n ) falls x 1 B 1,..., x n B n M, falls... M... h(x 1, x 2 ) M, falls x 1, x 2 M h(x, x) M, falls x M M h( M, M ) keine Entsprechung, nicht kontextfrei 18

19 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 19

20 Mehrdeutigkeit Eine Grammatik heißt mehrdeutig, wenn es ein Wort mit mehreren Linksableitungen gibt. Eine kontextfreie Sprache heißt (inhärent) mehrdeutig, wenn alle kontextfreien Grammatiken für sie mehrdeutig sind. If-then-else Anweisungen G 1 = {A}, {if, then, else, expr, others}, P 1, A mit P 1 = {A if expr then A if expr then A else A others}. G 1 ist mehrdeutig, da z.b. das Wort w = if expr then if expr then others else others zwei Linksableitungen besitzt: { } if expr then A A L if expr then A else A L if expr then if expr then A else A L w 20

21 If-then-else Anweisungen (Fortsetzung) Die Sprache L(G 1 ) ist nicht mehrdeutig, da es eine zu G 1 äquivalente, aber eindeutige Grammatik G 2 gibt: G 2 = {A, T, TE}, {if, then, else, expr, others}, P 2, A, wobei P 2 = { A T TE T if expr then A if expr then TE else T TE if expr then TE else TE others } In G 2 besitzt w nur eine einzige Linksableitung: A L T L if expr then A L if expr then TE L if expr then if expr then TE else TE L if expr then if expr then others else TE L if expr then if expr then others else others = w 21

22 In mehrdeutigen Grammatiken gibt es Wörter mit mehreren Interpretationen. Problem für die weitere Verarbeitung Problem von G 1 : Die Zugehörigkeit der else-zweige zu den ifs ist nicht eindeutig festgelegt. G 2 : Jeder else-zweig gehört zum letzten unvollständigen if. 22

23 Inhärent mehrdeutige Sprachen Sei L = L 1 L 2, wobei L ist kontextfrei: L 1 = { a m b m c n m, n 0 } L 2 = { a m b n c n m, n 0 } S 1 S 1 c A A a A b ε S S 1 S 2 S 2 a S 2 B B b B c ε Die Grammatik ist mehrdeutig: a n b n c n besitzt zwei Linksableitungen. Man kann zeigen, dass alle Grammatiken für L mehrdeutig sind, d.h., L ist inhärent mehrdeutig. 23

24 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 24

25 Backus-Naur-Form (BNF) Synonym für kontextfreie Produktionen Historische Notation: Nonterminale in spitzen Klammern Terminale unter Anführungszeichen ::= als Trennsymbol Durch diese Konvention entfällt die Notwendigkeit, die Mengen der Nonterminale (V ) und der Terminale (T ) anzugeben. Real ::= Digit Digits "." Digits Scale Digit ::= "0" "9" Digits ::= ε Digit Digits Scale ::= ε "E" Sign Digit Digits Sign ::= ε "+" "-" 25

26 Erweiterte Backus-Naur-Form (Ebnf) Regular Right Part Grammar (Rrpg) erlaubt reguläre Ausdrücke auf rechter Seite der Produktionen Bessere Lesbarkeit durch Vermeidung von Rekursionen und Leerwörtern Kompaktere Spezifikationen keine echte Erweiterung: Ebnf-Notationen lassen sich eliminieren Elimination der Ebnf-Notation: A w 1 (w 2 ) w 3 entspricht A w 1 B w 3 B w 2 A w 1 {w 2 } w 3 entspricht A w 1 B w 3 B ε w 2 B A w 1 [w 2 ] w 3 entspricht A w 1 B w 3 B ε w 2 26

27 Listen von Bezeichnern Ebnf: IdList Id { "," Id } Ohne Ebnf: oder IdList Id B B ε "," Id B IdList Id "," Id IdList Skalierungsfaktor der reellen Numerale Ebnf: Scale "E" ["+" "-"] Digit {Digit} Ohne Ebnf: Scale "E" B 1 Digit B 2 B 1 ε "+" "-" B 2 ε Digit B 2 27

28 Syntaxdiagramme Mit rekursiven Diagrammen können beliebige kontextfreie Grammatiken in Ebnf dargestellt werden. Wohlgeklammerte Ausdrücke W = ( W ) W W W ( W ) ε W W 28

29 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 29

30 Style Guide für Grammatiken Wiederholungsoperator statt Rekursion (wenn möglich). Schlecht: A a A A oder A a a A Besser: a { a } oder a + oder... (je nach gewählter Notation) Optionsoperator statt Leerwort. Schlecht: ε A Besser: [ A ] oder A? oder... (je nach gewählter Notation) 30

31 Modularisierung statt Duplizierung. Schlecht: Identifier ("a" "z") { "a" "z" "0" "9" } Besser: Identifier Letter { Letter Digit } Letter "a" "z" Digit "0" "9" Verwendung sprechender Namen. Schlecht: X Y { Y Z } Y "a" "z" Z "0" "9" Besser: Siehe oben. 31

32 Klare Unterscheidung zwischen Terminalen, Nonterminalen und Metanotationen. Schlecht: \begin{tabular}[[position]]{spalte{spalte}} Besser: "\begin{tabular}" [ "[" Position "]" ] "{" Spalte { Spalte } "}" "\begin{tabular}" [ "[" Position "]" ] "{" Spalte { Spalte } "}" Inhaltliche Strukturierung statt Minimierung der Nonterminale und Regeln. Schlecht: "\begin{tabular}" [ "[" ("t" "b") "]" ] "{" ("l" "c" "r") { "l" "c" "r" } "}" Besser:... "\begin{tabular}" [ Position ] Spalten Position "[b]" "[t]" Spalten "{" Spalte { Spalte } "}" Spalte "l" "c" "r" 32

33 Beispiel: Tabellen in L A TEX TEX... Textsatzsystem von Donald E. Knuth L A TEX... TEX-Makros für logisches Markup von Leslie Lamport \begin{tabular}[t]{lc} Eintrag 11 & Eintrag 12 \\ Eintrag 21 & \begin{tabular}{rr} Eintrag 22 & ist selber \\ eine & Tabelle. \end{tabular}\\ Eintrag 31 & Eintrag 32 \end{tabular} Eintrag 11 Eintrag 12 Eintrag 21 Eintrag 22 ist selber eine Tabelle. Eintrag 31 Eintrag 32 Gesucht: Kontextfreie Grammatik G in Ebnf für die Sprache der L A TEX-Tabellen 33

34 Beispiel: Tabellen in L A TEX G = V, T, P, Tabelle, wobei: P = { Tabelle "\begin{tabular}" [ Position ] Spalten Zeilen "\end{tabular}", Position "[b]" "[t]", Spalten "{" Spalte { Spalte } "}", Spalte "l" "c" "r", Zeilen Zeile { "\\" Zeile }, Zeile Eintrag { "&" Eintrag }, Eintrag { Tabelle Zeichen }, Zeichen "0" "9" "a" "Z" "." " " } V = {Tabelle, Position, Spalten, Spalte, Zeilen, Zeile, Eintrag, Zeichen} T = { "0",..., "9", "a",..., "z", "A",..., "Z", ".", " ", "{", "}", "[", "]", "&", "\" } Nur eine Rekursion für Schachtelung der Tabellen notwendig! 34

35 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 35

36 N. Wirth: Programming in Modula-2 36

37 N. Wirth: Programming in Modula-2 36

38 J. Gosling et al.: Java Language Specification ( ) SYNTAX CHAPTER18 THIS chapter presents a grammar for the Java programming language. Syntax The grammar presented piecemeal in the preceding chapters ( 2.3) is much better for exposition, but it is not well suited as a basis for a parser. The grammar presented in this chapter is the basis for the reference implementation. Note that it is not an LL(1) grammar, though in many cases it minimizes the necessary look ahead. The grammar below uses the following BNF-style conventions: [x] denotes zero or one occurrences of x. {x} denotes zero or more occurrences of x. x y means one of either x or y. Identifier: IDENTIFIER QualifiedIdentifier: Identifier {. Identifier } QualifiedIdentifierList: QualifiedIdentifier {, QualifiedIdentifier } EnumBody: { [EnumConstants] [,] [EnumBodyDeclarations] } EnumConstants: EnumConstant EnumConstants, EnumConstant EnumConstant: [Annotations] Identifier [Arguments] [ClassBody] EnumBodyDeclarations: ; {ClassBodyDeclaration} AnnotationTypeBody: { [AnnotationTypeElementDeclarations] } AnnotationTypeElementDeclarations: AnnotationTypeElementDeclaration AnnotationTypeElementDeclarations AnnotationTypeElementDeclaration AnnotationTypeElementDeclaration: {Modifier} AnnotationTypeElementRest AnnotationTypeElementRest: Type Identifier AnnotationMethodOrConstantRest ; ClassDeclaration InterfaceDeclaration EnumDeclaration AnnotationTypeDeclaration AnnotationMethodOrConstantRest: AnnotationMethodRest ConstantDeclaratorsRest AnnotationMethodRest: ( ) [[]] [default ElementValue]

39 J. Gosling et al.: Java Language Specification ( ) SYNTAX CHAPTER18 THIS chapter presents a grammar for the Java programming language. Syntax The grammar presented piecemeal in the preceding chapters ( 2.3) is much better for exposition, but it is not well suited as a basis for a parser. The grammar presented in this chapter is the basis for the reference implementation. Note that it is not an LL(1) grammar, though in many cases it minimizes the necessary look ahead. The grammar below uses the following BNF-style conventions: [x] denotes zero or one occurrences of x. {x} denotes zero or more occurrences of x. x y means one of either x or y. Identifier: IDENTIFIER QualifiedIdentifier: Identifier {. Identifier } QualifiedIdentifierList: QualifiedIdentifier {, QualifiedIdentifier } EnumBody: { [EnumConstants] [,] [EnumBodyDeclarations] } EnumConstants: EnumConstant EnumConstants, EnumConstant EnumConstant: [Annotations] Identifier [Arguments] [ClassBody] EnumBodyDeclarations: ; {ClassBodyDeclaration} AnnotationTypeBody: { [AnnotationTypeElementDeclarations] } AnnotationTypeElementDeclarations: AnnotationTypeElementDeclaration AnnotationTypeElementDeclarations AnnotationTypeElementDeclaration AnnotationTypeElementDeclaration: {Modifier} AnnotationTypeElementRest AnnotationTypeElementRest: Type Identifier AnnotationMethodOrConstantRest ; ClassDeclaration InterfaceDeclaration EnumDeclaration AnnotationTypeDeclaration AnnotationMethodOrConstantRest: AnnotationMethodRest ConstantDeclaratorsRest AnnotationMethodRest: ( ) [[]] [default ElementValue]

40 J. Gosling et al.: Java Language Specification ( ) SYNTAX CHAPTER18 THIS chapter presents a grammar for the Java programming language. Syntax The grammar presented piecemeal in the preceding chapters ( 2.3) is much better for exposition, but it is not well suited as a basis for a parser. The grammar presented in this chapter is the basis for the reference implementation. Note that it is not an LL(1) grammar, though in many cases it minimizes the necessary look ahead. The grammar below uses the following BNF-style conventions: [x] denotes zero or one occurrences of x. {x} denotes zero or more occurrences of x. x y means one of either x or y. Identifier: IDENTIFIER QualifiedIdentifier: Identifier {. Identifier } QualifiedIdentifierList: QualifiedIdentifier {, QualifiedIdentifier } EnumBody: { [EnumConstants] [,] [EnumBodyDeclarations] } EnumConstants: EnumConstant EnumConstants, EnumConstant EnumConstant: [Annotations] Identifier [Arguments] [ClassBody] EnumBodyDeclarations: ; {ClassBodyDeclaration} AnnotationTypeBody: { [AnnotationTypeElementDeclarations] } AnnotationTypeElementDeclarations: AnnotationTypeElementDeclaration AnnotationTypeElementDeclarations AnnotationTypeElementDeclaration AnnotationTypeElementDeclaration: {Modifier} AnnotationTypeElementRest AnnotationTypeElementRest: Type Identifier AnnotationMethodOrConstantRest ; ClassDeclaration InterfaceDeclaration EnumDeclaration AnnotationTypeDeclaration AnnotationMethodOrConstantRest: AnnotationMethodRest ConstantDeclaratorsRest AnnotationMethodRest: ( ) [[]] [default ElementValue]

41 J. Gosling et al.: Java Language Specification ( ) SYNTAX CHAPTER18 THIS chapter presents a grammar for the Java programming language. Syntax The grammar presented piecemeal in the preceding chapters ( 2.3) is much better for exposition, but it is not well suited as a basis for a parser. The grammar presented in this chapter is the basis for the reference implementation. Note that it is not an LL(1) grammar, though in many cases it minimizes the necessary look ahead. The grammar below uses the following BNF-style conventions: [x] denotes zero or one occurrences of x. {x} denotes zero or more occurrences of x. x y means one of either x or y. Identifier: IDENTIFIER QualifiedIdentifier: Identifier {. Identifier } QualifiedIdentifierList: QualifiedIdentifier {, QualifiedIdentifier } EnumBody: { [EnumConstants] [,] [EnumBodyDeclarations] } EnumConstants: EnumConstant EnumConstants, EnumConstant EnumConstant: [Annotations] Identifier [Arguments] [ClassBody] EnumBodyDeclarations: ; {ClassBodyDeclaration} AnnotationTypeBody: { [AnnotationTypeElementDeclarations] } AnnotationTypeElementDeclarations: AnnotationTypeElementDeclaration AnnotationTypeElementDeclarations AnnotationTypeElementDeclaration AnnotationTypeElementDeclaration: {Modifier} AnnotationTypeElementRest AnnotationTypeElementRest: Type Identifier AnnotationMethodOrConstantRest ; ClassDeclaration InterfaceDeclaration EnumDeclaration AnnotationTypeDeclaration AnnotationMethodOrConstantRest: AnnotationMethodRest ConstantDeclaratorsRest AnnotationMethodRest: ( ) [[]] [default ElementValue]

42 N. Wirth: Programming in Modula-2 38

43 N. Wirth: Programming in Modula-2 38

44 N. Wirth: Programming in Modula-2 38

45 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 39

46 Jenseits der Kontextfreiheit Formale Sprachen { a n b n c n n 0 } ist nicht kontextfrei. Formale Sprachen { ww w {a, b, c} } ist nicht kontextfrei. Programmiersprachen Typen- und Deklarationsbedinungen nicht oder nur schwer kontextfrei darstellbar. Natürliche Sprachen (Schweizer Dialekt) Mer d chind em Hans es huus haend wele laa hälfe aastriiche. Wir wollten die Kinder dem Hans helfen lassen das Haus anzustreichen. 40

47 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 41

48 Sokrates aus Sicht der Aussagenlogik Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist sterblich. A B C A, B = C Clipart courtesy FCIT Die Prämissen und die Konklusion sind für die Aussagenlogik atomar. Können nur durch (drei unabhängige) Variablen modelliert werden. Keine korrekte Inferenz! Keine Berücksichtigung der inneren Struktur der Aussagen: alle Menschen, ist sterblich, ist Mensch,... Aussagenlogik zu ausdrucksschwach für eine adäquate Modellierung! Prädikatenlogik: Erweiterung der Aussagenlogik um Quantoren: für alle ( ), es gibt ( ) Prädikatensymbole: Mensch(x)... x ist ein Mensch Funktionsterme: Mensch(mutter(sokrates))... Sokrates Mutter ist ein Mensch 42

49 Sokrates aus Sicht der Prädikatenlogik Clipart courtesy FCIT Alle Menschen sind sterblich. Sokrates ist ein Mensch. Sokrates ist sterblich. Warum ist das eine korrekte Inferenz? x (Mensch(x) Sterblich(x)) Mensch(sokrates) Sterblich(sokrates) x P(x) = P(t) (Instanziierungsregel) Wenn P für alle x gilt, dann gilt P für jedes spezielle Objekt t. x(mensch(x) Sterblich(x)) = Mensch(sokrates) Sterblich(sokrates) A, A B = B (Modus ponens) Wenn A gilt und wenn B aus A folgt, dann gilt auch B. Mensch(sokrates), Mensch(sokrates) Sterblich(sokrates) = Sterblich(sokrates) Mensch(sokrates) x(mensch(x) Sterblich(x)) Mensch(sokrates) Sterblich(sokrates) Sterblich(sokrates) 43

50 Funktions-, Prädikaten- und Variablensymbole F... Menge der Funktionssymbole; besitzen Stelligkeit (Arität) f /n F... f ist ein n-stelliges Funktionssymbol. (f benötigt n Argumente.) f /0... nullstelliges Funktionssymbol, Konstantensymbol P... Menge der Prädikatensymbole; besitzen Stelligkeit (Arität) P/n P... P ist ein n-stelliges Prädikatensymbol. (P benötigt n Argumente.) P/0... nullstelliges Prädikatensymbol, entspricht Aussagenvariable V = {x, y, z, x 0, x 1,... }... Individuenvariablensymbole Mensch(mutter(sokrates)), Sterblich(x) Funktionssymbole: mutter/1, sokrates/0 Prädikatensymbole: Mensch/1, Sterblich/1 Variablensymbol: x 44

51 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 45

52 Terme... bestehen aus Variablen- und Funktionssymbolen.... ermöglichen die Bildung von Ausdrücken wie 3 sin(x + 2).... sind eine allgemeine Repräsentationsform für hierarchische Strukturen. Terme über F und V Die Menge T (F, V), kurz T, der Terme über F und V ist die kleinste Menge, für die gilt: (t1) V T (t2) f T, falls f /0 F. (t3) f (t 1,..., t n ) T, falls f /n F und t 1,..., t n T. Individuenvariablen sind Terme. Konstantensymbole sind Terme. Funktionssymbole mit der passenden Zahl an Termargumenten sind Terme. Notation: Pre-/Postfixnotation für manche unären (n = 1) Funktionssymbole Infixnotation für manche binären (n = 2) Funktionssymbole Klammerneinsparungen durch Prioritäten 46

53 Verschiedene Terme 3 sin(x + 2) bzw. (3, sin(+(x, 2))) s(s(s(0))) Darstellung der Zahl 3 = 1 + (1 + (1 + 0)) f (a, f (b, f (c, nil))) Darstellung der Liste [a, b, c] g(f (a), g(a, (f (x)))) ist ein Term, falls a/0, f /1, g/2 F und x V. g/2 F a/0 F a/0 F f /1 F x V x T t2 t2 f /1 F a T g/2 F a T f (x) T f (a) T t3 t3 g(a, (f (x))) T g(f (a), g(a, (f (x)))) T (F, VS) t3 t1 t3 Die Menge der Terme, T (F, V), ist die kleinste Menge, sodass: (t1) v T, falls v V. (t2) f T, falls f /0 F. (t3) f (t 1,..., t n ) T, falls f /n F und t 1,..., t n T. 47

54 Aussagenlogische Formeln sind Terme. Sei V = {A, B, C,... } und F = { /0, /0, /1, /2, /2,... }. Dann ist T (F, V) die Menge der aussagenlogischen Formeln (unter Verwendung der Infixnotation für binäre Operatoren). (A B) C entspricht ( (A, B), C). A (B C) entspricht (A, (B, C)). Reguläre Ausdrücke sind Terme. Sei V = {} und F = {ε/0, /0, +/2, /2, /1} { s/0 s Σ }. Dann ist T (F, V) die Menge der regulären Ausdrücke über Σ. (+ und werden infix notiert, wird nicht angeschrieben, und ist ein Postfixoperator). So ziemlich alles lässt sich als Term auffassen... 48

55 Semantik von Termen Variablensymbole: Wert abhängig von momentaner Wertebelegung Konstanten- und Funktionssymbole: Vordefinierte Symbole: feste, unveränderliche Bedeutung (fix eingebaut in Termsemantik) Freie Symbole: Interpretation als Konstante bzw. Funktionen Interpretation Eine Interpretation I über einem Wertebereich U ordnet jedem Funktionssymbol aus F eine Funktion wie folgt zu: I(f ) U für f /0 F I(f ): U n U für f /n F, n > 0 49

56 Arithmetische Ausdrücke (wie etwa (x+1)*(x+1+1)) F = {0, 1, +, -, *} U = Z = {..., 2, 1, 0, 1, 2,... } I(0) = 0 I(1) = 1 I(+) = + I(-) = I(*) = (Addition) (Subtraktion) (Multiplikation) Aussagenlogik F = { /0, /0, /1, /2, /2,... } U = B = {0, 1} I( ) = 1 I( ) = 0 I( ) = not I( ) = and... Reguläre Ausdrücke F = {ε/0, /0, +/2, /2, /1} { s/0 s Σ } U = 2 Σ I(ε) = {ε} I( ) = {} I(s) = {s} I(+) = I( ) = I( ) = 50

57 σ : V U... Wertebelegung für die Variablensymbole Semantik von Termen Der Wert eines Terms in einer Interpretation I mit Variablenbelegung σ wird festgelegt durch die Funktion val I,σ, definiert als: (v1) val I,σ (v) = σ(v) für v V; (v2) val I,σ (f ) = I(f ) für f /0 F; (v3) val I,σ (f (t 1,..., t n )) = I(f )(val I,σ (t 1 ),..., val I,σ (t n )) für f /n F, n > 0. Wert von (x+1)*(x+1+1) für σ(x) = 0 Arithmetik: U = Z, I 1 (1) = 1, I 1 (+) = +, I 1 (*) = val I1,σ((x+1)*(x+1+1)) = (0 + 1) ( ) = 2 Aussagenlogik: U = B, I 2 (1) = 1, I 2 (+) = or, I 2 (*) = and val I2,σ((x+1)*(x+1+1)) =and (or (0, 1), or (0, or (1, 1))) = 1 51

58 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 52

59 Prädikatenlogik Syntax V... Individuenvariablensymbole F, P... Funktions- bzw. Prädikatensymbole mit Stelligkeiten (F, P)... Signatur Syntax prädikatenlogischer Formeln Die Menge PF der prädikatenlogischen Formeln über der Signatur (F, P) ist die kleinste Menge, für die gilt: (p1) P PF, wenn P/0 P; (p2) P(t 1,..., t n ) PF, wenn P/n P und t 1,..., t n T (F, V); (p3), PF; (p4) F PF, wenn F PF; (p5) (F G) PF, wenn F, G PF und {,,,,,,, }. (p6) x F PF, wenn x V und F PF. (p7) x F PF, wenn x V und F PF. P, P(t 1,..., t n )... Atomformeln 53

60 x (Mensch(x) Sterblich(x)) ist eine Formel Mensch/1 und Sterblich/1 sind Prädikatensymbole. x V x V Mensch/1 P x T t1 x V Sterblich/1 P x T t1 p2 p2 Mensch(x) PF Sterblich(x) PF p5 (Mensch(x) Sterblich(x)) PF p6 x (Mensch(x) Sterblich(x)) PF 54

61 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 55

62 Prädikatenlogik Semantik Prädikatensymbole: repräsentieren Relationen bzw. Elementaraussagen Vordefinierte Symbole wie und : feste, unveränderliche Bedeutung (fix eingebaut in Formelsemantik) Freie Symbole: Interpretation durch Relationen bzw. Wahrheitswerte (Prädikatenlogische) Interpretation Eine Interpretation I über einem Wertebereich U ordnet jedem Symbol der Signatur (F, P) eine Funktion bzw. Relation wie folgt zu: I(f ) U für f /0 F I(f ): U n U für f /n F, n > 0 I(P) {0, 1} für P/0 P I(P) U n für P/n P, n > 0 I(P): U n {0, 1} (alternative Sichtweise) 56

63 Nullstellige Prädikatensymbole = Aussagenvariablen Zwei Interpretationsmöglichkeiten für P/0 P: I(P) = 0 oder I(P) = 1. Einstellige Prädikatensymbole = Typen, Klassen Sei Mann/1, Frau/1 P und U = {Andrea, Anna, Hans, Maria, Tom}. I(Mann) und I(Frau) als Mengen:... oder als Funktionen: I(Mann) = {Andrea, Hans, Tom} I(Frau) = {Andrea, Anna, Maria} x I(Mann)(x) I(Frau)(x) Andrea 1 1 Anna 0 1 Hans 1 0 Maria 0 1 Tom

64 Mehrstellige Prädikatensymbole = Relationen, Beziehungen Sei </2 P und U = N. I(<) als Menge: I(<) = { (m, n) m < n } = {(0, 1), (0, 2), (1, 2), (0, 3), (1, 3),... }... oder als Funktion: { 1 falls m < n I(<)(m, n) = 0 sonst Sei Plus/3 P und U = N. I(Plus) als Menge: I(Plus) = { (k, l, m) k + l = m }... oder als Funktion: = {(0, 0, 0), (1, 0, 1), (0, 1, 1), (2, 0, 2) (1, 1, 2) (0, 2, 2),... } I(Plus)(k, l, m) = { 1 falls k + l = m 0 sonst 58

65 Semantik prädikatenlogischer Formeln Der Wert einer Formel in einer Interpretation I mit Variablenbelegung σ wird festgelegt durch die Funktion val I,σ, definiert als: (v1) val I,σ (P) = I(P) für P/0 P; (v2) val I,σ (P(t 1,..., t n )) = I(P)(val I,σ (t 1 ),..., val I,σ (t n )) für P/n P; (v3) val I,σ ( ) = 1 und val I,σ ( ) = 0; (v4) val I,σ ( F ) = not val I,σ (F ); (v5) val I,σ ( (F G) ) = val I,σ (F ) val I,σ (G), wobei die logische Funktion zum Operator ist; { 1 falls vali,σ (F ) = 1 für alle σ x σ (v6) val I,σ ( x F ) = 0 sonst { 1 falls vali,σ (F ) = 1 für mind. ein σ x σ (v7) val I,σ ( x F ) = 0 sonst σ x σ... σ(v) = σ (v) für alle v V mit v x (σ und σ sind identisch, nur σ(x) und σ (x) können verschieden sein.) 59

66 x y P(x, s(y)) ist wahr... falls wir U = N, I(s)(n) := n 1 und I(P)(m, n) := (m = n) wählen (Variablenbelegungen σ beliebig): val I,σ ( x y P(x, s(y))) = 1 val I,σ ( y P(x, s(y)) = 1 für alle σ x σ val I,σ (P(x, s(y))) = 1 für mind. ein σ y σ und alle σ x σ I(P)(val I,σ (x), val I,σ (s(y))) = 1 für mind. ein σ y σ und alle σ x σ σ (x) = σ (y) 1 für mind. ein σ y σ und alle σ x σ Wir wählen jene Variablenbelegung σ, für die σ (y) = σ (x) + 1 gilt: σ (x) = (σ (x) + 1) 1 Gilt, daher ist x y P(x, s(y)) wahr in dieser Interpretation. 60

67 x y P(x, s(y)) ist falsch... falls wir U = N, I(s)(n) := n + 1 und I(P)(m, n) := (m = n) wählen (Variablenbelegungen σ beliebig): val I,σ ( x y P(x, s(y))) = 1 val I,σ ( y P(x, s(y)) = 1 für alle σ x σ val I,σ (P(x, s(y))) = 1 für mind. ein σ y σ und alle σ x σ I(P)(val I,σ (x), val I,σ (s(y))) = 1 für mind. ein σ y σ und alle σ x σ σ (x) = σ (y) + 1 für mind. ein σ y σ und alle σ x σ Problem: Für σ (x) = σ (x) = 0 besitzt die Gleichung keine Lösung in N: σ (x) σ (y) + 1 für alle σ y σ x y P(x, s(y)) ist daher falsch in dieser Interpretation. 61

68 Eine Formel F heißt erfüllbar, wenn val I,σ (F ) = 1 für mindestens ein I und ein σ (I und σ nennt man Modell von F ); widerlegbar, wenn val I (F ) = 0 für mindestens ein I und ein σ (I und σ nennt man Gegenbeispiel oder Gegenmodell zu F ); unerfüllbar, wenn val I (F ) = 0 für alle I und alle σ; (allgemein)gültig, wenn val I,σ (F ) = 1 für alle I und alle σ (F nennt man in diesem Fall auch Tautologie). F ist meist eine geschlossene Formel: alle Variablen sind durch Quantoren gebunden. Dann ist die Variablenbelegung irrelevant für den Formelstatus. x y P(x, s(y)) ist eine geschlossene Formel. y P(x, s(y)) ist eine offene Formel: x ist durch keinen Quantor gebunden. P(x) x P(x) ist offen: erstes Vorkommen von x ist ungebunden (frei). 62

69 Gültige Formeln Jede gültige Formel der Aussagenlogik liefert gültige PF-Formeln, wenn Aussagenvariablen durch PF-Formeln ersetzt werden, etwa: A A P(x) P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x y P(x, y) y x P(x, y) Unerfüllbare Formeln Jede unerfüllbare Formel der Aussagenlogik liefert unerfüllbare PF-Formeln, wenn Aussagenvariablen durch PF-Formeln ersetzt werden, etwa: A A P(x) P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) 63

70 Formeln, die sowohl erfüll- als auch widerlegbar sind P(x) P(y) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x P(x) x y (P(x, y) P(y, x)) 64

71 Äquivalenz, Konsequenz und Gültigkeit Semantische Äquivalenz Zwei Formeln F und G heißen äquivalent, geschrieben F = G, wenn val I,σ (F ) = val I,σ (G) für alle I und alle σ gilt. F 1,..., F n = I,σ G: Aus val I,σ (F 1 ) = = val I,σ (F n ) = 1 folgt val I,σ (G) = 1. Logische Konsequenz F 1,..., F n = G: F 1,..., F n = I,σ G gilt für alle I und σ. Die Formeln F und G sind äquivalent (F = G) genau dann, wenn F G eine gültige Formel ist. F 1,..., F n = G genau dann, wenn (F 1 F n ) G gültig. 65

72 Wichtige Äquivalenzen Neben den aussagenlogischen Äquivalenzen gelten auch noch folgende: x F = x F x F = x F x F [x] = y F [y] x F [x] = y F [y] x y F = y x F x y F = y x F x (F G) = x F x G x (F G) = x F x G Dualität von und Umbenennung gebundener Variablen Vertauschung gleichartiger Quantoren Distributivität / Distributivität / Falls x nicht frei in F vorkommt, gilt außerdem: x F = F x F = F x (F G) = F x G x (F G) = F x G Distributivität / Distributivität / 66

73 Das Lügnerparadoxon Ich behaupte: Ich lüge! Sage ich die Wahrheit? Wenn ich die Wahrheit sage, ist Ich lüge richtig, d.h., ich sage nicht die Wahrheit. Widerspruch! Wenn ich nicht die Wahrheit sage, ist Ich lüge falsch, d.h., ich sage die Wahrheit. Widerspruch! Das Kreter paradoxon Der Kreter Epimenides behauptet: Alle Kreter lügen!. Sagt Epimenides die Wahrheit? Wenn ja, lügen alle Kreter, also auch er. Widerspruch! Wenn nein, ist es falsch, dass alle Kreter lügen. Trugschluss: Alle Kreter sagen die Wahrheit! (Also auch Epimenides?) Richtig: Es gibt mindestens einen aufrichtigen Kreter. Kein Widerspruch. Falsch: = Richtig: = 67

74 Das Gültigkeitsproblem der Prädikatenlogik Gültigkeitsproblem Gegeben: prädikatenlogische Formel F Frage: Ist F gültig, d.h., gilt val I,σ (F ) = 1 für alle I und σ? Viele praktische Aufgaben lassen sich als Probleme der Prädikatenlogik formulieren, wie z.b. Verifikation von Software Wissensrepräsentation Die meisten prädikatenlogischen Fragen lassen sich als Gültigkeitsproblem formulieren. Problem: Das Gültigkeitsproblem der Prädikatenlogik ist unentscheidbar. Das bedeutet: Ist die Formel gültig, lässt sich mit verschiedenen Methoden ein Beweis finden (kann allerdings beliebig lange dauern). Ist die Formel nicht gültig, lässt sich das mit keiner Methode zuverlässig feststellen. Beweiser terminieren in diesem Fall meist nicht.68

75 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 69

76 Wahl der Prädikatenstelligkeit Max liest Zeitung. Nullstelliges Prädikat (Aussagenvariable): Max_liest_Zeitung Einstelliges Prädikat: Liest_Zeitung(max) Zweistelliges Prädikat: Liest(max, zeitung) Die beste Wahl hängt von den Umständen ab. Wähle ein eigenes Symbol für Satzteile, die öfter auftreten (können). 70

77 Zeit-, Eigenschafts- und Hauptwörter Sokrates ist sterblich. Möglichkeit 1: Hauptwort wird zum Prädikat. Sokrates_ist(sterblich) Möglichkeit 2: Zeit-/Eigenschaftswort wird zum Prädikat. Ist_sterblich(sokrates) Die zweite Möglichkeit ist fast immer die richtige. Mache Zeitwörter bzw. Eigenschaften zu Prädikatensymbole und Hauptwörter zu ihren Argumenten. 71

78 Fürwörter (Pronomen) Persönliche Fürwörter (ich, du, er, sie, es,... ) oder bezügliche Fürwörter (der, welcher,... ) vermeiden Wiederholungen und stellen Bezüge her. Mia liebt Max, der wiederum sie liebt. Umformung in Mia liebt Max und Max liebt Mia. ergibt die Formel Liebt(mia, max) Liebt(max, mia) Ersetze Fürwörter durch Namen. Wiederhole Satzteile, die durch Fürwörter ersetzt wurden. 72

79 Unbestimmte Fürwörter wie nichts ziehen Subjekt/Objekt und Negation zusammen. Nichts währt ewig. Trenne Verneinung und Subjekt: Es existiert nicht etwas, das ewig währt. Ergibt die Formel x Währt_ewig(x) Ich kann nichts sehen. x Kann_sehen(gernot, x) Führe Variablen für unbestimmte Fürwörter ein. Mache Negationen explizit. 73

80 Fürwörter und Bindewörter Vor mir ist etwas Großes, und es ist hungrig. Die zwei Teilsätze können nicht getrennt behandet werden: es bezieht sich auf etwas Großes. Die entsprechende Variable muss überall dieselbe sein. Es gibt etwas, das vor mir ist, das groß ist, und das hungrig ist. x (Befindet_sich_vor(x,gernot) Groß(x) Hungrig(x)) Erstrecken sich die Bezüge von Fürwörtern über Bindewörter hinweg, behandle die Fürwörter vor den Bindewörtern. 74

81 Quantoren, Typen und Beziehungen Jeder Student ist jünger als irgendein Professor. Identifiziere Objekt-/Personenarten und stelle sie durch einstellige Typprädikate dar. ist Student Stud(... ) ist Professor Prof (... ) Max ist Student. Gernot ist Professor. Jemand ist Student. Stud(max) Prof (gernot) Stud(x) Identifiziere Beziehungen (Relationen) und formalisiere sie durch mehrstellige Prädikatensymbole. ist jünger als Jünger(...,... ) Max ist jünger als Gernot. Jünger(max, gernot) 75

82 Quantoren, Typen und Beziehungen Jeder Student ist jünger als irgendein Professor. Verwende -Quantoren für alle / jede und -Quantoren für es gibt / jemand / irgendein. x (Stud(x) y (Prof (y) Jünger(x, y))) Für alle Individuen x gilt: Falls x ein Student ist, gibt es mindestens ein Individuum y, sodass y Professor ist und x jünger als y ist. 76

83 Funktionssymbole Jedes Kind ist jünger als seine Mutter. x ist ein Kind Kind(x) y ist Mutter von x Mutter(y, x) x y((kind(x) Mutter(y, x)) Jünger(x, y)) Diese Formalisierung berücksichtigt nicht, dass jedes Kind genau eine genetische Mutter hat. Besser: Fasse Mutter als Funktion auf, die jedem Kind seine eindeutig bestimmte Mutter zuordnet. Mutter von x mutter(x) x (Kind(x) Jünger(x, mutter(x)) 77

84 Alternierende Quantoren Vergleichen Sie: x y Mutter(y, x) Jeder hat eine Mutter. y hängt vom gewählten x ab. y x Mutter(y, x) Jemand ist die Mutter von allen. y ist unabhängig vom gewählten x. Vertauschung unterschiedlicher Quantoren ändert die Bedeutung! 78

85 Quantoren und Eigenschaften Alle vernünftigen Leute verabscheuen Gewalt. vernünftige x (x verabscheut Gewalt) x (Vernünftig(x) Verabscheut(x, gewalt)) (Zwischenschritt, ist keine Formel!) Eigenschaften -quantifizierter Variablen werden zu Prämissen einer Implikation. Es gibt vernünftige Leute, die Gewalt verabscheuen. vernünftige x (x verabscheut Gewalt) x (Vernünftig(x) Verabscheut(x, gewalt)) (Zwischenschritt, ist keine Formel!) Eigenschaften -quantifizierter Variablen werden zu Teilen einer Konjunktion. 79

86 Was Sie heute erwartet 6. Kontextfreie Grammatiken 6.1. Definition 6.2. Beispiele 6.3. Mehrdeutigkeit 6.4. Andere Notationen 6.5. Style Guide für Grammatiken 6.6. Grammatiken in freier Wildbahn 6.7. Jenseits der Kontextfreiheit 7. Prädikatenlogik 7.1. Motivation 7.2. Terme 7.3. Syntax 7.4. Semantik 7.5. Modellierung 8. Petri-Netze 80