Bruchrechnung (Abbildungen aus LS neu, Bd. 2)

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1 Didaktik der Algebra und Analysis SS Bruchrechnung (Abbildungen aus LS neu, Bd. 2) Aspekte der Bruchrechnung Einführung Verschiedene Aspekte von Brüchen: Bruchteile bei Größen Operator-Aspekt Zahl-Aspekt (Bruchzahl) Quotienten-Aspekt Äquivalenzklassen-Aspekt Kein Aspekt lässt sich in der unterrichtlichen Praxis vollständig durchziehen. In der Praxis ist daher eine vermischte Behandlung dieser Aspekte notwendig. Der nicht zu vermeidende Aspektwechsel, oft in der gleichen Aufgabe, macht für die SuS die Hauptschwierigkeit aus! Bruch- und Anteile Die SuS kennen einfache Bruchteile von der Grundschule her (die auch umgangssprachlich üblich sind): Eine halbe Stunde, ein halber Meter, Eine Zehntelsekunde (im Sport) Die Bruchteile sind aber stets in Verbindung mit Größen und Einheiten genannt. Ein Großteil des Rechnens mit Brüchen besteht darin,

2 Brüche zu vermeiden. Der Sinn, bei Größen stets in kleinere Einheiten umrechnen zu können, besteht darin, mit ganzen Zahlen rechnen zu können. Dies sollte auch immer wieder in mündlichem Training wiederholt und eingeübt werden! Bei Aufgabe 5 und 6 kommt der Bruchteile-Aspekt, bei Aufgabe 7 der Operatoraspekt zum Tragen ( von )! Ebenso bei Immer wieder: Diagramme und Schaubilder betrachten!

3 2.2.3 Zahl-Aspekt Ein erster Abstraktions-Schritt besteht darin, von zur Bruchzahl Der Weg dazu: 3 zu kommen. 4 Der Tank ist zu drei Viertel voll. Verfeinerung der Einteilung: 3 kg 4

4 Bei der Teilung einer Strecke in 3 Viertel bzw. 6 Achtel bzw. 9 Zwölftel ist der entsprechende Markierungspunkt stets an derselben Stelle. Das Gleiche geschieht an der Zahlengeraden. Äquivalenzklassenaspekt: [wissenschaftliche Formulierung: Zwei Brüche a/b und c/d sind äquivalent, wenn ad = bc ist.] Wissenschaftlich gesprochen kann man auf Grund dieser

5 Definition mit Äquivalenzklassen arbeiten. Anschaulich (aber immer noch wissenschaftlich) bedeutet dies: Zwei Brüche sind äquivalent, wenn sie auf der Zahlengeraden denselben Punkt markieren. Den Ausdruck äquivalent vermeidet man in der Schulbuchliteratur. In Schulbüchern formuliert man stattdessen (z. B. LS Bd 6 (graue Reihe)): Zu jedem Bruch gehört auf der Zahlengeraden ein bestimmter Punkt. Schwierigkeit: Zu verschiedenen Brüchen kann es denselben Punkt auf 3 der Zahlengeraden geben, z. B. markieren die Brüche 4 6 und denselben Punkt auf der Zahlengeraden. 8 Daraus: Idee des Erweiterns und Kürzens LS neu, Bd 2: Brüche, die durch Erweitern und Kürzen auseinander hervorgehen, werden auf der Zahlengeraden an derselben Stelle eingetragen. Sie bezeichnen dieselbe rationale Zahl.

6 Quotientenaspekt: Der Q-Aspekt wird im Zusammenhang nicht ausgeführter Divisionen angesprochen: Divisionen wie 2:3 konnten früher nicht ausgeführt werden. Wir lassen den Quotienten einfach stehen und wandeln 2 ihn in den Bruch um. 3 Der dauernde Aspektwechsel macht den SuS am meisten zu schaffen. Im neuen LS, Bd 2 wird an dieser Stelle die Dezimalschreibweise eingeführt: An dieser Stelle werden nur abbrechende Dezimalzahlen betrachtet. Für rationale Zahl in Dezimalschreibweise sagt man kurz Dezimalzahl.

7 Dezimalschreibweise bei Größen Aber Zeitspannen:

8 Vergleich von Bruchzahlen (und Dezimalzahlen) Rationale Zahlen mit dem Taschenrechner

9 Rechnen mit Brüchen! Vor allem Grundrechenarten: Addieren, Subtrahieren, Multiplizieren, Dividieren Beim Addieren sollten Sie die Möglichkeiten, Brüche zu veranschaulichen, ausnützen! Suchen Sie attraktive Aufgaben! Aufgaben (mit / ohne TR?)

10 Addieren und Subtrahieren beliebiger Brüche Addieren / Subtrahieren von Dezimalzahlen

11 Runden / Überschlagen mit Messwerten rechnen: Beispiel: 1,2 m + 0,68 m. Beim Addieren / Subtrahieren ist der ungenaueste Messwert maßgebend für die Genauigkeit. Fachsprache und Umgangssprache: Wir sind auf keinen gemeinsamen Nenner gekommen. Das schwache Weihnachtsgeschäft hat sich negativ ausgewirkt. Kompromiss nur auf kleinstem gemeinsamem Nenner. Die Vorzeichen haben sich geändert. Geschicktes Rechnen:

12 Eingschoben: Geometrie: Winkel, insbesondere Kreisdiagramm Weiter mit Bruchrechnung: Multiplizieren: Bruch mit ganzer Zahl Dividieren: Bruch durch ganze Zahl

13 Multiplizieren von Brüchen: formalisiert: Anteile von Anteilen: Multiplizieren von Brüchen Zähler mal Zähler, Nenner mal Nenner... viel einfacher als Addieren! Rechnung : 1 17/19 * 3 19/27 = 3 17/27???

14 Dividieren von Brüchen: Standardbeispiel: