Formelsammlung. für die Vorlesung. Elektromagnetische Felder und Wellen. Matthias Weber WS 2004/2005. zuletzt überarbeitet am 10.

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1 Formelsammlung für die Vorlesung Elektromagnetische Felder und Wellen Matthias Weber WS 2004/2005 zuletzt überarbeitet am 10. März 2007 Alle Angaben ohne Gewähr Bei Fehlern, Kritik, Anregungen und Lob: mat c Matthias Weber, Ulm

2 INHALTSVERZEICHNIS 1 Inhaltsverzeichnis 1 Bezeichnungen In Kapitel 2 eingeführte Größen und Bezeichnungen In Kapitel 3 eingeführte Größen und Bezeichnungen In Kapitel 4 eingeführte Größen und Bezeichnungen In Kapitel 5 eingeführte Größen und Bezeichnungen In Kapitel 6 eingeführte Größen und Bezeichnungen In Kapitel 7 eingeführte Größen und Bezeichnungen Mathematische Grundlagen Das Skalarprodukt Das Kreuzprodukt Gradient Divergenz Divergenz (Gradient) einer skalaren Funktion Divergenz einer Vektorfunktion Rotation Laplace Laplace einer skalaren Funktion Laplace einer Vektorfunktion Häufig benutzte Rechenregeln Norm eines Vektors Zylinderkoordinaten (x, y, z ρ, φ, z) Definitionsbereich der Zylinderkoordinaten Beziehungen zwischen kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten Das vektorielle Linienelement Die Flächenelemente Das Volumenelement Umrechnung in kartesische Koordinaten Abstand zweier Punkte Spezielle Beziehungen bei Zylinderkoordinaten Kugelkoordinaten (x, y, z θ, ϕ, r) Defintionsbereich der Kugelkoordinaten Beziehungen zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten Das vektorielle Linienelement Die Flächenelemente Das Volumenelement Umrechnung in kartesische Koordinaten Spezielle Beziehungen bei Kugelkoordinaten Sonstiges Lösungsansätze für Differentialgleichungen Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen Häufig benötigte Integrale Imaginäre E-Funktionen Herleitung der Maxwellschen Gleichungen Der Gaußsche Integralsatz Der Stokessche Integralsatz Das Coulombsche Gesetz Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Die elektrische Feldstärke Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern

3 INHALTSVERZEICHNIS Das Gaußsche Gesetz (3. Maxwell-Gleichung) Das Gaußsche Gesetz in Integralform Das Gaußsche Gesetz in Differentialform Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Das Biot-Savart-Gesetz Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Das magnetische Vektorpotential (4. Maxwell-Gleichung) Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Das Ampèresche Gesetz (Durchflutungsgesetz) Das Ampèresche Gesetz in Differentialform Das Ampèresche Gesetz in Integralform Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Das modifizierte Ampèregesetz (1. Maxwell-Gleichung) Das modifizierte Ampèregesetz in Differentialform Das modifizierte Ampèregesetz in Integralform Das Faradaysche Induktionsgesetz (2. Maxwell-Gleichung) Das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform Das Faradaysche Induktionsgesetz in Differentialform Die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum Die Kontinuitätsgleichung Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Die Lorentzkraft Elektrostatik Grundlegende Gesetze der Elektrostatik Energie, Potential, Feldstärke und Spannung Potentielle Energie im elektrischen Feld Potential und Spannung Feldstärke und Potential kontinuierlicher Ladungsverteilungen Feldstärke und Potential spezieller Ladungsverteilungen Feldstärke und Potential einer Punktladung im Ursprung Feldstärke und Potential einer Punktladung an einem beliebigen Ort Feldstärke und Potential einer Linienladung auf der z-achse Feldstärke einer Flächenladung in der Ebene z= Elektrische Leiter und Dielektrika Das Ohmsche Gesetz Dipole in Dielektrika Die elektrische Polarisation Die Polarisationsraumladungsdichte Die dielektrische Verschiebung D Die elektrische Suszeptibilität und die relative Dielektrizitätskonstante Potenzial-, Poisson- und Laplace-Gleichung Die Potenzialgleichung Die Poissongleichung Die Laplacegleichung Kapazität und Widerstand Kapazität eines Parallelplattenkondensators Kapazität eines Kugelkondensators Widerstand eines quaderförmigen Leiters

4 INHALTSVERZEICHNIS Energiedichte im elektrostatischen Feld Magnetostatik Grundlegende Gesetze der Magnetostatik Magnetfelder spezieller Anordnungen Magnetfeld eines geraden Stromfadens Magnetfeld bei zylindersymmetrischer Stromverteilung Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife Das magnetische Dipolmoment Magnetisches Dipolmoment eines geschlossenen Stromfadens Magnetisches Dipolmoment bewegter Punktladungen Magnetisierbare Materie Beitrag elektrischer Dipole zum Magnetfeld Beitrag magnetischer Dipole zum Magnetfeld Beitrag freier Ladungsträger zum Magnetfeld Gesamtmagnetfeld Das Magnetfeld H Die magnetische Suszeptibilität und die relative Permeabilität Das skalare magnetische Potential Energiedichte im magnetostatischen Feld Maxwell-Gleichungen und Wellengleichung Die Maxwell-Gleichungen in polarisierbarer Materie Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen Allgemeine Stetigkeitsbedingungen Stetigkeitsbedingungen zwischen 2 Dielektrika Das skalare elektrische Potential Eichtransformation Ziel einer Eichtransformation Transformationsgleichungen Die Coulomb-Eichung Die Lorentzeichung Die Wellengleichungen Die ungedämpfte homogene Wellengleichung Die ungedämpfte inhomogene Wellengleichung Die gedämpfte homogene Wellengleichung Wellengleichung für das elektrische Feld und die magnetische Induktion Brechzahl, Lichtgeschwindigkeit und Wellenvektor Brechzahl Lichtgeschwindigkeit Wellenvektor und Wellenzahl Die Dispersionsrelation Wellenausbreitung in Dielektrika Ebene elektromagnetische Wellen Monochromatische ebene Wellen Polarisation Linear polarisierte Welle Zirkular polarisierte Welle Elliptisch polarisierte Welle Elliptisch polarisierte Welle Energiedichte, Leistungsdichte und Poynting-Vektor

5 4 INHALTSVERZEICHNIS Elektromagnetische Energiedichte Die mechanische Leistungsdichte Der Poynting-Vektor Leistung Die Kontinuitätsgleichung der Energie Gruppen- und Phasengeschwindigkeit Reflexion und Brechung Brechungs- und Reflexionsgesetz TE- und TM-Wellen TE-Wellen TM-Wellen Amplituden bei Reflexion und Brechung für TE-Wellen Amplituden bei Reflexion und Brechung für TM-Wellen Brewster-Winkel Intensitätsreflexions- und Intensitätstransmissionsfaktoren Totalreflexion

6 HINWEISE 5 Hinweise: Die vorliegende Formelsammlung umfasst alle Themengebiete der Vorlesung Elektromagnetische Felder und Wellen, wie sie seit Inkrafttreten der DPO 2001 behandelt werden. Darüber hinaus gehende Stoffgebiete, die früher (vor der DPO 2001) Teil der Vorlesung waren und noch immer im (vollständigen) Skript enthalten sind, wurden beim Erstellen der Formelsammlung nicht berücksichtigt. Aufgrund des immensen Stoffumfangs der Vorlesung, hat auch die vorliegende Formelsammlung eine etwas unhandliche Größe. Um Formeln trotzdem möglichst schnell aufzufinden, verfügt das Dokument über ein ausführliches Inhaltsverzeichnis. Weil man sich in einer Formelsammlung mit 46 Seiten und 291 Formeln trotzdem schwer auf Anhieb zurecht findet, sollte ein Teil der Prüfungsvorbereitung darin bestehen das Vorlesungsskript und die Formelsammlung zusammen durchzuarbeiten. Nur so lässt sich der zum Rechnen von Prüfungsaufgaben notwendige Überblick über die Fülle der zusammengetragenen Formeln erreichen. Im vorliegenden Dokument werden keine Formeln hergeleitet, da dies nicht Aufgabe einer Formelsammlung ist. Bei einigen wenigen Formeln wird allerdings kurz darauf hingewiesen, woher die Formel kommt. Dies ist meistens nur dann der Fall, wenn dieses Wissen zum Verständnis der Formel nötig ist. Da in einem Abschnitt der Formelsammlung meistens eine Vielzahl von verschiedenen Formeln aufgeführt wird, werden die wichtigsten Zusammenhänge zu Gunsten der Übersichtlichkeit immer eingerahmt. Die vorliegende Formelsammlung hält sich bei ihren Bezeichnungen größtenteils an das Vorlesungsskript. Lediglich in einigen wenigen Fällen weicht die Formelsammlung von den Bezeichnungen des Skripts ab. Dies ist immer dann der Fall, wenn nach Meinung des Autors, die im Skript verwendeteten Bezeichnungen verwirrend oder unlogisch gewählt wurden und eine bessere Bezeichnung möglich war. Als Beispiel dienen hier die beiden Integralsätze von Stokes und Gauß. In beiden Sätzen taucht ein beliebiges Vektorfeld auf, dass jedoch im Vorlesungsskript das eine Mal mit T und das andere Mal mit C bezeichnet wird. Die vorliegende Formelsammlung hingegen bezeichnet beliebige Vektorfelder immer mit T, unter anderem auch um Verwechslungen mit der beliebigen, geschlossenen Kurve C zu vermeiden. Abhängigkeiten zwischen verschiedenen Größen (wie zum Beispiel beim E-Feld, welches vom jeweiligen Ortsvektor r abhängt) werden durch geschweifte Klammern gekennzeichnet (also E{ r}). Dies geschieht analog zum Vorlesungsskript und im Gegensatz zum häufigen Gebrauch von runden Klammern in der gängigen Literatur. Wie auch im Vorlesungsskript werden diese Abhängigkeiten aus Platzund Übersichtlichkeitsgründen jedoch nicht immer ausgeschrieben. Davon sollte sich der Leser jedoch nicht verwirren lassen. Beispielsweise handelt es sich bei ε 0 E{ r} = ϱ V { r} und ε 0 E = ϱ V lediglich um zwei verschiedene Schreibweisen für eine einzige Formel.

7 6 1 BEZEICHNUNGEN 1 Bezeichnungen 1.1 In Kapitel 2 eingeführte Größen und Bezeichnungen a b = Skalarprodukt der Vektoren a und b a b = Kreuzprodukt der Vektoren a und b t x = Partielle Ableitung nach der Zeit = Partielle Ableitung nach x (analog für y, z, φ, θ, oder ähnliches) e x = Einheitsvektor in x-richtung (analog für φ, θ, oder ähnliches) e y = Einheitsvektor in y-richtung (analog für φ, θ, oder ähnliches) e z = Einheitsvektor in z-richtung (analog für φ, θ, oder ähnliches) k = k = Norm des Vektors k k = Betrag des Vektors k k = konjugiert komplexer Vektor k d 3 r = dv = Volumenelement d 2 S = Flächenelement (Normalenvektor der Fläche SV ) d l = Linienelement der Kurve C r = Quellpunkt (Punkte, an denen sich Ladungen befinden) r = Aufpunkt (Punkte, an denen eine bestimmte Größe berechnet werden soll) i = imaginäre Einheit 1.2 In Kapitel 3 eingeführte Größen und Bezeichnungen V = Volumen V S = Fläche S C = beliebige, in sich geschlossene Kurve C S V = Fläche, die vom Volumen V begrenzt wird S C = Fläche, die von der Kurve C umschlossen wird T = beliebige Vektorfunktion F = Kraft E = Elektrische Feldstärke Q = Ladung Q V = Ladung innerhalb des Volumens V Q S t = Ladung Q, die in der Zeit t durch die Fläche S hindurchtritt

8 1 BEZEICHNUNGEN 7 ε 0 = Dielektrizitätszahl des Vakuums µ 0 = Permeabilität des Vakuums ϱ V = Raumladungsdichte j V = Volumenstromdichte j D = Verschiebungsstromdichte I = Stromstärke I C = Strom, der durch die von der Kurve C berandete Fläche fließt B = Magnetische Induktion A = Magnetisches Vektorpotenzial emf = Elektromotorische Kraft v = Geschwindigkeit 1.3 In Kapitel 4 eingeführte Größen und Bezeichnungen W pot = Potentielle Energie V = Elektrisches Potential U = Elektrische Spannung n = Normalenvektor ϱ V = Raumladungsdichte ϱ S = Flächenladungsdichte ϱ L = Linienladungsdichte ϱ frei = Raumladungsdichte der freien Ladungsträger ϱ P = Polarisationsraumladungsdichte Q frei = Ladung der freien Ladungsträger σ = Leitfähigkeit p = Dipolmoment P = Elektrische Polarisation D = Dielektrische Verschiebung

9 8 1 BEZEICHNUNGEN χ e = Elektrische Suszebtibilität ε = Relative Dielektrizitätszahl C = Kapazität R = Ohmscher Widerstand S = Fläche der Platten eines Plattenkondensators d = Abstand der Platten eines Plattenkondensators w el = Elektrische Energiedichte 1.4 In Kapitel 5 eingeführte Größen und Bezeichnungen m = Magnetisches Dipolmoment M = Magnetisierung L = Drehimpuls m = Masse q = Elementarladung j V = Volumenstromdichte j S = Flächenstromdichte j Pol = Polarisationsstromdichte j magn = Magnetisierungsstromdichte j frei = Stromdichte der freien Ladungsträger A = Magnetisches Vektorpotential A magn = Beitrag der Magnetisierungsstromdichte zum Vektorpotential A frei = Beitrag der freien Stromdichte zum Vektorpotential H = Magnetfeld χ m = Magnetische Suszebtibilität µ = Relative Permeabilität Φ M = Skalares magnetisches Potential w magn = Magnetische Energiedichte

10 1 BEZEICHNUNGEN In Kapitel 6 eingeführte Größen und Bezeichnungen n = Normalenvektor E tan = Tangentialkomponente des E-Feldes (analog für D, B und H) E norm = Normalenkomponente des E-Feldes (analog für D, B und H) Φ el = Skalares elektrisches Potential Λ = Eichfunktion Ψ = Variable in der Wellengleichung (Platzhalter für andere Größen) g = Variable in der Wellengleichung (Platzhalter für andere Größen) c = Lichtgeschwindigkeit c 0 = Vakuumlichtgeschwindigkeit n = Brechzahl k 0 = Vakuumwellenzahl k = Wellenzahl k = Wellenvektor e k = Einheitswellenvektor ω = Kreisfrequenz 1.6 In Kapitel 7 eingeführte Größen und Bezeichnungen Z = Wellenwiderstand Re{...} = Realteil einer Funktion t = Zeit ϕ = Nullphase E 0 = Amplitudenvektor des E-Feldes (analog für das H-Feld) E 0 = Amplitude des E-Feldes (analog für das H-Feld) E 0x = Amplitude des E-Feldes in x-richtung (analog für H) E 0y = Amplitude des E-Feldes in y-richtung (analog für H) E 0z = Amplitude des E-Feldes in z-richtung (analog für H) δ = Phasenunterschied

11 10 1 BEZEICHNUNGEN w = Elektrostatische Energiedichte w mech = Mechanische Leistungsdichte S = Poynting-Vektor S = zeitgemittelter Poynting-Vektor S 0 = komplexer Poynting-Vektor c gr = Grupengeschwindigkeit c ph = Phasengeschwindigkeit β = Ausbreitungskoeffizient kin = Einfallender Wellenvektor (analog für H und E) kref = Reflektierter Wellenvektor (analog für H und E) ktr = Transmittierter Wellenvektor (analog für H und E) ϕ ref = Winkel der reflektierten Welle gegenüber der Einfallsebene ϕ tr = Winkel der transmittierten Welle gegenüber der Einfallsebene θ in = Winkel der einfallenden Welle gegenüber dem Einfallslot θ ref = Winkel der reflektierten Welle gegenüber dem Einfallslot ϕ tr = Winkel der transmittierten Welle gegenüber dem Einfallslot r = Reflexionsfaktor t = Transmissionsfaktor R = Intensitätsreflexionsfaktor T = Intensitätstransmissionsfaktor θ ib = Brewster-Winkel θ gr = Grenzwinkel der Totalreflexion

12 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 11 2 Mathematische Grundlagen Im folgenden Kapitel gilt: f sei eine skalare Funktion. A sei beliebige eine Vektorfunktion A = Ax e x + A y e y + A z e z = 2.1 Das Skalarprodukt x 1 y 1 x 2 y 2 z 1 z 2 Das Skalarprodukt zweier orthogonaler Vektoren gibt 0. A x A y A z. = x 1 x 2 + y 1 y 2 + z 1 z 2 (1) 2.2 Das Kreuzprodukt a b c d e f = bf ce cd af ae bd (2) Vorausgesetzt die Vektoren a, b und c haben alle den Betrag 1 und bilden ein Rechtssystem (das heißt alle 3 Vektoren stehen senkrecht aufeinander), so gilt: c = a b und b = c a und a = b c (3) 2.3 Gradient Der Gradient ist gleichbedeutend mit: = x e x + y e y + z e z = x y z (4) 2.4 Divergenz Divergenz (Gradient) einer skalaren Funktion f = x f e x + y f e y + z f e x f z = y f (5) z f Wendet man den Gradienten auf eine skalare Funktion an, ergibt sich eine Vektorfunktion Divergenz einer Vektorfunktion div A = A = x A x + y A y + z A z (6) Wendet man den Gradienten auf eine Vektorfunktion an, ergibt sich eine skalare Funktion. Ein Feld ist divergenz-, oder quellenfrei, wenn gilt: A = 0 (7)

13 12 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN 2.5 Rotation A = ( y A z z A y ) ( e x + z A x x A z y A z z A y z A x x A z x A y y A x ) ( e y + x A y ) y A x e z = (8) Die Rotation einer Vektorfunktion ergibt wiederum eine Vektorfunktion. Ein Feld ist rotations-, oder wirbelfrei, wenn gilt: 2.6 Laplace Laplace einer skalaren Funktion A = 0 (9) f = ( )f = 2 x 2 f + 2 y 2 f + 2 z 2 f (10) Laplace einer skalaren Funktion ergibt wiederum eine skalare Funktion Laplace einer Vektorfunktion 2 A = ( ) A x A 2 x + 2 y A 2 x + 2 z A 2 x = 2 x A 2 y + 2 y A 2 y + 2 z A 2 y 2 x A 2 z + 2 y A 2 z + 2 z A 2 z Laplace einer Vektorfunktion ergibt wiederum eine Vektorfunktion. 2.7 Häufig benutzte Rechenregeln (11) ( A) = ( A) A (12) ( f) = 0 (13) ( A) = 0 (14) (f A) = f A + A f (15) (f A) = f A + ( f) A (16) ( A B) = ( B ) A + ( A ) B + A ( B) + B ( A) (17) ( A B) = ( B ) A ( A ) B + ( B) A ( A) B (18) 2.8 Norm eines Vektors ( A B) = B A A B (19) Die Norm eines Vektors ist folgendermaßen definiert: k 2 = k 2 = k k (20) Im Gegensatz dazu ist der Betrag eines Vektors gegeben durch: mit dem komplex konjugierten Vektor k. k 2 = k k (21)

14 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Zylinderkoordinaten (x, y, z ρ, φ, z) Hinweis: Sowohl bei den Zylinderkoordinaten, als auch bei den Kugelkoordinaten dient der griechische Buchstabe Phi als Abkürzung für die Azimutalkomponente. Zur besseren Unterscheidbarkeit der beiden speziellen Koordinatensysteme werden zwei verschiedene Schreibweisen für den Buchstaben Phi verwendet. Bei den Zylinderkoordinaten wird die Azimutalkomponente also mit φ, bei den Kugelkoordinaten mit ϕ bezeichnet Definitionsbereich der Zylinderkoordinaten z e z e Der Definitionsbereich ist gegeben durch: x e y 0 ρ <, Radialkomponente 0 φ 2π, Azimutalkomponente < z <, Longitudinalkomponente Beziehungen zwischen kartesischen Koordinaten und Zylinderkoordinaten ρ = x 2 + y 2 (22) x = ρ cos{φ} (23) y = ρ sin{φ} (24) z = z (25) cos{φ} = x ρ = x x2 + y 2 (26) sin{φ} = y ρ = y x2 + y 2 (27) Das vektorielle Linienelement d l = dρ e ρ + ρ dφ e φ + dz e z (28) dl 2 = dρ 2 + ρ 2 dφ 2 + dz 2 (29) Die Flächenelemente ρ dφ dz e ρ d 2 S = dρ dz e φ ρ dρ dφ e z Das Volumenelement auf den Flächen ρ = konstant, auf den Flächen φ = konstant, auf den Flächen z = konstant. (30) d 3 r = dv = ρ dρ dφ dz (31)

15 14 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Umrechnung in kartesische Koordinaten e ρ cos{φ} sin{φ} 0 e φ = sin{φ} cos{φ} 0 e x e y (32) e z e z e x cos{φ} sin{φ} 0 e y = sin{φ} cos{φ} 0 e ρ e φ (33) e z e z Abstand zweier Punkte Die Vektordifferenz r r wird in Zylinderkoordinaten folgendermaßen berechnet: r r = (ρ ρ cos{φ φ }) e ρ + ρ sin{φ φ } e φ + (z z ) e z (34) Somit ist der Abstand über folgende Beziehung gegeben: r r = ρ 2 + ρ 2 2ρρ cos{φ φ } + (z z ) 2 (35) Das Betragsquadrat ergibt sich zu: r r 2 = ρ 2 + ρ 2 2ρρ cos{φ φ } + (z z ) 2 (36) Spezielle Beziehungen bei Zylinderkoordinaten V = gradv = V ρ e ρ + 1 V ρ φ e φ + V z e z (37) B = divb = 1 ρ B ρ + ρ B ρ + 1 ρ φ B φ + z B z = 1 ρ ρ (ρb ρ) + 1 ρ φ B φ + z B z (38) = 1 [ ρ ρ (ρb ρ) + φ B φ + ] z (ρb z) B = V = V = 1 ρ ρ V + 2 ρ 2 V ρ 2 φ 2 V + 2 z 2 V (39) = 1 (ρ ρ ) ρ ρ V + 1ρ 2 2 φ 2 V + 2 z 2 V B = rot B = = ( B ρ 1 ρ 2 B ρ 2 ρ 2 [ 1 ρ φ B z ] [ z B φ e ρ + z B ρ ] ρ B z e φ [ 1 + ρ B φ + ρ B φ 1 ] ρ φ B ρ e z (40) [ 1 ρ φ B z ] [ z B φ e ρ + z B ρ ] ρ B z e φ + 1 [ ρ ρ (ρb φ) ] φ B ρ e z ) ( φ B φ e ρ + B φ 1 ρ 2 B φ + 2 ρ 2 ) φ B ρ e φ + B z e z (41)

16 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Kugelkoordinaten (x, y, z θ, ϕ, r) Defintionsbereich der Kugelkoordinaten x z r e r e e y Der Definitionsbereich ist gegeben durch: 0 θ π, Polarkomponente 0 ϕ 2π, Azimutalkomponente 0 r <, Radialkomponente Beziehungen zwischen kartesischen Koordinaten und Kugelkoordinaten r = x 2 + y 2 + z 2 (42) x = r sin{θ} cos{ϕ} (43) x = r sin{θ} sin{ϕ} (44) z = r cos{θ} (45) r e r = x e x + y e y + z e z (46) cos{ϕ} = x x2 + y 2 (47) sin{ϕ} = y x2 + y 2 (48) cos{θ} = z r (49) sin{θ} = sin{θ} cos{ϕ} = x r x2 + y 2 r 2 (50) (51) sin{θ} sin{ϕ} = y r (52) Das vektorielle Linienelement d l = dr e r + r sin{θ} dϕ e ϕ + r dθ e θ (53) dl 2 = dr 2 + r 2 dθ 2 + r 2 sin 2 {θ} dϕ 2 (54) Die Flächenelemente r 2 sin{θ} dθ dϕ e r d 2 S = r dr dθ e ϕ r sin{θ} dr dϕ e θ Das Volumenelement auf den Flächen r = konstant, auf den Flächen ϕ = konstant, auf den Flächen θ = konstant. (55) d 3 r = dv = r 2 sin{θ} dr dϕ dθ (56)

17 16 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Umrechnung in kartesische Koordinaten e r sin{θ} cos{ϕ} sin{θ} sin{ϕ} cos{θ} e θ = cos{θ} cos{ϕ} cos{θ} sin{ϕ} sin{θ} e x e y (57) e ϕ sin{ϕ} cos{ϕ} 0 e z e x sin{θ} cos{ϕ} cos{θ} cos{ϕ} sin{ϕ} e y = sin{θ} sin{ϕ} cos{θ} sin{ϕ} cos{ϕ} e r e θ (58) e z cos{θ} sin{θ} 0 e ϕ Spezielle Beziehungen bei Kugelkoordinaten V = gradv = V r e 1 V r + r sin{θ} ϕ e ϕ + 1 V r θ e θ (59) B = divb = 2 r B r + r B 1 r + r sin{θ} ϕ B 1 ϕ + r tan{θ} B θ + 1 r θ B θ = 1 1 r 2 r (r2 B r ) + r sin{θ} ϕ B 1 ϕ + r sin{θ} θ (sin{θ}b θ)(60) [ 1 = r 2 sin{θ} r (r2 sin{θ}b r ) + ϕ (rb ϕ) + ] θ (r sin{θ}b θ) V = V = 2 r B = B = rot B = r V + 2 r 2 V + 1 r 2 tan{θ} θ V r 2 θ 2 V 1 + r 2 sin 2 {θ} ϕ 2 V (61) = 1 (r 2 r ) r 2 r V 1 + (sin{θ} θ ) r 2 sin{θ} θ V = r 2 sin 2 {θ} ϕ 2 V 2 [ 1 r tan{θ} B ϕ + 1 ] r θ B 1 ϕ r sin{θ} ϕ B θ e r [ 1 + r sin{θ} ϕ B r 1 r B ϕ ] r B ϕ e θ [ 1 + r B θ + r B θ 1 ] r θ B r e ϕ (62) [ 1 r 2 sin{θ} θ (r sin{θ}b ϕ) ] ϕ (rb θ) e r + 1 [ r sin{θ} ϕ B r ] r (r sin{θ}b ϕ) e θ + 1 [ r r (rb θ) ] θ B r e ϕ [ B r 2 ] r 2 B 2 r r sin{θ} θ (sin{θ}b 2 θ) r 2 sin{θ} ϕ B ϕ e r [ 2 + B ϕ + r 2 sin{θ} ϕ B r + 2 cos{θ} r 2 sin 2 {θ} ϕ B 1 θ r 2 sin 2 {θ} B ϕ [ + B θ + 2 r 2 θ B 1 r r 2 sin 2 {θ} B θ 2 cos{θ} r 2 sin 2 {θ} ϕ B ϕ ] e ϕ ] e θ (63)

18 2 MATHEMATISCHE GRUNDLAGEN Sonstiges Lösungsansätze für Differentialgleichungen Für die DGL 2 x 2 V + c V = 0 (64) eignet sich der folgende Lösungsansatz: V = A exp{iλx} + B exp{ iλx} (65) Trigonometrische Funktionen und Hyperbelfunktionen sin z = eiz e iz 2i cos z = eiz + e iz 2 (66) (67) Häufig benötigte Integrale sin 2 ax dx = 1 2 x 1 4a Imaginäre E-Funktionen sin 2ax (68) cos 2 ax dx = 1 2 x + 1 sin 2ax (69) 4a Das heißt zum Beispiel: e x+iy = e x (cos y + i sin y) (70) e i π 2 = i (71)

19 18 3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN 3 Herleitung der Maxwellschen Gleichungen 3.1 Der Gaußsche Integralsatz T { r} d 3 r = V S V T { r} d 2 S (72) 3.2 Der Stokessche Integralsatz ( T { r}) d 2 S = T { r} d l (73) S C Der Stokessche Integralsatz gilt nur dann, wenn das Vektorfeld über das integriert wird, keine Polstellen enthält. C 3.3 Das Coulombsche Gesetz Q 1 (r -r ) 2 1 Q 2 F 12 r1 r 2 Ursprung Das Coulombsche Gesetz ist gegeben durch folgenden Zusammenhang: F 12 { r} = Q 1Q 2 4πε 0 r 2 r 1 r 2 r 1 3 (74) Die Kraft F 12 ist dabei die durch Q 1 auf Q 2 ausgeübte Kraft. Die entgegengesetzte Kraft F 21 auf Q 1 ist gleich groß, wie F 12, hat aber ein negatives Vorzeichen. Bei mehr als 2 Ladungen, ergibt sich die Gesamtkraft, durch Überlagerung, also Summieren der Einzelkräfte: F { r} = Q 4πε 0 N i=1 Q i ( r r i ) r r i 3 (75) Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Bei zeitabhängigen Feldern verliert das Coulombsche Gesetz seine Gültigkeit.

20 3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN Die elektrische Feldstärke Die elektrische Feldstärke ist gegeben durch folgende Defintion: E{ r} = F { r} Q{ r} (76) Das Coulombsche Gesetz oben eingesetzt, besagt somit, dass eine Ladung Q, die sich am Ort r befindet, an einem beliebigen Ort r die Feldstärke erzeugt. E{ r} = Q 4πε 0 ( r r ) r r 3 (77) Bei mehr als 2 Ladungen verändert sich die Gleichung zu: E{ r} = F { r} Q{ r} = N i=1 E i ( r) = N i=1 Q i ( r r i ) 4πε 0 r r i 3 (78) Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Bei zeitabhängigen Feldern verliert das Coulombsche Gesetz seine Gültigkeit. 3.5 Das Gaußsche Gesetz (3. Maxwell-Gleichung) Das Gaußsche Gesetz in Integralform S V E{ r} d 2 S = 1 ε 0 V ϱ V { r }d 3 r = Q V ε 0 (79) Das Gaußsche Gesetz in Differentialform Durch Anwendung des Gaußschen Integralsatzes (Gleichung (72)) auf Gleichung (79), ergibt sich die Differentialform des Gaußschen Gesetzes: ε 0 E{ r} = ϱ V { r} (80) Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Bei zeitabhängigen Feldern behält das Gaußsche Gesetz, wie alle Maxwell- Gleichungen seine Gültigkeit.

21 20 3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN 3.6 Das Biot-Savart-Gesetz Zur Aufstellung des Biot-Savart-Gesetz muss zunächst die Stromdichte j V folgendermaßen definiert werden: Der Strom selbst ist dann gegeben durch: I = j V d 2 S = S j V { r} = ϱ V { r} v{ r} (81) V j V d 3 r = Q S t (82) Das Biot-Savart-Gesetz schließlich ist gegeben durch folgenden Zusammenhang: µ0 B{ r} = 4π V j V { r } ( r r ) r r 3 d 3 r (83) Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Bei zeitabhängigen Feldern verliert das Biot-Savart-Gesetz seine Gültigkeit. 3.7 Das magnetische Vektorpotential (4. Maxwell-Gleichung) Das Biot-Savart-Gesetz lässt sich mit einigen Umformungen auch wie folgt schreiben: µ0 j V { r B{ r} } = 4π r r d3 r (84) Wir führen das magnetische Vektorpotential A{ r} folgendermaßen ein: A{ r} = µ0 4π j V { r } r r d3 r (85) A ist dabei eine reine Hilfsgröße, ohne direkte physikalische Bedeutung. Mit ihr vereinfacht sich jedoch das Biot-Savart-Gesetz zu: B{ r} = A{ r} (86) Laut den Gleichungen (14) und (86) gilt nun: B{ r} = ( A{ r}) = 0 (87) Dies ist die 4. Maxwell-Gleichung. Sie besagt, dass Magnetfelder grundsätzlich quellenfrei sind Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Auch die 4. Maxwell-Gleichung behält ihre Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern.

22 3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN Das Ampèresche Gesetz (Durchflutungsgesetz) Das Ampèresche Gesetz in Differentialform B{ r} = µ 0 j V { r} (88) Das Ampèresche Gesetz in Integralform Wendet man den Stokesschen Integralsatz (Gleichung (73)) auf Gleichung (88) an, so erhält man die integrale Form des Ampèreschen Gesetz: ( B{ r} d l = B{ r}) d 2 S = µ0 j V { r} d 2 S = µ0 I C (89) C S C S C Das Ampère-Gesetz besagt damit, dass das geschlossene Linienintegral der magnetischen Induktion bis auf den Faktor µ 0 gleich dem durch die umschlossene Fläche fließenden Strom ist Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Das Ampèresche Gesetz gilt nur im statischen Fall, also wenn gilt: ϱ V t = 0 Es kann jedoch für den zeitabhängigen Fall modifiziert werden: 3.9 Das modifizierte Ampèregesetz (1. Maxwell-Gleichung) Das modifizierte Ampèregesetz in Differentialform ( B{ r} = µ 0 j V { r} + ε ) E{ r} 0 t (90) mit der Verschiebungsstromdichte j D : j D { r} = ε 0 E{ r} t (91) Das modifizierte Ampèregesetz in Integralform Durch Anwendung des Stokesschen Integralsatzes erhält man das modifizierte Ampèregesetz in Integralform: C ( B{ r} d l = B{ r}) ( d 2 S = µ0 j V { r} + ε ) E{ r} 0 d 2 S t S C S C (92)

23 22 3 HERLEITUNG DER MAXWELLSCHEN GLEICHUNGEN 3.10 Das Faradaysche Induktionsgesetz (2. Maxwell-Gleichung) Das Faradaysche Induktionsgesetz in Integralform emf = C E{ r} d l = d dt S C B{ r} d 2 S (93) Das Faradaysche Induktionsgesetz in Differentialform Durch Anwendung des Stokesschen Integralsatzes erhält man das Faraday- Gesetz in Differentialform: E{ r} = B{ r} t (94) 3.11 Die Maxwell-Gleichungen für das Vakuum Nun wurden alle 4 Maxwell-Gleichungen für das Vakuum sowohl in integraler, als auch in differentieller Form hergeleitet. Hier noch einmal eine Übersicht über die Gleichungen in der wichtigeren, differentiellen Schreibweise: 1. Maxwell-Gleichung B = µ 0 ( j V + ε 0 E t ) Ampère-Gesetz 2. Maxwell-Gleichung E = B t Faraday-Gesetz 3. Maxwell-Gleichung E = 1 ε 0 ϱ V Gaußsches Gesetz 4. Maxwell-Gleichung B = 0 - Neben dem Coulombgesetz, dem Biot-Savart-Gesetz und den 4 Maxwell-Gleichungen hat sowohl die Kontinuitätsgleichung, als auch die Lorentzkraft eine große Bedeutung: 3.12 Die Kontinuitätsgleichung Die Kontinuitätsgleichung ist die mathematische Formulierung des Prinzips der Erhaltung der elektrischen Ladung. ϱ V { r, t} t + j V { r, t} = 0 (95) Gültigkeit bei zeitabhängigen Feldern Die Kontinuitätsgleichung ist allgemein gültig Die Lorentzkraft Die Lorentzkraft liefert eine Verbindung der Größen E, B und F : F = Q E + Q( v B) (96)

24 4 ELEKTROSTATIK 23 4 Elektrostatik 4.1 Grundlegende Gesetze der Elektrostatik Neben dem Coulombschen Gesetz für die Kraft und die Feldstärke gelten in der Elektrostatik folgende vereinfachende Bedingungen: Die Maxwell-Gleichungen vereinfachen sich zu: t = 0 (97) j = 0 (98) ϱ t = 0 (99) B = 0 (100) F Lorentz = Q E (101) E = 0 (102) E = ϱ V ε 0 (103) 4.2 Energie, Potential, Feldstärke und Spannung Potentielle Energie im elektrischen Feld Um eine Ladung Q von einem Anfangspunkt r a zu einem Endpunkt r zu bringen, muss folgende Arbeit aufgewendet werden: r W pot = Q r a E d l (104) Da kein Perpetuum mobile exisitieren kann, gilt bei einer geschlossenen Kurve: E d l = 0 (105) Potential und Spannung Das elektrische Potential ist wie folgt definiert: C V ra, r = dw pot dq r = V ( r a) r a E d l = r r a = E d l (106) mit dem häufig gewählten Bezugspunkt: V ( r a = ) = 0.

25 24 4 ELEKTROSTATIK In differentieller Form geschrieben lautet das Gesetz: E{ r} = V { r} (107) Die Spannung zwischen 2 Punkten r 1 und r 2 ergibt sich als Potentialdifferenz: r 2 U 21 = V ( r 2 ) V ( r 1 ) = r 1 E d l (108) Feldstärke und Potential kontinuierlicher Ladungsverteilungen Für das E-Feld einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ϱ V im Ort r gilt: E{ r} = 1 4πε 0 V ϱv { r }( r r ) r r 3 d 3 r (109) Für das Potential einer kontinuierlichen Ladungsverteilung ϱ V im Ort r gilt: V { r} = 1 4πε 0 V ϱv { r } r r d3 r (110) Feldstärke und Potential spezieller Ladungsverteilungen Feldstärke und Potential einer Punktladung im Ursprung Für das E-Feld einer Punktladung im Ursprung ergibt sich in Kugelkoordinaten: E{ r} = Q 4πε 0 r 2 e r (111) In kartesischen Koordinaten ergibt sich der weitaus kompliziertere Ausdruck: Q E{x, y, z} = x 4πε 0 (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 y (112) 2 z Für das Potential ergibt sich: V { r} = Q 1 4πε 0 r (113)

26 4 ELEKTROSTATIK Feldstärke und Potential einer Punktladung an einem beliebigen Ort Für das E-Feld einer Punktladung am Ort r gilt: E{ r} = Für das Potential einer Punktladung am Ort r gilt: Q ( r r ) 4πε 0 r r 3 (114) V { r} = Q 1 4πε 0 r r (115) Bei mehreren Punktladungen, ergibt sich das Potential durch Superposition: V { r} = N i=1 Q i 4πε 0 1 r r i (116) Feldstärke und Potential einer Linienladung auf der z-achse Für eine Linienladungsdichte auf der z-achse ist die Raumladungsdichte gegeben durch: ϱ V { r} = ϱ L {z} δ(x) δ(y) (117) Das E-Feld ergibt sich zu: E{ r} = ϱ L 2πε 0 (x 2 + y 2 ) x y 0 = ϱ L 2πε 0 ρ e ρ (118) Für das Potential gilt: V { r} = V (ρ 0 ) + ϱ ( ) L ρ0 ln 2πε 0 ρ (119) Feldstärke einer Flächenladung in der Ebene z=0 Für eine Flächenladung in der Ebene z=0 ist die Raumladungsdichte gegeben durch: ϱ V { r} = ϱ S δ(z) (120) Das E-Feld ergibt sich zu: E{ r} = ϱ S 2ε z z = ϱ S 2ε 0 n (121)

27 26 4 ELEKTROSTATIK 4.3 Elektrische Leiter und Dielektrika Das Ohmsche Gesetz j Ohm = σ E (122) Dipole in Dielektrika Dielektrika besitzen keine beweglichen Ladungsträger, allerdings verschiebt sich im äußeren elektrischen Feld die negativ geladene Elektronenhülle leicht gegenüber den positiv geladenen Atomrümpfen. Es bilden sich Dipole aus. +Q d + -Q - (r-r ) V(r) r r Ursprung Nach der obigen Abbildung definiert man das sogenannte Dipolmoment: p = Qd (123) wobei der Vektor d immer von der negativen zur positiven Ladung zeigt. Bei n Dipolen in einem Volumen V gilt für das Gesamtdipolmoment: n p ges = p i (124) Die elektrische Polarisation Die elektrische Polarisation wird als Dipolmoment pro Volumen definiert: i=1 P { r} = lim V 0 1 V n i=1 p i = d p ges dv (125) Für n gleiche elementare Dipole p = p i = Q d gilt: Das Potential einer Dipolverteilung ist gegeben durch: P = nq d (126) P { r } ( r r ) V { r} = 4πε 0 r r 3 d3 r (127) V

28 4 ELEKTROSTATIK Die Polarisationsraumladungsdichte Wir betrachten nun einen Körper in dem frei bewegliche Ladungen der Ladungsdichte ϱ frei und ortsfeste Dipole der Polarisation P vorhanden sind. Das Potential dieses Modells lautet: V { r} = V 0 + mit der Polarisationsraumladungsdichte: ϱfrei { r } P { r } 4πε 0 r r d 3 r (128) Es gilt: ϱ P = P (129) ϱ V = ϱ frei + ϱ P = ϱ frei P (130) 4.4 Die dielektrische Verschiebung D Man führt nun die dielektrische Verschiebung wie folgt ein: D = ε 0 E + P (131) Somit ergibt sich das Gaußsche Gesetz für die dielektrische Verschiebung: D = ε 0 E + P = ϱ V ϱ P = ϱ frei (132) Das Oberflächenintegral über D ist gleich der gesamten freien Ladung im Volumen: D d 2 S = ϱ frei { r}d 3 r = Q frei (133) S V Die elektrische Suszeptibilität und die relative Dielektrizitätskonstante Die Ausbildung elementarer Dipole in Dielektrika ist in vielen Fällen eine Reaktion auf ein äußeres Feld. Deshalb gilt in isotropen Materialien: Für die dielektrische Verschiebung folgt: P = χ e ε 0 E (134) D = ε 0 E + χe ε 0 E = (1 + χe )ε 0 E = εε0 E (135) mit der relativen Dielektrizitätskonstante: ε = ε{ r} = 1 + χ e (136)

29 28 4 ELEKTROSTATIK 4.5 Potenzial-, Poisson- und Laplace-Gleichung Die Potenzialgleichung In linearen, isotropen Medien gilt die Potenzialgleichung: ε{ r}ε 0 V { r} + ε 0 ε{ r} V { r} = ϱ frei { r} (137) Die Poissongleichung In homogenen Medien ist ε{ r} konstant und es gilt die Poissongleichung: V { r} = ϱ frei{ r} εε 0 (138) Die Laplacegleichung In raumladungsfreien Gebieten ist ϱ frei = 0 und es gilt die Laplacegleichung: V { r} = 0 (139) 4.6 Kapazität und Widerstand Kapazität eines Parallelplattenkondensators C = εε 0S d (140) Kapazität eines Kugelkondensators C = 4πεε 0 1 r 1 1 r 2 (141) wobei r 1 der Radius der inneren und r 2 der Radius der äußeren Kugel ist Widerstand eines quaderförmigen Leiters Der Widerstand eines quaderförmigen Leiters der Länge l mit Querschnittsfläche S und konstantem E-Feld ist: R = l (142) σs 4.7 Energiedichte im elektrostatischen Feld w el = D 2 2εε 0 = 1 2 εε 0 E 2 = 1 2 E D (143)

30 5 MAGNETOSTATIK 29 5 Magnetostatik 5.1 Grundlegende Gesetze der Magnetostatik Neben dem Biot-Savart-Gesetz für das B-Feld gelten in der Magnetostatik folgende vereinfachende Bedingungen: Die Maxwell-Gleichungen vereinfachen sich zu: t = 0 (144) j V = 0 (145) ϱ V t = 0 (146) B = µ 0 j V (147) B = 0 (148) 5.2 Magnetfelder spezieller Anordnungen Magnetfeld eines geraden Stromfadens Für die Stromdichte eines Stromfadens entlang der z-achse gilt: j V { r} = I δ(x) δ(y) e z (149) Für das Magnetfeld in Zylinderkoordinaten gilt dann: B{x, y, 0} = Iµ 0 2πρ e φ (150) Da das B-Feld zylindersymmetrisch ist, spielt die z-koordinate keine Rolle Magnetfeld bei zylindersymmetrischer Stromverteilung Bei zylindersymmetrischer Stromverteilung gilt: B = Iµ 0 2πρ e φ (151) Das Ergebnis des geraden Stromfadens gilt also auch allgemein bei zylindersymmetrischer Stromverteilung Magnetfeld einer kreisförmigen Stromschleife Für die Stromdichte einer Stromschleife in der x-y-ebene und mit dem Urpsrung als Mittelpunkt gilt: j V { r} = I δ(z) δ(ρ ρ 0 ) e φ (152) Für Aufpunkte auf der z-achse ( r = (0, 0, z) T ) gilt: B{ r} = Iµ 0 2 ρ 2 0 (z 2 + ρ 2 0 ) 3 e z (153) 2

31 30 5 MAGNETOSTATIK 5.3 Das magnetische Dipolmoment Das magnetische Dipolmoment einer räumlich begrenzten Stromverteilung wird folgendermaßen definiert: m = 1 2 V r j V { r }d 3 r (154) Außerhalb der Stromverteilung ergibt sich für das magnetische Vektorpotential in erster Näherung: A{ r} = µ 0 4π m r r 3 (155) Wenn die magnetische Induktion hinreichend weit weg von der Stromdichteverteilung j bestimmt wird, gilt: B{ r} = µ 0 3( m e r ) e r m 4π r 3 (156) Magnetisches Dipolmoment eines geschlossenen Stromfadens Für einen geschlossenen Stromfaden gilt: m = I r d 2 l{ r} (157) Durchläuft l{ r} die ganze Kurve C, so erhält man: C m = I S C (158) Magnetisches Dipolmoment bewegter Punktladungen Wenn alle N Teilchen dieselbe Masse m und Ladung q haben, gilt: m = 1 2 q m N L i = 1 2 i=1 q m L (159) mit dem Drehimpuls L i = m i r i v i (160)

32 5 MAGNETOSTATIK Magnetisierbare Materie Die magnetische Induktion entsteht aus: 1. dem Beitrag der Bewegung elektrischer Dipole. 2. dem Beitrag der ortsfesten magnetischen Dipole. 3. dem Beitrag der freien Ladungsträger Beitrag elektrischer Dipole zum Magnetfeld j P ol = P t (161) In der Magnetostatik gilt: j P ol = 0 (162) Beitrag magnetischer Dipole zum Magnetfeld Durch die Elektronenbewegung in der Materie können mikroskopische Kreisströme entstehen, die ein infinitesimales magnetisches Dipolmoment d 3 m besitzen und somit das Magnetfeld beeinflussen. Wir definieren die Magnetisierung als magnetische Dipolmomentdichte (magnetisches Dipolmoment pro Volumen): M{ r} = d3 m{ r} d 3 r (163) A magn { r} = µ 0 4π Man kann auch schreiben: A magn { r} = µ 0 4π M{ r } ( r r ) r r 3 d 3 r (164) mit der Magnetisierungsstromdichte j magn { r } r r d 3 r (165) j magn { r} = M{ r} (166) Beitrag freier Ladungsträger zum Magnetfeld Gesamtmagnetfeld A frei { r} = µ 0 4π Insgesamt gilt in der Magnetostatik: j frei { r } r r d3 r (167) j V = j frei + j magn (168)

33 32 5 MAGNETOSTATIK 5.5 Das Magnetfeld H Man führt nun das Magnetfeld wie folgt ein: H = 1 µ 0 B M (169) Somit ergibt sich das modifizierte Ampèregesetz für das Magnetfeld: H = 1 µ 0 B M = j V j magn = j frei (170) Die magnetische Suszeptibilität und die relative Permeabilität Für isotrope Stoffe gilt: Für das Magnetfeld folgt: H = 1 µ 0 B 1 µ 0 χ m 1 + χ m B = Daraus folgt: M = 1 µ 0 χ m 1 + χ m B (171) ( 1 χ ) ( ) m B = 1 + χ m µ χ m µ 0 B = 1 µµ 0 B (172) B = µµ 0 H (173) mit der relativen Permeabilität: µ = µ{ r} = 1 + χ m (174) 5.6 Das skalare magnetische Potential Unter der Randbedingung j frei = 0 gilt: H = 0 (175) Deswegen gibt es ein skalares magnetisches Potential Φ M, so dass gilt: H = Φ M (176) Für lineare Medien gilt nun die Laplace-Gleichung: µµ 0 Φ M = 0 (177) Für nichtlineare Medien mit Magnetisierung gilt die Coulombgleichung: Φ M = M (178) 5.7 Energiedichte im magnetostatischen Feld w magn { r} = 1 2 H{ r} B{ r} (179)

34 6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG 33 6 Maxwell-Gleichungen und Wellengleichung 6.1 Die Maxwell-Gleichungen in polarisierbarer Materie Berücksichtigt man alle Ströme und Ladungen (also auch Dipolladungen, etc.) lässt sich keine der Vereinfachungen der Elektrostatik oder Magnetostatik mehr vornehmen. Man muss das vollständige System der Maxwellgleichungen, wie sie in 3.11 zusammengefasst wurden, berücksichtigen. Wir wollen nun die Maxwellgleichungen für das Vakuum aus 3.11 für Materie verallgemeinern. Dazu fassen wir noch einmal unsere Erkenntnisse der letzten Kapitel zu den verschiedenen Raumladungsdichten und Stromdichten zusammen: ϱ P = P und j Pol = P t (180) ϱ magn = 0 und j magn = M (181) ϱ V = ϱ frei + ϱ P + ϱ magn und j V = j frei + j P ol + j magn (182) Die Größe ϱ magn wird dabei nur eingeführt, um die Analogie zwischen Ladungsdichte und Stromdichte zu verdeutlichen. Da es nach unserem heutigen Wissensstand keine magnetischen Ladungen gibt, ist ϱ magn immer 0. Berücksichtigt man nun noch die Gleichungen (131) und (169) ergeben sich die Maxwell-Gleichungen für polarisierbare und magnetisierbare Materie: H = t D + j frei (183) E = t B (184) D = ϱ frei (185) B = 0 (186)

35 34 6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG 6.2 Stetigkeitsbedingungen an Grenzflächen Es gelten die Materialgleichungen: D = εε 0E (187) B = µµ 0H (188) Allgemeine Stetigkeitsbedingungen 1. E-Feld: 2. B-Feld: 3. D-Feld: 4. H-Feld: [ ( n E2 E )] 1 n = 0 bzw. E tan1 = E tan2 (189) ( n B2 B ) 1 = 0 bzw. B norm1 = B norm2 (190) ( n D2 D ) 1 = ϱ S (191) ( n H2 H ) 1 = j S (192) 5. Stromdichte: ( ) n j 2 j 1 = t ϱ S (193) Stetigkeitsbedingungen zwischen 2 Dielektrika Ideale Dielektrika sind nicht leitend und tragen keinerlei Ladungen: ϱ S = j S = 0 (194) Somit lauten die Stetigkeitsbedingungen für diesen Fall: 1. E-Feld: [ ( n E2 E )] 1 n = 0 (195) E tan1 = E tan2 (196) 2. B-Feld: ( n B2 B ) 1 = 0 (197) B norm1 = B norm2 (198) 3. D-Feld: ( n D2 D ) 1 = 0 (199) D norm1 = D norm2 (200) 4. H-Feld: [ ( n H2 H )] 1 n = 0 (201) H tan1 = H tan2 (202)

36 6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG 35 An einer Oberflächenladungs- und Oberflächenstromfreien Grenzfläche ergeben sich also folgende Verläufe für die Vektoren der E-, D-, B-, bzw. H-Felder: 1 2 E norm1 E tan1 E 1 E 2 D norm1 D tan1 D 1 D norm2= D norm1 D 2 E norm2 D tan2 E tan2= E tan1 1 H norm1 H 1 B norm1 B tan1 B 1 2 H tan1 H 2 B norm2=bnorm1 B 2 H norm2 B tan2 H tan2=htan1 6.3 Das skalare elektrische Potential Mit Gleichung (86) und dem Faraday-Gesetz folgt: ( E + ) A t = 0 (203) Hieraus folgt, dass ein skalares elektrisches Potential Φ el existiert, so dass: ( Φ el = E + ) A t (204) Für das E-Feld folgt nun: E = Φ el t A (205) Φ el geht im statischen Fall ( t = 0) in das elektrische Potential V über. 6.4 Eichtransformation Mit der Einführung des skalaren elektrischen Potentials gilt: A 2 ( ) εε 0 µµ 0 t 2 A A + εε 0 µµ 0 t Φ el = µµ 0 j frei (206) Φ el + t A = ϱ frei εε 0 (207) Ziel einer Eichtransformation Die beiden Gleichungen (206) und (207) sind eichinvariant, das heißt die Form der Gleichungen bleibt bei einer Eichtransformation erhalten. Allerdings können die beiden Gleichungen mit einer Eichtransformation deutlich vereinfacht werden. Die wichtigsten Eichtransformationen sind die Coulomb- und die Lorentzeichung.

37 36 6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG Transformationsgleichungen Das magnetische Vektorpotential A ist über die Bedingung B = A (208) nicht eindeutig bestimmt, denn außer A erfüllt auch A = A + Λ diese Gleichung. Je nach Wahl der beliebigen skalaren Funktion Λ können sich für A unendlich viele Lösungen ergeben. Λ heißt Eichfunktion. Mit ihr lassen sich sogenannte Eichtransformationen nach folgenden Gleichungen durchführen: A = A + Λ (209) Φ el = Φ el t Λ (210) Die zweite Transformationsgleichung ist notwendig, damit die Feldstärke E bei einer Transformation von A unverändert bleibt. Eine solche Transformation ist natürlich nur deswegen erlaubt, da sowohl A, als auch Φ el reine Hilfsgrößen ohne physikalische Bedeutung sind Die Coulomb-Eichung Die Coulomb-Eichung ist gegeben durch: A = 0 (211) Falls A 0 wählt man die Eichfunktion Λ als Lösung der Gleichung: Λ = A (212) Mit dem resultierenden A ergibt sich automatisch A = 0. Mit der Coulombeichung vereinfachen sich die Gleichungen (206) und (207) zu: A εε 0 µµ 0 2 mit dem sogenannten Coulomb-Integral als Lösung: Φ el { r, t} = 1 4πεε 0 t 2 A = εε 0 µµ 0 t Φ el µµ 0 j frei (213) Φ el = ϱ frei εε 0 (214) ϱfrei { r, t} r r d 3 r (215)

38 6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG Die Lorentzeichung Die Lorentz-Eichung ist gegeben durch: A + εε 0 µµ 0 t Φ el = 0 (216) Falls diese Gleichung nicht erfüllt ist, wählt man die Eichfunktion Λ als Lösung der Gleichung: A + εε 0 µµ 0 t Φ el = Λ + εε 0 µµ 0 2 t 2 Λ (217) Mit der resultierenden Eichfunktion wird die obige Bedingung automatisch erfüllt. Mit Hilfe der Lorentzeichung vereinfachen sich die Gleichungen (206) und (207) zu 2 ungedämpften inhomogenen Wellengleichungen: A εε 0 µµ 0 2 Φ el εε 0 µµ 0 2 t 2 A = µµ 0 j frei (218) t 2 Φ el = ϱ frei εε 0 (219) 6.5 Die Wellengleichungen Für die Lichtgeschwindigkeit c gilt: Außerdem gilt im Folgenden: c = 1 εε0 µµ 0 (220) Ψ {Φ el, A x, A y, A z } (221) g{ r, t} = 1 4πεε 0 ϱ frei oder g{ r, t} = µµ 0 4π j frei (222) Die ungedämpfte homogene Wellengleichung Ψ{ r, t} 1 c 2 2 Ψ{ r, t} = 0 (223) t Die ungedämpfte inhomogene Wellengleichung Ψ{ r, t} 1 c 2 2 Ψ{ r, t} = 4πg{ r, t} (224) t Die gedämpfte homogene Wellengleichung Ψ{ r, t} µµ 0 σ t Ψ{ r, t} 1 c 2 2 Ψ{ r, t} = 0 (225) t2

39 38 6 MAXWELL-GLEICHUNGEN UND WELLENGLEICHUNG 6.6 Wellengleichung für das elektrische Feld und die magnetische Induktion In ungeladenen Dielektrika gelten die Maxwellgleichungen, wie in 6.1 beschrieben (allerdings mit den Vereinfachungen ϱ frei = 0 und j frei = 0). Bildet man die Rotation der Maxwellgleichungen ergeben sich folgende Wellengleichungen: E 1 2 c 2 t 2 E = 0 (226) B 1 2 c 2 t 2 B = 0 (227) 6.7 Brechzahl, Lichtgeschwindigkeit und Wellenvektor Brechzahl Für die Brechzahl eines Mediums gilt: Lichtgeschwindigkeit Für die Vakuumlichtgeschwindigkeit gilt: n = εµ (228) c 0 = 1 ε0 µ 0 (229) Für die Lichtgeschwindigkeit in einem beliebigen Medium folgt: c = 1 εε0 µµ 0 = c 0 εµ = c 0 n (230) Wellenvektor und Wellenzahl Für die Vakuumwellenzahl gilt: k 0 = ω = ω ε 0 µ 0 (231) c 0 Für die Wellenzahl gilt: k = k = ω c = n ω = ω εε 0 µµ 0 = nk 0 (232) c 0 Für den Wellenvektor gilt schließlich: k = k ek (233) Die Dispersionsrelation k 2 = k k = k 2 = k 2 x + k 2 y + k 2 z = ω2 c 2 (234) Die Dispersionsrelation muss erfüllt sein, damit ein Feld Lösung der Wellengleichung ist!

40 7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA 39 7 Wellenausbreitung in Dielektrika Folgende Betrachtungen gelten unter den Vorraussetzungen j frei = ϱ frei = σ = 0 und ε = const. bzw. µ = const Ebene elektromagnetische Wellen Da E und B die homogenen Wellengleichungen erfüllen sind ebene Wellen eine mögliche Ausbreitungsform. Ebene elektromagnetische Wellen sind transversal, d.h., es gilt: k E = ω B (235) H = e k E µµ 0 c = e k E µµ0 εε 0 = e k E Z (236) mit dem Wellenwiderstand: Z = µµ0 εε 0 (237) Monochromatische ebene Wellen Das elektrische bzw. das magnetische Feld hat die Form: E R { r, t} = E { } { { R0 cos k r ωt + ϕ = Re E0 exp i }} k r i ωt wobei meistens abkürzend geschrieben wird: E{ r, t} = E { ( )} 0 exp i k r ωt (238) (239) bzw. mit E 0 = E 0x exp {iϕ x } E 0y exp {iϕ y } E 0z exp {iϕ z } H{ r, t} = H { ( )} 0 exp i k r ωt bzw. H0 = H 0x exp {iϕ x } H 0y exp {iϕ y } H 0z exp {iϕ z } (240) (241) Eine monochromatische Welle zum Zeitpunkt t = 0 und für ϕ = 0 sieht folgendermaßen aus:

41 40 7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA Polarisation Betrachtet man eine ebene Welle mit Ausbreitungsrichtung z, hat E im Allgemeinen eine x- und eine y-komponente. Die Amplituden lauten dann: E x = E 0x cos {kz ωt + ϕ} (242) E y = E 0y cos {kz ωt + ϕ + δ} (243) Nun lassen sich mehrere Fälle unterscheiden: Linear polarisierte Welle (δ = ±mπ, m N 0 ) E y E 0y E x tan α = ± E 0y E 0x (244) E 0x Zirkular polarisierte Welle (δ = ± π 2 + mπ, m N 0, E 0x = E 0y = E 0 ) E R = E 0 ( e x cos{kz ωt + ϕ} e y sin{kz ωt + ϕ}) (245) E y E y z E x z E x rechts zirkular links zirkular Elliptisch polarisierte Welle (δ = ± π 2 +mπ, m N 0, E 0x E 0y ) E y E 2 Rx E 2 0x + E2 Ry E 2 0y = 1 (246) -E 0x E x -E 0y Elliptisch polarisierte Welle (δ = beliebig, E 0x, E 0y beliebig) E 0y E y -E 0x E x

42 7 WELLENAUSBREITUNG IN DIELEKTRIKA Energiedichte, Leistungsdichte und Poynting-Vektor Elektromagnetische Energiedichte w{ r, t} = w el + w magn = 1 2 E D H B (247) Die mechanische Leistungsdichte Der Poynting-Vektor w mech = j frei E (248) { S = E R H { } { } R = Re E Re H 1 = Re Z E E + E 2 2 k k } (249) Außerdem gilt: S = w c (250) Der zeitgemittelte Poynting-Vektor ergibt sich durch: S = 1 { } 2 Re S0 = 1 { 2 Re E H } (251) Leistung Die Leistung berechnet sich aus: P = S V S d 2 S (252) Die Kontinuitätsgleichung der Energie w t + S = j frei E (253) 7.3 Gruppen- und Phasengeschwindigkeit Es gilt: c gr c ph = c 2 (254) Mit dem Ausbreitungskoeffizienten β, der im allgemeinen die Wellenzahl in Ausbreitungsrichtung der Welle darstellt (also zum Beispiel β = k z ), ergibt sich: c ph = ω β bzw. c gr = ω β (255)