Mindestanforderungskatalog Mathematik Für ein Studium der Ingenieurwissenschaften am Campus Steinfurt

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1 Mindestanforderungskatalog Mathematik Für ein Studium der Ingenieurwissenschaften am Campus Steinfurt In diesem Katalog werden die Inhalte beschrieben, die ein Studienanfänger in den Ingenieurwissenschaften am Campus Steinfurt der Fachhochschule Münster (Fachbereiche Chemieingenieurwesen, Elektrotechnik und Informatik sowie physikalische Technik) beherrschen sollte, um das Studium erfolgreich zu starten. Dabei liegt es in der Verantwortung der Studienanfängerinnen und -anfänger dafür zu sorgen, dass sie die geforderten Inhalte zu Semesterstart tatsächlich beherrschen. Die Themen sind Inhalte des Studienvorkurses Mathematik der Rechenbrücke und können dort bei Bedarf nachgeholt werden. Im Anschluss an die Liste der Themen finden sich einige Aufgaben, die die verschiedenen Anforderungen verdeutlichen sollen. 1. ALLGEMEINE MATHEMATISCHE KOMPETENZEN 1.1. Probleme lösen Die StudienanfängerInnen können zum Problemlösen nützliche Fragen stellen; (Aufgabe 1) die gegebenen Sachverhalte mathematisch modellieren; (Aufgaben 2, 3, 22) Strategien des Problemlösens anwenden; (Aufgabe 4) Hilfsmittel (Formelsammlung, elektronische Hilfsmittel) angemessen nutzen. (Aufgabe 13) 1.2. Systematisch vorgehen Die StudienanfängerInnen können systematisch arbeiten. Sie zerlegen komplexe Sachverhalte in einfache Probleme; nehmen Fallunterscheidungen vor. (Aufgabe 5) 1.3. Plausibilitätsüberlegungen anstellen Zur Kontrolle ihrer gesamten Arbeit können die StudienanfängerInnen Fehler identifizieren und erklären; (Aufgabe 6) Größenordnungen abschätzen; (Aufgaben 7, 10) mittels Überschlagsrechnungen Ergebnisse kontrollieren. (Aufgaben 8, 16) 1.4. Mathematisch kommunizieren und argumentieren, Umgang mit Formalismen Für das Begreifen der Fragestellungen und das Weitergeben mathematischer Ergebnisse ist es unerlässlich, dass die StudienanfängerInnen Fachsprache und Fachsymbolik verstehen und verwenden; (Aufgaben 9, 10) mathematische Sachverhalte mit Worten erklären; (Aufgaben 11, 12) mathematische Behauptungen mit Hilfe von unterschiedlichen Darstellungsformen, z. B. Worten, Skizzen, Tabellen, Berechnungen begründen oder widerlegen; Zusammenhänge (mit und ohne Hilfsmittel) visualisieren; (Aufgaben 3, 13, 14) 1

2 eigene sowie fremde Lösungswege nachvollziehbar präsentieren können. (Aufgabe 15) 2. ELEMENTARE ALGEBRA Wir setzen voraus, dass die StudienanfängerInnen die Aufgaben zu den folgenden Kompetenzen ohne CAS-Rechner und ohne Taschenrechner (TR/GTR) lösen können, es sei denn zur Bestimmung eines numerischen Endergebnisses Grundrechenarten Die StudienanfängerInnen verfügen über grundlegende Vorstellungen von Zahlen (N, Z, Q, R). Sie können Regeln zur Kommaverschiebung anwenden; (Aufgabe 17) beherrschen die Vorzeichen- und Klammerregeln, können ausmultiplizieren und ausklammern; (Aufgabe 18) beherrschen Termumformung mit Hilfe von Kommutativ-, Assoziativ- und Distributivgesetz; (Aufgabe 19) beherrschen die binomischen Formeln; (Aufgaben 20, 21, 49(a)) verstehen Proportionalitäten und können den Dreisatz anwenden. (Aufgaben 22, 23, 24, 44) 2.2. Bruchrechnen Die StudienanfängerInnen können die Regeln der Bruchrechnung zielgerichtet anwenden. Sie können erweitern und kürzen; (Aufgaben 25, 26) Brüche multiplizieren, dividieren, addieren und subtrahieren. (Aufgaben 27, 28) 2.3. Prozentrechnung Die StudienanfängerInnen können Prozentangaben interpretieren; (Aufgaben 29, 30, 31) Zins- und Zinseszins berechnen. (Aufgaben 8, 13) 2.4. Potenzen und Wurzeln Die StudienanfängerInnen können Potenz- und Wurzelgesetze anwenden; (Aufgaben 27, 32) Wurzeln auf Potenzen zurückführen. (Aufgaben 33, 40) 2.5. Gleichungen mit einer Unbekannten Die StudienanfängerInnen können Gleichungen mit Hilfe von Äquivalenzumformungen und Termumformungen lösen. Sie können lineare und quadratische Gleichungen und lineare und quadratische Bruchgleichungen lösen; (Aufgabe 34, 35, 39(a)) Gleichungen durch Faktorisieren lösen; (Aufgaben 36, 39(c)) Wurzelgleichungen lösen und kennen den Unterschied zwischen Äquivalenzumformung und Implikation; (Aufgaben 37, 40) einfache Betragsgleichungen lösen und den Betrag als Abstand auf dem Zahlenstrahl interpretieren; (Aufgaben 5(a), 38) Gleichungen durch Substitution lösen. (Aufgaben 39(b), 39(d)) 2

3 2.6. Ungleichungen in einer Variablen Die StudienanfängerInnen können die Lösungsmengen von einfachen Ungleichungen bestimmen. Sie können 3. ANALYSIS lineare Ungleichungen lösen; (Aufgabe 41) quadratische Ungleichungen grafisch lösen; (Aufgabe 42) einfache Betragsungleichungen lösen und dabei den Betrag als Abstand auf dem Zahlenstrahl interpretieren; (Aufgaben 43, 44) Ungleichungen mit Brüchen lösen. (Aufgabe 45) 3.1. Funktionen Die StudienanfängerInnen verfügen über ein Verständnis für Funktionen, d. h. sie kennen Definitionsmenge, Symmetrie, Monotonie, Nullstellen, Extrem- und Wendestellen von: linearen, quadratischen, höheren Polynomfunktionen, Potenzfunktionen, x, 1 x, 1 x 2, Exponentialfunktionen, ex, sin, cos, ln, tan; (Aufgabe 46) können trigonometrische Funktionen als Seitenverhältnisse am rechtwinkligen Dreieck interpretieren und am Einheitskreis herleiten; können den qualitativen Verlauf der Graphen dieser elementaren Funktionen beschreiben sowie Funktionsterme von elementaren Funktionen ihren Schaubildern zuordnen und umgekehrt; (Aufgabe 47) können elementare Funktionen transformieren und die entsprechende Abbildung (Verschiebung, Spiegelung an Koordinatenachsen, Streckung/Stauchung in x- und y-richtung) durchführen; (Aufgabe 48) durch Addition, Multiplikation und Verkettung von Funktionen neue Funktionen erzeugen; (Aufgabe 49(b)) Tabellen und Graphen auch für nichtelementare Funktionen erstellen und geeignete Ausschnitte der Definitions- und Wertebereiche zur Darstellung wählen. (Aufgabe 50) 3.2. Differenzialrechnung Die StudienanfängerInnen verfügen über ein grundlegendes Verständnis des Ableitungsbegriffs und beherrschen die zentralen Techniken der Differenzialrechnung, d. h. sie haben ein propädeutisches Wissen über Grenzwerte; (Aufgabe 51) verstehen die Ableitung an einer Stelle als momentane Änderungsrate und Tangentensteigung; (Aufgabe 52) können den Zusammenhang zwischen Funktion und Ableitungsfunktion erläutern; (Aufgabe 53) können den quantitativen Verlauf des Ableitungsgraphen aus Funktionsgraphen bestimmen und umgekehrt; (Aufgabe 54) kennen Ableitungsfunktionen elementarer Funktionen (reelle e-funktion, Polynome, rationale Funktionen); (Aufgabe 55) 3

4 können Summen-, Faktor-, Produkt- und Kettenregel zum Ableiten von Funktionen anwenden. (Aufgabe 56) 3.3. Integralrechnung Die StudienanfängerInnen verfügen über ein grundlegendes Verständnis des Integralbegriffs und beherrschen zentrale Techniken der Integralrechnung, d. h. sie verstehen das bestimmte Integral als Grenzwert einer Summe; (Aufgabe 57) interpretieren das bestimmte Integral als Rekonstruktion eines Bestandes aus der Änderungsrate und als orientierten Flächeninhalt; (Aufgabe 58) kennen Stammfunktionen grundlegender Funktionen: x k, e x, sin, cos; (Aufgabe 59, 61(c)) können Summen- und Faktorregel zur Berechnung von Stammfunktionen anwenden; (Aufgabe 60) können bestimmte Integrale mit Hilfe von Stammfunktionen berechnen. (Aufgaben 61(a), (b)) 4. LINEARE ALGEBRA / ANALYTISCHE GEOMETRIE 4.1. Orientierung im zweidimensionalen Koordinatensystem Die StudienanfängerInnen finden sich sicher im zweidimensionalen Koordinatensystem zurecht. Insbesondere können sie eine analytisch gegebene Gerade zeichnen; (Aufgabe 62) Koordinatenbereiche skizzieren. (Aufgabe 63) 4.2. Lineare Gleichungssysteme Die StudienanfängerInnen können LGS mit bis zu 2 Gleichungen und 2 Unbekannten ohne Hilfsmittel lösen und offensichtliche Lösungen ohne Gauß-Elimination erkennen; (Aufgabe 14) die Lösbarkeit dieser LGS in einfachen Fällen auch in Abhängigkeit von Parametern diskutieren; LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten geometrisch im zweidimensionalen Koordinatensystem interpretieren. (Aufgabe 64) 4.3. Grundlagen der anschaulichen Vektorgeometrie im Zweidimensionalen Die StudienanfängerInnen können mit Vektoren in der Ebene umgehen. Sie können Vektoren als Pfeilklassen interpretieren und kennen Unterschiede zu Skalaren; (Aufgabe 65) beherrschen die Addition und s-multiplikation von Vektoren. (Aufgabe 66) Für diesen Katalog wurden die Informationen des "Mindestanforderungskatalogs Mathematik (Version 2.0) der Hochschulen für angewandte Wissenschaften in Baden-Württemberg für ein Studium von WiMINT-Fächern, der vom Team cooperation schule:hochschule erstellt wurde, an die Situation der Fachhochschule Münster angepasst. Die Beispielaufgaben wurden ebenfalls aus diesem Katalog übernommen. 4

5 Anhang: Beispielaufgaben Die aufgeführten Beispielaufgaben verdeutlichen das Anforderungsniveau der oben genannten Kenntnisse und Fertigkeiten. 1. Im Jahr 2006 hatte Deutschland 41,27 Millionen weibliche und 40,27 Millionen männliche Einwohner. In Baden-Württemberg lebten 10,75 Millionen Menschen, davon waren 50,88 % weiblich. Die Anzahl der Ausländer betrug in Deutschland 7,29 Millionen, in Baden-Württemberg 1,27 Millionen und in Hamburg (a) Formulieren Sie Fragen, die mithilfe dieser Daten beantwortet werden können. (b) Formulieren Sie eine Frage, für deren Beantwortung mindestens eine weitere Information notwendig ist. 2. Die Geschwindigkeit eines Autos beträgt 20 m zu Beginn der Beobachtung. Innerhalb s der nächsten 10 s nimmt die Geschwindigkeit gleichmäßig bis zum Stillstand ab. Bestimmen Sie die Geschwindigkeit als Funktion der Zeit. 3. Modellieren Sie den Tagesgang der Temperatur durch eine Sinusfunktion. Bestimmen Sie die Parameter aus den folgenden Angaben: Um 16:00 Uhr ist die Temperatur mit 25 C am höchsten. Nachts um 4:00 Uhr ist es mit 3 C am kältesten. 4. Ein Schwimmbecken mit dem Volumen 720 m³ kann durch drei Leitungen mit Wasser gefüllt werden. Eine Messung ergab, dass die Füllung des Beckens mit den beiden ersten Leitungen zusammen 45 Minuten dauert. Die Füllung mit der ersten und der dritten Leitung zusammen dauert eine Stunde, mit der zweiten und der dritten Leitung zusammen dauert es 1,5 Stunden. (a) Wie groß ist die Wassermenge, die durch jede der drei Leitungen pro Minute ins Becken gepumpt werden kann? (b) Wie lange benötigt man bei der Benutzung aller drei Leitungen, um das Becken zu füllen? 5. Für welche x R sind die folgenden Gleichungen und Ungleichungen erfüllt? (a) 2x 3 = 8 (b) 3x 6 x + 2 (c) x+1 x f ist eine Polynomfunktion. (a) Welche Aussagen sind falsch? Erläutern Sie anhand eines Beispiels. Wenn f (x 0 ) = 0 ist, dann ist x 0 eine Extremstelle von f. Wenn x 0 eine Extremstelle von f ist, dann ist f (x 0 ) = 0. Ist f (x 0 ) > 0, so ist der Punkt P(x 0 f(x o )) ein Tiefpunkt des Graphen von f. (b) Was ändert sich an diesen Antworten, wenn auch nicht differenzierbare Funktionen betrachtet werden? 7. Im Jahr 2010 wurde in Baden-Württemberg auf einer Fläche von ha Wein angebaut. Der durchschnittliche Ertrag pro Ar betrug 92 Liter. Wie lang wäre die Flaschenreihe ungefähr, wenn man die gesamte Jahresproduktion in Dreiviertelliteraschen abfüllen würde und diese Flaschen der Länge nach hintereinander legen würde? 5

6 8. Zu Beginn jedes Jahres werden auf ein Sparbuch 1000 eingezahlt. (a) Das Guthaben wird während der gesamten Zeit mit einem Zinssatz von 5 % pro Jahr verzinst, und die Zinsen werden jährlich dem Guthaben zugeschlagen. Schätzen Sie, welcher der folgenden Werte dem Guthaben am Ende des 5. Jahres am nächsten kommt. Begründen Sie Ihre Wahl, ohne das genaue Ergebnis zu berechnen (b) Berechnen Sie das Ergebnis genau. 9. Was ist an der folgenden Darstellung falsch? x 2 4 (x 2)(x + 2) 10. Ordnen Sie (ohne Verwendung eines Taschenrechners) die angegebenen Zahlen der Größe nach, beginnend mit der kleinsten: 0; (0,5) 2,4 ; 1; 4; 4 3,8 ; 0,25; 2 3,3 ; (0,5) 2,4 ; 8; Die Abbildung zeigt für 6 x 3das Schaubild der Ableitungsfunktion h einer Funktion h. 12. Entscheiden und begründen Sie, ob gilt: x 1 = 0 ist eine Wendestelle von h. h ( 2) = 1 Die Funktion h ist streng monoton fallend für x > 4. Skizzieren Sie das Schaubild von h. (a) Beschreiben Sie den Term a b c 2 + d in Worten. (b) Welche Ableitungsregeln benötigen Sie zur Ableitung der Funktion f mit f(x) = x e x2? Berechnen Sie die Ableitung. 13. Vor 200 Jahren wurden in Entenhausen 2 Dagos das entspricht etwa 0,3 bei einer Bank angelegt und jährlich mit 8% fest verzinst. (a) Wie groß wäre das Guthaben heute, wenn stets die Zinsen wieder mitverzinst würden? Stellen Sie eine Wertetabelle auf und den Verlauf des Guthabens in Abhängigkeit von den Jahren dar. (b) Nach wie vielen Jahren wären die 2 Dagos auf 200 Dagos angewachsen? (c) Wie hoch müsste der Zinssatz sein, damit nach 200 Jahren das Guthaben umgerechnet beträgt? 6

7 14. Betrachten Sie die beiden LGS: 15x + 3y = y = 30 { } sowie {15x 5x + 0,96y = 0 5x + 0,98y = 0 } (a) Lösen Sie beide LGS. (b) Interpretieren Sie das überraschende Ergebnis. (c) Skizzieren Sie die 3 beteiligten Geraden. (d) Bei welcher Variation der letzten Gleichung gibt es gar keine Lösung? 15. Jan formuliert die Lösung einer Aufgabe in "Kurzschreibweise": 16. (a) Ergänzen Sie die fehlende Rechnung. (b) Welches geometrische Problem hatte Jan zu lösen? (c) Interpretieren Sie das von Jan errechnete Ergebnis geometrisch. (a) Begründen Sie, dass ( )2 zwischen 4 und 9 liegt. (b) Zwischen welchen aufeinander folgenden ganzen Zahlen liegt 150? 17. Vereinfachen Sie: (a) 0, (b) Lösen Sie die Klammern auf und vereinfachen Sie soweit wie möglich: (a (b + c(5 (a + 3)))) 19. Vereinfachen Sie: 3ab (b(a 2) + 4b) 20. Vereinfachen Sie folgenden Ausdruck: 4 t 2 4 4t + t Multiplizieren Sie mithilfe der binomischen Formeln aus: ( b 3x x2 b 3) 22. Fließt ein Gleichstrom durch eine verdünnte Kupfersulfatlösung, so entsteht am negativen Pol metallisches Kupfer. Die abgeschiedene Kupfermenge ist sowohl zur Dauer des Stromflusses, als auch zur Stromstärke direkt proportional. Bei einer Stromstärke von 0,4 A werden in 15 Minuten 0,12 g Kupfer abgeschieden. Wie lange dauert es, bis 0,24 g Kupfer bei einer Stromstärke von 1 A abgeschieden werden? 23. Eine Kamera hat eine Auflösung von 6 Megapixel (der Einfachheit halber 6 Millionen Pixel) und produziert Bilder im Kleinbildformat 3 : 2. Wie groß ist ein quadratisches Pixel auf einem Ausdruck im Format (60 cm) x (40 cm)? 7 2

8 (a) Berechnen Sie im Bogenmaß: 135 ; 19,7 (b) Berechnen Sie die folgenden Bogenmaße im Gradmaß: 0,6 π; 2,7 (a) Für den Gesamtwiderstand R zweier parallel geschalteter Widerstände R 1, R 2 gilt: 1 R = 1 R R 2 Lösen Sie die Gleichung nach R auf. (b) Bringen Sie auf den Hauptnenner. a x 2 + b (x 2) 2 + c x Fassen Sie den Ausdruck zu einem Bruch zusammen: 1 x x Vereinfachen Sie ( a2 3 b c d 3) 4 a b2 : ( c 2 d 2) 28. Lösen Sie den folgenden Doppelbruch auf, sodass das Ergebnis nur einen Bruchstrich enthält 1 w c 1 w c + R 29. Der Aktienkurs den Firma XXL fällt im Jahr 2008 um 10 % und wächst in den Jahren 2009 und 2010 um je 5 %. Wo steht der Kurs Ende 2010 im Vergleich zum Beginn von 2008? 30. Ein Kreissektor füllt 30 % der Fläche eines Kreises aus. Welchem Zentriwinkel entspricht das? 31. Wie verändert sich der Flächeninhalt eines rechtwinkligen Dreiecks, wenn eine der Katheten um 20 % verkürzt und die andere um 20 % verlängert wird? 32. Fassen Sie folgenden Ausdruck zusammen: x 2 x 4 + x8 x 2 + (x2 ) 3 + x Vereinfachen Sie: 3 x x 2 6 x 34. Bestimmen Sie die Nullstellen der quadratischen Funktion fmit: f(x) = x 2 3x Lösen Sie folgende Gleichung nach x auf: y = x + 1 x 1 8

9 36. Welche der Aussagen sind in Bezug auf die folgende Gleichung richtig? (x 2)(x 2)(x 2 9) = 0 (a) Bei einem Polynom 4.Grades sind die Nullstellen hier zu schwierig zu bestimmen. (b) x = 1 und x = 2 sind Lösungen (c) x = 2 und x = 3 sind Lösungen (d) x = 1,4142 und x = 2 sind Lösungen (e) Es gibt genau 4 Lösungen. 37. Für welche x gilt 38. Lösen Sie: 8 2x = x? x 3 = 2 2x + 3 = Für welche x R sind die folgenden Gleichungen erfüllt? (a) 1 x x 3 = 6 x 2 9 (b) x 4 13x = 0 (c) 2e 2x 5e x = 0 (d) 3 + 2e 2x 5e x = Lösen sie die folgenden Ausdrücke nach x auf: (a) x u = v x 2 (b) x 3 4 t 2 = x 4 y 41. Für welche x gilt 42. Für welche x gilt 43. Lösen Sie: 3x 7 > 2 + 5x? x 2 2x < 3? x 3 < 2 2x 3 > Der Staudruck p st bei einer Strömung ist proportional zum Quadrat der Geschwindigkeit, d. h. p st (v) = kv 2. In welchem Geschwindigkeitsbereich ist er kleiner als der Wert p 0? 45. Für welche x R ist (a) 1 x < 1 9? (b) 1 1 x > 3? 9

10 46. Welche der folgenden Aussagen sind falsch? Geben Sie für die falschen Aussagen ein Gegenbeispiel an. (a) Eine Polynomfunktion ungeraden Grades hat mindestens eine Nullstelle. (b) Eine Polynomfunktion geraden Grades hat keine Nullstellen. (c) Quadratische Funktionen haben keine Wendestellen. (d) Die Funktion f mit f(x) = 1 hat alle reellen Zahlen als Definitionsmenge. x (e) Die Funktion f mit f(x) = 1 hat alle reellen Zahlen als Wertemenge. x (f) Alle Funktionen f mit f(x) = a x (a > 0) sind streng monoton wachsend. (g) Der Graph der Funktion f mit f(x) = x n (n N) ist achsensymmetrisch zur y-achse. (h) (*) Die Funktion f mit f(x) = x + 5hat als maximale Definitionsmenge alle reellen Zahlen, die größer als 5 sind. (i) Die Maximalstellen der Funktion f mit f(x) = sin(x) sind Wendestellen der Funktion g mit g(x) = cos(x). 47. Gegeben sind die Funktionen f und g mit f(x) = x und g(x) = ln(x). (a) Welche Eigenschaften haben die beiden Funktionen gemeinsam? (b) In welchen Eigenschaften unterscheiden sie sich? (c) Skizzieren Sie die Graphen in einem gemeinsamen Koordinatensystem. 48. Skizzieren Sie die Graphen von: (a) y = sin x (b) y = 2 sin x (c) y = 2 + sin x (d) y = sin(2x) (e) y = sin(x + 2) (f) y = 2 sin(x + 2) + 2 (g) y = sin x (h) y = sin( x) (i) y = sin( x) 49. (a) Multiplizieren Sie die Klammer aus: (1 + x) 2 (b) (*) Gegeben sind die Funktionen f 1, f 2 und f 3 mit f 1 (x) = x 2, f 2 (x) = 1 und f 3 (x) = x; x R +. Bestimmen Sie die Funktionen g, h und k mit g(x) = f 3 (f 1 (x) + f 2 (x)); h(x) = f 3 (f 1 (x)) + f 2 (x); k(x) = f 1 (f 2 (x) + f 3 (x)). Vereinfachen Sie dabei die Funktionsterme so weit wie möglich. 10

11 50. Skizzieren Sie den Graphen der Funktion f mit f(x) = xe (sin(x)) Wie verhält sich die Funktion f mit (a) f(x) = 2 x+2 für x + ; (b) f(x) = 2x für x + ; x+2 (c) f(x) = 2x2 für x + ; x+2 (d) f(x) = 2x2 für x ; x+2 (e) f(n) = ( 0,5) n für n +, (n N); (f) f(n) = ( 1) n für n +, (n N); (g) f(x) = x x+1 (h) f(x) = x2 1 x+1 für x 1; für x 1? 52. Sind die folgenden Aussagen wahr oder falsch? Erläutern Sie Ihre Entscheidung mit Hilfe einer Skizze. (a) Besitzt die Funktion f an der Stelle 2 den Funktionswert 1, so gilt f (2) = 1. (b) Gilt f (2) = 1, so hat die Tangente an den Graphen von f im Punkt P(1 f(1)) die Steigung 2. (c) Die momentane Änderungsrate der Funktion f mit f(x) = 0,5x an der Stelle - 3 ist positiv. 53. Die Abbildung zeigt für 4 x 10 den Graphen der Ableitungsfunktion h einer Funktion h. Entscheiden und begründen Sie, ob gilt: (a) Die Funktion h ist streng monoton fallend für x > 3. (b) Die Funktion h hat an der Stelle -3 ein Minimum. (c) x = 0 ist eine Wendestelle von h. 11

12 54. Gegeben ist der Graph einer Funktion f. Skizzieren Sie in dasselbe Koordinatensystem den Graphen der Ableitungsfunktion f. 55. Geben Sie die Ableitungsfunktion an. (a) f(x) = x n ; (b) f(x) = e x (c) f(x) = x (d) f(x) = sin(x) (e) f(x) = cos(x) (f) f(x) = ln(x) n Z 56. Bestimmen Sie die Ableitung folgender Funktionen. 57. (a) f(x) = x 3 6x + 1 (b) f(x) = e 5 (c) f(x) = (1 x 2 ) 9 (d) f(x) = x e 2x (e) f(x) = 1 x2 sin (x) 1 (a) Berechnen Sie einen Näherungswert für das Integral x 2 dx indem Sie das Intervall 0 [0 ; 1] in 5 gleiche Teile teilen und damit die Untersumme berechnen. (b) Wie kann man den Näherungswert verbessern? (c) Wie erhält man den exakten Wert des Integrals? 12

13 58. Bei einem Wasserbecken, das zu Beginn 2000 m 3 Wasser enthält, fließt Wasser ein und aus. Die Wasserzuflussrate kann durch die Funktion f beschrieben werden: f(t) = t t (t in Tagen seit Jahresanfang, f(t) in m 3 /Tag). Bestimmen Sie die Funktion, die die vorhandene Wassermenge zu jedem Zeitpunkt angibt. Wie viel Wasser befindet sich nach 30 Tagen im Wasserbecken? 59. f ist eine in R definierte Funktion mit der Ableitung f. Welche Aussage ist richtig? (a) die Funktion f hat genau eine Ableitung aber viele Stammfunktionen. (b) Sind F und G Stammfunktionen zu f, so ist auch die Summe F + G eine Stammfunktion zu f. (c) Ist F Stammfunktion von f, so gilt f (x) = F(x). (d) Stammfunktionen von f unterscheiden sich nur durch einen konstanten Summanden. 60. Geben Sie eine Stammfunktion F der Funktion f an. (a) f(x) = x 3 3x (b) f(x) = 2 x 2 (c) f(x) = 5x 1 (d) f(x) = 2e 2x 61. Berechnen Sie ohne Taschenrechner. (a) 2 1 (2x 3 + 1)dx π (b) 2(1 + cos(2x))dx 0 (c) (2x 2 + 1)dx 62. Skizzieren Sie: (a) y = 2x + 3 (b) 2x + y 5 = 0 (c) x + 8 = 0 (d) Gerade mit der Steigung 3 durch den Punkt P(0 3) (e) Gerade mit der Steigung -2 durch den Punkt P(2 3) (f) Gerade durch die Punkte A( 4 3) und B(1 3) 63. Schraffieren Sie in einem Koordinatensystem den Bereich, für den gilt: x y < Zeichnen Sie die beiden Geraden g und h in der (x 1, x 2 )-Ebene: g 2x 1 + x 2 = 1 h x 1 x 2 = 3 Berechnen Sie den Schnittpunkt der beiden Geraden. Stimmt das Ergebnis mit Ihrer Skizze überein? 13

14 65. Ein Sportflugzeug würde bei Windstille mit einer Geschwindigkeit von 150 km/h genau nach Süden fliegen. Es wird jedoch von einem Wind, der mit der Geschwindigkeit 30 km/h aus Richtung Nord-Osten bläst, abgetrieben. Stellen Sie die Geschwindigkeit des Flugzeugs relativ zur Erde mit Hilfe eines Pfeils dar. 66. P, Q, R und S sind Punkte im Anschauungsraum. Vereinfachen Sie: (a) PQ + QR (b) PQ RQ (c) PQ (PQ QR ) + RS 14