Versuch PM03 - Längenmessung. Abgabedatum: 28. Februar 2008

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1 Versuch PM03 - Längenmessung Kamill E Tobias F Abgabedatum: 28. Februar 2008

2 Inhaltsverzeichnis 1 Einordnung des Versuchs 3 2 Physikalischer Zusammenhang Helium-Neon Laser Glan-Foucault Prisma Aufbau des Heterodyn Interferometers Auswertung Linearität / Genauigkeit Differentielle/Integrale Linearität Reproduzierbarkeit Fazit 11 5 Anhang und Diagramme in A4 12 2

3 1 Einordnung des Versuchs In diesem Versuch wird mit verschiedenen Instrumenten ein Weg gemessen. Es sind dies ein Heterodyn-Interferometer, eine Mikrometerschraube und ein induktiver Weggeber. Die letzteren beiden werden auf ihre Genauigkeit, Linearität und Zuverlässigkeit geprüft, die Messungen des ersteren werden als exakt vorausgesetzt. Um den Versuch zu erklären, wird im folgenden auf den Aufbau bzw. die Funktion der einzelnen Messinstrumente und ihrer Bauteile eingegangen. 2 Physikalischer Zusammenhang 2.1 Helium-Neon Laser Der Helium-Neon Laser ist ein Gaslaser und besteht im Wesentlichen aus einer Glaskartusche die das Gas enthält und einem Resonator, der das Licht reflektiert. Dieser Lasertyp wurde 1961 entwickelt. Betrieben wird er im Dauerbetrieb. Als ein Merkmal dieses Lasers ist das Mischungsverhältnis der beiden Gase zu nennen. Dieses beträgt nicht etwa 1:1, vielmehr kommen auf ein Teil Neon zehn Teile Helium. Es ergibt sich ein Partialdruckverhältnis von 10:1. Wie das Verhältnis nahe legt, ist Helium das Pumpgas und Neon das sogenannte Lasergas. Durch Anlegen einer hohen Zündspannung (zwischen 10 und 15kV) wird das Heliumgas gezündet. Die anschließende Gasentladung bringt das Helium in einen relativ langlebigen, angeregten Zustand. Stöße mit Neonatomen übertragen die Energie des Heliums auf das Neon und heben es in einen angeregten Zustand. Dieser sollte möglichst langlebig sein, damit eine Besetzungsinversion stattfinden kann. Trifft ein Photon bestimmter Wellenlänge auf ein solches angeregtes Atom, erfährt es eine stimulierte Emission und fällt unter Aussendung eines Photons fester Wellenlänge (bei Helium-Neon sind es 632, 8nm) in den Grundzustand zurück, von dem aus es wieder angeregt wird. So beginnt der Prozess von Neuem. Bettet man die Glaskartusche in ein Magnetfeld ein, tritt der Zeemaneffekt auf. Dabei ermöglicht die Aufspaltung der Energieniveaus (aufgrund des Magnetfeldes) zwei optische Übergänge, damit auch zwei emittierte Freqenzen und gegensinnige Polarität. 2.2 Glan-Foucault Prisma Das Glan-Foucault Prisma trennt Lichtwellen unterschiedlicher Polarität. In unserem Fall ist dies gleichbedeutend mit der Trennung nach der Frequenz (siehe 2.1. Um eine Trennung zu erreichen, nutzt das Prisma die Doppelbrechung aus. Von Doppelbrechung spricht man, wenn Materialien bei gegensätzlich polarisiertem Licht auch ein anderes optisches Verhalten aufweisen, also andere Brechungsindizes besitzen. Haben die Strahlen beim Eindringen in ein doppelbrechendes Medium unterschiedliche Brechzahlen, haben sie nach: θ = arctan( n 2 n 1 ) für n 1 > n 2 3

4 Abb. 1: Aufbau eines Glan-Foucault Prismas[UHV07] unterschiedliche Totalreflexionswinkel. Da der Lichtstrahl beim Glan-Foucault Prisma auf einen Luftspalt trifft (siehe Abb.1) ist n 1 1. Das Prisma ist so geschnitten, dass die Bedingung für die Totalreflexion, im Fall des senkrechten Einfalls, nur für eine Polarisation gegeben ist (s. Abb. 1). Da die Doppelbrechung bei Salzkristallen ausgeprägt ist, kommt bei Prismen die diesen Effekt ausnutzen meist ein Kalzit (CaCO 3 ) zum Einsatz. 2.3 Aufbau des Heterodyn Interferometers Abb. 2: Funktionsweise eines Herodyn Interferometers[PPB07] Der Laser erzeugt einen kohärenten Lichtstrahl, bestehend aus zwei unter- 4

5 schiedlichen Frequenzen und gegensätzlich zirkularer Polarisation (siehe Abb. 2. Nach Umwandlung in orthogonal, linear polarisiertes Licht, gelangt der Strahl zu einem Strahlteiler wo er in Mess- und Referenzsignal aufgespalten wird. Das Messsignal gelangt zum Glan-Foucault Prisma, an dem eine Aufspaltung der Frequenz in f 1 und f 2 erfolgt. f 2 passiert das Prisma ungehindert und trifft auf einen beweglichen Reflektor und erfährt dabei, je nach dem ob sich der Reflektor nach vorn oder hinten bewegt, eine Dopplerfrequenz f d, welche proportional zur Richtung und Geschwindigkeit des Reflektors ist. Bewegt sich der Reflektor vom Laser weg, wird f d von f 2 subtrahiert, anderen Falls addiert. f 1 legt dagegen einen festen Weg zurück. Am Prisma treffen die zuvor geteilten Strahlen zusammen und interferieren. Jetzt lässt man die Strahlen kollimieren und erhält: f 2 f 1 ±f d. Dieses Signal vergleicht man mit dem ebenfalls kolluminierten Referenzsignal f 2 f 1, das ja frei von Dopplereinflüssen war. Beide Signale gelangen zum Mischer. Dieser vergleicht ob das eine Signal dem anderen eine Halbwelle vor- oder nacheilt. Da der Lichtstrahl den doppelten Weg zurück legt, entspricht jeder Impuls einer Reflektorbewegung um λ/4. Da es sich ja um hochfrequente elektromagnetische Wellen handelt deren Frequenzunterschied recht gering ist, wäre es schwer eine Frequenzänderung f d überhaupt zu messen. Aus diesem Grund betrachtet man die Differenz zwischen f 2 f 1, diese liegt im MHz Bereich. 3 Auswertung 3.1 Linearität / Genauigkeit Um die Linearität von Mikrometerschraube und induktivem Weggeber zu überprüfen, wurde eine lineare Regression durchgeführt. In Diagramm 3 sind die resultierenden Geraden eingezeichnet. Um die Zahlen übersichtlich zu halten, wurde von den Werten, die am Interferometer ablesbar sind, subtrahiert. Die Geradengleichungen lauten f(x) = (( ± ) x + (17917 ± 8))µm und (1) g(x) = (( ± 0.004) 10 4 x + (41.46 ± 0.03))V; (2) x ist hierbei die Anzahl der gezählten Impulse aus dem Mischer, und die Sicherheit beträgt 95 Prozent. Die Ablesegenauigkeit bei der Mikrometerschraube beträgt 0.5µm, der induktive Weggeber lässt sich zu 0.5mV genau ablesen. Ein Impuls beim Interferometer entspricht laut Anleitung 0.16µm, jedoch lässt sich aus der Wellenlänge λ als Genauigkeit λ 4 = 632.8nm 4 = 158.2nm präziser bestimmen. Hieraus lässt sich erkennen, dass die Mikrometerschraube innerhalb der Herstellerspezifikation liegt. Diese besagt, dass der absolute Fehler der Schraube geringer als ein Prozent der Messgenauigkeit ist. Das entspräche einer betragsmäßigen Abweichung von bis zu 1.582nm, die Abweichung ist tatsächlich (+0.45 ± 0.09)nm groß. Einem Mikrometer entsprechen wiederum laut der Messung 2.502mV. In die 5

6 Abb. 3: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber zusammen mit Regressionsgeraden gegen die Werte des Interferometers aufgetragen Abb. 4: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen 6

7 Abb. 5: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen Abb. 6: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen 7

8 Mikrometerskala übertragen wäre der Fehler in der Steigung des induktiven Weggebers also ca. 0.2nm pro Impuls, verglichen mit 0.09nm pro Impuls bei der Schraube. 3.2 Differentielle/Integrale Linearität Abb. 7: Die Abweichungen von der idealen Kennlinie bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber im Betrag gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen zur Bestimmung der integralen Linearität Als integrale Linearität bezeichnet man die maximale Abweichung des tatsächlichen Kennlinienverlaufs von der idealen Kennlinie [Z83]. Um diese zu bestimmen, legen wir eine Gerade mit der Steigung λ 4 = 632.8nm 4 = µm zu Grunde und ermitteln die maximale Abweichung der gemessenen Länge von dieser Geraden. Die Geraden folgen den Formeln f(x) = (( ) x + ( ± 0.7))µm und (3) g(x) = (( 3.955) 10 4 x + ( ± 0.003))V; (4) die Sicherheit beträgt 95 Prozent. Im Diagramm in Abb. 7 erkennt man, dass die Abweichung im mittleren Messbereich am höchsten ist. Besonders bei der Mikrometerschraube ist die mittlere Abweichung von der Geraden im zweiten Messbereich klar höher als in den Randbereichen. Auch wenn wir keine kontinuierliche Messreihe aufgenommen haben, können wir annehmen, dass im zweiten Messbereich die maximale Integrale Abweichung erreicht wurde. 8

9 Abb. 8: Differentielle Linearität von Schraube und Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen Für die Mikrometerschraube bekommen wir eine Abweichung von 17.0 ± 0.5µm, für den induktiven Weggeber erhalten wir den Wert ± 0.005V, die Fehler wurden aus dem Diagramm abgeschätzt. Die differentielle Linearität ist der Quotient aus dem Betrag der fehlerbehafteten Schrittweite zur idealen Schrittweite [Z83]. Wie in Abb. 8 deutlich zu erkennen ist, sind in der Linearität der Mikrometerschraube einige große Ausreißer zu erkennen, die man vermutlich auf ihr Spiel schieben kann. Beim Weggeber halten sich die Abweichungen im Bereich von 1 ± 0.5 mal der LSB. Dies ist ein akzeptabler Wert. 3.3 Reproduzierbarkeit Um die Reproduzierbarkeit beurteilen zu können, wurde wie folgt vorgegangen: Zwei Einstellungen der Mikrometerschraube (6100µm und 6100µm) wurden jeweils dreimal von unten und zweimal von oben angefahren. Die erhaltenen Messwerte wurden gemittelt (s. Tab. 1). Dann wurden die Abweichungsquadrate summiert. Da an den beiden verschiedenen Messpunkten keinerlei Unterschied bezüglich der Abweichung vom Mittelwert herrschen sollte, wurde über die ganze Spalte summiert. Mit der Formel S = 1 N 1 N (x i x) 2 i=1 9

10 Abb. 9: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen, dazu Regressionsgeraden und Fehlerbalken Schraube / µm auf Schraube umgerechnet / µm Anzeige Interferometer Weggeber / V Mittelwert oben unten Tab. 1: Für die Berechnung der Streuung zugrunde gelegte Werte 10

11 wurde die Streuung der Werte sowohl bei der Mikrometerschraube als auch beim Weggeber berechnet, N = 10. Mit dem Student-t-Faktor von t = 2.26 bei m = N 1 = 9 ergibt sich so als mittlerer Fehler x = t S N für die Mikrometerschraube x = 3µm, und für den Weggeber x = 7mV, was ebenfalls aufgerundet 3µm entspricht. In Abb. 9 sind diese Fehlergrenzen an die Messdaten der zweiten von drei Messungen angetragen und können mit den Regressionsgeraden verglichen werden. Obwohl in diesem Messbereich der am wenigsten lineare Verlauf stattfand, liegen nur wenige Messpunkte weit außerhalb der Fehlertoleranz. Die Streuung kann nicht überall als gleich angenommen werden. Allerdings kann man davon ausgehen, dass die Streuung an den Randbereichen der Messung Maximalwerte annimmt, und somit die Fehlerbalken in Abb. 9 eher zu lang sind als zu kurz, da sie im Randbereich berechnet, aber auf den mittleren Bereich angewendet wurden. 4 Fazit Der Nachteil der Mikrometerschraube ist offensichtlich, dass sie ein zu großes Spiel hat. Besonders in der differentiellen Linearität ergeben sich hier Defizite. Beide Messverfahren, Schraube und Weggeber, zeigen bei der integralen Linearität größere Abweichungen im mittleren Bereich als an den Randbereichen. Bei der Betrachtung der Messergebnisse darf man nicht übersehen, dass das Interferometer als fehlerfrei zugrunde gelegt wurde. Völlig ideal ist zwar keine der Messmethoden, jedoch kann das Interferometer ohne weiteres als genauestes der Geräte angenommen werden. 11

12 5 Anhang und Diagramme in A4 Abbildungsverzeichnis 1 Aufbau eines Glan-Foucault Prismas[UHV07] Funktionsweise eines Herodyn Interferometers[PPB07] Regression Messwerte zwischen und Impulsen Messwerte zwischen und Impulsen Messwerte zwischen und Impulsen Messwerte zwischen und Impulsen, integraler Fehler Messwerte zwischen und Impulsen, differentielle Linearität Messwerte 2, Regression Regression Messwerte zwischen und Impulsen Messwerte zwischen und Impulsen Messwerte zwischen und Impulsen Messwerte 2, Regression Messwerte zwischen und Impulsen, integraler Fehler Messwerte zwischen und Impulsen, differentielle Linearität Tabellenverzeichnis 1 Für die Berechnung der Streuung zugrunde gelegte Werte Quellenverzeichnis PPB07 Versuchsskript W07 Wikipedia W07 Wikipedia UHV07 Quantenmechanikskript Uni Hannover RW07 Skript: Längenmessung Z83 Zander, Analog-Digital-Wandler in der Praxis, Markt+Technik-Verlag,

13 Abb. 10: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber zusammen mit Regressionsgeraden gegen die Werte des Interferometers 13 aufgetragen

14 Abb. 11: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen

15 Abb. 12: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen

16 Abb. 13: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen

17 Abb. 14: Die Messwerte bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen aufgetragen, dazu Regressionsgeraden und Fehlerbalken

18 Abb. 15: Die Abweichungen von der idealen Kennlinie bei Mikrometerschraube / induktivem Weggeber im Betrag gegen die Werte des Interferometers 18 zwischen und Impulsen aufgetragen zur Bestimmung der integralen Linearität

19 Abb. 16: Differentielle Linearität von Schraube und Weggeber gegen die Werte des Interferometers zwischen und Impulsen 19