Zeitreihen-Ökonometrie, SS 2015 Lösungen Aufgabenblatt 11

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1 Zeitreihen-Ökonometrie, SS 2015 Lösungen Aufgabenblatt 11 Aufgabe 21: Die Datei DAX.WF1 enthält Tagesdaten zum DAX30 im Zeitraum von November 1990 bis Juni 2015 (pro Jahr ca. 250 Handelstage). In der Zeitreihe DAX finden sich die täglichen Schlusskurse, in der Zeitreihe RETURN (= log(dax)) die Log-Renditen. i. Was besagen ADF-Tests (mit Trend + Interzept, # Lags nach SIC) bzgl. der Präsenz stochast. und/oder determinist. Trends in den logarithmierten DAX-Kursen bzw. den log-renditen? LOGDAX RETURN (=DLOG(DAX)) Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on LOGDAX -.08 Augmented Dickey-Fuller Unit Root Test on RETURN -.12 Null Hypothesis: LOGDAX has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=34) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(LOGDAX) LOGDAX(-1) C E E R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Null Hypothesis: RETURN has a unit root Exogenous: Constant, Linear Trend Lag Length: 0 (Automatic based on SIC, MAXLAG=33) t-statistic Prob.* Augmented Dickey-Fuller test statistic Test critical values: 1% level % level % level Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(RETURN) Sample (adjusted): 11/28/1990 7/03/2015 Included observations: 6227 after adjustments RETURN(-1) C E-08 1E R-squared Mean dependent var 2.54E-06 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat log(dax): Stochast. Trend kann kann nicht abgelehnt werden. Ausgehend von einem stochast. Trend, ist ein determin. Trend signifikant nicht signifikant RETURN (= log(dax)): Stochast. Trend kann kann nicht abgelehnt werden. Ausgehend von keinem stochast. Trend, ist ein determin. Trend signifikant nicht signifikant

2 ii. Es soll zunächst überprüft werden, ob sich gewisse, bei Finanzmarktzeitreihen häufig anzutreffende Eigenschaften auch bei den DAX-Renditen finden: (a) Volatilitätsklumpung: Ist eine solche im Diagramm der DAX-Renditen zu erkennen? Ja (b) Leptokurtosis: Schauen Sie sich die empirische Verteilung der DAX-Renditen zusammen mit ihren ersten vier Momenten (Mittelwert, Standardabweichung, Schiefe und Kurtosis) an 2,400 2,000 Series: RETURN Sample 11/26/1990 7/03/2015 Observations ,600 1, Mean Median Maximum Minimum Std. Dev Skewness Kurtosis Jarque-Bera Probability Ist die empirische Vtlg. leptokurtisch? Ja, die Kurtosis wird auf 7.7 (> 3) geschätzt Um wieviel Prozentpunkte ist der DAX im Beobachtungszeitraum im Mittel pro Jahr gestiegen? Pro (Handels-)Tag ist er im Schnitt um = 027% gestiegen (Einheit hier 1 = 100%, da log) Bei 250 Handelstagen im Jahr macht das 250*027% = 8.175%. Also ca. 8% pro Jahr. Interpretieren Sie die Standardabweichung. Allgemein misst die Standardabweichung σ einer Zufallsvariable (hier der Eintages-DAXRendite r), wie sehr die Variablenwerte um den Erwartungswert µ streuen. Wenn die Verteilung nicht zu sehr von einer Normalverteilung abweicht, liegen im Intervall [µ σ, µ+σ] ca. 66% der beobachteten Werte, im Intervall [µ 2σ, µ+2σ] ca 95% der Beobachtungen. Voraussetzung für diese Interpretation ist allerdings nicht nur eine (angenäherte) Normalvtlg, sondern auch eine Zufallsstichprobe (als ob die DAX-Renditen jeden Tag unabhängig vom Vortag ausgewürfelt würden). Wir werden unten sehen, dass die DAX-Renditen tatsächlich kaum miteinander korrelieren, aber dennoch nicht unabhängig voneinander sind: ihre Quadrate korrelieren stark miteinander. Das adäquatere Bild ist, dass wir zwar unkorrelierte Werte r t ziehen, wobei allerdings die Standardabweichung σ t bzw. Varianz σt 2 von r t selbst streut, und zwar um die hier geschätzte unbedingte (d.h. langfristige) Std.Abw. σ. Der geschätzte Wert beträgt ˆσ = 1.4% pro Tag. Um den Wert auf ein Zeitintervall von h Tagen zu beziehen, kann man log(dax h ) log(dax 0 ) zerlegen in h ( t=1 log(daxt ) log(dax t 1 ) ) = h t=1 r t. Wenn man annimmt, dass die Tagesrenditen r t tatsächlich unkorreliert sind, gilt var [ h t=1 r h t] = t=1 var[ ] [ r t, d.h. var log(daxh ) log(dax 0 ) ] = h σ 2. Über ein Jahr (h = 250) ergibt sich eine Std.Abweichung im (logarithm. relativen) DAX-Zuwachs von % 22%. Das 95%-Konfid.Intervall (bei Normalvtlg.) beträgt also ˆµ ± 1.96 ˆσ ±2.8% (pro Tag!). Trotz des großen Konfid.Intervalls: Wkt. für Werte bei ±10% bei Normalvtlg. astronomisch klein. (c) Unkorreliertheit, aber keine stochast. Unabhängigkeit der Renditen: Schätzen Sie das mean model r t = µ + u t mit OLS. (Zur Abkürzung setzen wir r t := RETURN t ). C R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat Welche Ergebnisse dieser Schätzung lassen sich bereits aus den deskript. Statistiken in (b) antizipieren? ˆµ = 027% und ˆσ = 1.4%. Auch R 2 = 0 ist klar, da nur Konstante als erklärende Variable. 2

3 Der Breusch-Godfrey-Test auf residuale Autokorrelation 1. Ordn. und der Test auf ARCH-Effekte 1. Ordn. involvieren die folgenden OLS-Schätzungen mit den Residuen û t dieser Schätzung (die Residuen sind hier schlicht die von ihrem empir. Mittelwert bereinigten Renditen û t = r t ˆµ): ; û t = û t 1 ( ) ( ) T = 6228, R 2 = û t 2 = ût 1 2 ( ) ( ). T = 6227, R 2 = Anmerkung: Die Ergebnisse sind übertragen aus: Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Prob. F(1,6226) Obs*R-squared Prob. Chi-Square(1) Dependent Variable: RESID Sample: 11/27/1990 7/03/2015 Included observations: 6228 Presample missing value lagged residuals set to zero. C 1.32E E RESID(-1) R-squared Mean dependent var 3.37E-19 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic Prob. F(1,6225) 000 Obs*R-squared Prob. Chi-Square(1) 000 Dependent Variable: RESID^2 Sample (adjusted): 11/28/1990 7/03/2015 Included observations: 6227 after adjustments C E RESID^2(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Was ist das Ergebnis dieser Tests (5%-Niveau)? Mit t-statistiken: Keine Ablehnung Keine Autokorrelation (Test findet keine Signifikanz für residuale Autokorrelation) Ablehnung keine ARCH-Effekte (Test findet hohe Signifikanz für ARCH-Effekte) Stützen die Tests die Aussage Unkorreliertheit, aber keine stochast. Unabhängigkeit der DAX-Renditen? Ja, denn die Residuen selbst zeigen keine signifikante Autokorrelation (1. Ordn.), ihre Quadrate aber schon. Da die DAX-Renditen r t hier schlicht die um eine Konstante (ˆµ) verschobenen Residuen û t sind, überträgt sich diese Aussage auf die DAX-Renditen. Diese korrelieren also nicht (signifikant) miteinander, sind aber dennoch nicht stochast. unabhängig voneinander, weil sonst auch ihre Quadrate (wie jede Funktion von ihnen) unkorreliert wären. Wie groß ist die geschätzte Autokorrelation erster Ordnung in r t, wie groß diejenige in rt 2? (Hinweis: 4 = 2, 3 1.7). ĉor(r t, r t 1 ) = RBG T 2 est = = = 02 ĉor(rt 2, rt 1) 2 = + RARCH T 2 est = = = Welcher Wert für ĉor(r t, r t 1 ) ergibt sich aus der DW-Statistik? DW-Statistik (aus der initialen Regression, d.h. r t = µ + u t!): DW = Damit: ĉor(r t, r t 1 ) = ĉor(u t, u t 1 ) = ˆϱ = (2 DW )/2 = 04/2 = 02 Übereinstimmung 3

4 iii. Führen Sie den Breusch-Godfrey-Test und den Test auf ARCH-Effekte jeweils der Ordnung 2 mit den Residuen aus ii. durch Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Prob. F(2,6225) Obs*R-squared Prob. Chi-Square(2) Dependent Variable: RESID Sample: 11/27/1990 7/03/2015 Included observations: 6228 Presample missing value lagged residuals set to zero. Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic Prob. F(2,6223) 000 Obs*R-squared Prob. Chi-Square(2) 000 Dependent Variable: RESID^2 Sample (adjusted): 11/29/1990 7/03/2015 Included observations: 6226 after adjustments C 4.08E RESID(-1) RESID(-2) R-squared Mean dependent var 3.37E-19 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat C E RESID^2(-1) RESID^2(-2) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat und interpretieren Sie die Testergebnisse. Tests zeigen bei Ordnung 2 qualitativ das gleiche Ergebnis wie bei Ordnung 1. Stützen die Tests die Aussage Unkorreliertheit, aber keine stochastische Unabhängigkeit der DAX- Renditen? Ja (wie bei Ordnung 1). iv. Führen Sie den Breusch-Godfrey-Test und den Test auf ARCH-Effekte der Ordnung 5 für das Modell aus ii. durch Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Prob. F(5,6222) 000 Obs*R-squared Prob. Chi-Square(5) 000 Dependent Variable: RESID Sample: 11/27/1990 7/03/2015 Included observations: 6228 Presample missing value lagged residuals set to zero. Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic Prob. F(5,6217) 000 Obs*R-squared Prob. Chi-Square(5) 000 Dependent Variable: RESID^2 Sample (adjusted): 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 after adjustments C 1.74E RESID(-1) RESID(-2) RESID(-3) RESID(-4) RESID(-5) R-squared Mean dependent var 3.37E-19 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat C 7.91E E RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) RESID^2(-4) RESID^2(-5) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat und interpretieren Sie die Testergebnisse. Siehe folgende Tests zur Ordnung 10. Anmerkung: Für Ordnungen 3 finden wir eine signifikante Autokorrelation in den u t bzw. r t. Die Autokorrelation in den u t (bis zur Ordn. 28) scheint eliminiert, wenn man fünf Lags von r t einbezieht, d.h. zum Modell r t = β 0 + β 1 r t 1 + β 2 r t 2 + β 3 r t 3 + β 4 r t 4 + β 5 r t 5 + u t übergeht. Da ein solches Modell der Effizienzmarkthypothese widersprechen würde (wieso?), bleiben wir im Folgenden beim einfachen mean model (die Ergebnisse würden sich nicht qualitativ verändern). 4

5 Führen Sie den Breusch-Godfrey-Test und den Test auf ARCH-Effekte der Ordnung 10 für das Modell aus ii. durch Breusch-Godfrey Serial Correlation LM Test: F-statistic Prob. F(10,6217) 003 Obs*R-squared Prob. Chi-Square(10) 003 Dependent Variable: RESID Sample: 11/27/1990 7/03/2015 Included observations: 6228 Presample missing value lagged residuals set to zero. Heteroskedasticity Test: ARCH F-statistic Prob. F(10,6207) 000 Obs*R-squared Prob. Chi-Square(10) 000 Dependent Variable: RESID^2 Sample (adjusted): 12/11/1990 7/03/2015 Included observations: 6218 after adjustments C 3E RESID(-1) RESID(-2) RESID(-3) RESID(-4) RESID(-5) RESID(-6) RESID(-7) RESID(-8) RESID(-9) RESID(-10) R-squared Mean dependent var 3.37E-19 Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat C 5.53E E RESID^2(-1) RESID^2(-2) RESID^2(-3) RESID^2(-4) RESID^2(-5) RESID^2(-6) RESID^2(-7) RESID^2(-8) RESID^2(-9) RESID^2(-10) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat und interpretieren Sie die Testergebnisse. Wir finden zwar eine signifikante Autokorrelation in den Residuen (und damit auch den Renditen selbst), allerdings ist sie wesentlich schwächer ausgeprägt als die Autokorrelation in den Quadraten (d.h. die Signifikanz der ARCH-Effekte), wie man z.b. am Vergleich der R 2 -Werte erkennt: Der BG(10)- Test (auf lineare Autokorrelation) weist nur ein R 2 von 05 auf, während der ARCH(10)-Test (auf quadratische Autokorrelation) ein R 2 von ca hat. 1 Entsprechend deutlich ist der Unterschied in den Werten der F -Statistik (3.3 vs. 127) oder χ 2 -Statistik. Es fällt auch auf, dass im BG-Test nur die Lags 3,4,5 individuell signifikant sind, während im ARCH- Test alle Lags (außer dem ersten) schon individuell sehr signifikant sind. Die individ. Signifikanz des Lags Nr. 5 könnte auch aus einer Wochentags-Periodizität resultieren (z.b. weil aufgrund eines Freitag-Nachmittag-Effekts die Rendite an Freitagen systematisch etwas höher ausfällt.) Man beachte dazu, dass die meisten Wochen gerade 5 Handelstage haben, einige Wochen aber auch weniger, z.b. die Weihnachts- und Osterwoche. Es könnte sein, dass die 5-Tage-Periodizität sich verschmiert und in der Signifikanz der Lags 3,4 und 5 ausdrückt. 2 Es lässt sich festhalten, dass die Autokorrelation in den (vorzeichenlosen) Rendite-Quadraten viel manifester ist als die Autokorrelation in den (vorzeichenbehafteten) Renditen selbst. Dies impliziert, dass man kaum das Vorzeichen der Rendite, aber recht gut ihren Absolutbetrag voraussagen kann. Dies wiederum bedeutet, dass sich zwar nicht die Rendite selbst, aber ihre Schwankungsbreite (Volatilität) recht gut voraussagen lässt. Da wir im ARCH-Test bei allen betrachteten Lags ein (fast immer: hochsignifikant) positives Vorzeichen haben, stabilisiert sich eine Volatiltätserhöhung in der (kurzfristigen) Vergangenheit, was konsistent zum Phänomen der Volatilitätsklumpung ist. 1 D.h. die aktuelle Rendite r t lässt sich auf Basis der 10 vorhergehenden Renditen nur ganz schlecht voraussagen (Korrelation zwischen Vorhersage und tatsächlichem Wert beträgt nur 05 = 0.07), während das Quadrat der Rendite sich mit den 10 vergangenen Renditequadraten recht gut vorhersagen lässt (Korrelation zwischen Vorhersage und tatsächlichem Wert beträgt 0.17 = 0.41 fast 6 mal so viel). 2 Dafür, dass auch eine Monats-Periodizität eine Rolle spielen könnte, spricht, dass das nächste individuell signifikante Lag im BG-Test bei Nr. 28 liegt. 5

6 v. Wieso erscheint eine ARCH-Modellierung für die Volatilität der DAX-Renditen adäquat? Weil wir hoch-signifikante ARCH-Effekte gefunden haben. Schätzen Sie das mean model bei unterstelltem ARCH(5)-Volatiltätsmodell per Max.Likelihood bei unterstellter Normalverteilung: r t = µ + u t, σ 2 t = δ + ϱ 1 u 2 t ϱ 5 u 2 t 5, u t {rt 1,r t 2,...} N (0, σ 2 t ) Convergence achieved after 20 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-2)^2 + C(5)*RESID( -3)^2 + C(6)*RESID(-4)^2 + C(7)*RESID(-5)^2 C C 5.59E E RESID(-1)^ RESID(-2)^ RESID(-3)^ RESID(-4)^ RESID(-5)^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat Sind die Positivitäts- und Stationaritätsbedingungen für die ARCH-Schätzung erfüllt? Ja: Alle Koeffizienten in der Varianz-Gleichung sind positiv und Summe der Koeffizienten der û 2 t k < 1 Der Schätzwert ˆµ für die mittlere DAX-Rendite verändert sich dabei sehr stark gegenüber der OLS- Schätzung. Tatsächlich ist der mit dem ARCH-Modell geschätzte Wert, ˆµ = 0.07% pro Tag, mehr als doppelt so groß wie der OLS-Schätzwert von ca 02% pro Tag. Spricht die Richtung der Veränderung dafür, dass eine erhöhte Volatilität der DAX-Renditen eher in einer Wachstumsphase des DAX (überwiegend positive Schocks u t > 0) oder in einer Schrumpfungsphase (überwiegend negative Schocks u t < 0) auftritt? Dazu war als Hinweis gegeben: Argumentieren Sie damit, dass ARCH/GARCH-Schätzungen eine Art gewichtete OLS-Schätzung vornehmen, wobei Phasen hoher Volatilität mindergewichtet werden. Der stark vergrößerte Schätzwert (ARCH(5): 0.07% pro Tag, gegenüber OLS: ca 02% pro Tag) könnte sich dadurch erklären, dass Phasen hoher Volatilität tendentiell zusammenfallen mit Phasen, in denen der DAX einen fallenden Trend hat und somit überwiegend negative d.h. kleine Renditen aufweist. Wenn die ARCH-Schätzung diese Phasen mindergewichtet, gehen die großen (positiven) Renditen stärker ein und es kommt zu einer Vergrößerung des Schätzwerts gegenüber OLS, das jede Beobachtung gleichgewichtet. Bereits hier deutet sich an, dass der DAX volatiler ist, wenn er fällt als wenn er steigt. Oder: Die Anleger reagieren volatiler ( nervöser ) auf negative Rendite-Schocks bzw. einen fallenden DAX als auf positive Schocks bzw. einen steigenden DAX. Dies erweist sich als konsistente Erklärung für die restlichen Überlegungen (und legt bereits hier ein asymmetrisches ARCH-Modell nahe). 6

7 vi. Wieso erscheint eine GARCH-Modellierung für die Volatilität der DAX-Renditen adäquat? Weil wir ARCH-Effekte sehr hoher Ordnung gefunden haben. Ein GARCH-Modell kann dies i.d.r. mit weniger Parametern als ein ARCH-Modell erfassen ( parsimonity in parameters is a virtue ). Schätzen Sie das mean model mit GARCH(1,1)-Volatilitätsmodell per Max.Likelihood bei unterstellter Normalverteilung: r t = µ + u t, σ 2 t = δ + ϱ u 2 t 1 + τ σ 2 t 1, u t {rt 1,r t 2,...} N (0, σ 2 t ) Convergence achieved after 20 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-2)^2 + C(5)*RESID( -3)^2 + C(6)*RESID(-4)^2 + C(7)*RESID(-5)^2 C C 5.59E E RESID(-1)^ RESID(-2)^ RESID(-3)^ RESID(-4)^ RESID(-5)^ R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat zum Vgl. nochmal ARCH(5)-Schätzung GARCH(1,1)-Schätzung Convergence achieved after 27 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1) C C 3.21E E RESID(-1)^ GARCH(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat Conditional standard deviation ARCH(5) Conditional standard deviation (GARCH(1,1)) Anmerkung 1: Das GARCH-Modell liefert den glatteren Volatilitätsverlauf typisch Anmerkung 2: Die Volatilität σ t revertiert immer wieder auf unbedingtes σ = 1.4% Stationarität Sind die Positivitäts- und Stationaritätsbedingungen in der GARCH-Schätzung erfüllt? Ja: Alle Koeffezienten sind positiv und Summe Koeff(û 2 t 1 ) + Koeff(ˆσ2 t 1 ) = = < 1 Der Schätzwert ˆµ für die mittlere DAX-Rendite ist auch hier stark vergrößert gegenüber der OLS- Schätzung. Hier ˆµ = 0.066% vs. ˆµ OLS = 02% Legt dies eine hohe Volatilität in Phasen mit überwiegend positiven (den DAX erhöhenden) Schocks oder in Phasen mit überwiegend negativen Schocks nahe? Siehe vorne, die Überschätzung passt zu einer Volatilitätserhöhung als Reaktion auf negative Schocks. Anmerkung: Dass das GARCH(1,1)-Modell adäquater ist als das ARCH(5)-Modell, sieht man auch am erzielten Wert der Log-Likelihood: Sie ist beim GARCH-Modell, trotz weniger Parameter, größer (18627 vs ). Damit wird aber i.w. nur gemessen, wie gut das Modell die Daten fitten kann und der Fit ist etwas besser beim GARCH-Modell. Auch AIC und SIC zeigen eine Verbesserung (Verkleinerung, da mit der negativen Log-Likelihood gebildet) beim GARCH-Modell (Dies ist klar aus Log-Likelihood-Betrachtung, da zusätzliche Bestrafung für mehr Parameter beim ARCH-Modell). 7

8 vii. Wieso erscheint für die DAX-Renditen eine GARCH-Modellierung adäquat, die zulässt, dass positive Schocks einen anderen Effekt auf die Volatilität haben als negative? Das wurde vorne schon mehrfach diskutiert. Schätzen Sie das mean model mit einem TGARCH(1,1)-Volatilitätsmodell ( threshold order 1 ) per Max.Likelihood bei unterstellter Normalverteilung. Implementierung in EViews: r t = µ + u t, σt 2 = δ + α u 2 t 1 + β u 2 t 1 1[u t 1 < 0] + τσt 1, 2 u t {rt 1,r t 2,...} N (0, σt 2 ) { Es gilt: α U 2 + β U 2 1[U < 0] = αu 2 U 0 (α + β)u 2 U < 0 zum Vgl. nochmal GARCH(1,1)-Schätzung TGARCH(1,1)-Schätzung Convergence achieved after 27 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*GARCH(-1) Convergence achieved after 27 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) + C(5)*GARCH(-1) C C 3.21E E RESID(-1)^ GARCH(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat C C 3.39E E RESID(-1)^ RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) GARCH(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat Conditional standard deviation (GARCH(1,1)) Conditional standard deviation TGARCH(1,1) Bestätigen sich die Vermutungen bzgl. der asymmetrischen Wirkung des Vorzeichens vergangener Schocks auf die DAX-Volatilität? Koeffizient für Effekt positiver Schocks auf Volatilität: ˆα = 05 Koeffizient für Effekt negativer Schocks auf Volatilität: ˆα + ˆβ = = (demnach hätten negative Schocks einen fast um den Faktor 10 stärkeren Effekt auf Vola. als positive) Ist die Asymmetrie signifikant? (5%-Niveau) Teste: H 0 : α + β = α β = 0 Hochsignifikante Ablehnung Symmetrie auf Basis t-statistik. Anmerkungen dazu: Die t-statistik wird hier z-statistik genannt, (vermutlich) weil die p-werte aus der Std- Normalverteilung ermittelt werden (was bei der großen Zahl von Beobachtungen T > 6000 ohnehin keinen Unterschied macht). Tests linearer Restriktionen lassen sich ganz generell bei einer Max.Likelihood-Schätzung, wie hier, durchführen (siehe Wald-, LR- und LM-Tests im Abschnitt zur ML-Schätzung). Die zugehörigen Teststatistiken sind (asymptotisch) χ 2 -verteilt. Da eine χ 2 1-Verteilung das Quadrat einer Std-Normalverteilung ist, bekommt man für einen einfachen Signifkanztest von H 0 : β = 0 durch Wurzelziehen und Berücksichtigung des Vorzeichens auf die Std-Normalverteilung, d.h. die z-statistik. 8

9 viii. Schätzen Sie ein EGARCH(1,1)-Volatilitätsmodell (mit threshold order 1 ) per Max.Likelihood bei unterstellter Normalverteilung. Anmerkung: In EViews wird dazu folgendes Modell geschätzt: Mit Positivanteil X + := r t = µ + u t, log(σ 2 t ) = δ + α u t 1 σ t 1 + β u t 1 { X, X 0 0, X < 0 u. Negativanteil X := { 0, X 0 X, X < 0 σ t 1 + τ log(σ 2 t 1) α X + β X = (α + β)x + + (α β) X von X = ut 1 σ t 1 gilt: Convergence achieved after 27 iterations GARCH = C(2) + C(3)*RESID(-1)^2 + C(4)*RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) + C(5)*GARCH(-1) C C 3.39E E RESID(-1)^ RESID(-1)^2*(RESID(-1)<0) GARCH(-1) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat Convergence achieved after 18 iterations LOG(GARCH) = C(2) + C(3)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(4) *RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(5)*LOG(GARCH(-1)) C C(2) C(3) C(4) C(5) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter Durbin-Watson stat Conditional standard deviation TGARCH(1,1) Conditional standard deviation EGARCH(1,1) Anmerkung: Bei allen ARCH/GARCH-Modellen sehen wir starke Schwankungen in der Volatilität der DAX-Renditen. Z.B. ist σ t in der Finanzkrise 2008 drei- oder viermal so groß wie der langfristige ( unbedingte ) Wert σ = 1.4%. Mit einer solchen Std.Abweichung wird auch ein Ausreißerwert in der DAX-Rendite wie µ t = 10% (pro Tag!) nicht mehr derart unwahrscheinlich wie bei σ = 1.4% (selbst mit der unterstellten Normalvtlg.) Interpretieren Sie auch hier das Ergebnis in Bezug auf die asymmetrische Wirkung vergangener Schocks auf die Volatilität. Hier ˆα = C(3) = 0.12, ˆβ = C(4) = 0.08 Effekt negativer Schock (X ) auf Vola: ˆα ˆβ = 0.20 Effekt positiver Schock (X + ) auf Vola: ˆα + ˆβ = 0 Also auch hier: Viel stärkerer Effekt negativer als positiver Schocks auf die Volatilität (Faktor 5). Formaler Siginifikanztest auf asymmetrischen Effekt: H 0 : α β = α + β 2β = 0 β = 0. Dies kann auf Basis der t- (= z-) Statistik von C(4) hochsignifikant abgelehnt werden. Also auch formal: Hohe Signfikanz (t-statistik von 18) für asymmetrischen Effekt. Auf welchen Wert wird nun die mittlere DAX-Rendite ˆµ geschätzt? Mit ˆµ = 02% ( ˆ=8% DAX-Wachstum pro Jahr) fast genau auf den OLS-Schätzwert (= empir. Mittelwert) 9

10 Zum Abschluss noch die EGARCH(1,1)-Schätzung des um 5 autoregressive Terme erweiterten mean models, r t = β 0 + β 1 r t β 5 r t 5 + u t. (Schätzergebnis bzgl. Varianzmodell ändert sich kaum): EGARCH(1,1)-Schätzung Zum Vgl. die OLS-Schätzung dieses Modells: Sample (adjusted): 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 after adjustments Sample (adjusted): 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 after adjustments Convergence achieved after 50 iterations LOG(GARCH) = C(7) + C(8)*ABS(RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1))) + C(9) *RESID(-1)/@SQRT(GARCH(-1)) + C(10)*LOG(GARCH(-1)) C RETURN(-1) RETURN(-2) RETURN(-3) RETURN(-4) RETURN(-5) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Beachte: OLS hat das größere R 2 (weil OLS R 2 maximiert, während ML die (log-) Likelihood maximiert) C RETURN(-1) RETURN(-2) RETURN(-3) RETURN(-4) RETURN(-5) C(7) C(8) C(9) C(10) R-squared Mean dependent var Adjusted R-squared S.D. dependent var S.E. of regression Akaike info criterion Sum squared resid Schwarz criterion Log likelihood Hannan-Quinn criter F-statistic Durbin-Watson stat Beim EGARCH(1,1)-Modell scheint die Autokorrelation sowohl in den Residuen selbst als auch in den Correlogram of Standardized Residuals Correlogram of Standardized Residuals Squared Residualquadraten verschwunden: (während bei OLS die Res.Quadrate nach wie vor autokorrelieren) Korrelogram Residuen EGARCH(1,1) bei AR(5)-Mean-Mod Sample: 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob Korrelogr. Residualquadrate EGARCH(1,1) bei AR(5)-Mean-Mod Sample: 12/04/1990 7/03/2015 Included observations: 6223 Autocorrelation Partial Correlation AC PAC Q-Stat Prob

11 Aufgabe 22: Gegeben ist ein Zeitreihen-Regressionsmodell y t = β 0 + β x t + u t (1) das unter den Gauß-Markov-Annahmen im Stationaritäts-Szenario betrachtet wird. i. Die Grundformen von Hypothesentests auf/von a) Autokorrelation in den Störtermen (Breusch-Godfrey), b) statische Heteroskedastie (Breusch-Pagan bzw. White) c) Instationarität in Form von Unit-Roots (Dickey-Fuller), d) ARCH-Effekte (Engle) können allesamt auf OLS-geschätzten Regressionsmodellen aufgebaut werden (teilweise sind sie der OLS-Schätzung von (1) nachgelagert sind und verwenden deren Residuen û t anstelle der Störterme u t ). Notieren Sie hinter den folgenden Angaben, welcher der obigen Tests jeweils in seiner Grundform adressiert wird (sofern überhaupt zutreffend): 1) y t = α + ϱ y t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 2) y t = α + ϱ y t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 3) y t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 4) y t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 5) û t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 6) û t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 7) û 2 t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 8) û 2 t = α + ϱ û t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 9) û 2 t = α + ϱ û 2 t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 10) û 2 t = α + ϱ û 2 t 1 + ε t, Nullhypothese ϱ = 1 11) û 2 t = α + ϱ x t + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 12) û t = α + ϱ x t + ε t, Nullhypothese ϱ = 0 ii. Welcher der vier Tests aus Teil i. sollte als erster (und für alle beteiligten Variablen) durchgeführt werden? Warum? Was unterscheidet diesen Test (bzgl. der Nullhypothese) von den drei anderen? Welche Maßnahme empfiehlt sich bei einer Verletzung der entsprechenden Gauß-Markov-Annahme (sofern nicht ko-integrierende Zeitreihen involviert sind)? iii. Bei welchen der vier Tests aus Teil i. ist selbst bei Verletzung der entsprechenden Gauß-Markov- Annahme noch Konsistenz der OLS-Schätzung sichergestellt (die anderen Gauß-Markov-Annahmen als erfüllt vorausgesetzt)? Erläutern Sie unter Verwendung der Begriffe Effizienz und statistische Inferenz die Probleme, die man bei OLS-Schätzung eines Modells hat, wo die Stationaritäts- und Exogenitätsannahmen erfüllt sind, aber Störterm-Heteroskedastie oder -Autokorrelation auftritt. iv. Wahr oder falsch: Wenn die Störterme in einem Regressionsmodell für Zeitreihen ARCH-Effekte enthalten, müssen sie notwendigerweise autokorreliert sein? v. Gegeben ist ein Zeitreihen-Modell, in dem ARCH-Effekte auftreten. Das Modell wird einmal mit OLS geschätzt und einmal mit Maximum-Likelihood basierend auf einem GARCH(1,1)- Residualmodell. Wahr oder falsch: Das R 2 der GARCH-Schätzung ist notwendigerweise kleiner (oder gleich) dem R 2 der OLS-Schätzung? (Das R 2 der GARCH-Schätzung sei dabei definiert als die quadrierte empirische Korrelation von gefittetem und tatsächlichem Outcome.) 11