Rechnen wie damals (VI) Rechenvorteile
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- Adam Heinrich
- vor 7 Jahren
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1 Rechnen wie damals (VI) Rechenvorteile - wie ich mir das Rechnen erleichtere und Ergebnisse sichere (zum Mitmachen für Jung und Alt; mit Rechenhilfen- und Literaturausstellung) In memoriam Peter Koppelstätter; verstorben 8/2012 Rudolf-Steiner-Schule, Gröbenzell Klaus Kühn 1
2 Zur Geschichte des Rechnens 1200 v.chr. 500 n.chr n.chr n.chr. Fibonacci, indische Ziffern Abbildung aus K. Zepf: Grundzüge der Geschichte des Rechnens, Karlsruhe 1906 gibt allerdings auch andere Darstellungen (Wikipedia) Der Gebrauch der Hände und Füße beim Zählen führte naturgemäß sehr früh zu einer für die weitere Entwicklung entscheidenden Erfindung: zur Gliederung der Zählreihe, zum Zahlensystem. Fast allgemein trat zuerst ein Fünfer - später das reine Zehnersystem auf (gibt auch 6er; 12er; 20er) aus Fritz Müller: Im Anfang war die Zahl, Zürich 1953 Klaus Kühn 2
3 Blitzrechnen Multiplikation mit x =4, kommt zwischen 2und2 => x 11 = 5(5+2)2 => x 11= 8(8+7=15)7 => x 11 = 1(1+3=4;3+7=10; 40+10=50)7 => 1507 Quadrieren bei 5 als Einer 25² 25 liegt zwischen 20 und 30 =>2x3= 6 Plus 5 x 5 = 25 => 625 (oder ) Klaus Kühn 3
4 Der Bauer, seine 6 Söhne und 36 Kühe Jeder Sohn soll die gleiche Zahl an Kühen erben. Wie viele bekommt jeder Sohn? 36 : 6 = 15 (Division) 6 30 (Multiplikation) 15 x 6 = 5 x 6 = 30 plus 1 x 6 = (Addition) Klaus Kühn 4
5 Addieren (Zusammenzählen) = = = = = (20+8) = (7 x 40) (500-4) = Klaus Kühn 5
6 Gauss sche Aufgabe Abbildung aus: Kristin Dahl, Sven Nordquist: Zahlen, Spiralen und magische Quadrate Mathe für jeden; Verlag Friedrich Oetinger, Hamburg 1996 Klaus Kühn 6
7 Subtrahieren (Abziehen) (-20-5) = Gewöhnungsbedürftige Frage: Wieviel plus 4 ist 5? = 1 ; Wieviel plus 7 ist 6? (= 9, eins im Sinn) 5291 Klaus Kühn 7
8 Symbolrechnen nicht so schwer (nur plus) Klaus Kühn 8
9 Johannes Widman 1489 Lern wol mit vleiß daß eyn mol eyn Szo wirt dir alle Rechnung gemeyn.. Das kleine Einmal Eins nach: Napier s Rechenstäbchen von 1617 Klaus Kühn 9
10 Multiplizieren (Malnehmen) Mit den Napier schen Rechenstäbchen John Napier, Lord of Merchiston (Schottland) Erfinder der Logarithmen 1. Logarithmentafel 1614 (Nächstes Jahr 2014 => 400 Jahre Logarithmen 2. Rechenstäbchen (Rabdologia 1617) Klaus Kühn 10
11 5 6 Klaus Kühn 11
12 Klaus Kühn 12
13 4 5 6 Klaus Kühn 13
14 Klaus Kühn 14
15 Klaus Kühn 15
16 Multiplizieren (Malnehmen) 8 x 25 = 4 x 50 = 2 x x 60 = 12 x 120 = x 34 = = 41 x 30 (aus 34) = 1230 plus 4 x 7 = 28 = 1258 FERROL x 1 x Einer: 8 x 7 = 56 Einer 0 Zehner: (1 x 8) plus (1 x 7) = 15 Zehner plus 5 Zehner aus 56 = 20 Zehner 3 Hunderter: 1 x 1 plus 2 aus 20 Zehnern = Klaus Kühn 16
17 Multiplizieren (Malnehmen) Zerlegen: 38 x 8 = (30 x 8) + (8 x 8) = = x 25 = 4 x 50 = 2 x 100 = x 60 = 12 x x 34 = = 41 x 30 (aus 34) = 1230 plus 4 x 7 = 28 = x 27 nach Quadieren (a+b) x (a-b) = a² - b² Pietro Cataneo (Architekt, Siena 16. Jh.) Maximos Planudes (Byzantinischer Mönch, um 1300) Nach Tropfke F. FERROL (1913) x 1 x Einer: 8 x 7 = 56 Einer 0 Zehner: (1 x 8) plus (1 x 7) = 15 Zehner plus 5 Zehner aus 56 = 20 Zehner 3 Hunderter: 1 x 1 plus 2 aus 20 Zehnern = 3 Hunderter 306 Klaus Kühn 17
18 Multiplizieren von 2 und 3- stelligen Faktoren gleicher Zehner (und Hunderter) Aufgabe Aufgabe Zwischenrechnung Zwischen Zwischenrechnung Zwischen- Plus Plus = Faktor Faktor x Faktor Faktor rechnung rechnung Einer Einer x Einer Einer Produkt Produkt Mal 250 Plus x 18 = = 250 Mal 1 = 250 Plus 7 x 8 = 56 = x = = Mal Mal 2 = Plus Plus 7 x 8 = = x 38 = = 450 Mal 3 = 1350 Plus 7 x 8 = 56 = x 138 = = x 1450 = 13 x 1400 = Mal 13 = Plus 56 = Plus 13 x 50 = 13 x (100 : 2) = 650 = Plus 56 = Klaus Kühn 18
19 Multiplizieren (Malnehmen) Russische Methode Klaus Kühn 19
20 Quadrieren 25² = 25 x liegt zwischen 20 und Zehner mal Zehner = 20 x 30 = oder 6 Hunderter 25 Einer mal Einer = 5 x 5 = ²? 13² X ² = = Klaus Kühn 20
21 Dividieren (Teilen) Divisor 5 = Dividend mal 2 durch 10 einfach 10 : 5 = 10 mal 2 durch 10 = 20 : 10 = 2 mittel 56 : 5 = 56 mal 2 durch 10 = 112 : 10 = 11,2 schwer 8555 : 5 = 8555 mal 2 durch 10 = : 10 = 1711 andere Divisoren ähnlich: Faktor für 100 oder 1000 bestimmen Klaus Kühn 21
22 Radizieren (Wurzelziehen) Aus MatheMagie: A. Benjamin + M. Shermer Klaus Kühn 22
23 Radizieren (Wurzelziehen) Wichtige Voraussetzung: Wurzeln müssen immer aufgehen generell ungerade Wurzelexponenten schwerer zu berechnen Hilfstabelle für Endziffern 1. Potenz Beispiel 2. Wurzel aus 1444 = Potenz Ergebnis = 2-stellig 3. Potenz ² = 9 4. Potenz ² = 16 4 zu groß,daher 1. Ziffer = 3 5. Potenz ist näher bei der 4, daher 2. Ziffer = 8 Ergebnis = Beispiel 3. Wurzel aus = Ergebnis = 2-stellig, da [5 : 3] = 2 (aufgerundet) Endziffer des Radikanden = 2, daher letzte Ergebnisziffer = 8 3. Wurzel aus 54 liegt zwischen 3 und 4 4 zu groß,daher 1. Ziffer = 3 Ergebnis = 38 Klaus Kühn 23
24 Neunerprobe Multiplikation 25 x 40 = 1000 Quersumme von 25 = 7 (Faktor) 1 von 40 = 4 x (Faktor) 7 X 4 7 x 4 = 28; Neunerrest = 1 von 1000 = 1 = (Produkt) 1 Neunerrest von 28 Division : 979 = 1021 Quersumme von = 1 (Dividend) 1 von 979 = 7 : (Divisor) 4 x 7 4 x 7 = 28; Neunerrest des Dividenden = 1 von 1021 = 4 = (Quotient) 1 Neunerrest von 28 Klaus Kühn 24
25 Symbolrechnen schwer (alle 4 Rechenarten) Klaus Kühn 25
26 Zahlenbäume 1² = 1 11² = ² = ² = ² = ² = ² = ² = ² = ² = (1 x 8) + 1 = 9 (12 x 8) + 2 = 98 (123 x 8) + 3 = 987 (1234 x 8) + 4 = 9876 (12345 x 8) + 5 = = 1² = 2² = 3² = 4² = = = = Klaus Kühn 26
27 Pascal sches Dreieck Zeilen- Summe Zeile womit wir wieder bei den Logarith men wären.. Klaus Kühn 27
28 Links und Literatur Wichtige Links: Klaus Kühn 28
29 Jahr Autor, Nachname - Vorname Coautoren Titel Auflage Verlag Ort 2007 Benjamin, Arthur Shermer, Michael MatheMagie 7 Heyne München 1920 Bojko, J. Lehrbuch der Rechenvorteile; Schnellrechnen und Rechenkunst B.G. Teubner Leipzig, Berlin 1996 Dahl, Kristin Nordquist, Sven Zahlen, Spiralen und magische Quadrate Mathe für jeden; Verlag Friedrich Oetinger, Hamburg 1990 Deschauer, Stefan Ein Beitrag zur Geschichte des Kopfrechnens Mathematische Semesterberich Vandenhoeck&Ruprecht te; Band XXXVII/ Heft 1 Göttingen 1913 Ferrol, F. Das Ferrol sche neue Rechnungsverfahren 5 Franz Josef Huthmacher Bonn 1934 Ferrol, F. Das Original-Dr.Ferrol sche Neue Rechnungsverfahren Verlag Dr. Weiler&Co Köln 1932 Fischer, P.B. Müller-Kutnewsky: Aufgabensammlung zur Arithmetik, Algebra und Analysis 18 B.G. Teubner Leipzig Berlin 1937 Hogben, Lancelot Mathematics for the Million 2 (8. Druck) George Allen & Unwin Ltd. London Hogben, Lancelot Mathematik für Alle Büchergilde Gutenberg Frankfurt am Main 1884 Kleyer, A. Kleyers Enzyklopädie Lehrbuch der der Potenzen und Wurzeln Logarithmen nebst einer Sammlung von 3296 gelösten & ungelösten Beispielen zum Gebrauch an niederen und höheren Schulen, sowie zum rationellen Selbststudium Julius Maier Stuttgart 1893 Kleyer, A. Lehrbuch der Prozent- und Zinsrechnung nebst ihren Anwendungen, mit EInschluss der Diskontrechnung, der Terminrechnung, der Klakulationen und Kontokorrente mit 130 Dr. Richard Olbricht; Fragen, 444 Erklärungen, 27 Anmerkungen, 1520 Aufgaben, Kleyers Enzyklopädie zahlreichen schematischen Figuren, einer Fristen- und Zinsberechnungs-tabelle, sowie den Ergebnissen der nicht gelösten Aufgaben Lehrbuch des bürgerlichen und kaufmännischen Rechnens; 2. Teil Julius Maier 1941 Kruckenberg, A. Rechenbuch für Volksschulen - Erstes und Zweites Schuljahr Heft 1 Deutscher Schulbuch Verlag Berlin 1870 Lamberger, Alexander Der Österreichische Rechenmeister Buchholz und Diebel Troppau 1918 Maennchen, Philipp Geheimnisse der Rechenkünstler 2 B.G. Teubner Leipzig, Berlin 1910? Miniaturbibliothek Vorteile beim Schnellrechnen - die 4 Spezies Band 61 Albert Otto Paul Leipzig Vorteile beim Schnellrechnen - - Dezimalbrüche, Kettensatz, 1910? Miniaturbibliothek Cato, Otto Zerfällungsmethode Presler, O.; Mohrmann Dr. E. Bardeys Aufgabensammlung methodisch geordnet, mehr 1923 Pietzker, F. G. als 9000 Aufgaben enthaltend 1835 Vega, Georg Freiherr von 1850 Vega, Georg Freiherr von 1922 Witting, Alexander Vorlesungen über die Mathematik - Zweiter BandTheoretische und praktische Geometrie -Durchgesehen von Wilhelm Matzka Vorlesungen über die Mathematik - Erster Band Rechenkunst und Algebra - Überarbeitet von Wilhelm Matzka Abgekürzte Rechnung nebst einer Einführung in die Rechnung Stuttgart Band 62 Albert Otto Paul Leipzig 11 Teubner Leipzig Berlin 7 F. Tendler Buchhändler Wien mit Logarithmen Klaus Kühn 29 7 Beck s Universitätsbuchhandlung B.G. Teubner Wien Leipzig, Berlin
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1. Berechne: a) - 311 185 b) - 176 + 213 c) 234 865 d) 195 (- 523) e) (- 324) (- 267) f) 165 + (- 316) g) (-23) 18 h) (- 17) (- 54) i) 35 (- 78) j) 314 1234 k) (- 8) 4 l) (- 11) 3 m) (- 2) 9 n) (- 2) 10
3 heißt 1. Faktor und 4 heißt 2. Faktor. 12 heißt Wert des Produkts. Beispiele : a) 4 5 = = 20. b) 3 12 = = 36
VI. Die Multiplikation und Division natürlicher Zahlen ================================================================= 6.1 Die Multiplikation 3 4 Wir schreiben 4 + 4 + 4 = 3 4 und damit ist 3 4 = 12.
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