Logisches und Widersprüchliches

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1 Logisches und Widersprüchliches Manfred Dobrowolski Universität Würzburg

2 Logisches und Widersprüchliches 1 Wahr oder falsch? 2 Antinomien 3 Logik-Rätsel 4 Paradoxien 5 Die Umkehr der Höflichkeit

3 Aussagen Eine Formel oder ein Satz der Alltagssprache heißt Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann.

4 Aussagen Eine Formel oder ein Satz der Alltagssprache heißt Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Beispiele: 2 < 5, 3 = 5, Sokrates hatte eine Glatze.

5 Aussagen Eine Formel oder ein Satz der Alltagssprache heißt Aussage, wenn sie wahr oder falsch sein kann. Beispiele: 2 < 5, 3 = 5, Sokrates hatte eine Glatze. In der Alltagssprache gibt es Aussagen (?), die wahr werden, indem man sie ausspricht. Welche?

6 Die Implikation Wenn es regnet, dann ist die Straße nass.

7 Die Implikation Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Wenn Albert Einstein den Nobelpreis nicht bekommen hätte, dann wäre er an Hänschen Klein verliehen worden.

8 Die Implikation Wenn es regnet, dann ist die Straße nass. Wenn Albert Einstein den Nobelpreis nicht bekommen hätte, dann wäre er an Hänschen Klein verliehen worden. Es gibt 2 heiße Kandidaten auf einen Preis, nämlich E und K. Wenn E den Preis nicht bekommen hätte, dann wäre er an K verliehen worden.

9 Wahrheitstafel der Implikation Die Mathematik definiert die Wahrheit der Implikation durch die Wahrheitstafel A\B w f w w f. f w w A=Voraussetzung, B=Behauptung

10 Wahrheitstafel der Implikation Die Mathematik definiert die Wahrheit der Implikation durch die Wahrheitstafel A\B w f w w f. f w w A=Voraussetzung, B=Behauptung Eine Implikation ist daher immer wahr, wenn die Voraussetzung falsch ist. Damit sind alle Aussagen über mögliche Preisträger wahr.

11 Der modus ponens Ein mathematischer Beweis besteht aus einer Folge von Aussagen, die entweder von vorneherein als richtig angesehen werden oder aus der folgenden Schlussregel, dem modus ponens, abgeleitet werden können:

12 Der modus ponens Ein mathematischer Beweis besteht aus einer Folge von Aussagen, die entweder von vorneherein als richtig angesehen werden oder aus der folgenden Schlussregel, dem modus ponens, abgeleitet werden können: Wenn es regnet, dann ist die Straße nass A B Es regnet A Die Straße ist nass B

13 Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen.

14 Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen.

15 Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen. Ist das wahr, so behauptet er, dass er ein Lügner ist. Ist das falsch, so behauptet er, dass er gar kein Lügner ist.

16 Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen. Ist das wahr, so behauptet er, dass er ein Lügner ist. Ist das falsch, so behauptet er, dass er gar kein Lügner ist. Was ist an dieser Argumentation falsch?

17 Die Antinomie des Epimenides Wir nehmen an, es gibt nur Lügner, die immer lügen, und Wahrheitssprecher, die immer die Wahrheit sagen. Ein Kreter sagt: Alle Kreter lügen. Ist das wahr, so behauptet er, dass er ein Lügner ist. Ist das falsch, so behauptet er, dass er gar kein Lügner ist. Was ist an dieser Argumentation falsch? Richtig lautet die Antinomie: Der Satz, den ich jetzt ausspreche, ist falsch.

18 Ein Klassiker der Unterhaltungsmathematik Ein Urwaldforscher wird von einem einheimischen Stamm gefangengenommen. Es stellt sich heraus, dass dieser Stamm aus Kannibalen besteht, die ihn töten und verspeisen wollen. Sie sagen zu ihm: Von deiner nächsten Aussage machen wir abhängig, wie wir dich zubereiten: Entsprechen deine nächsten Worte der Wahrheit, so werden wir dich kochen. Solltest du allerdings lügen, dann wirst du gegrillt.

19 Ein Klassiker der Unterhaltungsmathematik Ein Urwaldforscher wird von einem einheimischen Stamm gefangengenommen. Es stellt sich heraus, dass dieser Stamm aus Kannibalen besteht, die ihn töten und verspeisen wollen. Sie sagen zu ihm: Von deiner nächsten Aussage machen wir abhängig, wie wir dich zubereiten: Entsprechen deine nächsten Worte der Wahrheit, so werden wir dich kochen. Solltest du allerdings lügen, dann wirst du gegrillt. Der Forscher sagt etwas, das ihm das Leben rettet. Was?

20 Ein Klassiker der Unterhaltungsmathematik Ein Urwaldforscher wird von einem einheimischen Stamm gefangengenommen. Es stellt sich heraus, dass dieser Stamm aus Kannibalen besteht, die ihn töten und verspeisen wollen. Sie sagen zu ihm: Von deiner nächsten Aussage machen wir abhängig, wie wir dich zubereiten: Entsprechen deine nächsten Worte der Wahrheit, so werden wir dich kochen. Solltest du allerdings lügen, dann wirst du gegrillt. Der Forscher sagt etwas, das ihm das Leben rettet. Was? Ich werde gegrillt werden.

21 Superspiel Ein Zweipersonenspiel heißt normal, wenn es nach endlich vielen Zügen zu Ende ist.

22 Superspiel Ein Zweipersonenspiel heißt normal, wenn es nach endlich vielen Zügen zu Ende ist. Das Superspiel besteht darin, dass der anziehende Spieler ein beliebiges normales Spiel nennt, das dann mit dem anderen Spieler im Anzug gespielt wird. Existiert Superspiel?

23 Von Rittern und Schurken Auf einer Insel leben nur Ritter: sagen immer die Wahrheit, Schurken: lügen immer.

24 Von Rittern und Schurken Auf einer Insel leben nur Ritter: sagen immer die Wahrheit, Schurken: lügen immer. Von zwei Inselbewohnern sagt einer: Wir sind beides Schurken. Wer ist wer?

25 Von Rittern und Schurken Ein Tourist kommt an eine Weggabelung. Er weiß, dass der eine Weg in die Freiheit führt und der andere in den Untergang. Vor jedem dieser beiden Wege steht ein Inselbewohner, von denen der Tourist weiß, dass einer von beiden ein Ritter und der andere ein Schurke ist. Mit welcher Frage an einen der beiden Inselbewohnern findet der Tourist den Weg in die Freiheit?

26 Von Rittern und Schurken Ein Tourist kommt an eine Weggabelung. Er weiß, dass der eine Weg in die Freiheit führt und der andere in den Untergang. Vor jedem dieser beiden Wege steht ein Inselbewohner, von denen der Tourist weiß, dass einer von beiden ein Ritter und der andere ein Schurke ist. Mit welcher Frage an einen der beiden Inselbewohnern findet der Tourist den Weg in die Freiheit? Wenn ich deinen Nachbarn fragen würde, ob dein Weg in die Freiheit führt, was würde er sagen?

27 Von Rittern und Schurken Auf einer Insel leben 100 Einwohner, die Ritter oder Schurken sind. Ein Forscher befragt die Einwohner nach der Anzahl der Schurken auf der Insel.

28 Von Rittern und Schurken Auf einer Insel leben 100 Einwohner, die Ritter oder Schurken sind. Ein Forscher befragt die Einwohner nach der Anzahl der Schurken auf der Insel. Er erhält vom ersten Einwohner die Antwort Einer, vom zweiten die Antwort Zwei, und so fort bis schließlich vom hundertsten die Antwort Hundert. Wieviele Schurken gibt es auf der Insel?

29 Retro-Analyse Jan Mortensen 1956 Schwarz am Zug. Was war der letzte weiße Zug?

30 Am Marterpfahl Drei Forscher werden von einem Indianerstamm gefangen genommen und hintereinander an drei Marterpfähle gebunden.

31 Am Marterpfahl Drei Forscher werden von einem Indianerstamm gefangen genommen und hintereinander an drei Marterpfähle gebunden. Es gibt drei schwarze und zwei rote Marterpfähle. 1 sieht die Farben von 2 und 3, 2 sieht 3, 3 sieht nichts.

32 Am Marterpfahl Drei Forscher werden von einem Indianerstamm gefangen genommen und hintereinander an drei Marterpfähle gebunden. Es gibt drei schwarze und zwei rote Marterpfähle. 1 sieht die Farben von 2 und 3, 2 sieht 3, 3 sieht nichts. Wer die Farbe seines Pfahls erkennt, wird freigelassen.

33 Am Marterpfahl Drei Forscher werden von einem Indianerstamm gefangen genommen und hintereinander an drei Marterpfähle gebunden. Es gibt drei schwarze und zwei rote Marterpfähle. 1 sieht die Farben von 2 und 3, 2 sieht 3, 3 sieht nichts. Wer die Farbe seines Pfahls erkennt, wird freigelassen. Nach einer Weile nennt Forscher 3 die Farbe seines Pfahls und kommt frei. Wie konnte er das wissen?

34 Weitere Wahrheitstafeln (A oder B) wahr A wahr oder B wahr oder beide wahr, (A und B) wahr A wahr und B wahr.

35 Weitere Wahrheitstafeln (A oder B) wahr A wahr oder B wahr oder beide wahr, (A und B) wahr A wahr und B wahr. Wir verwenden die logischen Konjunktionen oder (nicht ausschließend) und Verneinungszeichen

36 Weitere Wahrheitstafeln In Tafelform können wir die obigen Regeln so schreiben: A\B w f w w w f w f Tafel für A\B w f w w f f f f Tafel für.

37 Verneinungsregeln Es gelten die Verneinungsregeln für Aussagen A, B (A B) A B, (A B) A B, (A B) A B. Folgt direkt aus den Wahrheitstafeln.

38 Zurück zur Antinomie des Epimenides Die Antinomie beruht darauf, dass in der Alltagslogik der Satz verneint wir durch Alle Kreter lügen. Alle Kreter lügen nicht.

39 Zurück zur Antinomie des Epimenides Die Antinomie beruht darauf, dass in der Alltagslogik der Satz verneint wir durch Alle Kreter lügen. Alle Kreter lügen nicht. Die Alltagslogik ist daher Aussagenlogik. In der Mathematik verwenden wir dagegen die Prädikatenlogik.

40 Prädikate sind Ausdrücke, die von einer oder mehrerer Variablen abhängen (=ein- bzw. mehrstellige Prädikate). Nachdem man für die Variablen Individuen eingesetzt hat, entsteht eine Aussage.

41 Prädikate sind Ausdrücke, die von einer oder mehrerer Variablen abhängen (=ein- bzw. mehrstellige Prädikate). Nachdem man für die Variablen Individuen eingesetzt hat, entsteht eine Aussage. In x ist ein Mensch. können wir beliebige Lebewesen für x einsetzen: Sokrates ist ein Mensch. Der Hund Lupo ist ein Mensch. In jedem Fall entsteht eine Aussage.

42 Verneinungsregeln Wir verwenden für alle es existiert

43 Verneinungsregeln Wir verwenden für alle es existiert Ist A(x) ein einstelliges Prädikat, so gelten die Regeln x A(x) x A(x), x A(x) x A(x).

44 Allmachtspradoxon Kann der allmächtige Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass er ihn nicht heben kann?

45 Allmachtspradoxon Kann der allmächtige Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass er ihn nicht heben kann? Gott kann Steine beliebiger Schwere erschaffen und sie anschließend auch heben.

46 Allmachtspradoxon Kann der allmächtige Gott einen Stein erschaffen, der so schwer ist, dass er ihn nicht heben kann? Gott kann Steine beliebiger Schwere erschaffen und sie anschließend auch heben. Die Steine, die Gott nicht heben kann, bilden eine leere Menge.

47 Hempels Rabenparadoxon benannt nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel ( ).

48 Hempels Rabenparadoxon benannt nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel ( ). Hypothese: Alle Raben sind schwarz.

49 Hempels Rabenparadoxon benannt nach dem Philosophen Carl Gustav Hempel ( ). Hypothese: Alle Raben sind schwarz. Beobachtet man im Folgenden einen schwarzen Raben, so kann man diese Beobachtung als Bestätigung dieser Hypothese ansehen.

50 Hempels Rabenparadoxon Äquivalent dazu ist die Hypothese: Alle nichtschwarzen Objekte sind keine Raben

51 Hempels Rabenparadoxon Äquivalent dazu ist die Hypothese: Alle nichtschwarzen Objekte sind keine Raben Beide Hypothesen werden durch einen nichtschwarzen Raben widerlegt.

52 Hempels Rabenparadoxon Äquivalent dazu ist die Hypothese: Alle nichtschwarzen Objekte sind keine Raben Beide Hypothesen werden durch einen nichtschwarzen Raben widerlegt. Die Beobachtung eines gelben Autos würde dann die obige Hypothese bestätigen.

53 Paradox der unerwarteten Hinrichtung Einem Gefangenen wird am Sonntag mitgeteilt, er werde nächste Woche um 12 Uhr hingerichtet. Allerdings würde der genaue Tag für ihn eine Überraschung sein.

54 Paradox der unerwarteten Hinrichtung Einem Gefangenen wird am Sonntag mitgeteilt, er werde nächste Woche um 12 Uhr hingerichtet. Allerdings würde der genaue Tag für ihn eine Überraschung sein. Nun überlegt er sich: Wenn ich am Samstagabend noch lebe, muss ich am Sonntag hingerichtet werden, was aber keine Überraschung wäre. Also fällt der Sonntag als Hinrichtungsdatum weg. Dann weiß ich aber am Freitagabend, wenn ich noch lebe, dass ich am Samstag hingerichtet werde - ebenfalls keine Überraschung usw., ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden!

55 Paradox der unerwarteten Hinrichtung Einem Gefangenen wird am Sonntag mitgeteilt, er werde nächste Woche um 12 Uhr hingerichtet. Allerdings würde der genaue Tag für ihn eine Überraschung sein. Nun überlegt er sich: Wenn ich am Samstagabend noch lebe, muss ich am Sonntag hingerichtet werden, was aber keine Überraschung wäre. Also fällt der Sonntag als Hinrichtungsdatum weg. Dann weiß ich aber am Freitagabend, wenn ich noch lebe, dass ich am Samstag hingerichtet werde - ebenfalls keine Überraschung usw., ich kann also überhaupt nicht hingerichtet werden! Am Mittwoch taucht der Henker zur Hinrichtung auf vollkommen unerwartet.

56 Smullyan vs Schnabel Der Logiker Raymond Smullyan hatte mit seinen Freunden ein Schubert-Konzert des großen Pianisten Arthur Schnabel besucht. Nach der Aufführung waren alle tief berührt und man überlegte lange, ob man Schnabel mit einem Anruf stören könne. Nach langer Diskussion rief Smullyan an und gratulierte Schnabel zu seinem wunderbaren Konzert.

57 Smullyan vs Schnabel Schnabel antwortet am Telefon: Ja, die Sonate A-Dur, Nr. 959, beginnt ja mit einem klassisch gehaltenen Satz, aber dann... und redete und redete...

58 Dobrowolski vs Kellnerin

59 Dobrowolski vs Kellnerin Leise, ganz leise: Frau Kellnerin, der Salat ist etwas sauer.

60 Dobrowolski vs Kellnerin Leise, ganz leise: Frau Kellnerin, der Salat ist etwas sauer. Kellnerin: Mein Salat ist nicht sauer!

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